MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coseq1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem coseq1 23489
Description: A complex number whose cosine is one is an integer multiple of  2 pi. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
coseq1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  A
)  =  1  <->  ( A  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem coseq1
StepHypRef Expression
1 2cn 10687 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
2 2ne0 10709 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
3 divcan2 10285 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
41, 2, 3mp3an23 1358 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
54fveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( cos `  A
) )
6 halfcl 10845 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )
7 cos2tsin 14245 . . . . . . 7  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( 1  -  (
2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
86, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( 1  -  (
2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
95, 8eqtr3d 2489 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  =  ( 1  -  (
2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
109eqeq1d 2455 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  A
)  =  1  <->  (
1  -  ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 ) ) )  =  1 ) )
116sincld 14196 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  e.  CC )
1211sqcld 12421 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )
13 mulcl 9628 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
141, 12, 13sylancr 670 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
15 ax-1cn 9602 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
16 subsub23 9885 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )  =  1  <->  (
1  -  1 )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
1715, 15, 16mp3an13 1357 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )  =  1  <->  (
1  -  1 )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
1814, 17syl 17 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )  =  1  <->  (
1  -  1 )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
19 eqcom 2460 . . . . . 6  |-  ( ( 1  -  1 )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  <-> 
( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  -  1 ) )
20 1m1e0 10685 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  1 )  =  0
2120eqeq2i 2465 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  -  1 )  <->  ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 ) )  =  0 )
2219, 21bitri 253 . . . . 5  |-  ( ( 1  -  1 )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  <-> 
( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  =  0 )
2318, 22syl6bb 265 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )  =  1  <->  (
2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  =  0 ) )
2410, 23bitrd 257 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  A
)  =  1  <->  (
2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  =  0 ) )
25 mul0or 10259 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  =  0  <->  ( 2  =  0  \/  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  0 ) ) )
261, 12, 25sylancr 670 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  =  0  <->  ( 2  =  0  \/  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  0 ) ) )
272neii 2628 . . . . 5  |-  -.  2  =  0
28 biorf 407 . . . . 5  |-  ( -.  2  =  0  -> 
( ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  =  0  <->  (
2  =  0  \/  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  0 ) ) )
2927, 28ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  0  <->  ( 2  =  0  \/  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  0 ) )
3026, 29syl6bbr 267 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  =  0  <->  ( ( sin `  ( A  / 
2 ) ) ^
2 )  =  0 ) )
31 sqeq0 12346 . . . 4  |-  ( ( sin `  ( A  /  2 ) )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  0  <->  ( sin `  ( A  /  2 ) )  =  0 ) )
3211, 31syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  0  <->  ( sin `  ( A  /  2 ) )  =  0 ) )
3324, 30, 323bitrd 283 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  A
)  =  1  <->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  =  0 ) )
34 sineq0 23488 . . 3  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  =  0  <->  ( ( A  /  2 )  /  pi )  e.  ZZ ) )
356, 34syl 17 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  =  0  <->  ( ( A  /  2 )  /  pi )  e.  ZZ ) )
361, 2pm3.2i 457 . . . 4  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
37 picn 23426 . . . . 5  |-  pi  e.  CC
38 pire 23425 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
39 pipos 23427 . . . . . 6  |-  0  <  pi
4038, 39gt0ne0ii 10157 . . . . 5  |-  pi  =/=  0
4137, 40pm3.2i 457 . . . 4  |-  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )
42 divdiv1 10325 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0
) )  ->  (
( A  /  2
)  /  pi )  =  ( A  / 
( 2  x.  pi ) ) )
4336, 41, 42mp3an23 1358 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  /  2
)  /  pi )  =  ( A  / 
( 2  x.  pi ) ) )
4443eleq1d 2515 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( A  / 
2 )  /  pi )  e.  ZZ  <->  ( A  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
4533, 35, 443bitrd 283 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  A
)  =  1  <->  ( A  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   0cc0 9544   1c1 9545    x. cmul 9549    - cmin 9865    / cdiv 10276   2c2 10666   ZZcz 10944   ^cexp 12279   sincsin 14128   cosccos 14129   picpi 14131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495  df-hash 12523  df-shft 13142  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-limsup 13538  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-ef 14133  df-sin 14135  df-cos 14136  df-pi 14138  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cncf 21922  df-limc 22833  df-dv 22834
This theorem is referenced by:  taupilem1  31734  dirkertrigeqlem1  37970  dirkertrigeq  37973
  Copyright terms: Public domain W3C validator