Theorem corclrcl 36299

Description: The reflexive closure is idempotent. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
corclrcl	|- ( r* o. r* ) = r*

Proof of Theorem corclrcl

Dummy variables a b c d i j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrcl4 36268	. 2 |- r* = ( a e. _V |-> U_ i e. { 0 , 1 } ( a ^r i ) )
2		dfrcl4 36268	. 2 |- r* = ( b e. _V |-> U_ j e. { 0 , 1 } ( b ^r j ) )
3		dfrcl4 36268	. 2 |- r* = ( c e. _V |-> U_ k e. { 0 , 1 } ( c ^r k ) )
4		prex 4642	. 2 |- { 0 , 1 } e. _V
5		unidm 3577	. . 3 |- ( { 0 , 1 } u. { 0 , 1 } ) = { 0 , 1 }
6	5	eqcomi 2460	. 2 |- { 0 , 1 } = ( { 0 , 1 } u. { 0 , 1 } )
7		oveq2 6298	. . . . 5 |- ( k = j -> ( d ^r k ) = ( d ^r j ) )
8	7	cbviunv 4317	. . . 4 |- U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) = U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j )
9		1ex 9638	. . . . . . 7 |- 1 e. _V
10		oveq2 6298	. . . . . . 7 |- ( i = 1 -> ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r 1 ) )
11	9, 10	iunxsn 4361	. . . . . 6 |- U_ i e. { 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r 1 )
12		ovex 6318	. . . . . . . 8 |- ( d ^r j ) e. _V
13	4, 12	iunex 6773	. . . . . . 7 |- U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) e. _V
14		relexp1g 13089	. . . . . . 7 |- ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) e. _V -> ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r 1 ) = U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r 1 ) = U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j )
16	11, 15	eqtri 2473	. . . . 5 |- U_ i e. { 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j )
17	16	eqcomi 2460	. . . 4 |- U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) = U_ i e. { 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i )
18	8, 17	eqtri 2473	. . 3 |- U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) = U_ i e. { 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i )
19		snsspr2 4122	. . . 4 |- { 1 } C_ { 0 , 1 }
20		iunss1 4290	. . . 4 |- ( { 1 } C_ { 0 , 1 } -> U_ i e. { 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) )
21	19, 20	ax-mp 5	. . 3 |- U_ i e. { 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i )
22	18, 21	eqsstri 3462	. 2 |- U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i )
23		c0ex 9637	. . . . . 6 |- 0 e. _V
24	23	prid1 4080	. . . . 5 |- 0 e. { 0 , 1 }
25		oveq2 6298	. . . . . 6 |- ( k = 0 -> ( d ^r k ) = ( d ^r 0 ) )
26	25	ssiun2s 4322	. . . . 5 |- ( 0 e. { 0 , 1 } -> ( d ^r 0 ) C_ U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) )
27	24, 26	ax-mp 5	. . . 4 |- ( d ^r 0 ) C_ U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k )
28		oveq2 6298	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( d ^r j ) = ( d ^r k ) )
29	28	cbviunv 4317	. . . . 5 |- U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) = U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k )
30	29	eqimssi 3486	. . . 4 |- U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) C_ U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k )
31		unss12 3606	. . . 4 |- ( ( ( d ^r 0 ) C_ U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) /\ U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) C_ U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) ) -> ( ( d ^r 0 ) u. U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ) C_ ( U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) u. U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) ) )
32	27, 30, 31	mp2an 678	. . 3 |- ( ( d ^r 0 ) u. U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ) C_ ( U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) u. U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) )
33		df-pr 3971	. . . . 5 |- { 0 , 1 } = ( { 0 } u. { 1 } )
34		iuneq1 4292	. . . . 5 |- ( { 0 , 1 } = ( { 0 } u. { 1 } ) -> U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = U_ i e. ( { 0 } u. { 1 } ) ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) )
35	33, 34	ax-mp 5	. . . 4 |- U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = U_ i e. ( { 0 } u. { 1 } ) ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i )
36		iunxun 4363	. . . . 5 |- U_ i e. ( { 0 } u. { 1 } ) ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ i e. { 0 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) u. U_ i e. { 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) )
37		oveq2 6298	. . . . . . . 8 |- ( i = 0 -> ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r 0 ) )
38	23, 37	iunxsn 4361	. . . . . . 7 |- U_ i e. { 0 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r 0 )
39		vex 3048	. . . . . . . 8 |- d e. _V
40		0nn0 10884	. . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
41		1nn0 10885	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN0
42		prssi 4128	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } C_ NN0 )
43	40, 41, 42	mp2an 678	. . . . . . . 8 |- { 0 , 1 } C_ NN0
44		inidm 3641	. . . . . . . . . 10 |- ( { 0 , 1 } i^i { 0 , 1 } ) = { 0 , 1 }
45	24, 44	eleqtrri 2528	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ( { 0 , 1 } i^i { 0 , 1 } )
46	45	ne0ii 3738	. . . . . . . 8 |- ( { 0 , 1 } i^i { 0 , 1 } ) =/= (/)
47		iunrelexp0 36294	. . . . . . . 8 |- ( ( d e. _V /\ { 0 , 1 } C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i { 0 , 1 } ) =/= (/) ) -> ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r 0 ) = ( d ^r 0 ) )
48	39, 43, 46, 47	mp3an 1364	. . . . . . 7 |- ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r 0 ) = ( d ^r 0 )
49	38, 48	eqtri 2473	. . . . . 6 |- U_ i e. { 0 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = ( d ^r 0 )
50	49, 16	uneq12i 3586	. . . . 5 |- ( U_ i e. { 0 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) u. U_ i e. { 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) ) = ( ( d ^r 0 ) u. U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) )
51	36, 50	eqtri 2473	. . . 4 |- U_ i e. ( { 0 } u. { 1 } ) ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = ( ( d ^r 0 ) u. U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) )
52	35, 51	eqtri 2473	. . 3 |- U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = ( ( d ^r 0 ) u. U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) )
53		iunxun 4363	. . 3 |- U_ k e. ( { 0 , 1 } u. { 0 , 1 } ) ( d ^r k ) = ( U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) u. U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) )
54	32, 52, 53	3sstr4i 3471	. 2 |- U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) C_ U_ k e. ( { 0 , 1 } u. { 0 , 1 } ) ( d ^r k )
55	1, 2, 3, 4, 4, 6, 22, 22, 54	comptiunov2i 36298	1 |- ( r* o. r* ) = r*

Syntax hints:   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   _Vcvv 3045   u. cun 3402   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   {cpr 3970   U_ciun 4278   o. ccom 4838  (class class class)co 6290   0cc0 9539   1c1 9540   NN0cn0 10869   ^r crelexp 13083   r*crcl 36264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-seq 12214  df-relexp 13084  df-rcl 36265

This theorem is referenced by:  corclrtrcl  36333  cortrclrcl  36335