Theorem cosadd 13777

Description: Addition formula for cosine. Equation 15 of [Gleason] p. 310. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cosadd	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( A + B ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )

Proof of Theorem cosadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 9577	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
2		cosval 13735	. . 3 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( cos ` ( A + B ) ) = ( ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) + ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) / 2 ) )
3	1, 2	syl 16	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( A + B ) ) = ( ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) + ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) / 2 ) )
4		coscl 13739	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( cos ` A ) e. CC )
5	4	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` A ) e. CC )
6		coscl 13739	. . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> ( cos ` B ) e. CC )
7	6	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` B ) e. CC )
8	5, 7	mulcld 9619	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC )
9		ax-icn 9554	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
10		sincl 13738	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( sin ` B ) e. CC )
11	10	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` B ) e. CC )
12		mulcl 9579	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ ( sin ` B ) e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` B ) ) e. CC )
13	9, 11, 12	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` B ) ) e. CC )
14		sincl 13738	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( sin ` A ) e. CC )
15	14	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` A ) e. CC )
16		mulcl 9579	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ ( sin ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` A ) ) e. CC )
17	9, 15, 16	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` A ) ) e. CC )
18	13, 17	mulcld 9619	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) e. CC )
19	8, 18	addcld 9618	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) e. CC )
20	5, 13	mulcld 9619	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) e. CC )
21	7, 17	mulcld 9619	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) e. CC )
22	20, 21	addcld 9618	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) e. CC )
23	19, 22, 19	ppncand 9976	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) + ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
24		adddi 9584	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( A + B ) ) = ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) )
25	9, 24	mp3an1 1312	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( A + B ) ) = ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) )
26	25	fveq2d 5860	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) = ( exp ` ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) ) )
27		simpl 457	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
28		mulcl 9579	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
29	9, 27, 28	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
30		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
31		mulcl 9579	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. B ) e. CC )
32	9, 30, 31	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. B ) e. CC )
33		efadd 13707	. . . . . . 7 |- ( ( ( _i x. A ) e. CC /\ ( _i x. B ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. B ) ) ) )
34	29, 32, 33	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. B ) ) ) )
35		efival 13764	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) = ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
36		efival 13764	. . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> ( exp ` ( _i x. B ) ) = ( ( cos ` B ) + ( _i x. ( sin ` B ) ) ) )
37	35, 36	oveqan12d 6300	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. B ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) x. ( ( cos ` B ) + ( _i x. ( sin ` B ) ) ) ) )
38	5, 17, 7, 13	muladdd 10020	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) x. ( ( cos ` B ) + ( _i x. ( sin ` B ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
39	37, 38	eqtrd 2484	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
40	26, 34, 39	3eqtrd 2488	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
41		negicn 9826	. . . . . . . 8 |- -u _i e. CC
42		adddi 9584	. . . . . . . 8 |- ( ( -u _i e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. ( A + B ) ) = ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) )
43	41, 42	mp3an1 1312	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. ( A + B ) ) = ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) )
44	43	fveq2d 5860	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) = ( exp ` ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) ) )
45		mulcl 9579	. . . . . . . 8 |- ( ( -u _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( -u _i x. A ) e. CC )
46	41, 27, 45	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. A ) e. CC )
47		mulcl 9579	. . . . . . . 8 |- ( ( -u _i e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. B ) e. CC )
48	41, 30, 47	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. B ) e. CC )
49		efadd 13707	. . . . . . 7 |- ( ( ( -u _i x. A ) e. CC /\ ( -u _i x. B ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) ) = ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. B ) ) ) )
50	46, 48, 49	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) ) = ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. B ) ) ) )
51		efmival 13765	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. A ) ) = ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
52		efmival 13765	. . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. B ) ) = ( ( cos ` B ) - ( _i x. ( sin ` B ) ) ) )
53	51, 52	oveqan12d 6300	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. B ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) x. ( ( cos ` B ) - ( _i x. ( sin ` B ) ) ) ) )
54	5, 17, 7, 13	mulsubd 10021	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) x. ( ( cos ` B ) - ( _i x. ( sin ` B ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
55	53, 54	eqtrd 2484	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
56	44, 50, 55	3eqtrd 2488	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
57	40, 56	oveq12d 6299	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) + ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) = ( ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) + ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) ) )
58	19	2timesd 10787	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
59	23, 57, 58	3eqtr4d 2494	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) + ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
60	59	oveq1d 6296	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) + ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) / 2 ) = ( ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) / 2 ) )
61		2cn 10612	. . . . 5 |- 2 e. CC
62		2ne0 10634	. . . . 5 |- 2 =/= 0
63		divcan3 10237	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> ( ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) )
64	61, 62, 63	mp3an23 1317	. . . 4 |- ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) e. CC -> ( ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) )
65	19, 64	syl 16	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) )
66	9	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> _i e. CC )
67	66, 11, 66, 15	mul4d 9795	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) = ( ( _i x. _i ) x. ( ( sin ` B ) x. ( sin ` A ) ) ) )
68		ixi 10184	. . . . . . 7 |- ( _i x. _i ) = -u 1
69	68	oveq1i 6291	. . . . . 6 |- ( ( _i x. _i ) x. ( ( sin ` B ) x. ( sin ` A ) ) ) = ( -u 1 x. ( ( sin ` B ) x. ( sin ` A ) ) )
70	11, 15	mulcomd 9620	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` B ) x. ( sin ` A ) ) = ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) )
71	70	oveq2d 6297	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u 1 x. ( ( sin ` B ) x. ( sin ` A ) ) ) = ( -u 1 x. ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
72	69, 71	syl5eq 2496	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( ( sin ` B ) x. ( sin ` A ) ) ) = ( -u 1 x. ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
73	15, 11	mulcld 9619	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) e. CC )
74	73	mulm1d 10014	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u 1 x. ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) = -u ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) )
75	67, 72, 74	3eqtrd 2488	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) = -u ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) )
76	75	oveq2d 6297	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + -u ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
77	8, 73	negsubd 9942	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + -u ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
78	65, 76, 77	3eqtrd 2488	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
79	3, 60, 78	3eqtrd 2488	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( A + B ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1383   e. wcel 1804   =/= wne 2638   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   0cc0 9495   1c1 9496   _ici 9497   + caddc 9498   x. cmul 9500   - cmin 9810   -ucneg 9811   / cdiv 10212   2c2 10591   expce 13675   sincsin 13677   cosccos 13678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-rp 11230  df-ico 11544  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-seq 12087  df-exp 12146  df-fac 12333  df-bc 12360  df-hash 12385  df-shft 12879  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-limsup 13273  df-clim 13290  df-rlim 13291  df-sum 13488  df-ef 13681  df-sin 13683  df-cos 13684

This theorem is referenced by:  tanaddlem  13778  tanadd  13779  cossub  13781  sinmul  13784  cosmul  13785  addcos  13786  subcos  13787  sincossq  13788  cos2t  13790  demoivreALT  13813  cosppi  22755  coshalfpip  22759