MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosangneg2d Structured version   Unicode version

Theorem cosangneg2d 23265
Description: The cosine of the angle between  X and  -u Y is the negative of that between  X and  Y. If A, B and C are collinear points, this implies that the cosines of DBA and DBC sum to zero, i.e., that DBA and DBC are supplementary. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ang.1  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
cosangneg2d.1  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
cosangneg2d.2  |-  ( ph  ->  X  =/=  0 )
cosangneg2d.3  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
cosangneg2d.4  |-  ( ph  ->  Y  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
cosangneg2d  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( X F -u Y ) )  =  -u ( cos `  ( X F Y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, X    x, Y, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    F( x, y)

Proof of Theorem cosangneg2d
StepHypRef Expression
1 cosangneg2d.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
2 cosangneg2d.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
3 cosangneg2d.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =/=  0 )
41, 2, 3divcld 10341 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  /  X
)  e.  CC )
54recld 13039 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( Y  /  X ) )  e.  RR )
65recnd 9639 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( Y  /  X ) )  e.  CC )
74abscld 13279 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  /  X ) )  e.  RR )
87recnd 9639 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  /  X ) )  e.  CC )
9 cosangneg2d.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =/=  0 )
101, 2, 9, 3divne0d 10357 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  /  X
)  =/=  0 )
114, 10absne0d 13290 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  /  X ) )  =/=  0 )
126, 8, 11divnegd 10354 . 2  |-  ( ph  -> 
-u ( ( Re
`  ( Y  /  X ) )  / 
( abs `  ( Y  /  X ) ) )  =  ( -u ( Re `  ( Y  /  X ) )  /  ( abs `  ( Y  /  X ) ) ) )
13 ang.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
1413, 2, 3, 1, 9angvald 23262 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X F Y )  =  ( Im
`  ( log `  ( Y  /  X ) ) ) )
1514fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( X F Y ) )  =  ( cos `  (
Im `  ( log `  ( Y  /  X
) ) ) ) )
164, 10cosargd 23119 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
Im `  ( log `  ( Y  /  X
) ) ) )  =  ( ( Re
`  ( Y  /  X ) )  / 
( abs `  ( Y  /  X ) ) ) )
1715, 16eqtrd 2498 . . 3  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( X F Y ) )  =  ( ( Re
`  ( Y  /  X ) )  / 
( abs `  ( Y  /  X ) ) ) )
1817negeqd 9833 . 2  |-  ( ph  -> 
-u ( cos `  ( X F Y ) )  =  -u ( ( Re
`  ( Y  /  X ) )  / 
( abs `  ( Y  /  X ) ) ) )
191negcld 9937 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u Y  e.  CC )
201, 9negne0d 9948 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u Y  =/=  0
)
2113, 2, 3, 19, 20angvald 23262 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X F -u Y )  =  ( Im `  ( log `  ( -u Y  /  X ) ) ) )
2221fveq2d 5876 . . 3  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( X F -u Y ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  ( -u Y  /  X ) ) ) ) )
2319, 2, 3divcld 10341 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u Y  /  X )  e.  CC )
2419, 2, 20, 3divne0d 10357 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u Y  /  X )  =/=  0
)
2523, 24cosargd 23119 . . 3  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
Im `  ( log `  ( -u Y  /  X ) ) ) )  =  ( ( Re `  ( -u Y  /  X ) )  /  ( abs `  ( -u Y  /  X ) ) ) )
261, 2, 3divnegd 10354 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( Y  /  X )  =  (
-u Y  /  X
) )
2726fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Re `  -u ( Y  /  X ) )  =  ( Re `  ( -u Y  /  X
) ) )
284renegd 13054 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Re `  -u ( Y  /  X ) )  =  -u ( Re `  ( Y  /  X
) ) )
2927, 28eqtr3d 2500 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( -u Y  /  X ) )  =  -u (
Re `  ( Y  /  X ) ) )
3026fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u ( Y  /  X ) )  =  ( abs `  ( -u Y  /  X ) ) )
314absnegd 13292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u ( Y  /  X ) )  =  ( abs `  ( Y  /  X ) ) )
3230, 31eqtr3d 2500 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( -u Y  /  X ) )  =  ( abs `  ( Y  /  X
) ) )
3329, 32oveq12d 6314 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( -u Y  /  X
) )  /  ( abs `  ( -u Y  /  X ) ) )  =  ( -u (
Re `  ( Y  /  X ) )  / 
( abs `  ( Y  /  X ) ) ) )
3422, 25, 333eqtrd 2502 . 2  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( X F -u Y ) )  =  ( -u ( Re `  ( Y  /  X ) )  /  ( abs `  ( Y  /  X ) ) ) )
3512, 18, 343eqtr4rd 2509 1  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( X F -u Y ) )  =  -u ( cos `  ( X F Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    \ cdif 3468   {csn 4032   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   CCcc 9507   0cc0 9509   -ucneg 9825    / cdiv 10227   Recre 12942   Imcim 12943   abscabs 13079   cosccos 13812   logclog 23068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070
This theorem is referenced by:  chordthmlem  23289
  Copyright terms: Public domain W3C validator