Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coskpi2 Structured version   Unicode version

Theorem coskpi2 31848
Description: The cosine of an integer multiple of negative  pi is either  1 or negative  1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
coskpi2  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( cos `  ( K  x.  pi ) )  =  if ( 2  ||  K ,  1 ,  -u
1 ) )

Proof of Theorem coskpi2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 10917 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
2 divides 14000 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  K  <->  E. n  e.  ZZ  (
n  x.  2 )  =  K ) )
31, 2mpan 670 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
2  ||  K  <->  E. n  e.  ZZ  ( n  x.  2 )  =  K ) )
43biimpa 484 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  2  ||  K )  ->  E. n  e.  ZZ  ( n  x.  2
)  =  K )
5 zcn 10890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
6 2cnd 10629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
7 picn 22978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  e.  CC
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ZZ  ->  pi  e.  CC )
95, 6, 8mulassd 9636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( n  x.  2 )  x.  pi )  =  ( n  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
109eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( n  x.  2 )  x.  pi ) )
1110adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( n  x.  2
)  =  K )  ->  ( n  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( n  x.  2 )  x.  pi ) )
12 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  x.  2 )  =  K  ->  (
( n  x.  2 )  x.  pi )  =  ( K  x.  pi ) )
1312adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( n  x.  2
)  =  K )  ->  ( ( n  x.  2 )  x.  pi )  =  ( K  x.  pi ) )
1411, 13eqtr2d 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( n  x.  2
)  =  K )  ->  ( K  x.  pi )  =  (
n  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
1514fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( n  x.  2
)  =  K )  ->  ( cos `  ( K  x.  pi )
)  =  ( cos `  ( n  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
16 cos2kpi 23003 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( cos `  ( n  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  1 )
1716adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( n  x.  2
)  =  K )  ->  ( cos `  (
n  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  1 )
1815, 17eqtrd 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( n  x.  2
)  =  K )  ->  ( cos `  ( K  x.  pi )
)  =  1 )
19183adant1 1014 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  ||  K  /\  n  e.  ZZ  /\  (
n  x.  2 )  =  K )  -> 
( cos `  ( K  x.  pi )
)  =  1 )
20 iftrue 3950 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 
||  K  ->  if ( 2  ||  K ,  1 ,  -u
1 )  =  1 )
2120eqcomd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( 2 
||  K  ->  1  =  if ( 2  ||  K ,  1 ,  -u 1 ) )
22213ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  ||  K  /\  n  e.  ZZ  /\  (
n  x.  2 )  =  K )  -> 
1  =  if ( 2  ||  K , 
1 ,  -u 1
) )
2319, 22eqtrd 2498 . . . . . 6  |-  ( ( 2  ||  K  /\  n  e.  ZZ  /\  (
n  x.  2 )  =  K )  -> 
( cos `  ( K  x.  pi )
)  =  if ( 2  ||  K , 
1 ,  -u 1
) )
24233exp 1195 . . . . 5  |-  ( 2 
||  K  ->  (
n  e.  ZZ  ->  ( ( n  x.  2 )  =  K  -> 
( cos `  ( K  x.  pi )
)  =  if ( 2  ||  K , 
1 ,  -u 1
) ) ) )
2524adantl 466 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  2  ||  K )  -> 
( n  e.  ZZ  ->  ( ( n  x.  2 )  =  K  ->  ( cos `  ( K  x.  pi )
)  =  if ( 2  ||  K , 
1 ,  -u 1
) ) ) )
2625rexlimdv 2947 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  2  ||  K )  -> 
( E. n  e.  ZZ  ( n  x.  2 )  =  K  ->  ( cos `  ( K  x.  pi )
)  =  if ( 2  ||  K , 
1 ,  -u 1
) ) )
274, 26mpd 15 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  2  ||  K )  -> 
( cos `  ( K  x.  pi )
)  =  if ( 2  ||  K , 
1 ,  -u 1
) )
28 odd2np1 14058 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  K  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  K ) )
2928biimpa 484 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  K )  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  K )
306, 5mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
31 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
3230, 31, 8adddird 9638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( ( 2  x.  n )  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) ) )
336, 5mulcomd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
2  x.  n )  =  ( n  x.  2 ) )
3433oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  n
