Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  corcltrcl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem corcltrcl 36402
Description: The composition of the reflexive and transitive closures is the reflexive-transitive closure. (Contributed by RP, 17-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
corcltrcl  |-  ( r*  o.  t+ )  =  t*

Proof of Theorem corcltrcl
Dummy variables  a 
b  c  d  i  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfrcl4 36339 . 2  |-  r*  =  ( a  e.  _V  |->  U_ i  e.  {
0 ,  1 }  ( a ^r 
i ) )
2 dftrcl3 36383 . 2  |-  t+  =  ( b  e.  _V  |->  U_ j  e.  NN  ( b ^r 
j ) )
3 dfrtrcl3 36396 . 2  |-  t*  =  ( c  e.  _V  |->  U_ k  e.  NN0  ( c ^r 
k ) )
4 prex 4642 . 2  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
5 nnex 10637 . 2  |-  NN  e.  _V
6 df-n0 10894 . . 3  |-  NN0  =  ( NN  u.  { 0 } )
7 uncom 3569 . . 3  |-  ( NN  u.  { 0 } )  =  ( { 0 }  u.  NN )
8 df-pr 3962 . . . . 5  |-  { 0 ,  1 }  =  ( { 0 }  u.  { 1 } )
98uneq1i 3575 . . . 4  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  NN )  =  ( ( { 0 }  u.  { 1 } )  u.  NN )
10 unass 3582 . . . 4  |-  ( ( { 0 }  u.  { 1 } )  u.  NN )  =  ( { 0 }  u.  ( { 1 }  u.  NN ) )
11 1nn 10642 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
12 snssi 4107 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN  ->  { 1 }  C_  NN )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { 1 }  C_  NN
14 ssequn1 3595 . . . . . 6  |-  ( { 1 }  C_  NN  <->  ( { 1 }  u.  NN )  =  NN )
1513, 14mpbi 213 . . . . 5  |-  ( { 1 }  u.  NN )  =  NN
1615uneq2i 3576 . . . 4  |-  ( { 0 }  u.  ( { 1 }  u.  NN ) )  =  ( { 0 }  u.  NN )
179, 10, 163eqtrri 2498 . . 3  |-  ( { 0 }  u.  NN )  =  ( {
0 ,  1 }  u.  NN )
186, 7, 173eqtri 2497 . 2  |-  NN0  =  ( { 0 ,  1 }  u.  NN )
19 oveq2 6316 . . . 4  |-  ( k  =  i  ->  (
d ^r  k )  =  ( d ^r  i ) )
2019cbviunv 4308 . . 3  |-  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  = 
U_ i  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
i )
21 ss2iun 4285 . . . 4  |-  ( A. i  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  i )  C_  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  i )  ->  U_ i  e. 
{ 0 ,  1 }  ( d ^r  i )  C_  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i ) )
22 vex 3034 . . . . . . . 8  |-  d  e. 
_V
23 relexp1g 13166 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  _V  ->  (
d ^r  1 )  =  d )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( d ^r  1 )  =  d
25 oveq2 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  1  ->  (
d ^r  j )  =  ( d ^r  1 ) )
2625ssiun2s 4313 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
d ^r  1 )  C_  U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) )
2711, 26ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( d ^r  1 ) 
C_  U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j )
2824, 27eqsstr3i 3449 . . . . . 6  |-  d  C_  U_ j  e.  NN  (
d ^r  j )
2928a1i 11 . . . . 5  |-  ( i  e.  { 0 ,  1 }  ->  d  C_ 
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) )
30 ovex 6336 . . . . . . 7  |-  ( d ^r  j )  e.  _V
315, 30iunex 6792 . . . . . 6  |-  U_ j  e.  NN  ( d ^r  j )  e. 
_V
3231a1i 11 . . . . 5  |-  ( i  e.  { 0 ,  1 }  ->  U_ j  e.  NN  ( d ^r  j )  e. 
_V )
33 0nn0 10908 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
34 1nn0 10909 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
35 prssi 4119 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  ->  { 0 ,  1 }  C_  NN0 )
3633, 34, 35mp2an 686 . . . . . 6  |-  { 0 ,  1 }  C_  NN0
3736sseli 3414 . . . . 5  |-  ( i  e.  { 0 ,  1 }  ->  i  e.  NN0 )
3829, 32, 37relexpss1d 36368 . . . 4  |-  ( i  e.  { 0 ,  1 }  ->  (
d ^r  i )  C_  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  i ) )
3921, 38mprg 2770 . . 3  |-  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  i )  C_  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )
4020, 39eqsstri 3448 . 2  |-  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  C_  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )
41 oveq2 6316 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
d ^r  k )  =  ( d ^r  j ) )
4241cbviunv 4308 . . . 4  |-  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  = 
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j )
43 relexp1g 13166 . . . . 5  |-  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j )  e.  _V  ->  (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
1 )  =  U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) )
4431, 43ax-mp 5 . . . 4  |-  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  1 )  =  U_ j  e.  NN  ( d ^r  j )
4542, 44eqtr4i 2496 . . 3  |-  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  =  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  1 )
46 1ex 9656 . . . . 5  |-  1  e.  _V
4746prid2 4072 . . . 4  |-  1  e.  { 0 ,  1 }
48 oveq2 6316 . . . . 5  |-  ( i  =  1  ->  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  =  (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
1 ) )
4948ssiun2s 4313 . . . 4  |-  ( 1  e.  { 0 ,  1 }  ->  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
1 )  C_  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i ) )
5047, 49ax-mp 5 . . 3  |-  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  1 )  C_  U_ i  e. 
