MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos01bnd Structured version   Unicode version

Theorem cos01bnd 13782
Description: Bounds on the cosine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
cos01bnd  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( A ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( cos `  A )  /\  ( cos `  A )  < 
( 1  -  (
( A ^ 2 )  /  3 ) ) ) )

Proof of Theorem cos01bnd
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 9640 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
2 1re 9595 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
3 elioc2 11587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <_  1 ) ) )
41, 2, 3mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <_  1 ) )
54simp1bi 1011 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  A  e.  RR )
6 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
76recos4p 13735 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  =  ( ( 1  -  ( ( A ^
2 )  /  2
) )  +  ( Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) ) ) )
85, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( cos `  A )  =  ( ( 1  -  ( ( A ^
2 )  /  2
) )  +  ( Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) ) ) )
98eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( 1  -  (
( A ^ 2 )  /  2 ) )  +  ( Re
`  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )  =  ( cos `  A
) )
105recoscld 13740 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
1110recnd 9622 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
125resqcld 12304 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
1312rehalfcld 10785 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  2 )  e.  RR )
14 resubcl 9883 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( A ^
2 )  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( ( A ^
2 )  /  2
) )  e.  RR )
152, 13, 14sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
1  -  ( ( A ^ 2 )  /  2 ) )  e.  RR )
1615recnd 9622 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
1  -  ( ( A ^ 2 )  /  2 ) )  e.  CC )
17 ax-icn 9551 . . . . . . . . . 10  |-  _i  e.  CC
185recnd 9622 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  A  e.  CC )
19 mulcl 9576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
2017, 18, 19sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
21 4nn0 10814 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  NN0
226eftlcl 13703 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  e.  CC )
2320, 21, 22sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k )  e.  CC )
2423recld 12990 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )  e.  RR )
2524recnd 9622 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )  e.  CC )
2611, 16, 25subaddd 9948 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( cos `  A
)  -  ( 1  -  ( ( A ^ 2 )  / 
2 ) ) )  =  ( Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) )  <-> 
( ( 1  -  ( ( A ^
2 )  /  2
) )  +  ( Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) ) )  =  ( cos `  A
) ) )
279, 26mpbird 232 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( cos `  A
)  -  ( 1  -  ( ( A ^ 2 )  / 
2 ) ) )  =  ( Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )
2827fveq2d 5870 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( ( cos `  A )  -  (
1  -  ( ( A ^ 2 )  /  2 ) ) ) )  =  ( abs `  ( Re
`  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) ) )
2925abscld 13230 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  e.  RR )
3023abscld 13230 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  e.  RR )
31 6nn 10697 . . . . 5  |-  6  e.  NN
32 nndivre 10571 . . . . 5  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( ( A ^
2 )  /  6
)  e.  RR )
3312, 31, 32sylancl 662 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  6 )  e.  RR )
34 absrele 13104 . . . . 5  |-  ( sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  <_  ( abs ` 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )
3523, 34syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  <_  ( abs ` 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )
36 reexpcl 12151 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 4 )  e.  RR )
375, 21, 36sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 4 )  e.  RR )
38 nndivre 10571 . . . . . 6  |-  ( ( ( A ^ 4 )  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( ( A ^
4 )  /  6
)  e.  RR )
3937, 31, 38sylancl 662 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 4 )  /  6 )  e.  RR )
406ef01bndlem 13780 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  <  (
( A ^ 4 )  /  6 ) )
41 2nn0 10812 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
4241a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  2  e.  NN0 )
43 4nn 10695 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  NN
4443nnzi 10888 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  ZZ
45 2re 10605 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
46 4re 10612 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
47 2lt4 10706 . . . . . . . . . 10  |-  2  <  4
4845, 46, 47ltleii 9707 . . . . . . . . 9  |-  2  <_  4
49 2z 10896 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
5049eluz1i 11089 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  2  <_ 
4 ) )
5144, 48, 50mpbir2an 918 . . . . . . . 8  |-  4  e.  ( ZZ>= `  2 )
5251a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  4  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
534simp2bi 1012 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  A )
54 0re 9596 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
55 ltle 9673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  ->  0  <_  A )
)
5654, 5, 55sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
