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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cosadd | Structured version Unicode version |
Description: Addition formula for cosine. Equation 15 of [Gleason] p. 310. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) |
Ref | Expression |
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cosadd |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | addcl 9478 |
. . 3
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2 | cosval 13528 |
. . 3
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3 | 1, 2 | syl 16 |
. 2
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4 | coscl 13532 |
. . . . . . . 8
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5 | 4 | adantr 465 |
. . . . . . 7
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6 | coscl 13532 |
. . . . . . . 8
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7 | 6 | adantl 466 |
. . . . . . 7
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8 | 5, 7 | mulcld 9520 |
. . . . . 6
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9 | ax-icn 9455 |
. . . . . . . 8
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10 | sincl 13531 |
. . . . . . . . 9
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11 | 10 | adantl 466 |
. . . . . . . 8
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12 | mulcl 9480 |
. . . . . . . 8
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13 | 9, 11, 12 | sylancr 663 |
. . . . . . 7
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14 | sincl 13531 |
. . . . . . . . 9
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15 | 14 | adantr 465 |
. . . . . . . 8
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16 | mulcl 9480 |
. . . . . . . 8
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17 | 9, 15, 16 | sylancr 663 |
. . . . . . 7
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18 | 13, 17 | mulcld 9520 |
. . . . . 6
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19 | 8, 18 | addcld 9519 |
. . . . 5
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20 | 5, 13 | mulcld 9520 |
. . . . . 6
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21 | 7, 17 | mulcld 9520 |
. . . . . 6
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22 | 20, 21 | addcld 9519 |
. . . . 5
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23 | 19, 22, 19 | ppncand 9873 |
. . . 4
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24 | adddi 9485 |
. . . . . . . 8
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25 | 9, 24 | mp3an1 1302 |
. . . . . . 7
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26 | 25 | fveq2d 5806 |
. . . . . 6
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27 | simpl 457 |
. . . . . . . 8
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28 | mulcl 9480 |
. . . . . . . 8
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29 | 9, 27, 28 | sylancr 663 |
. . . . . . 7
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30 | simpr 461 |
. . . . . . . 8
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31 | mulcl 9480 |
. . . . . . . 8
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32 | 9, 30, 31 | sylancr 663 |
. . . . . . 7
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33 | efadd 13500 |
. . . . . . 7
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34 | 29, 32, 33 | syl2anc 661 |
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35 | efival 13557 |
. . . . . . . 8
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36 | efival 13557 |
. . . . . . . 8
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37 | 35, 36 | oveqan12d 6222 |
. . . . . . 7
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38 | 5, 17, 7, 13 | muladdd 9916 |
. . . . . . 7
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39 | 37, 38 | eqtrd 2495 |
. . . . . 6
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40 | 26, 34, 39 | 3eqtrd 2499 |
. . . . 5
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41 | negicn 9725 |
. . . . . . . 8
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42 | adddi 9485 |
. . . . . . . 8
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43 | 41, 42 | mp3an1 1302 |
