MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos2tsin Structured version   Unicode version

Theorem cos2tsin 13791
Description: Double-angle formula for cosine in terms of sine. (Contributed by NM, 12-Sep-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2tsin  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  A ) )  =  ( 1  -  (
2  x.  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) )

Proof of Theorem cos2tsin
StepHypRef Expression
1 cos2t 13790 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  A ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) )  -  1 ) )
2 sincl 13738 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
32sqcld 12287 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
4 coscl 13739 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
54sqcld 12287 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
6 2cn 10612 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
7 adddi 9584 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( sin `  A
) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
( cos `  A
) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) ) )
86, 7mp3an1 1312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( sin `  A
) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
( cos `  A
) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) ) )
93, 5, 8syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) ) )
10 sincossq 13788 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
1110oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  1 ) )
129, 11eqtr3d 2486 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  (
( sin `  A
) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  1 ) )
13 2t1e2 10690 . . . . 5  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
1412, 13syl6eq 2500 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  (
( sin `  A
) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) )  =  2 )
15 mulcl 9579 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( sin `  A
) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  (
( sin `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC )
166, 3, 15sylancr 663 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) )  e.  CC )
17 mulcl 9579 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( cos `  A
) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  (
( cos `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC )
186, 5, 17sylancr 663 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  e.  CC )
19 subadd 9828 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( 2  x.  (
( sin `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  ( 2  x.  (
( cos `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( ( 2  -  ( 2  x.  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  <-> 
( ( 2  x.  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) )  =  2 ) )
206, 19mp3an1 1312 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  (
( sin `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  ( 2  x.  (
( cos `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( ( 2  -  ( 2  x.  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  <-> 
( ( 2  x.  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) )  =  2 ) )
2116, 18, 20syl2anc 661 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  -  (
2  x.  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  <->  ( (
2  x.  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) ) )  =  2 ) )
2214, 21mpbird 232 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  -  ( 2  x.  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( cos `  A
) ^ 2 ) ) )
2322oveq1d 6296 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  -  (
2  x.  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
24 ax-1cn 9553 . . . . 5  |-  1  e.  CC
25 sub32 9858 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( 2  x.  (
( sin `  A
) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 2  -  ( 2  x.  (
( sin `  A
) ^ 2 ) ) )  -  1 )  =  ( ( 2  -  1 )  -  ( 2  x.  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) ) ) )
266, 24, 25mp3an13 1316 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) )  e.  CC  ->  (
( 2  -  (
2  x.  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )  -  1 )  =  ( ( 2  -  1 )  -  ( 2  x.  (
( sin `  A
) ^ 2 ) ) ) )
2716, 26syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  -  (
2  x.  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )  -  1 )  =  ( ( 2  -  1 )  -  ( 2  x.  (
( sin `  A
) ^ 2 ) ) ) )
28 2m1e1 10656 . . . 4  |-  ( 2  -  1 )  =  1
2928oveq1i 6291 . . 3  |-  ( ( 2  -  1 )  -  ( 2  x.  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) ) )  =  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
3027, 29syl6eq 2500 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  -  (
2  x.  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )  -  1 )  =  ( 1  -  ( 2  x.  (
( sin `  A
) ^ 2 ) ) ) )
311, 23, 303eqtr2d 2490 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  A ) )  =  ( 1  -  (
2  x.  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1383    e. wcel 1804   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    - cmin 9810   2c2 10591   ^cexp 12145   sincsin 13677   cosccos 13678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-rp 11230  df-ico 11544  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-seq 12087  df-exp 12146  df-fac 12333  df-bc 12360  df-hash 12385  df-shft 12879  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-limsup 13273  df-clim 13290  df-rlim 13291  df-sum 13488  df-ef 13681  df-sin 13683  df-cos 13684
This theorem is referenced by:  coseq1  22787
  Copyright terms: Public domain W3C validator