HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem cos2tsin 8729
Description: Double-angle formula for cosine in terms of sine.
Assertion
Ref Expression
cos2tsin |- (A e. CC -> (cos` (2 x. A)) = (1 - (2 x. ((sin` A)^2))))
Proof of Theorem cos2tsin
StepHypRef Expression
1 cos2t 8728 . 2 |- (A e. CC -> (cos` (2 x. A)) = ((2 x. ((cos` A)^2)) - 1))
2 sincl 8696 . . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (sin` A) e. CC)
3 sqcl 7856 . . . . . . . 8 |- ((sin` A) e. CC -> ((sin` A)^2) e. CC)
42, 3syl 12 . . . . . . 7 |- (A e. CC -> ((sin` A)^2) e. CC)
5 coscl 8697 . . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (cos` A) e. CC)
6 sqcl 7856 . . . . . . . 8 |- ((cos` A) e. CC -> ((cos` A)^2) e. CC)
75, 6syl 12 . . . . . . 7 |- (A e. CC -> ((cos` A)^2) e. CC)
8 2cn 7164 . . . . . . . 8 |- 2 e. CC
9 adddi 6462 . . . . . . . 8 |- ((2 e. CC /\ ((sin` A)^2) e. CC /\ ((cos` A)^2) e. CC) -> (2 x. (((sin` A)^2) + ((cos` A)^2))) = ((2 x. ((sin` A)^2)) + (2 x. ((cos` A)^2))))
108, 9mp3an1 1178 . . . . . . 7 |- ((((sin` A)^2) e. CC /\ ((cos` A)^2) e. CC) -> (2 x. (((sin` A)^2) + ((cos` A)^2))) = ((2 x. ((sin` A)^2)) + (2 x. ((cos` A)^2))))
114, 7, 10syl11anc 524 . . . . . 6 |- (A e. CC -> (2 x. (((sin` A)^2) + ((cos` A)^2))) = ((2 x. ((sin` A)^2)) + (2 x. ((cos` A)^2))))
12 sincossq 8726 . . . . . . 7 |- (A e. CC -> (((sin` A)^2) + ((cos` A)^2)) = 1)
1312opreq2d 4898 . . . . . 6 |- (A e. CC -> (2 x. (((sin` A)^2) + ((cos` A)^2))) = (2 x. 1))
1411, 13eqtr3d 1927 . . . . 5 |- (A e. CC -> ((2 x. ((sin` A)^2)) + (2 x. ((cos` A)^2))) = (2 x. 1))
158mulid1i 6485 . . . . 5 |- (2 x. 1) = 2
1614, 15syl6eq 1944 . . . 4 |- (A e. CC -> ((2 x. ((sin` A)^2)) + (2 x. ((cos` A)^2))) = 2)
17 mulcl 6456 . . . . . 6 |- ((2 e. CC /\ ((sin` A)^2) e. CC) -> (2 x. ((sin` A)^2)) e. CC)
1817, 8, 4sylancr 526 . . . . 5 |- (A e. CC -> (2 x. ((sin` A)^2)) e. CC)
19 mulcl 6456 . . . . . 6 |- ((2 e. CC /\ ((cos` A)^2) e. CC) -> (2 x. ((cos` A)^2)) e. CC)
2019, 8, 7sylancr 526 . . . . 5 |- (A e. CC -> (2 x. ((cos` A)^2)) e. CC)
21 subadd 6532 . . . . . 6 |- ((2 e. CC /\ (2 x. ((sin` A)^2)) e. CC /\ (2 x. ((cos` A)^2)) e. CC) -> ((2 - (2 x. ((sin` A)^2))) = (2 x. ((cos` A)^2)) <-> ((2 x. ((sin` A)^2)) + (2 x. ((cos` A)^2))) = 2))
228, 21mp3an1 1178 . . . . 5 |- (((2 x. ((sin` A)^2)) e. CC /\ (2 x. ((cos` A)^2)) e. CC) -> ((2 - (2 x. ((sin` A)^2))) = (2 x. ((cos` A)^2)) <-> ((2 x. ((sin` A)^2)) + (2 x. ((cos` A)^2))) = 2))
2318, 20, 22syl11anc 524 . . . 4 |- (A e. CC -> ((2 - (2 x. ((sin` A)^2))) = (2 x. ((cos` A)^2)) <-> ((2 x. ((sin` A)^2)) + (2 x. ((cos` A)^2))) = 2))
2416, 23mpbird 213 . . 3 |- (A e. CC -> (2 - (2 x. ((sin` A)^2))) = (2 x. ((cos` A)^2)))
2524opreq1d 4897 . 2 |- (A e. CC -> ((2 - (2 x. ((sin` A)^2))) - 1) = ((2 x. ((cos` A)^2)) - 1))
26 ax1cn 6422 . . . . 5 |- 1 e. CC
27 sub23 6630 . . . . 5 |- ((2 e. CC /\ (2 x. ((sin` A)^2)) e. CC /\ 1 e. CC) -> ((2 - (2 x. ((sin` A)^2))) - 1) = ((2 - 1) - (2 x. ((sin` A)^2))))
288, 26, 27mp3an13 1182 . . . 4 |- ((2 x. ((sin` A)^2)) e. CC -> ((2 - (2 x. ((sin` A)^2))) - 1) = ((2 - 1) - (2 x. ((sin` A)^2))))
2918, 28syl 12 . . 3 |- (A e. CC -> ((2 - (2 x. ((sin` A)^2))) - 1) = ((2 - 1) - (2 x. ((sin` A)^2))))
30 df-2 7154 . . . . . 6 |- 2 = (1 + 1)
3130eqcomi 1888 . . . . 5 |- (1 + 1) = 2
328, 26, 26, 31subaddrii 6529 . . . 4 |- (2 - 1) = 1
3332opreq1i 4892 . . 3 |- ((2 - 1) - (2 x. ((sin` A)^2))) = (1 - (2 x. ((sin` A)^2)))
3429, 33syl6eq 1944 . 2 |- (A e. CC -> ((2 - (2 x. ((sin` A)^2))) - 1) = (1 - (2 x. ((sin` A)^2))))
351, 25, 343eqtr2d 1932 1 |- (A e. CC -> (cos` (2 x. A)) = (1 - (2 x. ((sin` A)^2))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445  2c2 7145  ^cexp 7811  sincsin 8557  cosccos 8558
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-fac 8184  df-bc 8209  df-clim 8235  df-sum 8240  df-ef 8560  df-sin 8562  df-cos 8563
Copyright terms: Public domain