Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  corcltrcl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem corcltrcl 36402
 Description: The composition of the reflexive and transitive closures is the reflexive-transitive closure. (Contributed by RP, 17-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
corcltrcl

Proof of Theorem corcltrcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfrcl4 36339 . 2
2 dftrcl3 36383 . 2
3 dfrtrcl3 36396 . 2
4 prex 4642 . 2
5 nnex 10637 . 2
6 df-n0 10894 . . 3
7 uncom 3569 . . 3
8 df-pr 3962 . . . . 5
98uneq1i 3575 . . . 4
10 unass 3582 . . . 4
11 1nn 10642 . . . . . . 7
12 snssi 4107 . . . . . . 7
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6
14 ssequn1 3595 . . . . . 6
1513, 14mpbi 213 . . . . 5
1615uneq2i 3576 . . . 4
179, 10, 163eqtrri 2498 . . 3
186, 7, 173eqtri 2497 . 2
19 oveq2 6316 . . . 4
2019cbviunv 4308 . . 3
21 ss2iun 4285 . . . 4
22 vex 3034 . . . . . . . 8
23 relexp1g 13166 . . . . . . . 8
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . 7
25 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
2625ssiun2s 4313 . . . . . . . 8
2711, 26ax-mp 5 . . . . . . 7
2824, 27eqsstr3i 3449 . . . . . 6
2928a1i 11 . . . . 5
30 ovex 6336 . . . . . . 7
315, 30iunex 6792 . . . . . 6
3231a1i 11 . . . . 5
33 0nn0 10908 . . . . . . 7
34 1nn0 10909 . . . . . . 7
35 prssi 4119 . . . . . . 7
3633, 34, 35mp2an 686 . . . . . 6
3736sseli 3414 . . . . 5
3829, 32, 37relexpss1d 36368 . . . 4
3921, 38mprg 2770 . . 3
4020, 39eqsstri 3448 . 2
41 oveq2 6316 . . . . 5
4241cbviunv 4308 . . . 4
43 relexp1g 13166 . . . . 5
4431, 43ax-mp 5 . . . 4
4542, 44eqtr4i 2496 . . 3
46 1ex 9656 . . . . 5
4746prid2 4072 . . . 4
48 oveq2 6316 . . . . 5
4948ssiun2s 4313 . . . 4
5047, 49ax-mp 5 . . 3
5145, 50eqsstri 3448 . 2
52 c0ex 9655 . . . . . 6
5352prid1 4071 . . . . 5
54 oveq2 6316 . . . . . 6
5554ssiun2s 4313 . . . . 5
5653, 55ax-mp 5 . . . 4
57 ssid 3437 . . . 4
58 unss12 3597 . . . 4
5956, 57, 58mp2an 686 . . 3
60 iuneq1 4283 . . . . 5
618, 60ax-mp 5 . . . 4
62 iunxun 4354 . . . 4
63 oveq2 6316 . . . . . . 7
6452, 63iunxsn 4352 . . . . . 6
65 nnssnn0 10896 . . . . . . 7
66 inelcm 3823 . . . . . . . 8
6747, 11, 66mp2an 686 . . . . . . 7
68 iunrelexp0 36365 . . . . . . 7
6922, 65, 67, 68mp3an 1390 . . . . . 6
7064, 69eqtri 2493 . . . . 5
7146, 48iunxsn 4352 . . . . . 6
7244, 42eqtr4i 2496 . . . . . 6
7371, 72eqtri 2493 . . . . 5
7470, 73uneq12i 3577 . . . 4
7561, 62, 743eqtri 2497 . . 3
76 iunxun 4354 . . 3
7759, 75, 763sstr4i 3457 . 2
781, 2, 3, 4, 5, 18, 40, 51, 77comptiunov2i 36369 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  cvv 3031   cun 3388   cin 3389   wss 3390  c0 3722  csn 3959  cpr 3961  ciun 4269   ccom 4843  (class class class)co 6308  cc0 9557  c1 9558  cn 10631  cn0 10893  ctcl 13124  crtcl 13125   crelexp 13160  crcl 36335 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-seq 12252  df-trcl 13126  df-rtrcl 13127  df-relexp 13161  df-rcl 36336 This theorem is referenced by:  cortrcltrcl  36403  corclrtrcl  36404
 Copyright terms: Public domain W3C validator