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Theorem cos01bnd 14183
Description: Bounds on the cosine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
cos01bnd  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( A ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( cos `  A )  /\  ( cos `  A )  < 
( 1  -  (
( A ^ 2 )  /  3 ) ) ) )

Proof of Theorem cos01bnd
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 9638 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
2 1re 9593 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
3 elioc2 11648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <_  1 ) ) )
41, 2, 3mp2an 676 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <_  1 ) )
54simp1bi 1020 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  A  e.  RR )
6 eqid 2428 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
76recos4p 14136 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  =  ( ( 1  -  ( ( A ^
2 )  /  2
) )  +  ( Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) ) ) )
85, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( cos `  A )  =  ( ( 1  -  ( ( A ^
2 )  /  2
) )  +  ( Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) ) ) )
98eqcomd 2434 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( 1  -  (
( A ^ 2 )  /  2 ) )  +  ( Re
`  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )  =  ( cos `  A
) )
105recoscld 14141 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
1110recnd 9620 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
125resqcld 12392 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
1312rehalfcld 10810 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  2 )  e.  RR )
14 resubcl 9889 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( A ^
2 )  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( ( A ^
2 )  /  2
) )  e.  RR )
152, 13, 14sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
1  -  ( ( A ^ 2 )  /  2 ) )  e.  RR )
1615recnd 9620 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
1  -  ( ( A ^ 2 )  /  2 ) )  e.  CC )
17 ax-icn 9549 . . . . . . . . . 10  |-  _i  e.  CC
185recnd 9620 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  A  e.  CC )
19 mulcl 9574 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
2017, 18, 19sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
21 4nn0 10839 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  NN0
226eftlcl 14104 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  e.  CC )
2320, 21, 22sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k )  e.  CC )
2423recld 13201 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )  e.  RR )
2524recnd 9620 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )  e.  CC )
2611, 16, 25subaddd 9955 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( cos `  A
)  -  ( 1  -  ( ( A ^ 2 )  / 
2 ) ) )  =  ( Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) )  <-> 
( ( 1  -  ( ( A ^
2 )  /  2
) )  +  ( Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) ) )  =  ( cos `  A
) ) )
279, 26mpbird 235 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( cos `  A
)  -  ( 1  -  ( ( A ^ 2 )  / 
2 ) ) )  =  ( Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )
2827fveq2d 5829 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( ( cos `  A )  -  (
1  -  ( ( A ^ 2 )  /  2 ) ) ) )  =  ( abs `  ( Re
`  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) ) )
2925abscld 13441 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  e.  RR )
3023abscld 13441 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  e.  RR )
31 6nn 10722 . . . . 5  |-  6  e.  NN
32 nndivre 10596 . . . . 5  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( ( A ^
2 )  /  6
)  e.  RR )
3312, 31, 32sylancl 666 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  6 )  e.  RR )
34 absrele 13315 . . . . 5  |-  ( sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  <_  ( abs ` 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )
3523, 34syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  <_  ( abs ` 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )
36 reexpcl 12239 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 4 )  e.  RR )
375, 21, 36sylancl 666 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 4 )  e.  RR )
38 nndivre 10596 . . . . . 6  |-  ( ( ( A ^ 4 )  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( ( A ^
4 )  /  6
)  e.  RR )
3937, 31, 38sylancl 666 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 4 )  /  6 )  e.  RR )
406ef01bndlem 14181 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  <  (
( A ^ 4 )  /  6 ) )
41 2nn0 10837 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
4241a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  2  e.  NN0 )
43 4z 10922 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  ZZ
44 2re 10630 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
45 4re 10637 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
46 2lt4 10731 . . . . . . . . . 10  |-  2  <  4
4744, 45, 46ltleii 9708 . . . . . . . . 9  |-  2  <_  4
48 2z 10920 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
4948eluz1i 11117 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  2  <_ 
4 ) )
5043, 47, 49mpbir2an 928 . . . . . . . 8  |-  4  e.  ( ZZ>= `  2 )
5150a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  4  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
524simp2bi 1021 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  A )
53 0re 9594 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
54 ltle 9673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  ->  0  <_  A )
)
5553, 5, 54sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
0  <  A  ->  0  <_  A ) )
5652, 55mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <_  A )
574simp3bi 1022 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  A  <_  1 )
