Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  corclrcl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem corclrcl 36370
Description: The reflexive closure is idempotent. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
corclrcl  |-  ( r*  o.  r* )  =  r*

Proof of Theorem corclrcl
Dummy variables  a 
b  c  d  i  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfrcl4 36339 . 2  |-  r*  =  ( a  e.  _V  |->  U_ i  e.  {
0 ,  1 }  ( a ^r 
i ) )
2 dfrcl4 36339 . 2  |-  r*  =  ( b  e.  _V  |->  U_ j  e.  {
0 ,  1 }  ( b ^r 
j ) )
3 dfrcl4 36339 . 2  |-  r*  =  ( c  e.  _V  |->  U_ k  e.  {
0 ,  1 }  ( c ^r 
k ) )
4 prex 4642 . 2  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
5 unidm 3568 . . 3  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  { 0 ,  1 } )  =  { 0 ,  1 }
65eqcomi 2480 . 2  |-  { 0 ,  1 }  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 0 ,  1 } )
7 oveq2 6316 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
d ^r  k )  =  ( d ^r  j ) )
87cbviunv 4308 . . . 4  |-  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  = 
U_ j  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
j )
9 1ex 9656 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
10 oveq2 6316 . . . . . . 7  |-  ( i  =  1  ->  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )  =  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  1 ) )
119, 10iunxsn 4352 . . . . . 6  |-  U_ i  e.  { 1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )  =  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  1 )
12 ovex 6336 . . . . . . . 8  |-  ( d ^r  j )  e.  _V
134, 12iunex 6792 . . . . . . 7  |-  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j )  e. 
_V
14 relexp1g 13166 . . . . . . 7  |-  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j )  e.  _V  ->  (
U_ j  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
j ) ^r 
1 )  =  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  1 )  =  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j )
1611, 15eqtri 2493 . . . . 5  |-  U_ i  e.  { 1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )  =  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j )
1716eqcomi 2480 . . . 4  |-  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j )  = 
U_ i  e.  {
1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )
188, 17eqtri 2493 . . 3  |-  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  = 
U_ i  e.  {
1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )
19 snsspr2 4113 . . . 4  |-  { 1 }  C_  { 0 ,  1 }
20 iunss1 4281 . . . 4  |-  ( { 1 }  C_  { 0 ,  1 }  ->  U_ i  e.  { 1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j ) ^r  i )  C_  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i ) )
2119, 20ax-mp 5 . . 3  |-  U_ i  e.  { 1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )  C_  U_ i  e. 
{ 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j ) ^r  i )
2218, 21eqsstri 3448 . 2  |-  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  C_  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )
23 c0ex 9655 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
2423prid1 4071 . . . . 5  |-  0  e.  { 0 ,  1 }
25 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  (
d ^r  k )  =  ( d ^r  0 ) )
2625ssiun2s 4313 . . . . 5  |-  ( 0  e.  { 0 ,  1 }  ->  (
d ^r  0 )  C_  U_ k  e. 
{ 0 ,  1 }  ( d ^r  k ) )
2724, 26ax-mp 5 . . . 4  |-  ( d ^r  0 ) 
C_  U_ k  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
k )
28 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
d ^r  j )  =  ( d ^r  k ) )
2928cbviunv 4308 . . . . 5  |-  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j )  = 
U_ k  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
k )
3029eqimssi 3472 . . . 4  |-  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j )  C_  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  k )
31 unss12 3597 . . . 4  |-  ( ( ( d ^r 
0 )  C_  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  /\  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j )  C_  U_ k  e. 
{ 0 ,  1 }  ( d ^r  k ) )  ->  ( ( d ^r  0 )  u.  U_ j  e. 
{ 0 ,  1 }  ( d ^r  j ) ) 
C_  ( U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  u. 
U_ k  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
k ) ) )
3227, 30, 31mp2an 686 . . 3  |-  ( ( d ^r  0 )  u.  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j ) ) 
C_  ( U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  u. 
U_ k  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
k ) )
33 df-pr 3962 . . . . 5  |-  { 0 ,  1 }  =  ( { 0 }  u.  { 1 } )
34 iuneq1 4283 . . . . 5  |-  ( { 0 ,  1 }  =  ( { 0 }  u.  { 1 } )  ->  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j ) ^r  i )  = 
U_ i  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) (
U_ j  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
j ) ^r 
i ) )
3533, 34ax-mp 5 . . . 4  |-  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j ) ^r  i )  = 
U_ i  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) (
U_ j  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
j ) ^r 
i )
36 iunxun 4354 . . . . 5  |-  U_ i  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j ) ^r  i )  =  ( U_ i  e. 
{ 0 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )  u.  U_ i  e.  { 1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i ) )
37 oveq2 6316 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  0  ->  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )  =  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  0 ) )
3823, 37iunxsn 4352 . . . . . . 7  |-  U_ i  e.  { 0 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )  =  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  0 )
39 vex 3034 . . . . . . . 8  |-  d  e. 
_V
40 0nn0 10908 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
41 1nn0 10909 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
42 prssi 4119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  ->  { 0 ,  1 }  C_  NN0 )
4340, 41, 42mp2an 686 . . . . . . . 8  |-  { 0 ,  1 }  C_  NN0
44 inidm 3632 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 0 ,  1 } )  =  { 0 ,  1 }
4524, 44eleqtrri 2548 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ( { 0 ,  1 }  i^i  {
0 ,  1 } )
4645ne0ii 3729 . . . . . . . 8  |-  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 0 ,  1 } )  =/=  (/)
47 iunrelexp0 36365 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  e.  _V  /\  { 0 ,  1 } 
C_  NN0  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 0 ,  1 } )  =/=  (/) )  ->  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  0 )  =  ( d ^r  0 ) )
4839, 43, 46, 47mp3an 1390 . . . . . . 7  |-  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  0 )  =  ( d ^r  0 )
4938, 48eqtri 2493 . . . . . 6  |-  U_ i  e.  { 0 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )  =  ( d ^r  0 )
5049, 16uneq12i 3577 . . . . 5  |-  ( U_ i  e.  { 0 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j ) ^r  i )  u. 
U_ i  e.  {
1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i ) )  =  ( ( d ^r 
0 )  u.  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) )
5136, 50eqtri 2493 . . . 4  |-  U_ i  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j ) ^r  i )  =  ( ( d ^r  0 )  u. 
U_ j  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
j ) )
5235, 51eqtri 2493 . . 3  |-  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j ) ^r  i )  =  ( ( d ^r  0 )  u. 
U_ j  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
j ) )
53 iunxun 4354 . . 3  |-  U_ k  e.  ( { 0 ,  1 }  u.  {
0 ,  1 } ) ( d ^r  k )  =  ( U_ k  e. 
{ 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  u. 
U_ k  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
k ) )
5432, 52, 533sstr4i 3457 . 2  |-  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j ) ^r  i )  C_  U_ k  e.  ( { 0 ,  1 }  u.  { 0 ,  1 } ) ( d ^r  k )
551, 2, 3, 4, 4, 6, 22, 22, 54comptiunov2i 36369 1  |-  ( r*  o.  r* )  =  r*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   _Vcvv 3031    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   {cpr 3961   U_ciun 4269    o. ccom 4843  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558   NN0cn0 10893   ^r crelexp 13160   r*crcl 36335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-seq 12252  df-relexp 13161  df-rcl 36336
This theorem is referenced by:  corclrtrcl  36404  cortrclrcl  36406
  Copyright terms: Public domain W3C validator