MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos2t Structured version   Unicode version

Theorem cos2t 13474
Description: Double-angle formula for cosine. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2t  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  A ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) )  -  1 ) )

Proof of Theorem cos2t
StepHypRef Expression
1 coscl 13423 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
21sqcld 12018 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
3 ax-1cn 9352 . . . 4  |-  1  e.  CC
4 subsub3 9653 . . . 4  |-  ( ( ( ( cos `  A
) ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( ( cos `  A ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  (
( ( cos `  A
) ^ 2 )  -  ( 1  -  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
53, 4mp3an2 1302 . . 3  |-  ( ( ( ( cos `  A
) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
( cos `  A
) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  -  ( 1  -  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) )  -  1 ) )
62, 2, 5syl2anc 661 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( cos `  A
) ^ 2 )  -  ( 1  -  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
7 cosadd 13461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  +  A )
)  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  A ) )  -  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  A ) ) ) )
87anidms 645 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( A  +  A ) )  =  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  A ) )  -  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  A ) ) ) )
9 2times 10452 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  A )  =  ( A  +  A ) )
109fveq2d 5707 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  A ) )  =  ( cos `  ( A  +  A )
) )
111sqvald 12017 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  A
) ^ 2 )  =  ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  A ) ) )
12 sincl 13422 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
1312sqvald 12017 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
) ^ 2 )  =  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  A ) ) )
1411, 13oveq12d 6121 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( cos `  A
) ^ 2 )  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  A ) )  -  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  A ) ) ) )
158, 10, 143eqtr4d 2485 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  A ) )  =  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
1612sqcld 12018 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
1716, 2addcomd 9583 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( cos `  A
) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
18 sincossq 13472 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
1917, 18eqtr3d 2477 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( cos `  A
) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
20 subadd 9625 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( cos `  A
) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
( sin `  A
) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( sin `  A ) ^ 2 )  <->  ( (
( cos `  A
) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) )  =  1 ) )
213, 20mp3an1 1301 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( cos `  A
) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
( sin `  A
) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( sin `  A ) ^ 2 )  <->  ( (
( cos `  A
) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) )  =  1 ) )
222, 16, 21syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
( cos `  A
) ^ 2 ) )  =  ( ( sin `  A ) ^ 2 )  <->  ( (
( cos `  A
) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) )  =  1 ) )
2319, 22mpbird 232 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) )
2423oveq2d 6119 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( cos `  A
) ^ 2 )  -  ( 1  -  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
) ^ 2 )  -  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) )
2515, 24eqtr4d 2478 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  A ) )  =  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  -  ( 1  -  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) ) )
2622timesd 10579 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) ) )
2726oveq1d 6118 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  (
( cos `  A
) ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( ( ( ( cos `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
286, 25, 273eqtr4d 2485 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  A ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) )  -  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   1c1 9295    + caddc 9297    x. cmul 9299    - cmin 9607   2c2 10383   ^cexp 11877   sincsin 13361   cosccos 13362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373  ax-mulf 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-pm 7229  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-rp 11004  df-ico 11318  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-fl 11654  df-seq 11819  df-exp 11878  df-fac 12064  df-bc 12091  df-hash 12116  df-shft 12568  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-limsup 12961  df-clim 12978  df-rlim 12979  df-sum 13176  df-ef 13365  df-sin 13367  df-cos 13368
This theorem is referenced by:  cos2tsin  13475  cos2bnd  13484  cospi  21946  cos2pi  21950  tangtx  21979  coskpi  21994  sin2h  28434  cos2h  28435
  Copyright terms: Public domain W3C validator