Theorem corcltrcl 36343

Description: The composition of the reflexive and transitive closures is the reflexive-transitive closure. (Contributed by RP, 17-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
corcltrcl	|- ( r* o. t+ ) = t*

Proof of Theorem corcltrcl

Dummy variables a b c d i j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrcl4 36280	. 2 |- r* = ( a e. _V |-> U_ i e. { 0 , 1 } ( a ^r i ) )
2		dftrcl3 36324	. 2 |- t+ = ( b e. _V |-> U_ j e. NN ( b ^r j ) )
3		dfrtrcl3 36337	. 2 |- t* = ( c e. _V |-> U_ k e. NN0 ( c ^r k ) )
4		prex 4645	. 2 |- { 0 , 1 } e. _V
5		nnex 10622	. 2 |- NN e. _V
6		df-n0 10877	. . 3 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
7		uncom 3580	. . 3 |- ( NN u. { 0 } ) = ( { 0 } u. NN )
8		df-pr 3973	. . . . 5 |- { 0 , 1 } = ( { 0 } u. { 1 } )
9	8	uneq1i 3586	. . . 4 |- ( { 0 , 1 } u. NN ) = ( ( { 0 } u. { 1 } ) u. NN )
10		unass 3593	. . . 4 |- ( ( { 0 } u. { 1 } ) u. NN ) = ( { 0 } u. ( { 1 } u. NN ) )
11		1nn 10627	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
12		snssi 4119	. . . . . . 7 |- ( 1 e. NN -> { 1 } C_ NN )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { 1 } C_ NN
14		ssequn1 3606	. . . . . 6 |- ( { 1 } C_ NN <-> ( { 1 } u. NN ) = NN )
15	13, 14	mpbi 212	. . . . 5 |- ( { 1 } u. NN ) = NN
16	15	uneq2i 3587	. . . 4 |- ( { 0 } u. ( { 1 } u. NN ) ) = ( { 0 } u. NN )
17	9, 10, 16	3eqtrri 2480	. . 3 |- ( { 0 } u. NN ) = ( { 0 , 1 } u. NN )
18	6, 7, 17	3eqtri 2479	. 2 |- NN0 = ( { 0 , 1 } u. NN )
19		oveq2 6303	. . . 4 |- ( k = i -> ( d ^r k ) = ( d ^r i ) )
20	19	cbviunv 4320	. . 3 |- U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) = U_ i e. { 0 , 1 } ( d ^r i )
21		ss2iun 4297	. . . 4 |- ( A. i e. { 0 , 1 } ( d ^r i ) C_ ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) -> U_ i e. { 0 , 1 } ( d ^r i ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) )
22		vex 3050	. . . . . . . 8 |- d e. _V
23		relexp1g 13101	. . . . . . . 8 |- ( d e. _V -> ( d ^r 1 ) = d )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( d ^r 1 ) = d
25		oveq2 6303	. . . . . . . . 9 |- ( j = 1 -> ( d ^r j ) = ( d ^r 1 ) )
26	25	ssiun2s 4325	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. NN -> ( d ^r 1 ) C_ U_ j e. NN ( d ^r j ) )
27	11, 26	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( d ^r 1 ) C_ U_ j e. NN ( d ^r j )
28	24, 27	eqsstr3i 3465	. . . . . 6 |- d C_ U_ j e. NN ( d ^r j )
29	28	a1i 11	. . . . 5 |- ( i e. { 0 , 1 } -> d C_ U_ j e. NN ( d ^r j ) )
30		ovex 6323	. . . . . . 7 |- ( d ^r j ) e. _V
31	5, 30	iunex 6778	. . . . . 6 |- U_ j e. NN ( d ^r j ) e. _V
32	31	a1i 11	. . . . 5 |- ( i e. { 0 , 1 } -> U_ j e. NN ( d ^r j ) e. _V )
33		0nn0 10891	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
34		1nn0 10892	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
35		prssi 4131	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } C_ NN0 )
36	33, 34, 35	mp2an 679	. . . . . 6 |- { 0 , 1 } C_ NN0
37	36	sseli 3430	. . . . 5 |- ( i e. { 0 , 1 } -> i e. NN0 )
38	29, 32, 37	relexpss1d 36309	. . . 4 |- ( i e. { 0 , 1 } -> ( d ^r i ) C_ ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) )
39	21, 38	mprg 2753	. . 3 |- U_ i e. { 0 , 1 } ( d ^r i ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i )
40	20, 39	eqsstri 3464	. 2 |- U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i )
41		oveq2 6303	. . . . 5 |- ( k = j -> ( d ^r k ) = ( d ^r j ) )
42	41	cbviunv 4320	. . . 4 |- U_ k e. NN ( d ^r k ) = U_ j e. NN ( d ^r j )
43		relexp1g 13101	. . . . 5 |- ( U_ j e. NN ( d ^r j ) e. _V -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) = U_ j e. NN ( d ^r j ) )
44	31, 43	ax-mp 5	. . . 4 |- ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) = U_ j e. NN ( d ^r j )
45	42, 44	eqtr4i 2478	. . 3 |- U_ k e. NN ( d ^r k ) = ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 )
46		1ex 9643	. . . . 5 |- 1 e. _V
47	46	prid2 4084	. . . 4 |- 1 e. { 0 , 1 }
48		oveq2 6303	. . . . 5 |- ( i = 1 -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) )
49	48	ssiun2s 4325	. . . 4 |- ( 1 e. { 0 , 1 } -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) )
50	47, 49	ax-mp 5	. . 3 |- ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i )
