Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  corcltrcl Structured version   Unicode version

Theorem corcltrcl 36235
Description: The composition of the reflexive and transitive closures is the reflexive-transitive closure. (Contributed by RP, 17-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
corcltrcl  |-  ( r*  o.  t+ )  =  t*

Proof of Theorem corcltrcl
Dummy variables  a 
b  c  d  i  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfrcl4 36172 . 2  |-  r*  =  ( a  e.  _V  |->  U_ i  e.  {
0 ,  1 }  ( a ^r 
i ) )
2 dftrcl3 36216 . 2  |-  t+  =  ( b  e.  _V  |->  U_ j  e.  NN  ( b ^r 
j ) )
3 dfrtrcl3 36229 . 2  |-  t*  =  ( c  e.  _V  |->  U_ k  e.  NN0  ( c ^r 
k ) )
4 prex 4661 . 2  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
5 nnex 10617 . 2  |-  NN  e.  _V
6 df-n0 10872 . . 3  |-  NN0  =  ( NN  u.  { 0 } )
7 uncom 3611 . . 3  |-  ( NN  u.  { 0 } )  =  ( { 0 }  u.  NN )
8 df-pr 4000 . . . . 5  |-  { 0 ,  1 }  =  ( { 0 }  u.  { 1 } )
98uneq1i 3617 . . . 4  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  NN )  =  ( ( { 0 }  u.  { 1 } )  u.  NN )
10 unass 3624 . . . 4  |-  ( ( { 0 }  u.  { 1 } )  u.  NN )  =  ( { 0 }  u.  ( { 1 }  u.  NN ) )
11 1nn 10622 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
12 snssi 4142 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN  ->  { 1 }  C_  NN )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { 1 }  C_  NN
14 ssequn1 3637 . . . . . 6  |-  ( { 1 }  C_  NN  <->  ( { 1 }  u.  NN )  =  NN )
1513, 14mpbi 212 . . . . 5  |-  ( { 1 }  u.  NN )  =  NN
1615uneq2i 3618 . . . 4  |-  ( { 0 }  u.  ( { 1 }  u.  NN ) )  =  ( { 0 }  u.  NN )
179, 10, 163eqtrri 2457 . . 3  |-  ( { 0 }  u.  NN )  =  ( {
0 ,  1 }  u.  NN )
186, 7, 173eqtri 2456 . 2  |-  NN0  =  ( { 0 ,  1 }  u.  NN )
19 oveq2 6311 . . . 4  |-  ( k  =  i  ->  (
d ^r  k )  =  ( d ^r  i ) )
2019cbviunv 4336 . . 3  |-  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  = 
U_ i  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
i )
21 ss2iun 4313 . . . 4  |-  ( A. i  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  i )  C_  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  i )  ->  U_ i  e. 
{ 0 ,  1 }  ( d ^r  i )  C_  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i ) )
22 vex 3085 . . . . . . . 8  |-  d  e. 
_V
23 relexp1g 13083 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  _V  ->  (
d ^r  1 )  =  d )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( d ^r  1 )  =  d
25 oveq2 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  1  ->  (
d ^r  j )  =  ( d ^r  1 ) )
2625ssiun2s 4341 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
d ^r  1 )  C_  U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) )
2711, 26ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( d ^r  1 ) 
C_  U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j )
2824, 27eqsstr3i 3496 . . . . . 6  |-  d  C_  U_ j  e.  NN  (
d ^r  j )
2928a1i 11 . . . . 5  |-  ( i  e.  { 0 ,  1 }  ->  d  C_ 
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) )
30 ovex 6331 . . . . . . 7  |-  ( d ^r  j )  e.  _V
315, 30iunex 6785 . . . . . 6  |-  U_ j  e.  NN  ( d ^r  j )  e. 
_V
3231a1i 11 . . . . 5  |-  ( i  e.  { 0 ,  1 }  ->  U_ j  e.  NN  ( d ^r  j )  e. 
_V )
33 0nn0 10886 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
34 1nn0 10887 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
35 prssi 4154 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  ->  { 0 ,  1 }  C_  NN0 )
3633, 34, 35mp2an 677 . . . . . 6  |-  { 0 ,  1 }  C_  NN0
3736sseli 3461 . . . . 5  |-  ( i  e.  { 0 ,  1 }  ->  i  e.  NN0 )
3829, 32, 37relexpss1d 36201 . . . 4  |-  ( i  e.  { 0 ,  1 }  ->  (
d ^r  i )  C_  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  i ) )
3921, 38mprg 2789 . . 3  |-  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  i )  C_  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )
4020, 39eqsstri 3495 . 2  |-  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  C_  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )
41 oveq2 6311 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
d ^r  k )  =  ( d ^r  j ) )
4241cbviunv 4336 . . . 4  |-  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  = 
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j )
43 relexp1g 13083 . . . . 5  |-  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j )  e.  _V  ->  (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
1 )  =  U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) )
4431, 43ax-mp 5 . . . 4  |-  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  1 )  =  U_ j  e.  NN  ( d ^r  j )
4542, 44eqtr4i 2455 . . 3  |-  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  =  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  1 )
46 1ex 9640 . . . . 5  |-  1  e.  _V
4746prid2 4107 . . . 4  |-  1  e.  { 0 ,  1 }
48 oveq2 6311 . . . . 5  |-  ( i  =  1  ->  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  =  (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
1 ) )
4948ssiun2s 4341 . . . 4  |-  ( 1  e.  { 0 ,  1 }  ->  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
1 )  C_  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i ) )
5047, 49ax-mp 5 . . 3  |-  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  1 )  C_  U_ i  e. 
