Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  corcltrcl Structured version   Unicode version

Theorem corcltrcl 35698
Description: The composition of the reflexive and transitive closures is the reflexive-transitive closure. (Contributed by RP, 17-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
corcltrcl  |-  ( r*  o.  t+ )  =  t*

Proof of Theorem corcltrcl
Dummy variables  a 
b  c  d  i  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfrcl4 35635 . 2  |-  r*  =  ( a  e.  _V  |->  U_ i  e.  {
0 ,  1 }  ( a ^r 
i ) )
2 dftrcl3 35679 . 2  |-  t+  =  ( b  e.  _V  |->  U_ j  e.  NN  ( b ^r 
j ) )
3 dfrtrcl3 35692 . 2  |-  t*  =  ( c  e.  _V  |->  U_ k  e.  NN0  ( c ^r 
k ) )
4 prex 4632 . 2  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
5 nnex 10581 . 2  |-  NN  e.  _V
6 df-n0 10836 . . 3  |-  NN0  =  ( NN  u.  { 0 } )
7 uncom 3586 . . 3  |-  ( NN  u.  { 0 } )  =  ( { 0 }  u.  NN )
8 df-pr 3974 . . . . 5  |-  { 0 ,  1 }  =  ( { 0 }  u.  { 1 } )
98uneq1i 3592 . . . 4  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  NN )  =  ( ( { 0 }  u.  { 1 } )  u.  NN )
10 unass 3599 . . . 4  |-  ( ( { 0 }  u.  { 1 } )  u.  NN )  =  ( { 0 }  u.  ( { 1 }  u.  NN ) )
11 1nn 10586 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
12 snssi 4115 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN  ->  { 1 }  C_  NN )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { 1 }  C_  NN
14 ssequn1 3612 . . . . . 6  |-  ( { 1 }  C_  NN  <->  ( { 1 }  u.  NN )  =  NN )
1513, 14mpbi 208 . . . . 5  |-  ( { 1 }  u.  NN )  =  NN
1615uneq2i 3593 . . . 4  |-  ( { 0 }  u.  ( { 1 }  u.  NN ) )  =  ( { 0 }  u.  NN )
179, 10, 163eqtrri 2436 . . 3  |-  ( { 0 }  u.  NN )  =  ( {
0 ,  1 }  u.  NN )
186, 7, 173eqtri 2435 . 2  |-  NN0  =  ( { 0 ,  1 }  u.  NN )
19 oveq2 6285 . . . 4  |-  ( k  =  i  ->  (
d ^r  k )  =  ( d ^r  i ) )
2019cbviunv 4309 . . 3  |-  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  = 
U_ i  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
i )
21 ss2iun 4286 . . . 4  |-  ( A. i  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  i )  C_  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  i )  ->  U_ i  e. 
{ 0 ,  1 }  ( d ^r  i )  C_  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i ) )
22 vex 3061 . . . . . . . 8  |-  d  e. 
_V
23 relexp1g 13006 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  _V  ->  (
d ^r  1 )  =  d )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( d ^r  1 )  =  d
25 oveq2 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  1  ->  (
d ^r  j )  =  ( d ^r  1 ) )
2625ssiun2s 4314 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
d ^r  1 )  C_  U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) )
2711, 26ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( d ^r  1 ) 
C_  U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j )
2824, 27eqsstr3i 3472 . . . . . 6  |-  d  C_  U_ j  e.  NN  (
d ^r  j )
2928a1i 11 . . . . 5  |-  ( i  e.  { 0 ,  1 }  ->  d  C_ 
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) )
30 ovex 6305 . . . . . . 7  |-  ( d ^r  j )  e.  _V
315, 30iunex 6763 . . . . . 6  |-  U_ j  e.  NN  ( d ^r  j )  e. 
_V
3231a1i 11 . . . . 5  |-  ( i  e.  { 0 ,  1 }  ->  U_ j  e.  NN  ( d ^r  j )  e. 
_V )
33 0nn0 10850 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
34 1nn0 10851 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
35 prssi 4127 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  ->  { 0 ,  1 }  C_  NN0 )
3633, 34, 35mp2an 670 . . . . . 6  |-  { 0 ,  1 }  C_  NN0
3736sseli 3437 . . . . 5  |-  ( i  e.  { 0 ,  1 }  ->  i  e.  NN0 )
3829, 32, 37relexpss1d 35664 . . . 4  |-  ( i  e.  { 0 ,  1 }  ->  (
d ^r  i )  C_  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  i ) )
3921, 38mprg 2766 . . 3  |-  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  i )  C_  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )
4020, 39eqsstri 3471 . 2  |-  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  C_  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )
41 oveq2 6285 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
d ^r  k )  =  ( d ^r  j ) )
4241cbviunv 4309 . . . 4  |-  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  = 
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j )
43 relexp1g 13006 . . . . 5  |-  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j )  e.  _V  ->  (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
1 )  =  U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) )
4431, 43ax-mp 5 . . . 4  |-  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  1 )  =  U_ j  e.  NN  ( d ^r  j )
4542, 44eqtr4i 2434 . . 3  |-  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  =  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  1 )
46 1ex 9620 . . . . 5  |-  1  e.  _V
4746prid2 4080 . . . 4  |-  1  e.  { 0 ,  1 }
48 oveq2 6285 . . . . 5  |-  ( i  =  1  ->  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  =  (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
1 ) )
4948ssiun2s 4314 . . . 4  |-  ( 1  e.  { 0 ,  1 }  ->  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
1 )  C_  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i ) )
5047, 49ax-mp 5 . . 3  |-  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  1 )  C_  U_ i  e. 