. . . . . . 7
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44 | 43 | fveq2d 5806 |
. . . . . 6
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45 | mulcl 9480 |
. . . . . . . 8
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46 | 41, 27, 45 | sylancr 663 |
. . . . . . 7
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47 | mulcl 9480 |
. . . . . . . 8
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48 | 41, 30, 47 | sylancr 663 |
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49 | efadd 13500 |
. . . . . . 7
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50 | 46, 48, 49 | syl2anc 661 |
. . . . . 6
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51 | efmival 13558 |
. . . . . . . 8
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52 | efmival 13558 |
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56 | 44, 50, 55 | 3eqtrd 2499 |
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58 | 19 | 2timesd 10681 |
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67 | 66, 11, 66, 15 | mul4d 9695 |
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68 | ixi 10079 |
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69 | 68 | oveq1i 6213 |
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70 | 11, 15 | mulcomd 9521 |
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73 | 15, 11 | mulcld 9520 |
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75 | 67, 72, 74 | 3eqtrd 2499 |
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76 | 75 | oveq2d 6219 |
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78 | 65, 76, 77 | 3eqtrd 2499 |
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79 | 3, 60, 78 | 3eqtrd 2499 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1592 ax-4 1603 ax-5 1671 ax-6 1710 ax-7 1730 ax-8 1760 ax-9 1762 ax-10 1777 ax-11 1782 ax-12 1794 ax-13 1955 ax-ext 2432 ax-rep 4514 ax-sep 4524 ax-nul 4532 ax-pow 4581 ax-pr 4642 ax-un 6485 ax-inf2 7961 ax-cnex 9452 ax-resscn 9453 ax-1cn 9454 ax-icn 9455 ax-addcl 9456 ax-addrcl 9457 ax-mulcl 9458 ax-mulrcl 9459 ax-mulcom 9460 ax-addass 9461 ax-mulass 9462 ax-distr 9463 ax-i2m1 9464 ax-1ne0 9465 ax-1rid 9466 ax-rnegex 9467 ax-rrecex 9468 ax-cnre 9469 ax-pre-lttri 9470 ax-pre-lttrn 9471 ax-pre-ltadd 9472 ax-pre-mulgt0 9473 ax-pre-sup 9474 ax-addf 9475 ax-mulf 9476 |
This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3or 966 df-3an 967 df-tru 1373 df-fal 1376 df-ex 1588 df-nf 1591 df-sb 1703 df-eu 2266 df-mo 2267 df-clab 2440 df-cleq 2446 df-clel 2449 df-nfc 2604 df-ne 2650 df-nel 2651 df-ral 2804 df-rex 2805 df-reu 2806 df-rmo 2807 df-rab 2808 df-v 3080 df-sbc 3295 df-csb 3399 df-dif 3442 df-un 3444 df-in 3446 df-ss 3453 df-pss 3455 df-nul 3749 df-if 3903 df-pw 3973 df-sn 3989 df-pr 3991 df-tp 3993 df-op 3995 df-uni 4203 df-int 4240 df-iun 4284 df-br 4404 df-opab 4462 df-mpt 4463 df-tr 4497 df-eprel 4743 df-id 4747 df-po 4752 df-so 4753 df-fr 4790 df-se 4791 df-we 4792 df-ord 4833 df-on 4834 df-lim 4835 df-suc 4836 df-xp 4957 df-rel 4958 df-cnv 4959 df-co 4960 df-dm 4961 df-rn 4962 df-res 4963 df-ima 4964 df-iota 5492 df-fun 5531 df-fn 5532 df-f 5533 df-f1 5534 df-fo 5535 df-f1o 5536 df-fv 5537 df-isom 5538 df-riota 6164 df-ov 6206 df-oprab 6207 df-mpt2 6208 df-om 6590 df-1st 6690 df-2nd 6691 df-recs 6945 df-rdg 6979 df-1o 7033 df-oadd 7037 df-er 7214 df-pm 7330 df-en 7424 df-dom 7425 df-sdom 7426 df-fin 7427 df-sup 7805 df-oi 7838 df-card 8223 df-pnf 9534 df-mnf 9535 df-xr 9536 df-ltxr 9537 df-le 9538 df-sub 9711 df-neg 9712 df-div 10108 df-nn 10437 df-2 10494 df-3 10495 df-n0 10694 df-z 10761 df-uz 10976 df-rp 11106 df-ico 11420 df-fz 11558 df-fzo 11669 df-fl 11762 df-seq 11927 df-exp 11986 df-fac 12172 df-bc 12199 df-hash 12224 df-shft 12677 df-cj 12709 df-re 12710 df-im 12711 df-sqr 12845 df-abs 12846 df-limsup 13070 df-clim 13087 df-rlim 13088 df-sum 13285 df-ef 13474 df-sin 13476 df-cos 13477 |
This theorem is referenced by: tanaddlem 13571 tanadd 13572 cossub 13574 sinmul 13577 cosmul 13578 addcos 13579 subcos 13580 sincossq 13581 cos2t 13583 demoivreALT 13606 cosppi 22088 coshalfpip 22092 |
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