Theorem corcltrcl 35698

Description: The composition of the reflexive and transitive closures is the reflexive-transitive closure. (Contributed by RP, 17-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
corcltrcl	|- ( r* o. t+ ) = t*

Proof of Theorem corcltrcl

Dummy variables a b c d i j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrcl4 35635	. 2 |- r* = ( a e. _V |-> U_ i e. { 0 , 1 } ( a ^r i ) )
2		dftrcl3 35679	. 2 |- t+ = ( b e. _V |-> U_ j e. NN ( b ^r j ) )
3		dfrtrcl3 35692	. 2 |- t* = ( c e. _V |-> U_ k e. NN0 ( c ^r k ) )
4		prex 4632	. 2 |- { 0 , 1 } e. _V
5		nnex 10581	. 2 |- NN e. _V
6		df-n0 10836	. . 3 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
7		uncom 3586	. . 3 |- ( NN u. { 0 } ) = ( { 0 } u. NN )
8		df-pr 3974	. . . . 5 |- { 0 , 1 } = ( { 0 } u. { 1 } )
9	8	uneq1i 3592	. . . 4 |- ( { 0 , 1 } u. NN ) = ( ( { 0 } u. { 1 } ) u. NN )
10		unass 3599	. . . 4 |- ( ( { 0 } u. { 1 } ) u. NN ) = ( { 0 } u. ( { 1 } u. NN ) )
11		1nn 10586	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
12		snssi 4115	. . . . . . 7 |- ( 1 e. NN -> { 1 } C_ NN )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { 1 } C_ NN
14		ssequn1 3612	. . . . . 6 |- ( { 1 } C_ NN <-> ( { 1 } u. NN ) = NN )
15	13, 14	mpbi 208	. . . . 5 |- ( { 1 } u. NN ) = NN
16	15	uneq2i 3593	. . . 4 |- ( { 0 } u. ( { 1 } u. NN ) ) = ( { 0 } u. NN )
17	9, 10, 16	3eqtrri 2436	. . 3 |- ( { 0 } u. NN ) = ( { 0 , 1 } u. NN )
18	6, 7, 17	3eqtri 2435	. 2 |- NN0 = ( { 0 , 1 } u. NN )
19		oveq2 6285	. . . 4 |- ( k = i -> ( d ^r k ) = ( d ^r i ) )
20	19	cbviunv 4309	. . 3 |- U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) = U_ i e. { 0 , 1 } ( d ^r i )
21		ss2iun 4286	. . . 4 |- ( A. i e. { 0 , 1 } ( d ^r i ) C_ ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) -> U_ i e. { 0 , 1 } ( d ^r i ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) )
22		vex 3061	. . . . . . . 8 |- d e. _V
23		relexp1g 13006	. . . . . . . 8 |- ( d e. _V -> ( d ^r 1 ) = d )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( d ^r 1 ) = d
25		oveq2 6285	. . . . . . . . 9 |- ( j = 1 -> ( d ^r j ) = ( d ^r 1 ) )
26	25	ssiun2s 4314	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. NN -> ( d ^r 1 ) C_ U_ j e. NN ( d ^r j ) )
27	11, 26	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( d ^r 1 ) C_ U_ j e. NN ( d ^r j )
28	24, 27	eqsstr3i 3472	. . . . . 6 |- d C_ U_ j e. NN ( d ^r j )
29	28	a1i 11	. . . . 5 |- ( i e. { 0 , 1 } -> d C_ U_ j e. NN ( d ^r j ) )
30		ovex 6305	. . . . . . 7 |- ( d ^r j ) e. _V
31	5, 30	iunex 6763	. . . . . 6 |- U_ j e. NN ( d ^r j ) e. _V
32	31	a1i 11	. . . . 5 |- ( i e. { 0 , 1 } -> U_ j e. NN ( d ^r j ) e. _V )
33		0nn0 10850	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
34		1nn0 10851	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
35		prssi 4127	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } C_ NN0 )
36	33, 34, 35	mp2an 670	. . . . . 6 |- { 0 , 1 } C_ NN0
37	36	sseli 3437	. . . . 5 |- ( i e. { 0 , 1 } -> i e. NN0 )
38	29, 32, 37	relexpss1d 35664	. . . 4 |- ( i e. { 0 , 1 } -> ( d ^r i ) C_ ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) )
39	21, 38	mprg 2766	. . 3 |- U_ i e. { 0 , 1 } ( d ^r i ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i )
40	20, 39	eqsstri 3471	. 2 |- U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i )
41		oveq2 6285	. . . . 5 |- ( k = j -> ( d ^r k ) = ( d ^r j ) )
42	41	cbviunv 4309	. . . 4 |- U_ k e. NN ( d ^r k ) = U_ j e. NN ( d ^r j )
43		relexp1g 13006	. . . . 5 |- ( U_ j e. NN ( d ^r j ) e. _V -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) = U_ j e. NN ( d ^r j ) )
44	31, 43	ax-mp 5	. . . 4 |- ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) = U_ j e. NN ( d ^r j )
45	42, 44	eqtr4i 2434	. . 3 |- U_ k e. NN ( d ^r k ) = ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 )
46		1ex 9620	. . . . 5 |- 1 e. _V
47	46	prid2 4080	. . . 4 |- 1 e. { 0 , 1 }
48		oveq2 6285	. . . . 5 |- ( i = 1 -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) )
49	48	ssiun2s 4314	. . . 4 |- ( 1 e. { 0 , 1 } -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) )
50	47, 49	ax-mp 5	. . 3 |- ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i )
