Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cos2h Structured version   Unicode version

Theorem cos2h 31856
Description: Half-angle rule for cosine. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
cos2h  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )

Proof of Theorem cos2h
StepHypRef Expression
1 pire 23405 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
21renegcli 9937 . . . . . 6  |-  -u pi  e.  RR
3 iccssre 11718 . . . . . 6  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  ( -u pi [,] pi )  C_  RR )
42, 1, 3mp2an 677 . . . . 5  |-  ( -u pi [,] pi )  C_  RR
54sseli 3461 . . . 4  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  A  e.  RR )
65rehalfcld 10861 . . 3  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
76recoscld 14191 . 2  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  e.  RR )
8 1re 9644 . . . . 5  |-  1  e.  RR
95recoscld 14191 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
10 readdcl 9624 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( 1  +  ( cos `  A ) )  e.  RR )
118, 9, 10sylancr 668 . . . 4  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  e.  RR )
1211rehalfcld 10861 . . 3  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 )  e.  RR )
13 cosbnd 14228 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( cos `  A )  /\  ( cos `  A )  <_ 
1 ) )
1413simpld 461 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  -u 1  <_  ( cos `  A
) )
15 recoscl 14188 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
16 recn 9631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( cos `  A )  e.  RR  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
17 recn 9631 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  CC )
18 subneg 9925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  -  -u 1
)  =  ( ( cos `  A )  +  1 ) )
19 addcom 9821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( cos `  A )  e.  CC )  -> 
( 1  +  ( cos `  A ) )  =  ( ( cos `  A )  +  1 ) )
2019ancoms 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( cos `  A ) )  =  ( ( cos `  A )  +  1 ) )
2118, 20eqtr4d 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  -  -u 1
)  =  ( 1  +  ( cos `  A
) ) )
2216, 17, 21syl2an 480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( cos `  A
)  -  -u 1
)  =  ( 1  +  ( cos `  A
) ) )
2322breq2d 4433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
( cos `  A
)  -  -u 1
)  <->  0  <_  (
1  +  ( cos `  A ) ) ) )
24 renegcl 9939 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  ->  -u 1  e.  RR )
25 subge0 10129 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  RR  /\  -u 1  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( ( cos `  A
)  -  -u 1
)  <->  -u 1  <_  ( cos `  A ) ) )
2624, 25sylan2 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
( cos `  A
)  -  -u 1
)  <->  -u 1  <_  ( cos `  A ) ) )
2710ancoms 455 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( cos `  A ) )  e.  RR )
28 halfnneg2 10846 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  +  ( cos `  A ) )  e.  RR  ->  ( 0  <_  ( 1  +  ( cos `  A
) )  <->  0  <_  ( ( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
2927, 28syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
1  +  ( cos `  A ) )  <->  0  <_  ( ( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
3023, 26, 293bitr3d 287 . . . . . 6  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( -u 1  <_ 
( cos `  A
)  <->  0  <_  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
3115, 8, 30sylancl 667 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( cos `  A )  <->  0  <_  ( ( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
3214, 31mpbid 214 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( ( 1  +  ( cos `  A
) )  /  2
) )
335, 32syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  0  <_  ( ( 1  +  ( cos `  A
) )  /  2
) )
3412, 33resqrtcld 13473 . 2  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( sqr `  ( ( 1  +  ( cos `  A
) )  /  2
) )  e.  RR )
352, 1elicc2i 11702 . . . 4  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  -u pi  <_  A  /\  A  <_  pi ) )
36 2re 10681 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
37 2pos 10703 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  2
3836, 37pm3.2i 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
39 lediv1 10472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( -u pi  <_  A  <->  ( -u pi  /  2 )  <_  ( A  /  2 ) ) )
402, 38, 39mp3an13 1352 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u pi  <_  A  <->  ( -u pi  /  2 )  <_  ( A  /  2 ) ) )
41 picn 23406 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  CC
42 2cn 10682 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
43 2ne0 10704 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
44 divneg 10304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u (
pi  /  2 )  =  ( -u pi  /  2 ) )
4541, 42, 43, 44mp3an 1361 . . . . . . . . . 10  |-  -u (
pi  /  2 )  =  ( -u pi  /  2 )
4645breq1i 4428 . . . . . . . . 9  |-  ( -u ( pi  /  2
)  <_  ( A  /  2 )  <->  ( -u pi  /  2 )  <_  ( A  /  2 ) )
4740, 46syl6bbr 267 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u pi  <_  A  <->  -u ( pi 
/  2 )  <_ 
( A  /  2
) ) )
48 lediv1 10472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( A  <_  pi 
<->  ( A  /  2
)  <_  ( pi  /  2 ) ) )
491, 38, 48mp3an23 1353 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  pi  <->  ( A  /  2 )  <_ 
( pi  /  2
) ) )
5047, 49anbi12d 716 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( -u pi  <_  A  /\  A  <_  pi )  <-> 
( -u ( pi  / 
2 )  <_  ( A  /  2 )  /\  ( A  /  2
)  <_  ( pi  /  2 ) ) ) )
51 rehalfcl 10841 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
5251rexrd 9692 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e. 