585, 42, 51, 56, 57leexp2rd 12399 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 4 )  <_ 
( A ^ 2 ) )
59 6re 10641 . . . . . . . 8  |-  6  e.  RR
6059a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  6  e.  RR )
61 6pos 10659 . . . . . . . 8  |-  0  <  6
6261a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  6 )
63 lediv1 10421 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A ^ 4 )  e.  RR  /\  ( A ^ 2 )  e.  RR  /\  (
6  e.  RR  /\  0  <  6 ) )  ->  ( ( A ^ 4 )  <_ 
( A ^ 2 )  <->  ( ( A ^ 4 )  / 
6 )  <_  (
( A ^ 2 )  /  6 ) ) )
6437, 12, 60, 62, 63syl112anc 1268 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 4 )  <_  ( A ^ 2 )  <->  ( ( A ^ 4 )  / 
6 )  <_  (
( A ^ 2 )  /  6 ) ) )
6558, 64mpbid 213 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 4 )  /  6 )  <_  ( ( A ^ 2 )  / 
6 ) )
6630, 39, 33, 40, 65ltletrd 9746 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  <  (
( A ^ 2 )  /  6 ) )
6729, 30, 33, 35, 66lelttrd 9744 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  <  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) )
6828, 67eqbrtrd 4387 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( ( cos `  A )  -  (
1  -  ( ( A ^ 2 )  /  2 ) ) ) )  <  (
( A ^ 2 )  /  6 ) )
6910, 15, 33absdifltd 13439 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( abs `  (
( cos `  A
)  -  ( 1  -  ( ( A ^ 2 )  / 
2 ) ) ) )  <  ( ( A ^ 2 )  /  6 )  <->  ( (
( 1  -  (
( A ^ 2 )  /  2 ) )  -  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) )  <  ( cos `  A
)  /\  ( cos `  A )  <  (
( 1  -  (
( A ^ 2 )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) ) ) ) )
70 1cnd 9610 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  1  e.  CC )
7113recnd 9620 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  2 )  e.  CC )
7233recnd 9620 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  6 )  e.  CC )
7370, 71, 72subsub4d 9968 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( 1  -  (
( A ^ 2 )  /  2 ) )  -  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) )  =  ( 1  -  ( ( ( A ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) ) ) )
74 halfpm6th 10785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  /  2
)  -  ( 1  /  6 ) )  =  ( 1  / 
3 )  /\  (
( 1  /  2
)  +  ( 1  /  6 ) )  =  ( 2  / 
3 ) )
7574simpri 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
6 ) )  =  ( 2  /  3
)
7675oveq2i 6260 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A ^ 2 )  x.  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  6
) ) )  =  ( ( A ^
2 )  x.  (
2  /  3 ) )
7712recnd 9620 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
78 2cn 10631 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
79 2ne0 10653 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
8078, 79reccli 10288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
81 6cn 10642 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  CC
8231nnne0i 10595 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  =/=  0
8381, 82reccli 10288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  6 )  e.  CC
84 adddi 9579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( 1  /  6
)  e.  CC )  ->  ( ( A ^ 2 )  x.  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  6 ) ) )  =  ( ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
6 ) ) ) )
8580, 83, 84mp3an23 1352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( A ^ 2 )  x.  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
6 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
2 ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
8677, 85syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  x.  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
6 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
2 ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
8776, 86syl5eqr 2476 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  x.  ( 2  /  3 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
2 ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
88 3cn 10635 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  CC
89 3ne0 10655 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =/=  0
9088, 89pm3.2i 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
91 div12 10243 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC  /\  (
3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  /  3
) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 2  /  3 ) ) )
9278, 90, 91mp3an13 1351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A ^ 2 )  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( A ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 2  /  3
) ) )
9377, 92syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
2  x.  ( ( A ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 2  /  3
) ) )
94 divrec 10237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  2 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) ) )
9578, 79, 94mp3an23 1352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( A ^ 2 )  /  2 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) ) )
9677, 95syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  2 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) ) )
97 divrec 10237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  CC  /\  6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  6 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )
9881, 82, 97mp3an23 1352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( A ^ 2 )  /  6 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )
9977, 98syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  6 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )
10096, 99oveq12d 6267 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A ^
2 )  /  2
)  +  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
2 ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