)  x.  pi )  =  ( ( n  x.  2 )  x.  pi ) )
3534, 9eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  n
)  x.  pi )  =  ( n  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
367mulid2i 9616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1  x.  pi )  =  pi )
3835, 37oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  n )  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) )  =  ( ( n  x.  ( 2  x.  pi ) )  +  pi ) )
39 2cn 10627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  CC
4039, 7mulcli 9618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
2  x.  pi )  e.  CC )
425, 41mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n  x.  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
4342, 8addcomd 9799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( n  x.  (
2  x.  pi ) )  +  pi )  =  ( pi  +  ( n  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )
4432, 38, 433eqtrrd 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
pi  +  ( n  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  x.  pi ) )
4544adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  K )  ->  ( pi  +  ( n  x.  (
2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  x.  pi ) )
46 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  K  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  x.  pi )  =  ( K  x.  pi ) )
4746adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  K )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  x.  pi )  =  ( K  x.  pi ) )
4845, 47eqtr2d 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  K )  ->  ( K  x.  pi )  =  (
pi  +  ( n  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
4948fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  K )  ->  ( cos `  ( K  x.  pi )
)  =  ( cos `  ( pi  +  ( n  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
50 cosper 23001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( cos `  (
pi  +  ( n  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  pi ) )
517, 50mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( cos `  ( pi  +  ( n  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  pi ) )
5251adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  K )  ->  ( cos `  (
pi  +  ( n  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  pi ) )
53 cospi 22991 . . . . . . . . . 10  |-  ( cos `  pi )  =  -u
1
5453a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  K )  ->  ( cos `  pi )  =  -u 1 )
5549, 52, 543eqtrd 2502 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  K )  ->  ( cos `  ( K  x.  pi )
)  =  -u 1
)
56553adant1 1014 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  2  ||  K  /\  n  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  K )  ->  ( cos `  ( K  x.  pi )
)  =  -u 1
)
57 iffalse 3953 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  2  ||  K  ->  if ( 2  ||  K ,  1 ,  -u
1 )  =  -u
1 )
5857eqcomd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( -.  2  ||  K  ->  -u 1  =  if ( 2  ||  K , 
1 ,  -u 1
) )
59583ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  2  ||  K  /\  n  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  K )  ->  -u 1  =  if ( 2  ||  K ,  1 ,  -u
1 ) )
6056, 59eqtrd 2498 . . . . . 6  |-  ( ( -.  2  ||  K  /\  n  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  K )  ->  ( cos `  ( K  x.  pi )
)  =  if ( 2  ||  K , 
1 ,  -u 1
) )
61603exp 1195 . . . . 5  |-  ( -.  2  ||  K  -> 
( n  e.  ZZ  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  K  ->  ( cos `  ( K  x.  pi )
)  =  if ( 2  ||  K , 
1 ,  -u 1
) ) ) )
6261adantl 466 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  K )  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  K  ->  ( cos `  ( K  x.  pi ) )  =  if ( 2  ||  K ,  1 ,  -u
1 ) ) ) )
6362rexlimdv 2947 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  K )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  K  ->  ( cos `  ( K  x.  pi )
)  =  if ( 2  ||  K , 
1 ,  -u 1
) ) )
6429, 63mpd 15 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  K )  ->  ( cos `  ( K  x.  pi )
)  =  if ( 2  ||  K , 
1 ,  -u 1
) )
6527, 64pm2.61dan 791 1  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( cos `  ( K  x.  pi ) )  =  if ( 2  ||  K ,  1 ,  -u
1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808   ifcif 3944   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   -ucneg 9825   2c2 10606   ZZcz 10885   cosccos 13812   picpi 13814    || cdvds 13998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-dvds 13999  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397
This theorem is referenced by:  sqwvfourb  32194
  Copyright terms: Public domain W3C validator