51	45, 50	eqsstri 3464	. 2 |- U_ k e. NN ( d ^r k ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i )
52		c0ex 9642	. . . . . 6 |- 0 e. _V
53	52	prid1 4083	. . . . 5 |- 0 e. { 0 , 1 }
54		oveq2 6303	. . . . . 6 |- ( k = 0 -> ( d ^r k ) = ( d ^r 0 ) )
55	54	ssiun2s 4325	. . . . 5 |- ( 0 e. { 0 , 1 } -> ( d ^r 0 ) C_ U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) )
56	53, 55	ax-mp 5	. . . 4 |- ( d ^r 0 ) C_ U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k )
57		ssid 3453	. . . 4 |- U_ k e. NN ( d ^r k ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k )
58		unss12 3608	. . . 4 |- ( ( ( d ^r 0 ) C_ U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) /\ U_ k e. NN ( d ^r k ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k ) ) -> ( ( d ^r 0 ) u. U_ k e. NN ( d ^r k ) ) C_ ( U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) u. U_ k e. NN ( d ^r k ) ) )
59	56, 57, 58	mp2an 679	. . 3 |- ( ( d ^r 0 ) u. U_ k e. NN ( d ^r k ) ) C_ ( U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) u. U_ k e. NN ( d ^r k ) )
60		iuneq1 4295	. . . . 5 |- ( { 0 , 1 } = ( { 0 } u. { 1 } ) -> U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = U_ i e. ( { 0 } u. { 1 } ) ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) )
61	8, 60	ax-mp 5	. . . 4 |- U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = U_ i e. ( { 0 } u. { 1 } ) ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i )
62		iunxun 4366	. . . 4 |- U_ i e. ( { 0 } u. { 1 } ) ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ i e. { 0 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) u. U_ i e. { 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) )
63		oveq2 6303	. . . . . . 7 |- ( i = 0 -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 0 ) )
64	52, 63	iunxsn 4364	. . . . . 6 |- U_ i e. { 0 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 0 )
65		nnssnn0 10879	. . . . . . 7 |- NN C_ NN0
66		inelcm 3821	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. { 0 , 1 } /\ 1 e. NN ) -> ( { 0 , 1 } i^i NN ) =/= (/) )
67	47, 11, 66	mp2an 679	. . . . . . 7 |- ( { 0 , 1 } i^i NN ) =/= (/)
68		iunrelexp0 36306	. . . . . . 7 |- ( ( d e. _V /\ NN C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i NN ) =/= (/) ) -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 0 ) = ( d ^r 0 ) )
69	22, 65, 67, 68	mp3an 1366	. . . . . 6 |- ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 0 ) = ( d ^r 0 )
70	64, 69	eqtri 2475	. . . . 5 |- U_ i e. { 0 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( d ^r 0 )
71	46, 48	iunxsn 4364	. . . . . 6 |- U_ i e. { 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 )
72	44, 42	eqtr4i 2478	. . . . . 6 |- ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) = U_ k e. NN ( d ^r k )
73	71, 72	eqtri 2475	. . . . 5 |- U_ i e. { 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = U_ k e. NN ( d ^r k )
74	70, 73	uneq12i 3588	. . . 4 |- ( U_ i e. { 0 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) u. U_ i e. { 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) ) = ( ( d ^r 0 ) u. U_ k e. NN ( d ^r k ) )
75	61, 62, 74	3eqtri 2479	. . 3 |- U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( ( d ^r 0 ) u. U_ k e. NN ( d ^r k ) )
76		iunxun 4366	. . 3 |- U_ k e. ( { 0 , 1 } u. NN ) ( d ^r k ) = ( U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) u. U_ k e. NN ( d ^r k ) )
77	59, 75, 76	3sstr4i 3473	. 2 |- U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) C_ U_ k e. ( { 0 , 1 } u. NN ) ( d ^r k )
78	1, 2, 3, 4, 5, 18, 40, 51, 77	comptiunov2i 36310	1 |- ( r* o. t+ ) = t*

Syntax hints:   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   _Vcvv 3047   u. cun 3404   i^i cin 3405   C_ wss 3406   (/)c0 3733   {csn 3970   {cpr 3972   U_ciun 4281   o. ccom 4841  (class class class)co 6295   0cc0 9544   1c1 9545   NNcn 10616   NN0cn0 10876   t+ctcl 13061   t*crtcl 13062   ^r crelexp 13095   r*crcl 36276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-seq 12221  df-trcl 13063  df-rtrcl 13064  df-relexp 13096  df-rcl 36277

This theorem is referenced by:  cortrcltrcl  36344  corclrtrcl  36345