Theorem cos01bndlem3 8737

Description: Lemma for cos01bnd 8739.

Hypothesis

Ref	Expression
sin01bndlem2.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((_i x. A)^j) / (!` j)))}

Assertion

Ref	Expression
cos01bndlem3	|- (A e. (0(,]1) -> ((1 - (2 x. ((A^2) / 3))) < (cos` A) /\ (cos` A) < (1 - ((A^2) / 3))))

Distinct variable group:   A,j,y

Proof of Theorem cos01bndlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 6603	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
2		1re 6598	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
3		elioc2 7558	. . . . . . . . . 10 |- ((0 e. RR /\ 1 e. RR) -> (A e. (0(,]1) <-> (A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1)))
4	1, 2, 3	mp2an 761	. . . . . . . . 9 |- (A e. (0(,]1) <-> (A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1))
5	4	simp1bi 891	. . . . . . . 8 |- (A e. (0(,]1) -> A e. RR)
6		resqcl 7866	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (A^2) e. RR)
7	5, 6	syl 12	. . . . . . 7 |- (A e. (0(,]1) -> (A^2) e. RR)
8		rehalfcl 7220	. . . . . . 7 |- ((A^2) e. RR -> ((A^2) / 2) e. RR)
9	7, 8	syl 12	. . . . . 6 |- (A e. (0(,]1) -> ((A^2) / 2) e. RR)
10	9	recnd 6468	. . . . 5 |- (A e. (0(,]1) -> ((A^2) / 2) e. CC)
11		reexpcl 7823	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ 2 e. NN0) -> (A^2) e. RR)
12		6re 7168	. . . . . . . . . 10 |- 6 e. RR
13		6pos 7178	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 6
14	12, 13	gt0ne0ii 6799	. . . . . . . . . 10 |- 6 =/= 0
15		redivcl 6978	. . . . . . . . . 10 |- (((A^2) e. RR /\ 6 e. RR /\ 6 =/= 0) -> ((A^2) / 6) e. RR)
16	12, 14, 15	mp3an23 1183	. . . . . . . . 9 |- ((A^2) e. RR -> ((A^2) / 6) e. RR)
17	11, 16	syl 12	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ 2 e. NN0) -> ((A^2) / 6) e. RR)
18		2nn0 7324	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
19	17, 5, 18	sylancl 525	. . . . . . 7 |- (A e. (0(,]1) -> ((A^2) / 6) e. RR)
20		renegcl 6600	. . . . . . 7 |- (((A^2) / 6) e. RR -> -u((A^2) / 6) e. RR)
21	19, 20	syl 12	. . . . . 6 |- (A e. (0(,]1) -> -u((A^2) / 6) e. RR)
22	21	recnd 6468	. . . . 5 |- (A e. (0(,]1) -> -u((A^2) / 6) e. CC)
23		ax1cn 6422	. . . . . 6 |- 1 e. CC
24		subsub 6627	. . . . . 6 |- ((1 e. CC /\ ((A^2) / 2) e. CC /\ -u((A^2) / 6) e. CC) -> (1 - (((A^2) / 2) - -u((A^2) / 6))) = ((1 - ((A^2) / 2)) + -u((A^2) / 6)))
25	23, 24	mp3an1 1178	. . . . 5 |- ((((A^2) / 2) e. CC /\ -u((A^2) / 6) e. CC) -> (1 - (((A^2) / 2) - -u((A^2) / 6))) = ((1 - ((A^2) / 2)) + -u((A^2) / 6)))
26	10, 22, 25	syl11anc 524	. . . 4 |- (A e. (0(,]1) -> (1 - (((A^2) / 2) - -u((A^2) / 6))) = ((1 - ((A^2) / 2)) + -u((A^2) / 6)))
27	19	recnd 6468	. . . . . . 7 |- (A e. (0(,]1) -> ((A^2) / 6) e. CC)
28		subneg 6554	. . . . . . 7 |- ((((A^2) / 2) e. CC /\ ((A^2) / 6) e. CC) -> (((A^2) / 2) - -u((A^2) / 6)) = (((A^2) / 2) + ((A^2) / 6)))
29	10, 27, 28	syl11anc 524	. . . . . 6 |- (A e. (0(,]1) -> (((A^2) / 2) - -u((A^2) / 6)) = (((A^2) / 2) + ((A^2) / 6)))
30	7	recnd 6468	. . . . . . 7 |- (A e. (0(,]1) -> (A^2) e. CC)
31		2cn 7164	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. CC
32		2ne0 7174	. . . . . . . . . 10 |- 2 =/= 0
33		divrec 6922	. . . . . . . . . 10 |- (((A^2) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0) -> ((A^2) / 2) = ((A^2) x. (1 / 2)))
