MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosargd Structured version   Unicode version

Theorem cosargd 22062
Description: The cosine of the argument is the quotient of the real part and the absolute value. Compare to efiarg 22061. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cosargd.1  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
cosargd.2  |-  ( ph  ->  X  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
cosargd  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
Im `  ( log `  X ) ) )  =  ( ( Re
`  X )  / 
( abs `  X
) ) )

Proof of Theorem cosargd
StepHypRef Expression
1 cosargd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
21cjcld 12690 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( * `  X
)  e.  CC )
31, 2addcld 9410 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  +  ( * `  X ) )  e.  CC )
41abscld 12927 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  e.  RR )
54recnd 9417 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  e.  CC )
6 2cnd 10399 . . 3  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
7 cosargd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  0 )
81, 7absne0d 12938 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  =/=  0 )
9 2ne0 10419 . . . 4  |-  2  =/=  0
109a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
113, 5, 6, 8, 10divdiv32d 10137 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( * `  X ) )  / 
( abs `  X
) )  /  2
)  =  ( ( ( X  +  ( * `  X ) )  /  2 )  /  ( abs `  X
) ) )
121, 7logcld 22027 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  e.  CC )
1312imcld 12689 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  X ) )  e.  RR )
1413recnd 9417 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  X ) )  e.  CC )
15 cosval 13412 . . . 4  |-  ( ( Im `  ( log `  X ) )  e.  CC  ->  ( cos `  ( Im `  ( log `  X ) ) )  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  X
) ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( Im
`  ( log `  X
) ) ) ) )  /  2 ) )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
Im `  ( log `  X ) ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  X ) ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( Im
`  ( log `  X
) ) ) ) )  /  2 ) )
17 efiarg 22061 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  CC  /\  X  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  X
) ) ) )  =  ( X  / 
( abs `  X
) ) )
181, 7, 17syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  X
) ) ) )  =  ( X  / 
( abs `  X
) ) )
19 ax-icn 9346 . . . . . . . . . . 11  |-  _i  e.  CC
2019a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  _i  e.  CC )
2120, 14mulcld 9411 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  (
Im `  ( log `  X ) ) )  e.  CC )
22 efcj 13382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  x.  ( Im
`  ( log `  X
) ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( * `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  X
) ) ) ) )  =  ( * `
 ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  X
) ) ) ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
* `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  X ) ) ) ) )  =  ( * `  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  X ) ) ) ) ) )
2420, 14cjmuld 12715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( * `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  X
) ) ) )  =  ( ( * `
 _i )  x.  ( * `  (
Im `  ( log `  X ) ) ) ) )
25 cji 12653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( * `
 _i )  = 
-u _i
2625a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( * `  _i )  =  -u _i )
2713cjred 12720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( * `  (
Im `  ( log `  X ) ) )  =  ( Im `  ( log `  X ) ) )
2826, 27oveq12d 6114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( * `  _i )  x.  (
* `  ( Im `  ( log `  X
) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( Im `  ( log `  X ) ) ) )
2924, 28eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  X
) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( Im `  ( log `  X ) ) ) )
3029fveq2d 5700 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
* `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  X ) ) ) ) )  =  ( exp `  ( -u _i  x.  ( Im
`  ( log `  X
) ) ) ) )
3118fveq2d 5700 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( * `  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  X ) ) ) ) )  =  ( * `  ( X  /  ( abs `  X
) ) ) )
3223, 30, 313eqtr3d 2483 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  ( Im
`  ( log `  X
) ) ) )  =  ( * `  ( X  /  ( abs `  X ) ) ) )
331, 5, 8cjdivd 12717 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( * `  ( X  /  ( abs `  X
) ) )  =  ( ( * `  X )  /  (
* `  ( abs `  X ) ) ) )
344cjred 12720 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( * `  ( abs `  X ) )  =  ( abs `  X
) )
3534oveq2d 6112 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( * `  X )  /  (
* `  ( abs `  X ) ) )  =  ( ( * `
 X )  / 
( abs `  X
) ) )
3632, 33, 353eqtrd 2479 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  ( Im
`  ( log `  X
) ) ) )  =  ( ( * `
 X )  / 
( abs `  X
) ) )
3718, 36oveq12d 6114 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  X
) ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( Im
`  ( log `  X
) ) ) ) )  =  ( ( X  /  ( abs `  X ) )  +  ( ( * `  X )  /  ( abs `  X ) ) ) )
381, 2, 5, 8divdird 10150 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( * `  X
) )  /  ( abs `  X ) )  =  ( ( X  /  ( abs `  X
) )  +  ( ( * `  X
)  /  ( abs `  X ) ) ) )
3937, 38eqtr4d 2478 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  X
) ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( Im
`  ( log `  X
) ) ) ) )  =  ( ( X  +  ( * `
 X ) )  /  ( abs `  X
) ) )
4039oveq1d 6111 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  ( log `  X ) ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( Im `  ( log `  X ) ) ) ) )  /  2
)  =  ( ( ( X  +  ( * `  X ) )  /  ( abs `  X ) )  / 
2 ) )
4116, 40eqtrd 2475 . 2  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
Im `  ( log `  X ) ) )  =  ( ( ( X  +  ( * `
 X ) )  /  ( abs `  X
) )  /  2
) )
42 reval 12600 . . . 4  |-  ( X  e.  CC  ->  (
Re `  X )  =  ( ( X  +  ( * `  X ) )  / 
2 ) )
431, 42syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Re `  X
)  =  ( ( X  +  ( * `
 X ) )  /  2 ) )
4443oveq1d 6111 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  X )  /  ( abs `  X ) )  =  ( ( ( X  +  ( * `
 X ) )  /  2 )  / 
( abs `  X
) ) )
4511, 41, 443eqtr4d 2485 1  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
Im `  ( log `  X ) ) )  =  ( ( Re
`  X )  / 
( abs `  X
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   0cc0 9287   _ici 9289    + caddc 9290    x. cmul 9292   -ucneg 9601    / cdiv 9998   2c2 10376   *ccj 12590   Recre 12591   Imcim 12592   abscabs 12728   expce 13352   cosccos 13355   logclog 22011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-ef 13358  df-sin 13360  df-cos 13361  df-pi 13363  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-limc 21346  df-dv 21347  df-log 22013
This theorem is referenced by:  cosarg0d  22063  cosangneg2d  22208
  Copyright terms: Public domain W3C validator