{ 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )
5145, 50eqsstri 3448 . 2  |-  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  C_  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )
52 c0ex 9655 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
5352prid1 4071 . . . . 5  |-  0  e.  { 0 ,  1 }
54 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  (
d ^r  k )  =  ( d ^r  0 ) )
5554ssiun2s 4313 . . . . 5  |-  ( 0  e.  { 0 ,  1 }  ->  (
d ^r  0 )  C_  U_ k  e. 
{ 0 ,  1 }  ( d ^r  k ) )
5653, 55ax-mp 5 . . . 4  |-  ( d ^r  0 ) 
C_  U_ k  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
k )
57 ssid 3437 . . . 4  |-  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  C_  U_ k  e.  NN  (
d ^r  k )
58 unss12 3597 . . . 4  |-  ( ( ( d ^r 
0 )  C_  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  /\  U_ k  e.  NN  (
d ^r  k )  C_  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k ) )  ->  ( ( d ^r  0 )  u.  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k ) ) 
C_  ( U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  u. 
U_ k  e.  NN  ( d ^r 
k ) ) )
5956, 57, 58mp2an 686 . . 3  |-  ( ( d ^r  0 )  u.  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k ) ) 
C_  ( U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  u. 
U_ k  e.  NN  ( d ^r 
k ) )
60 iuneq1 4283 . . . . 5  |-  ( { 0 ,  1 }  =  ( { 0 }  u.  { 1 } )  ->  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )  = 
U_ i  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i ) )
618, 60ax-mp 5 . . . 4  |-  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )  = 
U_ i  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )
62 iunxun 4354 . . . 4  |-  U_ i  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )  =  ( U_ i  e. 
{ 0 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  u.  U_ i  e.  { 1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i ) )
63 oveq2 6316 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  =  (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
0 ) )
6452, 63iunxsn 4352 . . . . . 6  |-  U_ i  e.  { 0 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  =  (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
0 )
65 nnssnn0 10896 . . . . . . 7  |-  NN  C_  NN0
66 inelcm 3823 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  { 0 ,  1 }  /\  1  e.  NN )  ->  ( { 0 ,  1 }  i^i  NN )  =/=  (/) )
6747, 11, 66mp2an 686 . . . . . . 7  |-  ( { 0 ,  1 }  i^i  NN )  =/=  (/)
68 iunrelexp0 36365 . . . . . . 7  |-  ( ( d  e.  _V  /\  NN  C_  NN0  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  NN )  =/=  (/) )  ->  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
0 )  =  ( d ^r  0 ) )
6922, 65, 67, 68mp3an 1390 . . . . . 6  |-  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  0 )  =  ( d ^r  0 )
7064, 69eqtri 2493 . . . . 5  |-  U_ i  e.  { 0 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  =  ( d ^r  0 )
7146, 48iunxsn 4352 . . . . . 6  |-  U_ i  e.  { 1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  =  (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
1 )
7244, 42eqtr4i 2496 . . . . . 6  |-  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  1 )  =  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )
7371, 72eqtri 2493 . . . . 5  |-  U_ i  e.  { 1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  =  U_ k  e.  NN  (
d ^r  k )
7470, 73uneq12i 3577 . . . 4  |-  ( U_ i  e.  { 0 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )  u. 
U_ i  e.  {
1 }  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  i ) )  =  ( ( d ^r 
0 )  u.  U_ k  e.  NN  (
d ^r  k ) )
7561, 62, 743eqtri 2497 . . 3  |-  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )  =  ( ( d ^r  0 )  u. 
U_ k  e.  NN  ( d ^r 
k ) )
76 iunxun 4354 . . 3  |-  U_ k  e.  ( { 0 ,  1 }  u.  NN ) ( d ^r  k )  =  ( U_ k  e. 
{ 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  u. 
U_ k  e.  NN  ( d ^r 
k ) )
7759, 75, 763sstr4i 3457 . 2  |-  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )  C_  U_ k  e.  ( { 0 ,  1 }  u.  NN ) ( d ^r  k )
781, 2, 3, 4, 5, 18, 40, 51, 77comptiunov2i 36369 1  |-  ( r*  o.  t+ )  =  t*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   _Vcvv 3031    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   {cpr 3961   U_ciun 4269    o. ccom 4843  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558   NNcn 10631   NN0cn0 10893   t+ctcl 13124   t*crtcl 13125   ^r crelexp 13160   r*crcl 36335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-seq 12252  df-trcl 13126  df-rtrcl 13127  df-relexp 13161  df-rcl 36336
This theorem is referenced by:  cortrcltrcl  36403  corclrtrcl  36404
  Copyright terms: Public domain W3C validator