Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  corcltrcl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem corcltrcl 36343
Description: The composition of the reflexive and transitive closures is the reflexive-transitive closure. (Contributed by RP, 17-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
corcltrcl  |-  ( r*  o.  t+ )  =  t*

Proof of Theorem corcltrcl
Dummy variables  a 
b  c  d  i  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfrcl4 36280 . 2  |-  r*  =  ( a  e.  _V  |->  U_ i  e.  {
0 ,  1 }  ( a ^r 
i ) )
2 dftrcl3 36324 . 2  |-  t+  =  ( b  e.  _V  |->  U_ j  e.  NN  ( b ^r 
j ) )
3 dfrtrcl3 36337 . 2  |-  t*  =  ( c  e.  _V  |->  U_ k  e.  NN0  ( c ^r 
k ) )
4 prex 4645 . 2  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
5 nnex 10622 . 2  |-  NN  e.  _V
6 df-n0 10877 . . 3  |-  NN0  =  ( NN  u.  { 0 } )
7 uncom 3580 . . 3  |-  ( NN  u.  { 0 } )  =  ( { 0 }  u.  NN )
8 df-pr 3973 . . . . 5  |-  { 0 ,  1 }  =  ( { 0 }  u.  { 1 } )
98uneq1i 3586 . . . 4  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  NN )  =  ( ( { 0 }  u.  { 1 } )  u.  NN )
10 unass 3593 . . . 4  |-  ( ( { 0 }  u.  { 1 } )  u.  NN )  =  ( { 0 }  u.  ( { 1 }  u.  NN ) )
11 1nn 10627 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
12 snssi 4119 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN  ->  { 1 }  C_  NN )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { 1 }  C_  NN
14 ssequn1 3606 . . . . . 6  |-  ( { 1 }  C_  NN  <->  ( { 1 }  u.  NN )  =  NN )
1513, 14mpbi 212 . . . . 5  |-  ( { 1 }  u.  NN )  =  NN
1615uneq2i 3587 . . . 4  |-  ( { 0 }  u.  ( { 1 }  u.  NN ) )  =  ( { 0 }  u.  NN )
179, 10, 163eqtrri 2480 . . 3  |-  ( { 0 }  u.  NN )  =  ( {
0 ,  1 }  u.  NN )
186, 7, 173eqtri 2479 . 2  |-  NN0  =  ( { 0 ,  1 }  u.  NN )
19 oveq2 6303 . . . 4  |-  ( k  =  i  ->  (
d ^r  k )  =  ( d ^r  i ) )
2019cbviunv 4320 . . 3  |-  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  = 
U_ i  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
i )
21 ss2iun 4297 . . . 4  |-  ( A. i  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  i )  C_  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  i )  ->  U_ i  e. 
{ 0 ,  1 }  ( d ^r  i )  C_  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i ) )
22 vex 3050 . . . . . . . 8  |-  d  e. 
_V
23 relexp1g 13101 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  _V  ->  (
d ^r  1 )  =  d )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( d ^r  1 )  =  d
25 oveq2 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  1  ->  (
d ^r  j )  =  ( d ^r  1 ) )
2625ssiun2s 4325 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
d ^r  1 )  C_  U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) )
2711, 26ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( d ^r  1 ) 
C_  U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j )
2824, 27eqsstr3i 3465 . . . . . 6  |-  d  C_  U_ j  e.  NN  (
d ^r  j )
2928a1i 11 . . . . 5  |-  ( i  e.  { 0 ,  1 }  ->  d  C_ 
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) )
30 ovex 6323 . . . . . . 7  |-  ( d ^r  j )  e.  _V
315, 30iunex 6778 . . . . . 6  |-  U_ j  e.  NN  ( d ^r  j )  e. 
_V
3231a1i 11 . . . . 5  |-  ( i  e.  { 0 ,  1 }  ->  U_ j  e.  NN  ( d ^r  j )  e. 
_V )
33 0nn0 10891 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
34 1nn0 10892 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
35 prssi 4131 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  ->  { 0 ,  1 }  C_  NN0 )
3633, 34, 35mp2an 679 . . . . . 6  |-  { 0 ,  1 }  C_  NN0
3736sseli 3430 . . . . 5  |-  ( i  e.  { 0 ,  1 }  ->  i  e.  NN0 )
3829, 32, 37relexpss1d 36309 . . . 4  |-  ( i  e.  { 0 ,  1 }  ->  (
d ^r  i )  C_  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  i ) )
3921, 38mprg 2753 . . 3  |-  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  i )  C_  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )
4020, 39eqsstri 3464 . 2  |-  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  C_  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )
41 oveq2 6303 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
d ^r  k )  =  ( d ^r  j ) )
4241cbviunv 4320 . . . 4  |-  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  = 
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j )
43 relexp1g 13101 . . . . 5  |-  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j )  e.  _V  ->  (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
1 )  =  U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) )
4431, 43ax-mp 5 . . . 4  |-  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  1 )  =  U_ j  e.  NN  ( d ^r  j )
4542, 44eqtr4i 2478 . . 3  |-  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  =  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  1 )
46 1ex 9643 . . . . 5  |-  1  e.  _V
4746prid2 4084 . . . 4  |-  1  e.  { 0 ,  1 }
48 oveq2 6303 . . . . 5  |-  ( i  =  1  ->  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  =  (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
1 ) )
4948ssiun2s 4325 . . . 4  |-  ( 1  e.  { 0 ,  1 }  ->  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
1 )  C_  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i ) )
5047, 49ax-mp 5 . . 3  |-  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  1 )  C_  U_ i  e. 
