MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coscld Structured version   Unicode version

Theorem coscld 14077
Description: Closure of the cosine function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
sincld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
coscld  |-  ( ph  ->  ( cos `  A
)  e.  CC )

Proof of Theorem coscld
StepHypRef Expression
1 sincld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 coscl 14073 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
31, 2syl 17 1  |-  ( ph  ->  ( cos `  A
)  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1844   ` cfv 5571   CCcc 9522   cosccos 14011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-pm 7462  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-rp 11268  df-ico 11590  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-seq 12154  df-exp 12213  df-fac 12400  df-hash 12455  df-shft 13051  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-limsup 13445  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-sum 13660  df-ef 14014  df-cos 14017
This theorem is referenced by:  tanadd  14113  addsin  14116  sincossq  14122  pilem2  23141  ptolemy  23183  efif1olem4  23226  ssscongptld  23483  chordthmlem  23490  heron  23496  cos2h  31431  tan2h  31432  dvtan  31451  sinmulcos  37046  dvsinax  37089  dvasinbx  37098  itgsin0pilem1  37129  itgsinexplem1  37133  itgcoscmulx  37149  itgsincmulx  37154  dirkertrigeqlem1  37261  dirkertrigeqlem2  37262  dirkertrigeqlem3  37263  dirkeritg  37265  dirkercncflem2  37267  fourierdlem39  37309  fourierdlem56  37326  fourierdlem57  37327  fourierdlem58  37328  fourierdlem62  37332  fourierdlem68  37338  fourierdlem73  37343  fouriersw  37395
  Copyright terms: Public domain W3C validator