34	31, 32, 33	mp3an23 1183	. . . . . . . . 9 |- ((A^2) e. CC -> ((A^2) / 2) = ((A^2) x. (1 / 2)))
35	12	recni 6467	. . . . . . . . . 10 |- 6 e. CC
36		divrec 6922	. . . . . . . . . 10 |- (((A^2) e. CC /\ 6 e. CC /\ 6 =/= 0) -> ((A^2) / 6) = ((A^2) x. (1 / 6)))
37	35, 14, 36	mp3an23 1183	. . . . . . . . 9 |- ((A^2) e. CC -> ((A^2) / 6) = ((A^2) x. (1 / 6)))
38	34, 37	opreq12d 4900	. . . . . . . 8 |- ((A^2) e. CC -> (((A^2) / 2) + ((A^2) / 6)) = (((A^2) x. (1 / 2)) + ((A^2) x. (1 / 6))))
39	31, 32	reccli 6902	. . . . . . . . . 10 |- (1 / 2) e. CC
40	35, 14	reccli 6902	. . . . . . . . . 10 |- (1 / 6) e. CC
41		adddi 6462	. . . . . . . . . 10 |- (((A^2) e. CC /\ (1 / 2) e. CC /\ (1 / 6) e. CC) -> ((A^2) x. ((1 / 2) + (1 / 6))) = (((A^2) x. (1 / 2)) + ((A^2) x. (1 / 6))))
42	39, 40, 41	mp3an23 1183	. . . . . . . . 9 |- ((A^2) e. CC -> ((A^2) x. ((1 / 2) + (1 / 6))) = (((A^2) x. (1 / 2)) + ((A^2) x. (1 / 6))))
43		halfpm6th 7218	. . . . . . . . . . 11 |- (((1 / 2) - (1 / 6)) = (1 / 3) /\ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
44	43	simpri 351	. . . . . . . . . 10 |- ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
45	44	opreq2i 4893	. . . . . . . . 9 |- ((A^2) x. ((1 / 2) + (1 / 6))) = ((A^2) x. (2 / 3))
46	42, 45	syl5eqr 1942	. . . . . . . 8 |- ((A^2) e. CC -> ((A^2) x. (2 / 3)) = (((A^2) x. (1 / 2)) + ((A^2) x. (1 / 6))))
47		3re 7165	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. RR
48	47	recni 6467	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. CC
49		3pos 7175	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 3
50	47, 49	gt0ne0ii 6799	. . . . . . . . . 10 |- 3 =/= 0
51	48, 50	pm3.2i 307	. . . . . . . . 9 |- (3 e. CC /\ 3 =/= 0)
52		div12 6927	. . . . . . . . 9 |- (((A^2) e. CC /\ 2 e. CC /\ (3 e. CC /\ 3 =/= 0)) -> ((A^2) x. (2 / 3)) = (2 x. ((A^2) / 3)))
53	31, 51, 52	mp3an23 1183	. . . . . . . 8 |- ((A^2) e. CC -> ((A^2) x. (2 / 3)) = (2 x. ((A^2) / 3)))
54	38, 46, 53	3eqtr2d 1932	. . . . . . 7 |- ((A^2) e. CC -> (((A^2) / 2) + ((A^2) / 6)) = (2 x. ((A^2) / 3)))
55	30, 54	syl 12	. . . . . 6 |- (A e. (0(,]1) -> (((A^2) / 2) + ((A^2) / 6)) = (2 x. ((A^2) / 3)))
56	29, 55	eqtrd 1925	. . . . 5 |- (A e. (0(,]1) -> (((A^2) / 2) - -u((A^2) / 6)) = (2 x. ((A^2) / 3)))
57	56	opreq2d 4898	. . . 4 |- (A e. (0(,]1) -> (1 - (((A^2) / 2) - -u((A^2) / 6))) = (1 - (2 x. ((A^2) / 3))))
58	26, 57	eqtr3d 1927	. . 3 |- (A e. (0(,]1) -> ((1 - ((A^2) / 2)) + -u((A^2) / 6)) = (1 - (2 x. ((A^2) / 3))))
59		sin01bndlem2.1	. . . . . . . 8 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((_i x. A)^j) / (!` j)))}
60	59	cos01bndlem2 8736	. . . . . . 7 |- (A e. (0(,]1) -> (abs` (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k))) < ((A^2) / 6))
61	59	eftlcl 8641	. . . . . . . . . 10 |- (((_i x. A) e. CC /\ 4 e. NN) -> sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k) e. CC)
62		mulcl 6456	. . . . . . . . . . 11 |- ((_i e. CC /\ A e. CC) -> (_i x. A) e. CC)
63		axicn 6423	. . . . . . . . . . 11 |- _i e. CC
64		recn 6466	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. RR -> A e. CC)
65	5, 64	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. (0(,]1) -> A e. CC)
66	62, 63, 65	sylancr 526	. . . . . . . . . 10 |- (A e. (0(,]1) -> (_i x. A) e. CC)
67		4nn 7186	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. NN
