Theorem corclrcl 36370

Description: The reflexive closure is idempotent. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
corclrcl	|- ( r* o. r* ) = r*

Proof of Theorem corclrcl

Dummy variables a b c d i j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrcl4 36339	. 2 |- r* = ( a e. _V |-> U_ i e. { 0 , 1 } ( a ^r i ) )
2		dfrcl4 36339	. 2 |- r* = ( b e. _V |-> U_ j e. { 0 , 1 } ( b ^r j ) )
3		dfrcl4 36339	. 2 |- r* = ( c e. _V |-> U_ k e. { 0 , 1 } ( c ^r k ) )
4		prex 4642	. 2 |- { 0 , 1 } e. _V
5		unidm 3568	. . 3 |- ( { 0 , 1 } u. { 0 , 1 } ) = { 0 , 1 }
6	5	eqcomi 2480	. 2 |- { 0 , 1 } = ( { 0 , 1 } u. { 0 , 1 } )
7		oveq2 6316	. . . . 5 |- ( k = j -> ( d ^r k ) = ( d ^r j ) )
8	7	cbviunv 4308	. . . 4 |- U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) = U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j )
9		1ex 9656	. . . . . . 7 |- 1 e. _V
10		oveq2 6316	. . . . . . 7 |- ( i = 1 -> ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r 1 ) )
11	9, 10	iunxsn 4352	. . . . . 6 |- U_ i e. { 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r 1 )
12		ovex 6336	. . . . . . . 8 |- ( d ^r j ) e. _V
13	4, 12	iunex 6792	. . . . . . 7 |- U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) e. _V
14		relexp1g 13166	. . . . . . 7 |- ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) e. _V -> ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r 1 ) = U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r 1 ) = U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j )
16	11, 15	eqtri 2493	. . . . 5 |- U_ i e. { 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j )
17	16	eqcomi 2480	. . . 4 |- U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) = U_ i e. { 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i )
18	8, 17	eqtri 2493	. . 3 |- U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) = U_ i e. { 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i )
19		snsspr2 4113	. . . 4 |- { 1 } C_ { 0 , 1 }
20		iunss1 4281	. . . 4 |- ( { 1 } C_ { 0 , 1 } -> U_ i e. { 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) )
21	19, 20	ax-mp 5	. . 3 |- U_ i e. { 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i )
22	18, 21	eqsstri 3448	. 2 |- U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) C_ U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i )
23		c0ex 9655	. . . . . 6 |- 0 e. _V
24	23	prid1 4071	. . . . 5 |- 0 e. { 0 , 1 }
25		oveq2 6316	. . . . . 6 |- ( k = 0 -> ( d ^r k ) = ( d ^r 0 ) )
26	25	ssiun2s 4313	. . . . 5 |- ( 0 e. { 0 , 1 } -> ( d ^r 0 ) C_ U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) )
27	24, 26	ax-mp 5	. . . 4 |- ( d ^r 0 ) C_ U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k )
28		oveq2 6316	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( d ^r j ) = ( d ^r k ) )
29	28	cbviunv 4308	. . . . 5 |- U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) = U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k )
30	29	eqimssi 3472	. . . 4 |- U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) C_ U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k )
31		unss12 3597	. . . 4 |- ( ( ( d ^r 0 ) C_ U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) /\ U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) C_ U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) ) -> ( ( d ^r 0 ) u. U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ) C_ ( U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) u. U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) ) )
32	27, 30, 31	mp2an 686	. . 3 |- ( ( d ^r 0 ) u. U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ) C_ ( U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) u. U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) )
33		df-pr 3962	. . . . 5 |- { 0 , 1 } = ( { 0 } u. { 1 } )
34		iuneq1 4283	. . . . 5 |- ( { 0 , 1 } = ( { 0 } u. { 1 } ) -> U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = U_ i e. ( { 0 } u. { 1 } ) ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) )
35	33, 34	ax-mp 5	. . . 4 |- U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = U_ i e. ( { 0 } u. { 1 } ) ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i )
36		iunxun 4354	. . . . 5 |- U_ i e. ( { 0 } u. { 1 } ) ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ i e. { 0 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) u. U_ i e. { 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) )
37		oveq2 6316	. . . . . . . 8 |- ( i = 0 -> ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r 0 ) )
38	23, 37	iunxsn 4352	. . . . . . 7 |- U_ i e. { 0 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r 0 )
39		vex 3034	. . . . . . . 8 |- d e. _V
40		0nn0 10908	. . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
41		1nn0 10909	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN0
42		prssi 4119	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } C_ NN0 )
43	40, 41, 42	mp2an 686	. . . . . . . 8 |- { 0 , 1 } C_ NN0
44		inidm 3632	. . . . . . . . . 10 |- ( { 0 , 1 } i^i { 0 , 1 } ) = { 0 , 1 }
45	24, 44	eleqtrri 2548	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ( { 0 , 1 } i^i { 0 , 1 } )
46	45	ne0ii 3729	. . . . . . . 8 |- ( { 0 , 1 } i^i { 0 , 1 } ) =/= (/)
47		iunrelexp0 36365	. . . . . . . 8 |- ( ( d e. _V /\ { 0 , 1 } C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i { 0 , 1 } ) =/= (/) ) -> ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r 0 ) = ( d ^r 0 ) )
48	39, 43, 46, 47	mp3an 1390	. . . . . . 7 |- ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r 0 ) = ( d ^r 0 )
49	38, 48	eqtri 2493	. . . . . 6 |- U_ i e. { 0 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = ( d ^r 0 )
50	49, 16	uneq12i 3577	. . . . 5 |- ( U_ i e. { 0 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) u. U_ i e. { 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) ) = ( ( d ^r 0 ) u. U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) )
51	36, 50	eqtri 2493	. . . 4 |- U_ i e. ( { 0 } u. { 1 } ) ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = ( ( d ^r 0 ) u. U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) )
52	35, 51	eqtri 2493	. . 3 |- U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) = ( ( d ^r 0 ) u. U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) )
53		iunxun 4354	. . 3 |- U_ k e. ( { 0 , 1 } u. { 0 , 1 } ) ( d ^r k ) = ( U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) u. U_ k e. { 0 , 1 } ( d ^r k ) )
54	32, 52, 53	3sstr4i 3457	. 2 |- U_ i e. { 0 , 1 } ( U_ j e. { 0 , 1 } ( d ^r j ) ^r i ) C_ U_ k e. ( { 0 , 1 } u. { 0 , 1 } ) ( d ^r k )
55	1, 2, 3, 4, 4, 6, 22, 22, 54	comptiunov2i 36369	1 |- ( r* o. r* ) = r*

Syntax hints:   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   _Vcvv 3031   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   {cpr 3961   U_ciun 4269   o. ccom 4843  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558   NN0cn0 10893   ^r crelexp 13160   r*crcl 36335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-seq 12252  df-relexp 13161  df-rcl 36336

This theorem is referenced by:  corclrtrcl  36404  cortrclrcl  36406