MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosbnd Unicode version

Theorem cosbnd 12737
Description: The cosine of a real number lies between -1 and 1. Equation 18 of [Gleason] p. 311. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
cosbnd  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( cos `  A )  /\  ( cos `  A )  <_ 
1 ) )

Proof of Theorem cosbnd
StepHypRef Expression
1 resincl 12696 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  e.  RR )
21sqge0d 11505 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )
3 recoscl 12697 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
43resqcld 11504 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
) ^ 2 )  e.  RR )
51resqcld 11504 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( sin `  A
) ^ 2 )  e.  RR )
64, 5addge02d 9571 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( ( sin `  A ) ^
2 )  <->  ( ( cos `  A ) ^
2 )  <_  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) ) )
72, 6mpbid 202 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
) ^ 2 )  <_  ( ( ( sin `  A ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) ) )
8 recn 9036 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
9 sincossq 12732 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
108, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
11 sq1 11431 . . . . 5  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
1210, 11syl6eqr 2454 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  ( 1 ^ 2 ) )
137, 12breqtrd 4196 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
) ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 ) )
14 1re 9046 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
15 0le1 9507 . . . . . 6  |-  0  <_  1
16 lenegsq 12079 . . . . . 6  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  ->  (
( ( cos `  A
)  <_  1  /\  -u ( cos `  A
)  <_  1 )  <-> 
( ( cos `  A
) ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 ) ) )
1714, 15, 16mp3an23 1271 . . . . 5  |-  ( ( cos `  A )  e.  RR  ->  (
( ( cos `  A
)  <_  1  /\  -u ( cos `  A
)  <_  1 )  <-> 
( ( cos `  A
) ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 ) ) )
18 lenegcon1 9488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( -u ( cos `  A )  <_  1  <->  -u 1  <_  ( cos `  A ) ) )
1914, 18mpan2 653 . . . . . 6  |-  ( ( cos `  A )  e.  RR  ->  ( -u ( cos `  A
)  <_  1  <->  -u 1  <_ 
( cos `  A
) ) )
2019anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( ( cos `  A )  e.  RR  ->  (
( ( cos `  A
)  <_  1  /\  -u ( cos `  A
)  <_  1 )  <-> 
( ( cos `  A
)  <_  1  /\  -u 1  <_  ( cos `  A ) ) ) )
2117, 20bitr3d 247 . . . 4  |-  ( ( cos `  A )  e.  RR  ->  (
( ( cos `  A
) ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 )  <->  ( ( cos `  A )  <_ 
1  /\  -u 1  <_ 
( cos `  A
) ) ) )
223, 21syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( cos `  A
) ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 )  <->  ( ( cos `  A )  <_ 
1  /\  -u 1  <_ 
( cos `  A
) ) ) )
2313, 22mpbid 202 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
)  <_  1  /\  -u 1  <_  ( cos `  A ) ) )
2423ancomd 439 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( cos `  A )  /\  ( cos `  A )  <_ 
1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    <_ cle 9077   -ucneg 9248   2c2 10005   ^cexp 11337   sincsin 12621   cosccos 12622
This theorem is referenced by:  cosbnd2  12739
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628
  Copyright terms: Public domain W3C validator