68	61, 66, 67	sylancl 525	. . . . . . . . 9 |- (A e. (0(,]1) -> sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k) e. CC)
69		recl 8007	. . . . . . . . 9 |- (sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k) e. CC -> (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k)) e. RR)
70	68, 69	syl 12	. . . . . . . 8 |- (A e. (0(,]1) -> (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k)) e. RR)
71		abslt 8132	. . . . . . . 8 |- (((Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k)) e. RR /\ ((A^2) / 6) e. RR) -> ((abs` (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k))) < ((A^2) / 6) <-> (-u((A^2) / 6) < (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k)) /\ (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k)) < ((A^2) / 6))))
72	70, 19, 71	syl11anc 524	. . . . . . 7 |- (A e. (0(,]1) -> ((abs` (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k))) < ((A^2) / 6) <-> (-u((A^2) / 6) < (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k)) /\ (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k)) < ((A^2) / 6))))
73	60, 72	mpbid 212	. . . . . 6 |- (A e. (0(,]1) -> (-u((A^2) / 6) < (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k)) /\ (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k)) < ((A^2) / 6)))
74	73	simplld 348	. . . . 5 |- (A e. (0(,]1) -> -u((A^2) / 6) < (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k)))
75		resubcl 6601	. . . . . . 7 |- ((1 e. RR /\ ((A^2) / 2) e. RR) -> (1 - ((A^2) / 2)) e. RR)
76	75, 2, 9	sylancr 526	. . . . . 6 |- (A e. (0(,]1) -> (1 - ((A^2) / 2)) e. RR)
77		ltadd2 6807	. . . . . 6 |- ((-u((A^2) / 6) e. RR /\ (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k)) e. RR /\ (1 - ((A^2) / 2)) e. RR) -> (-u((A^2) / 6) < (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k)) <-> ((1 - ((A^2) / 2)) + -u((A^2) / 6)) < ((1 - ((A^2) / 2)) + (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k)))))
78	21, 70, 76, 77	syl111anc 1100	. . . . 5 |- (A e. (0(,]1) -> (-u((A^2) / 6) < (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k)) <-> ((1 - ((A^2) / 2)) + -u((A^2) / 6)) < ((1 - ((A^2) / 2)) + (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k)))))
79	74, 78	mpbid 212	. . . 4 |- (A e. (0(,]1) -> ((1 - ((A^2) / 2)) + -u((A^2) / 6)) < ((1 - ((A^2) / 2)) + (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k))))
80	59	recos4p 8702	. . . . 5 |- (A e. RR -> (cos` A) = ((1 - ((A^2) / 2)) + (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k))))
81	5, 80	syl 12	. . . 4 |- (A e. (0(,]1) -> (cos` A) = ((1 - ((A^2) / 2)) + (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k))))
82	79, 81	breqtrrd 3363	. . 3 |- (A e. (0(,]1) -> ((1 - ((A^2) / 2)) + -u((A^2) / 6)) < (cos` A))
83	58, 82	eqbrtrrd 3359	. 2 |- (A e. (0(,]1) -> (1 - (2 x. ((A^2) / 3))) < (cos` A))
84	73	simprd 352	. . . . 5 |- (A e. (0(,]1) -> (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k)) < ((A^2) / 6))
85		ltadd2 6807	. . . . . 6 |- (((Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k)) e. RR /\ ((A^2) / 6) e. RR /\ (1 - ((A^2) / 2)) e. RR) -> ((Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k)) < ((A^2) / 6) <-> ((1 - ((A^2) / 2)) + (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k))) < ((1 - ((A^2) / 2)) + ((A^2) / 6))))