{ 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )
5145, 50eqsstri 3495 . 2  |-  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  C_  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )
52 c0ex 9639 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
5352prid1 4106 . . . . 5  |-  0  e.  { 0 ,  1 }
54 oveq2 6311 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  (
d ^r  k )  =  ( d ^r  0 ) )
5554ssiun2s 4341 . . . . 5  |-  ( 0  e.  { 0 ,  1 }  ->  (
d ^r  0 )  C_  U_ k  e. 
{ 0 ,  1 }  ( d ^r  k ) )
5653, 55ax-mp 5 . . . 4  |-  ( d ^r  0 ) 
C_  U_ k  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
k )
57 ssid 3484 . . . 4  |-  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  C_  U_ k  e.  NN  (
d ^r  k )
58 unss12 3639 . . . 4  |-  ( ( ( d ^r 
0 )  C_  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  /\  U_ k  e.  NN  (
d ^r  k )  C_  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k ) )  ->  ( ( d ^r  0 )  u.  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k ) ) 
C_  ( U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  u. 
U_ k  e.  NN  ( d ^r 
k ) ) )
5956, 57, 58mp2an 677 . . 3  |-  ( ( d ^r  0 )  u.  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k ) ) 
C_  ( U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  u. 
U_ k  e.  NN  ( d ^r 
k ) )
60 iuneq1 4311 . . . . 5  |-  ( { 0 ,  1 }  =  ( { 0 }  u.  { 1 } )  ->  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )  = 
U_ i  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i ) )
618, 60ax-mp 5 . . . 4  |-  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )  = 
U_ i  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )
62 iunxun 4382 . . . 4  |-  U_ i  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )  =  ( U_ i  e. 
{ 0 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  u.  U_ i  e.  { 1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i ) )
63 oveq2 6311 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  =  (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
0 ) )
6452, 63iunxsn 4380 . . . . . 6  |-  U_ i  e.  { 0 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  =  (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
0 )
65 nnssnn0 10874 . . . . . . 7  |-  NN  C_  NN0
66 inelcm 3848 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  { 0 ,  1 }  /\  1  e.  NN )  ->  ( { 0 ,  1 }  i^i  NN )  =/=  (/) )
6747, 11, 66mp2an 677 . . . . . . 7  |-  ( { 0 ,  1 }  i^i  NN )  =/=  (/)
68 iunrelexp0 36198 . . . . . . 7  |-  ( ( d  e.  _V  /\  NN  C_  NN0  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  NN )  =/=  (/) )  ->  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
0 )  =  ( d ^r  0 ) )
6922, 65, 67, 68mp3an 1361 . . . . . 6  |-  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  0 )  =  ( d ^r  0 )
7064, 69eqtri 2452 . . . . 5  |-  U_ i  e.  { 0 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  =  ( d ^r  0 )
7146, 48iunxsn 4380 . . . . . 6  |-  U_ i  e.  { 1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  =  (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
1 )
7244, 42eqtr4i 2455 . . . . . 6  |-  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  1 )  =  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )
7371, 72eqtri 2452 . . . . 5  |-  U_ i  e.  { 1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  =  U_ k  e.  NN  (
d ^r  k )
7470, 73uneq12i 3619 . . . 4  |-  ( U_ i  e.  { 0 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )  u. 
U_ i  e.  {
1 }  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  i ) )  =  ( ( d ^r 
0 )  u.  U_ k  e.  NN  (
d ^r  k ) )
7561, 62, 743eqtri 2456 . . 3  |-  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )  =  ( ( d ^r  0 )  u. 
U_ k  e.  NN  ( d ^r 
k ) )
76 iunxun 4382 . . 3  |-  U_ k  e.  ( { 0 ,  1 }  u.  NN ) ( d ^r  k )  =  ( U_ k  e. 
{ 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  u. 
U_ k  e.  NN  ( d ^r 
k ) )
7759, 75, 763sstr4i 3504 . 2  |-  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )  C_  U_ k  e.  ( { 0 ,  1 }  u.  NN ) ( d ^r  k )
781, 2, 3, 4, 5, 18, 40, 51, 77comptiunov2i 36202 1  |-  ( r*  o.  t+ )  =  t*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619   _Vcvv 3082    u. cun 3435    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   {csn 3997   {cpr 3999   U_ciun 4297    o. ccom 4855  (class class class)co 6303   0cc0 9541   1c1 9542   NNcn 10611   NN0cn0 10871   t+ctcl 13043   t*crtcl 13044   ^r crelexp 13077   r*crcl 36168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-seq 12215  df-trcl 13045  df-rtrcl 13046  df-relexp 13078  df-rcl 36169
This theorem is referenced by:  cortrcltrcl  36236  corclrtrcl  36237
  Copyright terms: Public domain W3C validator