MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos1bnd Structured version   Unicode version

Theorem cos1bnd 13454
Description: Bounds on the cosine of 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos1bnd  |-  ( ( 1  /  3 )  <  ( cos `  1
)  /\  ( cos `  1 )  <  (
2  /  3 ) )

Proof of Theorem cos1bnd
StepHypRef Expression
1 sq1 11944 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
21oveq1i 6090 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ^ 2 )  /  3 )  =  ( 1  /  3
)
32oveq2i 6091 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  / 
3 ) )  =  ( 2  x.  (
1  /  3 ) )
4 2cn 10380 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
5 3cn 10384 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
6 3ne0 10404 . . . . . . 7  |-  3  =/=  0
74, 5, 6divreci 10064 . . . . . 6  |-  ( 2  /  3 )  =  ( 2  x.  (
1  /  3 ) )
83, 7eqtr4i 2456 . . . . 5  |-  ( 2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  / 
3 ) )  =  ( 2  /  3
)
98oveq2i 6091 . . . 4  |-  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  /  3
) ) )  =  ( 1  -  (
2  /  3 ) )
10 ax-1cn 9328 . . . . 5  |-  1  e.  CC
114, 5, 6divcli 10061 . . . . 5  |-  ( 2  /  3 )  e.  CC
125, 6reccli 10049 . . . . 5  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
13 df-3 10369 . . . . . . 7  |-  3  =  ( 2  +  1 )
1413oveq1i 6090 . . . . . 6  |-  ( 3  /  3 )  =  ( ( 2  +  1 )  /  3
)
155, 6dividi 10052 . . . . . 6  |-  ( 3  /  3 )  =  1
164, 10, 5, 6divdiri 10076 . . . . . 6  |-  ( ( 2  +  1 )  /  3 )  =  ( ( 2  / 
3 )  +  ( 1  /  3 ) )
1714, 15, 163eqtr3ri 2462 . . . . 5  |-  ( ( 2  /  3 )  +  ( 1  / 
3 ) )  =  1
1810, 11, 12, 17subaddrii 9685 . . . 4  |-  ( 1  -  ( 2  / 
3 ) )  =  ( 1  /  3
)
199, 18eqtri 2453 . . 3  |-  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  /  3
) ) )  =  ( 1  /  3
)
20 1re 9373 . . . . 5  |-  1  e.  RR
21 0lt1 9850 . . . . 5  |-  0  <  1
22 1le1 9952 . . . . 5  |-  1  <_  1
23 0xr 9418 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
24 elioc2 11346 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  (
1  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1  /\  1  <_ 
1 ) ) )
2523, 20, 24mp2an 665 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1  /\  1  <_ 
1 ) )
26 cos01bnd 13453 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( cos `  1 )  /\  ( cos `  1 )  <  ( 1  -  ( ( 1 ^ 2 )  /  3
) ) ) )
2725, 26sylbir 213 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1  /\  1  <_  1 )  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( cos `  1 )  /\  ( cos `  1 )  <  ( 1  -  ( ( 1 ^ 2 )  /  3
) ) ) )
2820, 21, 22, 27mp3an 1307 . . . 4  |-  ( ( 1  -  ( 2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  / 
3 ) ) )  <  ( cos `  1
)  /\  ( cos `  1 )  <  (
1  -  ( ( 1 ^ 2 )  /  3 ) ) )
2928simpli 455 . . 3  |-  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  /  3
) ) )  < 
( cos `  1
)
3019, 29eqbrtrri 4301 . 2  |-  ( 1  /  3 )  < 
( cos `  1
)
3128simpri 459 . . 3  |-  ( cos `  1 )  < 
( 1  -  (
( 1 ^ 2 )  /  3 ) )
322oveq2i 6091 . . . 4  |-  ( 1  -  ( ( 1 ^ 2 )  / 
3 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  3 ) )
3310, 12, 11subadd2i 9684 . . . . 5  |-  ( ( 1  -  ( 1  /  3 ) )  =  ( 2  / 
3 )  <->  ( (
2  /  3 )  +  ( 1  / 
3 ) )  =  1 )
3417, 33mpbir 209 . . . 4  |-  ( 1  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 2  /  3
)
3532, 34eqtri 2453 . . 3  |-  ( 1  -  ( ( 1 ^ 2 )  / 
3 ) )  =  ( 2  /  3
)
3631, 35breqtri 4303 . 2  |-  ( cos `  1 )  < 
( 2  /  3
)
3730, 36pm3.2i 452 1  |-  ( ( 1  /  3 )  <  ( cos `  1
)  /\  ( cos `  1 )  <  (
2  /  3 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275   RR*cxr 9405    < clt 9406    <_ cle 9407    - cmin 9583    / cdiv 9981   2c2 10359   3c3 10360   (,]cioc 11289   ^cexp 11849   cosccos 13333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-pm 7205  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-ioc 11293  df-ico 11294  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-seq 11791  df-exp 11850  df-fac 12036  df-hash 12088  df-shft 12540  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-limsup 12933  df-clim 12950  df-rlim 12951  df-sum 13148  df-ef 13336  df-cos 13339
This theorem is referenced by:  cos2bnd  13455
  Copyright terms: Public domain W3C validator