MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosmul Structured version   Unicode version

Theorem cosmul 13920
Description: Product of cosines can be rewritten as half the sum of certain cosines. This follows from cosadd 13912 and cossub 13916. (Contributed by David A. Wheeler, 26-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
cosmul  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  -  B
) )  +  ( cos `  ( A  +  B ) ) )  /  2 ) )

Proof of Theorem cosmul
StepHypRef Expression
1 coscl 13874 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
2 coscl 13874 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  ( cos `  B )  e.  CC )
3 mulcl 9593 . . . . 5  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( cos `  B )  e.  CC )  -> 
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  e.  CC )
41, 2, 3syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  e.  CC )
5 2cnne0 10771 . . . . 5  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
65a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
7 3anass 977 . . . 4  |-  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  <->  ( (
( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) ) )
84, 6, 7sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
9 divcan3 10252 . . 3  |-  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( 2  x.  (
( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) )  /  2 )  =  ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) )  /  2 )  =  ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) )
11 sincl 13873 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
12 sincl 13873 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  ( sin `  B )  e.  CC )
13 mulcl 9593 . . . . . 6  |-  ( ( ( sin `  A
)  e.  CC  /\  ( sin `  B )  e.  CC )  -> 
( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  e.  CC )
1411, 12, 13syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  e.  CC )
154, 14, 4ppncand 9990 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B
) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B
) )  -  (
( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )
16 cossub 13916 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  -  B )
)  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
17 cosadd 13912 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  -  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
1816, 17oveq12d 6314 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  ( A  -  B )
)  +  ( cos `  ( A  +  B
) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B
) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B
) )  -  (
( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) ) )
1942timesd 10802 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) )  =  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B
) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )
2015, 18, 193eqtr4rd 2509 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) )  =  ( ( cos `  ( A  -  B
) )  +  ( cos `  ( A  +  B ) ) ) )
2120oveq1d 6311 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( cos `  ( A  -  B
) )  +  ( cos `  ( A  +  B ) ) )  /  2 ) )
2210, 21eqtr3d 2500 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  -  B
) )  +  ( cos `  ( A  +  B ) ) )  /  2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   0cc0 9509    + caddc 9512    x. cmul 9514    - cmin 9824    / cdiv 10227   2c2 10606   sincsin 13811   cosccos 13812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-ico 11560  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator