MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos1bnd Structured version   Unicode version

Theorem cos1bnd 13800
Description: Bounds on the cosine of 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos1bnd  |-  ( ( 1  /  3 )  <  ( cos `  1
)  /\  ( cos `  1 )  <  (
2  /  3 ) )

Proof of Theorem cos1bnd
StepHypRef Expression
1 sq1 12242 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
21oveq1i 6305 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ^ 2 )  /  3 )  =  ( 1  /  3
)
32oveq2i 6306 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  / 
3 ) )  =  ( 2  x.  (
1  /  3 ) )
4 2cn 10618 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
5 3cn 10622 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
6 3ne0 10642 . . . . . . 7  |-  3  =/=  0
74, 5, 6divreci 10301 . . . . . 6  |-  ( 2  /  3 )  =  ( 2  x.  (
1  /  3 ) )
83, 7eqtr4i 2499 . . . . 5  |-  ( 2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  / 
3 ) )  =  ( 2  /  3
)
98oveq2i 6306 . . . 4  |-  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  /  3
) ) )  =  ( 1  -  (
2  /  3 ) )
10 ax-1cn 9562 . . . . 5  |-  1  e.  CC
114, 5, 6divcli 10298 . . . . 5  |-  ( 2  /  3 )  e.  CC
125, 6reccli 10286 . . . . 5  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
13 df-3 10607 . . . . . . 7  |-  3  =  ( 2  +  1 )
1413oveq1i 6305 . . . . . 6  |-  ( 3  /  3 )  =  ( ( 2  +  1 )  /  3
)
155, 6dividi 10289 . . . . . 6  |-  ( 3  /  3 )  =  1
164, 10, 5, 6divdiri 10313 . . . . . 6  |-  ( ( 2  +  1 )  /  3 )  =  ( ( 2  / 
3 )  +  ( 1  /  3 ) )
1714, 15, 163eqtr3ri 2505 . . . . 5  |-  ( ( 2  /  3 )  +  ( 1  / 
3 ) )  =  1
1810, 11, 12, 17subaddrii 9920 . . . 4  |-  ( 1  -  ( 2  / 
3 ) )  =  ( 1  /  3
)
199, 18eqtri 2496 . . 3  |-  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  /  3
) ) )  =  ( 1  /  3
)
20 1re 9607 . . . . 5  |-  1  e.  RR
21 0lt1 10087 . . . . 5  |-  0  <  1
22 1le1 10189 . . . . 5  |-  1  <_  1
23 0xr 9652 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
24 elioc2 11599 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  (
1  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1  /\  1  <_ 
1 ) ) )
2523, 20, 24mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1  /\  1  <_ 
1 ) )
26 cos01bnd 13799 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( cos `  1 )  /\  ( cos `  1 )  <  ( 1  -  ( ( 1 ^ 2 )  /  3
) ) ) )
2725, 26sylbir 213 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1  /\  1  <_  1 )  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( cos `  1 )  /\  ( cos `  1 )  <  ( 1  -  ( ( 1 ^ 2 )  /  3
) ) ) )
2820, 21, 22, 27mp3an 1324 . . . 4  |-  ( ( 1  -  ( 2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  / 
3 ) ) )  <  ( cos `  1
)  /\  ( cos `  1 )  <  (
1  -  ( ( 1 ^ 2 )  /  3 ) ) )
2928simpli 458 . . 3  |-  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  /  3
) ) )  < 
( cos `  1
)
3019, 29eqbrtrri 4474 . 2  |-  ( 1  /  3 )  < 
( cos `  1
)
3128simpri 462 . . 3  |-  ( cos `  1 )  < 
( 1  -  (
( 1 ^ 2 )  /  3 ) )
322oveq2i 6306 . . . 4  |-  ( 1  -  ( ( 1 ^ 2 )  / 
3 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  3 ) )
3310, 12, 11subadd2i 9919 . . . . 5  |-  ( ( 1  -  ( 1  /  3 ) )  =  ( 2  / 
3 )  <->  ( (
2  /  3 )  +  ( 1  / 
3 ) )  =  1 )
3417, 33mpbir 209 . . . 4  |-  ( 1  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 2  /  3
)
3532, 34eqtri 2496 . . 3  |-  ( 1  -  ( ( 1 ^ 2 )  / 
3 ) )  =  ( 2  /  3
)
3631, 35breqtri 4476 . 2  |-  ( cos `  1 )  < 
( 2  /  3
)
3730, 36pm3.2i 455 1  |-  ( ( 1  /  3 )  <  ( cos `  1
)  /\  ( cos `  1 )  <  (
2  /  3 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817    / cdiv 10218   2c2 10597   3c3 10598   (,]cioc 11542   ^cexp 12146   cosccos 13679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-cos 13685
This theorem is referenced by:  cos2bnd  13801
  Copyright terms: Public domain W3C validator