51	45, 50	eqsstri 3471	. 2 |- U_ k e. NN ( d ^r k ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i )
52		c0ex 9619	. . . . . 6 |- 0 e. _V
53	52	prid1 4079	. . . . 5 |- 0 e. { 0 , 1 }
54		oveq2 6285	. . . . . 6 |- ( k = 0 -> ( d ^r k ) = ( d ^r 0 ) )
55	54	ssiun2s 4314	. . . . 5 |- ( 0 e. { 0 , 1 } -> ( d ^r 0 ) C_ U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) )
56	53, 55	ax-mp 5	. . . 4 |- ( d ^r 0 ) C_ U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k )
57		ssid 3460	. . . 4 |- U_ k e. NN ( d ^r k ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k )
58		unss12 3614	. . . 4 |- ( ( ( d ^r 0 ) C_ U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) /\ U_ k e. NN ( d ^r k ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k ) ) -> ( ( d ^r 0 ) u. U_ k e. NN ( d ^r k ) ) C_ ( U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) u. U_ k e. NN ( d ^r k ) ) )
59	56, 57, 58	mp2an 670	. . 3 |- ( ( d ^r 0 ) u. U_ k e. NN ( d ^r k ) ) C_ ( U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) u. U_ k e. NN ( d ^r k ) )
60		iuneq1 4284	. . . . 5 |- ( { 0 , 1 } = ( { 0 } u. { 1 } ) -> U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = U_ i e. ( { 0 } u. { 1 } ) ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) )
61	8, 60	ax-mp 5	. . . 4 |- U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = U_ i e. ( { 0 } u. { 1 } ) ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i )
62		iunxun 4355	. . . 4 |- U_ i e. ( { 0 } u. { 1 } ) ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ i e. { 0 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) u. U_ i e. { 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) )
63		oveq2 6285	. . . . . . 7 |- ( i = 0 -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 0 ) )
64	52, 63	iunxsn 4353	. . . . . 6 |- U_ i e. { 0 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 0 )
65		nnssnn0 10838	. . . . . . 7 |- NN C_ NN0
66		inelcm 3823	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. { 0 , 1 } /\ 1 e. NN ) -> ( { 0 , 1 } i^i NN ) =/= (/) )
67	47, 11, 66	mp2an 670	. . . . . . 7 |- ( { 0 , 1 } i^i NN ) =/= (/)
68		iunrelexp0 35661	. . . . . . 7 |- ( ( d e. _V /\ NN C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i NN ) =/= (/) ) -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 0 ) = ( d ^r 0 ) )
69	22, 65, 67, 68	mp3an 1326	. . . . . 6 |- ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 0 ) = ( d ^r 0 )
70	64, 69	eqtri 2431	. . . . 5 |- U_ i e. { 0 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( d ^r 0 )
71	46, 48	iunxsn 4353	. . . . . 6 |- U_ i e. { 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 )
72	44, 42	eqtr4i 2434	. . . . . 6 |- ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) = U_ k e. NN ( d ^r k )
73	71, 72	eqtri 2431	. . . . 5 |- U_ i e. { 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = U_ k e. NN ( d ^r k )
74	70, 73	uneq12i 3594	. . . 4 |- ( U_ i e. { 0 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) u. U_ i e. { 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) ) = ( ( d ^r 0 ) u. U_ k e. NN ( d ^r k ) )
75	61, 62, 74	3eqtri 2435	. . 3 |- U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( ( d ^r 0 ) u. U_ k e. NN ( d ^r k ) )
76		iunxun 4355	. . 3 |- U_ k e. ( { 0 , 1 } u. NN ) ( d ^r k ) = ( U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) u. U_ k e. NN ( d ^r k ) )
77	59, 75, 76	3sstr4i 3480	. 2 |- U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) C_ U_ k e. ( { 0 , 1 } u. NN ) ( d ^r k )
78	1, 2, 3, 4, 5, 18, 40, 51, 77	comptiunov2i 35665	1 |- ( r* o. t+ ) = t*

Syntax hints:   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   _Vcvv 3058   u. cun 3411   i^i cin 3412   C_ wss 3413   (/)c0 3737   {csn 3971   {cpr 3973   U_ciun 4270   o. ccom 4826  (class class class)co 6277   0cc0 9521   1c1 9522   NNcn 10575   NN0cn0 10835   t+ctcl 12966   t*crtcl 12967   ^r crelexp 13000   r*crcl 35631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-seq 12150  df-trcl 12968  df-rtrcl 12969  df-relexp 13001  df-rcl 35632

This theorem is referenced by:  cortrcltrcl  35699  corclrtrcl  35700