{ 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )
5145, 50eqsstri 3471 . 2  |-  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  C_  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )
52 c0ex 9619 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
5352prid1 4079 . . . . 5  |-  0  e.  { 0 ,  1 }
54 oveq2 6285 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  (
d ^r  k )  =  ( d ^r  0 ) )
5554ssiun2s 4314 . . . . 5  |-  ( 0  e.  { 0 ,  1 }  ->  (
d ^r  0 )  C_  U_ k  e. 
{ 0 ,  1 }  ( d ^r  k ) )
5653, 55ax-mp 5 . . . 4  |-  ( d ^r  0 ) 
C_  U_ k  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
k )
57 ssid 3460 . . . 4  |-  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  C_  U_ k  e.  NN  (
d ^r  k )
58 unss12 3614 . . . 4  |-  ( ( ( d ^r 
0 )  C_  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  /\  U_ k  e.  NN  (
d ^r  k )  C_  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k ) )  ->  ( ( d ^r  0 )  u.  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k ) ) 
C_  ( U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  u. 
U_ k  e.  NN  ( d ^r 
k ) ) )
5956, 57, 58mp2an 670 . . 3  |-  ( ( d ^r  0 )  u.  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k ) ) 
C_  ( U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  u. 
U_ k  e.  NN  ( d ^r 
k ) )
60 iuneq1 4284 . . . . 5  |-  ( { 0 ,  1 }  =  ( { 0 }  u.  { 1 } )  ->  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )  = 
U_ i  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i ) )
618, 60ax-mp 5 . . . 4  |-  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )  = 
U_ i  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )
62 iunxun 4355 . . . 4  |-  U_ i  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )  =  ( U_ i  e. 
{ 0 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  u.  U_ i  e.  { 1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i ) )
63 oveq2 6285 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  =  (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
0 ) )
6452, 63iunxsn 4353 . . . . . 6  |-  U_ i  e.  { 0 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  =  (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
0 )
65 nnssnn0 10838 . . . . . . 7  |-  NN  C_  NN0
66 inelcm 3823 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  { 0 ,  1 }  /\  1  e.  NN )  ->  ( { 0 ,  1 }  i^i  NN )  =/=  (/) )
6747, 11, 66mp2an 670 . . . . . . 7  |-  ( { 0 ,  1 }  i^i  NN )  =/=  (/)
68 iunrelexp0 35661 . . . . . . 7  |-  ( ( d  e.  _V  /\  NN  C_  NN0  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  NN )  =/=  (/) )  ->  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
0 )  =  ( d ^r  0 ) )
6922, 65, 67, 68mp3an 1326 . . . . . 6  |-  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  0 )  =  ( d ^r  0 )
7064, 69eqtri 2431 . . . . 5  |-  U_ i  e.  { 0 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  =  ( d ^r  0 )
7146, 48iunxsn 4353 . . . . . 6  |-  U_ i  e.  { 1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  =  (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
1 )
7244, 42eqtr4i 2434 . . . . . 6  |-  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  1 )  =  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )
7371, 72eqtri 2431 . . . . 5  |-  U_ i  e.  { 1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  =  U_ k  e.  NN  (
d ^r  k )
7470, 73uneq12i 3594 . . . 4  |-  ( U_ i  e.  { 0 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )  u. 
U_ i  e.  {
1 }  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  i ) )  =  ( ( d ^r 
0 )  u.  U_ k  e.  NN  (
d ^r  k ) )
7561, 62, 743eqtri 2435 . . 3  |-  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )  =  ( ( d ^r  0 )  u. 
U_ k  e.  NN  ( d ^r 
k ) )
76 iunxun 4355 . . 3  |-  U_ k  e.  ( { 0 ,  1 }  u.  NN ) ( d ^r  k )  =  ( U_ k  e. 
{ 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  u. 
U_ k  e.  NN  ( d ^r 
k ) )
7759, 75, 763sstr4i 3480 . 2  |-  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )  C_  U_ k  e.  ( { 0 ,  1 }  u.  NN ) ( d ^r  k )
781, 2, 3, 4, 5, 18, 40, 51, 77comptiunov2i 35665 1  |-  ( r*  o.  t+ )  =  t*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   _Vcvv 3058    u. cun 3411    i^i cin 3412    C_ wss 3413   (/)c0 3737   {csn 3971   {cpr 3973   U_ciun 4270    o. ccom 4826  (class class class)co 6277   0cc0 9521   1c1 9522   NNcn 10575   NN0cn0 10835   t+ctcl 12966   t*crtcl 12967   ^r crelexp 13000   r*crcl 35631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-seq 12150  df-trcl 12968  df-rtrcl 12969  df-relexp 13001  df-rcl 35632
This theorem is referenced by:  cortrcltrcl  35699  corclrtrcl  35700
  Copyright terms: Public domain W3C validator