Theorem corcltrcl 36235

Description: The composition of the reflexive and transitive closures is the reflexive-transitive closure. (Contributed by RP, 17-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
corcltrcl	|- ( r* o. t+ ) = t*

Proof of Theorem corcltrcl

Dummy variables a b c d i j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrcl4 36172	. 2 |- r* = ( a e. _V |-> U_ i e. { 0 , 1 } ( a ^r i ) )
2		dftrcl3 36216	. 2 |- t+ = ( b e. _V |-> U_ j e. NN ( b ^r j ) )
3		dfrtrcl3 36229	. 2 |- t* = ( c e. _V |-> U_ k e. NN0 ( c ^r k ) )
4		prex 4661	. 2 |- { 0 , 1 } e. _V
5		nnex 10617	. 2 |- NN e. _V
6		df-n0 10872	. . 3 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
7		uncom 3611	. . 3 |- ( NN u. { 0 } ) = ( { 0 } u. NN )
8		df-pr 4000	. . . . 5 |- { 0 , 1 } = ( { 0 } u. { 1 } )
9	8	uneq1i 3617	. . . 4 |- ( { 0 , 1 } u. NN ) = ( ( { 0 } u. { 1 } ) u. NN )
10		unass 3624	. . . 4 |- ( ( { 0 } u. { 1 } ) u. NN ) = ( { 0 } u. ( { 1 } u. NN ) )
11		1nn 10622	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
12		snssi 4142	. . . . . . 7 |- ( 1 e. NN -> { 1 } C_ NN )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { 1 } C_ NN
14		ssequn1 3637	. . . . . 6 |- ( { 1 } C_ NN <-> ( { 1 } u. NN ) = NN )
15	13, 14	mpbi 212	. . . . 5 |- ( { 1 } u. NN ) = NN
16	15	uneq2i 3618	. . . 4 |- ( { 0 } u. ( { 1 } u. NN ) ) = ( { 0 } u. NN )
17	9, 10, 16	3eqtrri 2457	. . 3 |- ( { 0 } u. NN ) = ( { 0 , 1 } u. NN )
18	6, 7, 17	3eqtri 2456	. 2 |- NN0 = ( { 0 , 1 } u. NN )
19		oveq2 6311	. . . 4 |- ( k = i -> ( d ^r k ) = ( d ^r i ) )
20	19	cbviunv 4336	. . 3 |- U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) = U_ i e. { 0 , 1 } ( d ^r i )
21		ss2iun 4313	. . . 4 |- ( A. i e. { 0 , 1 } ( d ^r i ) C_ ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) -> U_ i e. { 0 , 1 } ( d ^r i ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) )
22		vex 3085	. . . . . . . 8 |- d e. _V
23		relexp1g 13083	. . . . . . . 8 |- ( d e. _V -> ( d ^r 1 ) = d )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( d ^r 1 ) = d
25		oveq2 6311	. . . . . . . . 9 |- ( j = 1 -> ( d ^r j ) = ( d ^r 1 ) )
26	25	ssiun2s 4341	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. NN -> ( d ^r 1 ) C_ U_ j e. NN ( d ^r j ) )
27	11, 26	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( d ^r 1 ) C_ U_ j e. NN ( d ^r j )
28	24, 27	eqsstr3i 3496	. . . . . 6 |- d C_ U_ j e. NN ( d ^r j )
29	28	a1i 11	. . . . 5 |- ( i e. { 0 , 1 } -> d C_ U_ j e. NN ( d ^r j ) )
30		ovex 6331	. . . . . . 7 |- ( d ^r j ) e. _V
31	5, 30	iunex 6785	. . . . . 6 |- U_ j e. NN ( d ^r j ) e. _V
32	31	a1i 11	. . . . 5 |- ( i e. { 0 , 1 } -> U_ j e. NN ( d ^r j ) e. _V )
33		0nn0 10886	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
34		1nn0 10887	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
35		prssi 4154	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } C_ NN0 )
36	33, 34, 35	mp2an 677	. . . . . 6 |- { 0 , 1 } C_ NN0
37	36	sseli 3461	. . . . 5 |- ( i e. { 0 , 1 } -> i e. NN0 )
38	29, 32, 37	relexpss1d 36201	. . . 4 |- ( i e. { 0 , 1 } -> ( d ^r i ) C_ ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) )
39	21, 38	mprg 2789	. . 3 |- U_ i e. { 0 , 1 } ( d ^r i ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i )
40	20, 39	eqsstri 3495	. 2 |- U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i )
41		oveq2 6311	. . . . 5 |- ( k = j -> ( d ^r k ) = ( d ^r j ) )
42	41	cbviunv 4336	. . . 4 |- U_ k e. NN ( d ^r k ) = U_ j e. NN ( d ^r j )
43		relexp1g 13083	. . . . 5 |- ( U_ j e. NN ( d ^r j ) e. _V -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) = U_ j e. NN ( d ^r j ) )
44	31, 43	ax-mp 5	. . . 4 |- ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) = U_ j e. NN ( d ^r j )
45	42, 44	eqtr4i 2455	. . 3 |- U_ k e. NN ( d ^r k ) = ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 )
46		1ex 9640	. . . . 5 |- 1 e. _V
47	46	prid2 4107	. . . 4 |- 1 e. { 0 , 1 }
48		oveq2 6311	. . . . 5 |- ( i = 1 -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) )
49	48	ssiun2s 4341	. . . 4 |- ( 1 e. { 0 , 1 } -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) )
