MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coscn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem coscn 23393
Description: Cosine is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
coscn  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )

Proof of Theorem coscn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cos 14117 . 2  |-  cos  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  x
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) )  /  2 ) )
2 eqid 2450 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
32addcn 21890 . . . . . . . . 9  |-  +  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
43a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  +  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
5 efcn 23391 . . . . . . . . . 10  |-  exp  e.  ( CC -cn-> CC )
65a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  exp  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
7 ax-icn 9595 . . . . . . . . . 10  |-  _i  e.  CC
8 eqid 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )
98mulc1cncf 21930 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
107, 9mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
116, 10cncfmpt1f 21938 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
12 negicn 9873 . . . . . . . . . 10  |-  -u _i  e.  CC
13 eqid 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  |->  ( -u _i  x.  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( -u _i  x.  x ) )
1413mulc1cncf 21930 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u _i  e.  CC  ->  (
x  e.  CC  |->  (
-u _i  x.  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
1512, 14mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( -u _i  x.  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
166, 15cncfmpt1f 21938 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
172, 4, 11, 16cncfmpt2f 21939 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
18 cncff 21918 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) ) ) : CC --> CC )
1917, 18syl 17 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) ) ) : CC --> CC )
20 eqid 2450 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  ( _i  x.  x ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) ) )
2120fmpt 6041 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  CC  (
( exp `  (
_i  x.  x )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) )  e.  CC  <->  ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  ( _i  x.  x
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) ) ) : CC --> CC )
2219, 21sylibr 216 . . . . 5  |-  ( T. 
->  A. x  e.  CC  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) )  e.  CC )
23 eqidd 2451 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  ( _i  x.  x ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) ) ) )
24 eqidd 2451 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( y  e.  CC  |->  ( y  /  2
) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( y  /  2 ) ) )
25 oveq1 6295 . . . . 5  |-  ( y  =  ( ( exp `  ( _i  x.  x
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) )  ->  ( y  /  2 )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  x
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) )  /  2 ) )
2622, 23, 24, 25fmptcof 6055 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( y  e.  CC  |->  ( y  / 
2 ) )  o.  ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) )  /  2 ) ) )
27 2cn 10677 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
28 2ne0 10699 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
29 eqid 2450 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  CC  |->  ( y  /  2 ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( y  / 
2 ) )
3029divccncf 21931 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  -> 
( y  e.  CC  |->  ( y  /  2
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
3127, 28, 30mp2an 677 . . . . . 6  |-  ( y  e.  CC  |->  ( y  /  2 ) )  e.  ( CC -cn-> CC )
3231a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( y  e.  CC  |->  ( y  /  2
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
3317, 32cncfco 21932 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( y  e.  CC  |->  ( y  / 
2 ) )  o.  ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
3426, 33eqeltrrd 2529 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  x
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) )  /  2 ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
3534trud 1452 . 2  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  x ) ) )  /  2 ) )  e.  ( CC -cn-> CC )
361, 35eqeltri 2524 1  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   T. wtru 1444    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736    |-> cmpt 4460    o. ccom 4837   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   0cc0 9536   _ici 9538    + caddc 9539    x. cmul 9541   -ucneg 9858    / cdiv 10266   2c2 10656   expce 14107   cosccos 14110   TopOpenctopn 15313  ℂfldccnfld 18963    Cn ccn 20233    tX ctx 20568   -cn->ccncf 21901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-cos 14117  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815
This theorem is referenced by:  recosf1o  23477  dvtanlem  31983  dvsinax  37777  itgsin0pilem1  37820  itgsinexplem1  37824  itgcoscmulx  37840  itgsincmulx  37845  dirkeritg  37958  dirkercncflem2  37960  fourierdlem16  37979  fourierdlem22  37985  fourierdlem39  38003  fourierdlem58  38022  fourierdlem62  38026  fourierdlem73  38037  fourierdlem83  38047  sqwvfoura  38086
  Copyright terms: Public domain W3C validator