Theorem corclrcl 36203

Description: The reflexive closure is idempotent. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
corclrcl	|- ( r* o. r* ) = r*

Proof of Theorem corclrcl

Dummy variables a b c d i j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrcl4 36172	. 2 |- r* = ( a e. _V |-> U_ i e. { 0 , 1 } ( a ^r i ) )
2		dfrcl4 36172	. 2 |- r* = ( b e. _V |-> U_ j e. { 0 , 1 } ( b ^r j ) )
3		dfrcl4 36172	. 2 |- r* = ( c e. _V |-> U_ k e. { 0 , 1 } ( c ^r k ) )
4		prex 4661	. 2 |- { 0 , 1 } e. _V
5		unidm 3610	. . 3 |- ( { 0 , 1 } u. { 0 , 1 } ) = { 0 , 1 }
6	5	eqcomi 2436	. 2 |- { 0 , 1 } = ( { 0 , 1 } u. { 0 , 1 } )
7		oveq2 6311	. . . . 5 |- ( k = j -> ( d ^r k ) = ( d ^r j ) )
8	7	cbviunv 4336	. . . 4 |- U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) = U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j )
9		1ex 9640	. . . . . . 7 |- 1 e. _V
10		oveq2 6311	. . . . . . 7 |- ( i = 1 -> ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r 1 ) )
11	9, 10	iunxsn 4380	. . . . . 6 |- U_ i e. { 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r 1 )
12		ovex 6331	. . . . . . . 8 |- ( d ^r j ) e. _V
13	4, 12	iunex 6785	. . . . . . 7 |- U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) e. _V
14		relexp1g 13083	. . . . . . 7 |- ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) e. _V -> ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r 1 ) = U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r 1 ) = U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j )
16	11, 15	eqtri 2452	. . . . 5 |- U_ i e. { 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j )
17	16	eqcomi 2436	. . . 4 |- U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) = U_ i e. { 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i )
18	8, 17	eqtri 2452	. . 3 |- U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) = U_ i e. { 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i )
19		snsspr2 4148	. . . 4 |- { 1 } C_ { 0 , 1 }
20		iunss1 4309	. . . 4 |- ( { 1 } C_ { 0 , 1 } -> U_ i e. { 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) )
21	19, 20	ax-mp 5	. . 3 |- U_ i e. { 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i )
22	18, 21	eqsstri 3495	. 2 |- U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i )
23		c0ex 9639	. . . . . 6 |- 0 e. _V
24	23	prid1 4106	. . . . 5 |- 0 e. { 0 , 1 }
25		oveq2 6311	. . . . . 6 |- ( k = 0 -> ( d ^r k ) = ( d ^r 0 ) )
26	25	ssiun2s 4341	. . . . 5 |- ( 0 e. { 0 , 1 } -> ( d ^r 0 ) C_ U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) )
27	24, 26	ax-mp 5	. . . 4 |- ( d ^r 0 ) C_ U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k )
28		oveq2 6311	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( d ^r j ) = ( d ^r k ) )
29	28	cbviunv 4336	. . . . 5 |- U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) = U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k )
30	29	eqimssi 3519	. . . 4 |- U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) C_ U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k )
31		unss12 3639	. . . 4 |- ( ( ( d ^r 0 ) C_ U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) /\ U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) C_ U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) ) -> ( ( d ^r 0 ) u. U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ) C_ ( U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) u. U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) ) )
32	27, 30, 31	mp2an 677	. . 3 |- ( ( d ^r 0 ) u. U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ) C_ ( U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) u. U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) )
33		df-pr 4000	. . . . 5 |- { 0 , 1 } = ( { 0 } u. { 1 } )
34		iuneq1 4311	. . . . 5 |- ( { 0 , 1 } = ( { 0 } u. { 1 } ) -> U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = U_ i e. ( { 0 } u. { 1 } ) ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) )
35	33, 34	ax-mp 5	. . . 4 |- U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = U_ i e. ( { 0 } u. { 1 } ) ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i )
36		iunxun 4382	. . . . 5 |- U_ i e. ( { 0 } u. { 1 } ) ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ i e. { 0 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) u. U_ i e. { 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) )
37		oveq2 6311	. . . . . . . 8 |- ( i = 0 -> ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r 0 ) )
38	23, 37	iunxsn 4380	. . . . . . 7 |- U_ i e. { 0 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r 0 )
39		vex 3085	. . . . . . . 8 |- d e. _V
40		0nn0 10886	. . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
41		1nn0 10887	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN0
42		prssi 4154	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } C_ NN0 )
43	40, 41, 42	mp2an 677	. . . . . . . 8 |- { 0 , 1 } C_ NN0
44		inidm 3672	. . . . . . . . . 10 |- ( { 0 , 1 } i^i { 0 , 1 } ) = { 0 , 1 }
45	24, 44	eleqtrri 2510	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ( { 0 , 1 } i^i { 0 , 1 } )
46	45	ne0ii 3769	. . . . . . . 8 |- ( { 0 , 1 } i^i { 0 , 1 } ) =/= (/)
47		iunrelexp0 36198	. . . . . . . 8 |- ( ( d e. _V /\ { 0 , 1 } C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i { 0 , 1 } ) =/= (/) ) -> ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r 0 ) = ( d ^r 0 ) )
48	39, 43, 46, 47	mp3an 1361	. . . . . . 7 |- ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r 0 ) = ( d ^r 0 )
49	38, 48	eqtri 2452	. . . . . 6 |- U_ i e. { 0 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = ( d ^r 0 )
50	49, 16	uneq12i 3619	. . . . 5 |- ( U_ i e. { 0 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) u. U_ i e. { 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) ) = ( ( d ^r 0 ) u. U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) )
51	36, 50	eqtri 2452	. . . 4 |- U_ i e. ( { 0 } u. { 1 } ) ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = ( ( d ^r 0 ) u. U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) )
52	35, 51	eqtri 2452	. . 3 |- U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = ( ( d ^r 0 ) u. U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) )
53		iunxun 4382	. . 3 |- U_ k e. ( { 0 , 1 } u. { 0 , 1 } ) ( d ^r k ) = ( U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) u. U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) )
54	32, 52, 53	3sstr4i 3504	. 2 |- U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) C_ U_ k e. ( { 0 , 1 } u. { 0 , 1 } ) ( d ^r k )
55	1, 2, 3, 4, 4, 6, 22, 22, 54	comptiunov2i 36202	1 |- ( r* o. r* ) = r*

Syntax hints:   = wceq 1438   e. wcel 1869   =/= wne 2619   _Vcvv 3082   u. cun 3435   i^i cin 3436   C_ wss 3437   (/)c0 3762   {csn 3997   {cpr 3999   U_ciun 4297   o. ccom 4855  (class class class)co 6303   0cc0 9541   1c1 9542   NN0cn0 10871   ^r crelexp 13077   r*crcl 36168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-seq 12215  df-relexp 13078  df-rcl 36169

This theorem is referenced by:  corclrtrcl  36237  cortrclrcl  36239