50	47, 49	ax-mp 5	. . 3 |- ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i )
51	45, 50	eqsstri 3495	. 2 |- U_ k e. NN ( d ^r k ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i )
52		c0ex 9639	. . . . . 6 |- 0 e. _V
53	52	prid1 4106	. . . . 5 |- 0 e. { 0 , 1 }
54		oveq2 6311	. . . . . 6 |- ( k = 0 -> ( d ^r k ) = ( d ^r 0 ) )
55	54	ssiun2s 4341	. . . . 5 |- ( 0 e. { 0 , 1 } -> ( d ^r 0 ) C_ U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) )
56	53, 55	ax-mp 5	. . . 4 |- ( d ^r 0 ) C_ U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k )
57		ssid 3484	. . . 4 |- U_ k e. NN ( d ^r k ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k )
58		unss12 3639	. . . 4 |- ( ( ( d ^r 0 ) C_ U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) /\ U_ k e. NN ( d ^r k ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k ) ) -> ( ( d ^r 0 ) u. U_ k e. NN ( d ^r k ) ) C_ ( U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) u. U_ k e. NN ( d ^r k ) ) )
59	56, 57, 58	mp2an 677	. . 3 |- ( ( d ^r 0 ) u. U_ k e. NN ( d ^r k ) ) C_ ( U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) u. U_ k e. NN ( d ^r k ) )
60		iuneq1 4311	. . . . 5 |- ( { 0 , 1 } = ( { 0 } u. { 1 } ) -> U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = U_ i e. ( { 0 } u. { 1 } ) ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) )
61	8, 60	ax-mp 5	. . . 4 |- U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = U_ i e. ( { 0 } u. { 1 } ) ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i )
62		iunxun 4382	. . . 4 |- U_ i e. ( { 0 } u. { 1 } ) ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ i e. { 0 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) u. U_ i e. { 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) )
63		oveq2 6311	. . . . . . 7 |- ( i = 0 -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 0 ) )
64	52, 63	iunxsn 4380	. . . . . 6 |- U_ i e. { 0 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 0 )
65		nnssnn0 10874	. . . . . . 7 |- NN C_ NN0
66		inelcm 3848	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. { 0 , 1 } /\ 1 e. NN ) -> ( { 0 , 1 } i^i NN ) =/= (/) )
67	47, 11, 66	mp2an 677	. . . . . . 7 |- ( { 0 , 1 } i^i NN ) =/= (/)
68		iunrelexp0 36198	. . . . . . 7 |- ( ( d e. _V /\ NN C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i NN ) =/= (/) ) -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 0 ) = ( d ^r 0 ) )
69	22, 65, 67, 68	mp3an 1361	. . . . . 6 |- ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 0 ) = ( d ^r 0 )
70	64, 69	eqtri 2452	. . . . 5 |- U_ i e. { 0 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( d ^r 0 )
71	46, 48	iunxsn 4380	. . . . . 6 |- U_ i e. { 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 )
72	44, 42	eqtr4i 2455	. . . . . 6 |- ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) = U_ k e. NN ( d ^r k )
73	71, 72	eqtri 2452	. . . . 5 |- U_ i e. { 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = U_ k e. NN ( d ^r k )
74	70, 73	uneq12i 3619	. . . 4 |- ( U_ i e. { 0 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) u. U_ i e. { 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) ) = ( ( d ^r 0 ) u. U_ k e. NN ( d ^r k ) )
75	61, 62, 74	3eqtri 2456	. . 3 |- U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( ( d ^r 0 ) u. U_ k e. NN ( d ^r k ) )
76		iunxun 4382	. . 3 |- U_ k e. ( { 0 , 1 } u. NN ) ( d ^r k ) = ( U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) u. U_ k e. NN ( d ^r k ) )
77	59, 75, 76	3sstr4i 3504	. 2 |- U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) C_ U_ k e. ( { 0 , 1 } u. NN ) ( d ^r k )
78	1, 2, 3, 4, 5, 18, 40, 51, 77	comptiunov2i 36202	1 |- ( r* o. t+ ) = t*

Syntax hints:   = wceq 1438   e. wcel 1869   =/= wne 2619   _Vcvv 3082   u. cun 3435   i^i cin 3436   C_ wss 3437   (/)c0 3762   {csn 3997   {cpr 3999   U_ciun 4297   o. ccom 4855  (class class class)co 6303   0cc0 9541   1c1 9542   NNcn 10611   NN0cn0 10871   t+ctcl 13043   t*crtcl 13044   ^r crelexp 13077   r*crcl 36168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-seq 12215  df-trcl 13045  df-rtrcl 13046  df-relexp 13078  df-rcl 36169

This theorem is referenced by:  cortrcltrcl  36236  corclrtrcl  36237