Theorem cos01gt0 8743

Description: The cosine of a positive real number less than or equal to 1 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos01gt0	|- (A e. (0(,]1) -> 0 < (cos` A))

Proof of Theorem cos01gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 6603	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
2		1re 6598	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
3		elioc2 7558	. . . . . . . . . 10 |- ((0 e. RR /\ 1 e. RR) -> (A e. (0(,]1) <-> (A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1)))
4	1, 2, 3	mp2an 761	. . . . . . . . 9 |- (A e. (0(,]1) <-> (A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1))
5	4	simp1bi 891	. . . . . . . 8 |- (A e. (0(,]1) -> A e. RR)
6		resqcl 7866	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (A^2) e. RR)
7	5, 6	syl 12	. . . . . . 7 |- (A e. (0(,]1) -> (A^2) e. RR)
8	7	recnd 6468	. . . . . 6 |- (A e. (0(,]1) -> (A^2) e. CC)
9		2cn 7164	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
10		3re 7165	. . . . . . . . 9 |- 3 e. RR
11	10	recni 6467	. . . . . . . 8 |- 3 e. CC
12		3nn 7184	. . . . . . . . 9 |- 3 e. NN
13	12	nnne0i 7134	. . . . . . . 8 |- 3 =/= 0
14	11, 13	pm3.2i 307	. . . . . . 7 |- (3 e. CC /\ 3 =/= 0)
15		div12 6927	. . . . . . 7 |- ((2 e. CC /\ (A^2) e. CC /\ (3 e. CC /\ 3 =/= 0)) -> (2 x. ((A^2) / 3)) = ((A^2) x. (2 / 3)))
16	9, 14, 15	mp3an13 1182	. . . . . 6 |- ((A^2) e. CC -> (2 x. ((A^2) / 3)) = ((A^2) x. (2 / 3)))
17	8, 16	syl 12	. . . . 5 |- (A e. (0(,]1) -> (2 x. ((A^2) / 3)) = ((A^2) x. (2 / 3)))
18		2nn0 7324	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN0
19		expgt0 7831	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ 2 e. NN0 /\ 0 < A) -> 0 < (A^2))
20	18, 19	mp3an2 1179	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> 0 < (A^2))
21	20	3adant3 896	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> 0 < (A^2))
22	4, 21	sylbi 216	. . . . . . 7 |- (A e. (0(,]1) -> 0 < (A^2))
23		2re 7163	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
24	23	ltp1i 6991	. . . . . . . . . . 11 |- 2 < (2 + 1)
25		df-3 7155	. . . . . . . . . . 11 |- 3 = (2 + 1)
26	24, 25	breqtrri 3362	. . . . . . . . . 10 |- 2 < 3
27		3pos 7175	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 3
28	23, 10, 10, 27	ltdiv1ii 7001	. . . . . . . . . 10 |- (2 < 3 <-> (2 / 3) < (3 / 3))
29	26, 28	mpbi 206	. . . . . . . . 9 |- (2 / 3) < (3 / 3)
30	11, 13	dividi 6946	. . . . . . . . 9 |- (3 / 3) = 1
31	29, 30	breqtri 3360	. . . . . . . 8 |- (2 / 3) < 1
32	23, 10, 13	redivcli 6976	. . . . . . . . 9 |- (2 / 3) e. RR
33		ltmul2 7009	. . . . . . . . 9 |- (((2 / 3) e. RR /\ 1 e. RR /\ ((A^2) e. RR /\ 0 < (A^2))) -> ((2 / 3) < 1 <-> ((A^2) x. (2 / 3)) < ((A^2) x. 1)))
34	32, 2, 33	mp3an12 1181	. . . . . . . 8 |- (((A^2) e. RR /\ 0 < (A^2)) -> ((2 / 3) < 1 <-> ((A^2) x. (2 / 3)) < ((A^2) x. 1)))
35	31, 34	mpbii 210	. . . . . . 7 |- (((A^2) e. RR /\ 0 < (A^2)) -> ((A^2) x. (2 / 3)) < ((A^2) x. 1))
36	7, 22, 35	syl11anc 524	. . . . . 6 |- (A e. (0(,]1) -> ((A^2) x. (2 / 3)) < ((A^2) x. 1))
37		ax1id 6435	. . . . . . 7 |- ((A^2) e. CC -> ((A^2) x. 1) = (A^2))
38	8, 37	syl 12	. . . . . 6 |- (A e. (0(,]1) -> ((A^2) x. 1) = (A^2))
39	36, 38	breqtrd 3361	. . . . 5 |- (A e. (0(,]1) -> ((A^2) x. (2 / 3)) < (A^2))
40	17, 39	eqbrtrd 3357	. . . 4 |- (A e. (0(,]1) -> (2 x. ((A^2) / 3)) < (A^2))
41		le2sq2 7877	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (1 e. RR /\ A <_ 1)) -> (A^2) <_ (1^2))