0  <  A  ->  0  <_  A ) )
5753, 56mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <_  A )
584simp3bi 1013 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  A  <_  1 )
595, 42, 52, 57, 58leexp2rd 12311 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 4 )  <_ 
( A ^ 2 ) )
60 6re 10616 . . . . . . . 8  |-  6  e.  RR
6160a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  6  e.  RR )
62 6pos 10634 . . . . . . . 8  |-  0  <  6
6362a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  6 )
64 lediv1 10407 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A ^ 4 )  e.  RR  /\  ( A ^ 2 )  e.  RR  /\  (
6  e.  RR  /\  0  <  6 ) )  ->  ( ( A ^ 4 )  <_ 
( A ^ 2 )  <->  ( ( A ^ 4 )  / 
6 )  <_  (
( A ^ 2 )  /  6 ) ) )
6537, 12, 61, 63, 64syl112anc 1232 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 4 )  <_  ( A ^ 2 )  <->  ( ( A ^ 4 )  / 
6 )  <_  (
( A ^ 2 )  /  6 ) ) )
6659, 65mpbid 210 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 4 )  /  6 )  <_  ( ( A ^ 2 )  / 
6 ) )
6730, 39, 33, 40, 66ltletrd 9741 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  <  (
( A ^ 2 )  /  6 ) )
6829, 30, 33, 35, 67lelttrd 9739 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  <  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) )
6928, 68eqbrtrd 4467 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( ( cos `  A )  -  (
1  -  ( ( A ^ 2 )  /  2 ) ) ) )  <  (
( A ^ 2 )  /  6 ) )
7010, 15, 33absdifltd 13228 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( abs `  (
( cos `  A
)  -  ( 1  -  ( ( A ^ 2 )  / 
2 ) ) ) )  <  ( ( A ^ 2 )  /  6 )  <->  ( (
( 1  -  (
( A ^ 2 )  /  2 ) )  -  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) )  <  ( cos `  A
)  /\  ( cos `  A )  <  (
( 1  -  (
( A ^ 2 )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) ) ) ) )
71 1cnd 9612 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  1  e.  CC )
7213recnd 9622 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  2 )  e.  CC )
7333recnd 9622 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  6 )  e.  CC )
7471, 72, 73subsub4d 9961 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( 1  -  (
( A ^ 2 )  /  2 ) )  -  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) )  =  ( 1  -  ( ( ( A ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) ) ) )
75 halfpm6th 10760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  /  2
)  -  ( 1  /  6 ) )  =  ( 1  / 
3 )  /\  (
( 1  /  2
)  +  ( 1  /  6 ) )  =  ( 2  / 
3 ) )
7675simpri 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
6 ) )  =  ( 2  /  3
)
7776oveq2i 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A ^ 2 )  x.  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  6
) ) )  =  ( ( A ^
2 )  x.  (
2  /  3 ) )
7812recnd 9622 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
79 2cn 10606 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
80 2ne0 10628 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
8179, 80reccli 10274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
82 6cn 10617 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  CC
8331nnne0i 10570 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  =/=  0
8482, 83reccli 10274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  6 )  e.  CC
85 adddi 9581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( 1  /  6
)  e.  CC )  ->  ( ( A ^ 2 )  x.  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  6 ) ) )  =  ( ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
6 ) ) ) )
8681, 84, 85mp3an23 1316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( A ^ 2 )  x.  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
6 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
2 ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
8778, 86syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  x.  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
6 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
2 ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
8877, 87syl5eqr 2522 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  x.  ( 2  /  3 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
2 ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
89 3cn 10610 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  CC
90 3ne0 10630 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =/=  0
9189, 90pm3.2i 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
92 div12 10229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC  /\  (
3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  /  3
) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 2  /  3 ) ) )
9379, 91, 92mp3an13 1315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A ^ 2 )  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( A ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 2  /  3
) ) )
9478, 93syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
2  x.  ( ( A ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 2  /  3
) ) )
95 divrec 10223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  2 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) ) )
9679, 80, 95mp3an23 1316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( A ^ 2 )  /  2 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) ) )
9778, 96syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  2 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) ) )
98 divrec 10223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  CC  /\  6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  6 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )
9982, 83, 98mp3an23 1316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( A ^ 2 )  /  6 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )
10078, 99syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  6 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )
10197, 100oveq12d 6302 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A ^
2 )  /  2
)  +  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
2 ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
10288, 94, 1013eqtr4rd 2519 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A ^
2 )  /  2
)  +  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) )  =  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  /  3
) ) )
103102oveq2d 6300 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
1  -  ( ( ( A ^ 2 )  /  2 )  +  ( ( A ^ 2 )  / 
6 ) ) )  =  ( 1  -  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
10474, 103eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( 1  -  (
( A ^ 2 )  /  2 ) )  -  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) )  =  ( 1  -  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
105104breq1d 4457 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( 1  -  ( ( A ^
2 )  /  2
) )  -  (
( A ^ 2 )  /  6 ) )  <  ( cos `  A )  <->  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  /  3
) ) )  < 
( cos `  A
) ) )
10671, 72, 73subsubd 9958 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
1  -  ( ( ( A ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( A ^ 2 )  / 
6 ) ) )  =  ( ( 1  -  ( ( A ^ 2 )  / 
2 ) )  +  ( ( A ^
2 )  /  6
) ) )
10775simpli 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  / 
6 ) )  =  ( 1  /  3
)
108107oveq2i 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A ^ 2 )  x.  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  /  6
) ) )  =  ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  3 ) )
109 subdi 9990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( 1  /  6
)  e.  CC )  ->  ( ( A ^ 2 )  x.  ( ( 1  / 
2 )  -  (
1  /  6 ) ) )  =  ( ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  2 ) )  -  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
6 ) ) ) )
11081, 84, 109mp3an23 1316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( A ^ 2 )  x.  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  / 
6 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
2 ) )  -  ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
11178, 110syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  x.  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  / 
6 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
2 ) )  -  ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
112108, 111syl5eqr 2522 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  3 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
2 ) )  -  ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
113 divrec 10223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  3 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  3
) ) )
11489, 90, 113mp3an23 1316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( A ^ 2 )  /  3 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  3
) ) )
11578, 114syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  3 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  3
) ) )
11697, 100oveq12d 6302 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A ^
2 )  /  2
)  -  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
2 ) )  -  ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
117112, 115, 1163eqtr4rd 2519 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A ^
2 )  /  2
)  -  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  / 
3 ) )
118117oveq2d 6300 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
1  -  ( ( ( A ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( A ^ 2 )  / 
6 ) ) )  =  ( 1  -  ( ( A ^
2 )  /  3
) ) )
119106, 118eqtr3d 2510 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( 1  -  (
( A ^ 2 )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) )  =  ( 1  -  ( ( A ^
2 )  /  3
) ) )
120119breq2d 4459 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( cos `  A
)  <  ( (
1  -  ( ( A ^ 2 )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 2 )  / 
6 ) )  <->  ( cos `  A )  <  (
1  -  ( ( A ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
121105, 120anbi12d 710 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( ( 1  -  ( ( A ^ 2 )  / 
2 ) )  -  ( ( A ^
2 )  /  6
) )  <  ( cos `  A )  /\  ( cos `  A )  <  ( ( 1  -  ( ( A ^ 2 )  / 
2 ) )  +  ( ( A ^
2 )  /  6
) ) )  <->  ( (
1  -  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  / 
3 ) ) )  <  ( cos `  A
)  /\  ( cos `  A )  <  (
1  -  ( ( A ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
12270, 121bitrd 253 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( abs `  (
( cos `  A
)  -  ( 1  -  ( ( A ^ 2 )  / 
2 ) ) ) )  <  ( ( A ^ 2 )  /  6 )  <->  ( (
1  -  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  / 
3 ) ) )  <  ( cos `  A
)  /\  ( cos `  A )  <  (
1  -  ( ( A ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
12369, 122mpbid 210 1  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( A ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( cos `  A )  /\  ( cos `  A )  < 
( 1  -  (
( A ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493   _ici 9494    + caddc 9495    x. cmul 9497   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805    / cdiv 10206   NNcn 10536   2c2 10585   3c3 10586   4c4 10587   6c6 10589   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   (,]cioc 11530   ^cexp 12134   !cfa 12321   Recre 12893   abscabs 13030   sum_csu 13471   cosccos 13662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665  df-cos 13668
This theorem is referenced by:  cos1bnd  13783  cos01gt0  13787  tangtx  22659
  Copyright terms: Public domain W3C validator