10187, 93, 1003eqtr4rd 2473 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A ^
2 )  /  2
)  +  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) )  =  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  /  3
) ) )
102101oveq2d 6265 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
1  -  ( ( ( A ^ 2 )  /  2 )  +  ( ( A ^ 2 )  / 
6 ) ) )  =  ( 1  -  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
10373, 102eqtrd 2462 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( 1  -  (
( A ^ 2 )  /  2 ) )  -  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) )  =  ( 1  -  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
104103breq1d 4376 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( 1  -  ( ( A ^
2 )  /  2
) )  -  (
( A ^ 2 )  /  6 ) )  <  ( cos `  A )  <->  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  /  3
) ) )  < 
( cos `  A
) ) )
10570, 71, 72subsubd 9965 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
1  -  ( ( ( A ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( A ^ 2 )  / 
6 ) ) )  =  ( ( 1  -  ( ( A ^ 2 )  / 
2 ) )  +  ( ( A ^
2 )  /  6
) ) )
10674simpli 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  / 
6 ) )  =  ( 1  /  3
)
107106oveq2i 6260 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A ^ 2 )  x.  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  /  6
) ) )  =  ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  3 ) )
108 subdi 10003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( 1  /  6
)  e.  CC )  ->  ( ( A ^ 2 )  x.  ( ( 1  / 
2 )  -  (
1  /  6 ) ) )  =  ( ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  2 ) )  -  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
6 ) ) ) )
10980, 83, 108mp3an23 1352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( A ^ 2 )  x.  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  / 
6 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
2 ) )  -  ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
11077, 109syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  x.  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  / 
6 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
2 ) )  -  ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
111107, 110syl5eqr 2476 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  3 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
2 ) )  -  ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
112 divrec 10237 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  3 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  3
) ) )
11388, 89, 112mp3an23 1352 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( A ^ 2 )  /  3 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  3
) ) )
11477, 113syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  3 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  3
) ) )
11596, 99oveq12d 6267 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A ^
2 )  /  2
)  -  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
2 ) )  -  ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
116111, 114, 1153eqtr4rd 2473 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A ^
2 )  /  2
)  -  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  / 
3 ) )
117116oveq2d 6265 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
1  -  ( ( ( A ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( A ^ 2 )  / 
6 ) ) )  =  ( 1  -  ( ( A ^
2 )  /  3
) ) )
118105, 117eqtr3d 2464 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( 1  -  (
( A ^ 2 )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) )  =  ( 1  -  ( ( A ^
2 )  /  3
) ) )
119118breq2d 4378 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( cos `  A
)  <  ( (
1  -  ( ( A ^ 2 )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 2 )  / 
6 ) )  <->  ( cos `  A )  <  (
1  -  ( ( A ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
120104, 119anbi12d 715 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( ( 1  -  ( ( A ^ 2 )  / 
2 ) )  -  ( ( A ^
2 )  /  6
) )  <  ( cos `  A )  /\  ( cos `  A )  <  ( ( 1  -  ( ( A ^ 2 )  / 
2 ) )  +  ( ( A ^
2 )  /  6
) ) )  <->  ( (
1  -  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  / 
3 ) ) )  <  ( cos `  A
)  /\  ( cos `  A )  <  (
1  -  ( ( A ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
12169, 120bitrd 256 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( abs `  (
( cos `  A
)  -  ( 1  -  ( ( A ^ 2 )  / 
2 ) ) ) )  <  ( ( A ^ 2 )  /  6 )  <->  ( (
1  -  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  / 
3 ) ) )  <  ( cos `  A
)  /\  ( cos `  A )  <  (
1  -  ( ( A ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
12268, 121mpbid 213 1  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( A ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( cos `  A )  /\  ( cos `  A )  < 
( 1  -  (
( A ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   class class class wbr 4366    |-> cmpt 4425   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491   _ici 9492    + caddc 9493    x. cmul 9495   RR*cxr 9625    < clt 9626    <_ cle 9627    - cmin 9811    / cdiv 10220   NNcn 10560   2c2 10610   3c3 10611   4c4 10612   6c6 10614   NN0cn0 10820   ZZcz 10888   ZZ>=cuz 11110   (,]cioc 11587   ^cexp 12222   !cfa 12409   Recre 13104   abscabs 13241   sum_csu 13695   cosccos 14060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-pm 7430  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-rp 11254  df-ioc 11591  df-ico 11592  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-seq 12164  df-exp 12223  df-fac 12410  df-hash 12466  df-shft 13074  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-limsup 13469  df-clim 13495  df-rlim 13496  df-sum 13696  df-ef 14064  df-cos 14067
This theorem is referenced by:  cos1bnd  14184  cos01gt0  14188  tangtx  23402
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