42	2, 41	mpanr1 774	. . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A <_ 1) -> (A^2) <_ (1^2))
43		ltle 6690	. . . . . . . . . 10 |- ((0 e. RR /\ A e. RR) -> (0 < A -> 0 <_ A))
44	1, 43	mpan 759	. . . . . . . . 9 |- (A e. RR -> (0 < A -> 0 <_ A))
45	44	imdistani 491	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (A e. RR /\ 0 <_ A))
46	42, 45	sylan 497	. . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ A <_ 1) -> (A^2) <_ (1^2))
47	46	3impa 1062	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> (A^2) <_ (1^2))
48	4, 47	sylbi 216	. . . . 5 |- (A e. (0(,]1) -> (A^2) <_ (1^2))
49		sq1 7882	. . . . 5 |- (1^2) = 1
50	48, 49	syl6breq 3376	. . . 4 |- (A e. (0(,]1) -> (A^2) <_ 1)
51		remulcl 6457	. . . . . 6 |- ((2 e. RR /\ ((A^2) / 3) e. RR) -> (2 x. ((A^2) / 3)) e. RR)
52		redivcl 6978	. . . . . . . 8 |- (((A^2) e. RR /\ 3 e. RR /\ 3 =/= 0) -> ((A^2) / 3) e. RR)
53	10, 13, 52	mp3an23 1183	. . . . . . 7 |- ((A^2) e. RR -> ((A^2) / 3) e. RR)
54	7, 53	syl 12	. . . . . 6 |- (A e. (0(,]1) -> ((A^2) / 3) e. RR)
55	51, 23, 54	sylancr 526	. . . . 5 |- (A e. (0(,]1) -> (2 x. ((A^2) / 3)) e. RR)
56		ltletr 6694	. . . . . 6 |- (((2 x. ((A^2) / 3)) e. RR /\ (A^2) e. RR /\ 1 e. RR) -> (((2 x. ((A^2) / 3)) < (A^2) /\ (A^2) <_ 1) -> (2 x. ((A^2) / 3)) < 1))
57	2, 56	mp3an3 1180	. . . . 5 |- (((2 x. ((A^2) / 3)) e. RR /\ (A^2) e. RR) -> (((2 x. ((A^2) / 3)) < (A^2) /\ (A^2) <_ 1) -> (2 x. ((A^2) / 3)) < 1))
58	55, 7, 57	syl11anc 524	. . . 4 |- (A e. (0(,]1) -> (((2 x. ((A^2) / 3)) < (A^2) /\ (A^2) <_ 1) -> (2 x. ((A^2) / 3)) < 1))
59	40, 50, 58	mp2and 767	. . 3 |- (A e. (0(,]1) -> (2 x. ((A^2) / 3)) < 1)
60		posdif 6843	. . . 4 |- (((2 x. ((A^2) / 3)) e. RR /\ 1 e. RR) -> ((2 x. ((A^2) / 3)) < 1 <-> 0 < (1 - (2 x. ((A^2) / 3)))))
61	60, 55, 2	sylancl 525	. . 3 |- (A e. (0(,]1) -> ((2 x. ((A^2) / 3)) < 1 <-> 0 < (1 - (2 x. ((A^2) / 3)))))
62	59, 61	mpbid 212	. 2 |- (A e. (0(,]1) -> 0 < (1 - (2 x. ((A^2) / 3))))
63		cos01bnd 8739	. . 3 |- (A e. (0(,]1) -> ((1 - (2 x. ((A^2) / 3))) < (cos` A) /\ (cos` A) < (1 - ((A^2) / 3))))
64	63	simplld 348	. 2 |- (A e. (0(,]1) -> (1 - (2 x. ((A^2) / 3))) < (cos` A))
65		resubcl 6601	. . . 4 |- ((1 e. RR /\ (2 x. ((A^2) / 3)) e. RR) -> (1 - (2 x. ((A^2) / 3))) e. RR)
66	65, 2, 55	sylancr 526	. . 3 |- (A e. (0(,]1) -> (1 - (2 x. ((A^2) / 3))) e. RR)
67		recoscl 8704	. . . 4 |- (A e. RR -> (cos` A) e. RR)
68	5, 67	syl 12	. . 3 |- (A e. (0(,]1) -> (cos` A) e. RR)
69		axlttrn 6673	. . . 4 |- ((0 e. RR /\ (1 - (2 x. ((A^2) / 3))) e. RR /\ (cos` A) e. RR) -> ((0 < (1 - (2 x. ((A^2) / 3))) /\ (1 - (2 x. ((A^2) / 3))) < (cos` A)) -> 0 < (cos` A)))
70	1, 69	mp3an1 1178	. . 3 |- (((1 - (2 x. ((A^2) / 3))) e. RR /\ (cos` A) e. RR) -> ((0 < (1 - (2 x. ((A^2) / 3))) /\ (1 - (2 x. ((A^2) / 3))) < (cos` A)) -> 0 < (cos` A)))
71	66, 68, 70	syl11anc 524	. 2 |- (A e. (0(,]1) -> ((0 < (1 - (2 x. ((A^2) / 3))) /\ (1 - (2 x. ((A^2) / 3))) < (cos` A)) -> 0 < (cos` A)))
72	62, 64, 71	mp2and 767	1 |- (A e. (0(,]1) -> 0 < (cos` A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NN0cn0 6450   < clt 6653  2c2 7145  3c3 7146  (,]cioc 7525  ^cexp 7811  cosccos 8558

This theorem is referenced by:  sin02gt0 8744  sincos1sgn 8745

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-5 7157  df-6 7158  df-7 7159  df-8 7160  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-ioc 7529  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-fac 8184  df-clim 8235  df-sum 8240  df-ef 8560  df-cos 8563

Copyright terms: Public domain