RR* )
53 halfpire 23411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
5453renegcli 9937 . . . . . . . . . 10  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
5554rexri 9695 . . . . . . . . 9  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
5653rexri 9695 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
57 elicc4 11703 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR*  /\  ( A  /  2 )  e. 
RR* )  ->  (
( A  /  2
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( -u ( pi  / 
2 )  <_  ( A  /  2 )  /\  ( A  /  2
)  <_  ( pi  /  2 ) ) ) )
5855, 56, 57mp3an12 1351 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  RR*  ->  ( ( A  /  2 )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  <->  ( -u (
pi  /  2 )  <_  ( A  / 
2 )  /\  ( A  /  2 )  <_ 
( pi  /  2
) ) ) )
5952, 58syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  /  2
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( -u ( pi  / 
2 )  <_  ( A  /  2 )  /\  ( A  /  2
)  <_  ( pi  /  2 ) ) ) )
6050, 59bitr4d 260 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( -u pi  <_  A  /\  A  <_  pi )  <-> 
( A  /  2
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) )
6160biimpd 211 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( -u pi  <_  A  /\  A  <_  pi )  ->  ( A  / 
2 )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) ) )
62613impib 1204 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  -u pi  <_  A  /\  A  <_  pi )  -> 
( A  /  2
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )
6335, 62sylbi 199 . . 3  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( A  /  2 )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )
64 cosq14ge0 23458 . . 3  |-  ( ( A  /  2 )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <_  ( cos `  ( A  /  2
) ) )
6563, 64syl 17 . 2  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  0  <_  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )
6612, 33sqrtge0d 13476 . 2  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  0  <_  ( sqr `  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
675recnd 9671 . . 3  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  A  e.  CC )
68 ax-1cn 9599 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
69 coscl 14174 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
70 addcl 9623 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( cos `  A )  e.  CC )  -> 
( 1  +  ( cos `  A ) )  e.  CC )
7168, 69, 70sylancr 668 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  e.  CC )
7271halfcld 10859 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 )  e.  CC )
7372sqsqrtd 13494 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sqr `  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( 1  +  ( cos `  A
) )  /  2
) )
74 divcan2 10280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
7542, 43, 74mp3an23 1353 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
7675fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( cos `  A
) )
77 halfcl 10840 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )
78 cos2t 14225 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
7977, 78syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
8076, 79eqtr3d 2466 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
8180oveq2d 6319 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  ( cos `  A ) )  =  ( 1  +  ( ( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) ) )
8281oveq1d 6318 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 )  =  ( ( 1  +  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2
) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )  /  2
) )
8377coscld 14178 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  e.  CC )
8483sqcld 12415 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )
85 mulcl 9625 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
8642, 85mpan 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  ->  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2
) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
87 pncan3 9885 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( 1  +  ( ( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )  =  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
8868, 86, 87sylancr 668 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  ->  ( 1  +  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2
) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )  =  ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
8988oveq1d 6318 . . . . . 6  |-  ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  ->  ( (
1  +  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )  /  2 )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  /  2 ) )
90 divcan3 10296 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  /  2 )  =  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
9142, 43, 90mp3an23 1353 . . . . . 6  |-  ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  ->  ( (
2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  /  2 )  =  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
9289, 91eqtrd 2464 . . . . 5  |-  ( ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC  ->  ( (
1  +  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )  /  2 )  =  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
9384, 92syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  ( ( 2  x.  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )  /  2 )  =  ( ( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
9473, 82, 933eqtrrd 2469 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( sqr `  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ^ 2 ) )
9567, 94syl 17 . 2  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  (
( cos `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( sqr `  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) ^ 2 ) )
967, 34, 65, 66, 95sq11d 12453 1  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( 1  +  ( cos `  A ) )  /  2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619    C_ wss 3437   class class class wbr 4421   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   CCcc 9539   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542    + caddc 9544    x. cmul 9546   RR*cxr 9676    < clt 9677    <_ cle 9678    - cmin 9862   -ucneg 9863    / cdiv 10271   2c2 10661   [,]cicc 11640   ^cexp 12273   sqrcsqrt 13290   cosccos 14110   picpi 14112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620  ax-mulf 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-ioo 11641  df-ioc 11642  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-seq 12215  df-exp 12274  df-fac 12461  df-bc 12489  df-hash 12517  df-shft 13124  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-topsp 19916  df-cld 20026  df-ntr 20027  df-cls 20028  df-nei 20106  df-lp 20144  df-perf 20145  df-cn 20235  df-cnp 20236  df-haus 20323  df-tx 20569  df-hmeo 20762  df-fil 20853  df-fm 20945  df-flim 20946  df-flf 20947  df-xms 21327  df-ms 21328  df-tms 21329  df-cncf 21902  df-limc 22813  df-dv 22814
This theorem is referenced by:  tan2h  31857
  Copyright terms: Public domain W3C validator