{ 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )
5145, 50eqsstri 3464 . 2  |-  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  C_  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )
52 c0ex 9642 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
5352prid1 4083 . . . . 5  |-  0  e.  { 0 ,  1 }
54 oveq2 6303 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  (
d ^r  k )  =  ( d ^r  0 ) )
5554ssiun2s 4325 . . . . 5  |-  ( 0  e.  { 0 ,  1 }  ->  (
d ^r  0 )  C_  U_ k  e. 
{ 0 ,  1 }  ( d ^r  k ) )
5653, 55ax-mp 5 . . . 4  |-  ( d ^r  0 ) 
C_  U_ k  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
k )
57 ssid 3453 . . . 4  |-  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  C_  U_ k  e.  NN  (
d ^r  k )
58 unss12 3608 . . . 4  |-  ( ( ( d ^r 
0 )  C_  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  /\  U_ k  e.  NN  (
d ^r  k )  C_  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k ) )  ->  ( ( d ^r  0 )  u.  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k ) ) 
C_  ( U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  u. 
U_ k  e.  NN  ( d ^r 
k ) ) )
5956, 57, 58mp2an 679 . . 3  |-  ( ( d ^r  0 )  u.  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k ) ) 
C_  ( U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  u. 
U_ k  e.  NN  ( d ^r 
k ) )
60 iuneq1 4295 . . . . 5  |-  ( { 0 ,  1 }  =  ( { 0 }  u.  { 1 } )  ->  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )  = 
U_ i  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i ) )
618, 60ax-mp 5 . . . 4  |-  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )  = 
U_ i  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )
62 iunxun 4366 . . . 4  |-  U_ i  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )  =  ( U_ i  e. 
{ 0 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  u.  U_ i  e.  { 1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i ) )
63 oveq2 6303 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  =  (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
0 ) )
6452, 63iunxsn 4364 . . . . . 6  |-  U_ i  e.  { 0 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  =  (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
0 )
65 nnssnn0 10879 . . . . . . 7  |-  NN  C_  NN0
66 inelcm 3821 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  { 0 ,  1 }  /\  1  e.  NN )  ->  ( { 0 ,  1 }  i^i  NN )  =/=  (/) )
6747, 11, 66mp2an 679 . . . . . . 7  |-  ( { 0 ,  1 }  i^i  NN )  =/=  (/)
68 iunrelexp0 36306 . . . . . . 7  |-  ( ( d  e.  _V  /\  NN  C_  NN0  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  NN )  =/=  (/) )  ->  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
0 )  =  ( d ^r  0 ) )
6922, 65, 67, 68mp3an 1366 . . . . . 6  |-  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  0 )  =  ( d ^r  0 )
7064, 69eqtri 2475 . . . . 5  |-  U_ i  e.  { 0 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  =  ( d ^r  0 )
7146, 48iunxsn 4364 . . . . . 6  |-  U_ i  e.  { 1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  =  (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
1 )
7244, 42eqtr4i 2478 . . . . . 6  |-  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  1 )  =  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )
7371, 72eqtri 2475 . . . . 5  |-  U_ i  e.  { 1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  =  U_ k  e.  NN  (
d ^r  k )
7470, 73uneq12i 3588 . . . 4  |-  ( U_ i  e.  { 0 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )  u. 
U_ i  e.  {
1 }  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  i ) )  =  ( ( d ^r 
0 )  u.  U_ k  e.  NN  (
d ^r  k ) )
7561, 62, 743eqtri 2479 . . 3  |-  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )  =  ( ( d ^r  0 )  u. 
U_ k  e.  NN  ( d ^r 
k ) )
76 iunxun 4366 . . 3  |-  U_ k  e.  ( { 0 ,  1 }  u.  NN ) ( d ^r  k )  =  ( U_ k  e. 
{ 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  u. 
U_ k  e.  NN  ( d ^r 
k ) )
7759, 75, 763sstr4i 3473 . 2  |-  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )  C_  U_ k  e.  ( { 0 ,  1 }  u.  NN ) ( d ^r  k )
781, 2, 3, 4, 5, 18, 40, 51, 77comptiunov2i 36310 1  |-  ( r*  o.  t+ )  =  t*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   _Vcvv 3047    u. cun 3404    i^i cin 3405    C_ wss 3406   (/)c0 3733   {csn 3970   {cpr 3972   U_ciun 4281    o. ccom 4841  (class class class)co 6295   0cc0 9544   1c1 9545   NNcn 10616   NN0cn0 10876   t+ctcl 13061   t*crtcl 13062   ^r crelexp 13095   r*crcl 36276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-seq 12221  df-trcl 13063  df-rtrcl 13064  df-relexp 13096  df-rcl 36277
This theorem is referenced by:  cortrcltrcl  36344  corclrtrcl  36345
  Copyright terms: Public domain W3C validator