86	70, 19, 76, 85	syl111anc 1100	. . . . 5 |- (A e. (0(,]1) -> ((Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k)) < ((A^2) / 6) <-> ((1 - ((A^2) / 2)) + (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k))) < ((1 - ((A^2) / 2)) + ((A^2) / 6))))
87	84, 86	mpbid 212	. . . 4 |- (A e. (0(,]1) -> ((1 - ((A^2) / 2)) + (Re` sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k))) < ((1 - ((A^2) / 2)) + ((A^2) / 6)))
88	81, 87	eqbrtrd 3357	. . 3 |- (A e. (0(,]1) -> (cos` A) < ((1 - ((A^2) / 2)) + ((A^2) / 6)))
89		subsub 6627	. . . . . 6 |- ((1 e. CC /\ ((A^2) / 2) e. CC /\ ((A^2) / 6) e. CC) -> (1 - (((A^2) / 2) - ((A^2) / 6))) = ((1 - ((A^2) / 2)) + ((A^2) / 6)))
90	23, 89	mp3an1 1178	. . . . 5 |- ((((A^2) / 2) e. CC /\ ((A^2) / 6) e. CC) -> (1 - (((A^2) / 2) - ((A^2) / 6))) = ((1 - ((A^2) / 2)) + ((A^2) / 6)))
91	10, 27, 90	syl11anc 524	. . . 4 |- (A e. (0(,]1) -> (1 - (((A^2) / 2) - ((A^2) / 6))) = ((1 - ((A^2) / 2)) + ((A^2) / 6)))
92		subdi 6590	. . . . . . . . 9 |- (((A^2) e. CC /\ (1 / 2) e. CC /\ (1 / 6) e. CC) -> ((A^2) x. ((1 / 2) - (1 / 6))) = (((A^2) x. (1 / 2)) - ((A^2) x. (1 / 6))))
93	39, 40, 92	mp3an23 1183	. . . . . . . 8 |- ((A^2) e. CC -> ((A^2) x. ((1 / 2) - (1 / 6))) = (((A^2) x. (1 / 2)) - ((A^2) x. (1 / 6))))
94	43	simpli 347	. . . . . . . . 9 |- ((1 / 2) - (1 / 6)) = (1 / 3)
95	94	opreq2i 4893	. . . . . . . 8 |- ((A^2) x. ((1 / 2) - (1 / 6))) = ((A^2) x. (1 / 3))
96	93, 95	syl5eqr 1942	. . . . . . 7 |- ((A^2) e. CC -> ((A^2) x. (1 / 3)) = (((A^2) x. (1 / 2)) - ((A^2) x. (1 / 6))))
97		divrec 6922	. . . . . . . 8 |- (((A^2) e. CC /\ 3 e. CC /\ 3 =/= 0) -> ((A^2) / 3) = ((A^2) x. (1 / 3)))
98	48, 50, 97	mp3an23 1183	. . . . . . 7 |- ((A^2) e. CC -> ((A^2) / 3) = ((A^2) x. (1 / 3)))
99	34, 37	opreq12d 4900	. . . . . . 7 |- ((A^2) e. CC -> (((A^2) / 2) - ((A^2) / 6)) = (((A^2) x. (1 / 2)) - ((A^2) x. (1 / 6))))
100	96, 98, 99	3eqtr4rd 1939	. . . . . 6 |- ((A^2) e. CC -> (((A^2) / 2) - ((A^2) / 6)) = ((A^2) / 3))
101	30, 100	syl 12	. . . . 5 |- (A e. (0(,]1) -> (((A^2) / 2) - ((A^2) / 6)) = ((A^2) / 3))
102	101	opreq2d 4898	. . . 4 |- (A e. (0(,]1) -> (1 - (((A^2) / 2) - ((A^2) / 6))) = (1 - ((A^2) / 3)))
103	91, 102	eqtr3d 1927	. . 3 |- (A e. (0(,]1) -> ((1 - ((A^2) / 2)) + ((A^2) / 6)) = (1 - ((A^2) / 3)))
104	88, 103	breqtrd 3361	. 2 |- (A e. (0(,]1) -> (cos` A) < (1 - ((A^2) / 3)))
105	83, 104	jca 310	1 |- (A e. (0(,]1) -> ((1 - (2 x. ((A^2) / 3))) < (cos` A) /\ (cos` A) < (1 - ((A^2) / 3))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  {copab 3395  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387  _ici 6388   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445  -ucneg 6446   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449  NN0cn0 6450   < clt 6653  2c2 7145  3c3 7146  4c4 7147  6c6 7149  (,]cioc 7525  ZZ>=cuz 7586  ^cexp 7811  Recre 7997  abscabs 8000  !cfa 8183  sum_csu 8239  cosccos 8558

This theorem is referenced by:  cos01bnd 8739

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-5 7157  df-6 7158  df-7 7159  df-8 7160  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-ioc 7529  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-fac 8184  df-clim 8235  df-sum 8240  df-ef 8560  df-cos 8563

Copyright terms: Public domain