Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  corclrcl Structured version   Unicode version

Theorem corclrcl 36203
Description: The reflexive closure is idempotent. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
corclrcl  |-  ( r*  o.  r* )  =  r*

Proof of Theorem corclrcl
Dummy variables  a 
b  c  d  i  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfrcl4 36172 . 2  |-  r*  =  ( a  e.  _V  |->  U_ i  e.  {
0 ,  1 }  ( a ^r 
i ) )
2 dfrcl4 36172 . 2  |-  r*  =  ( b  e.  _V  |->  U_ j  e.  {
0 ,  1 }  ( b ^r 
j ) )
3 dfrcl4 36172 . 2  |-  r*  =  ( c  e.  _V  |->  U_ k  e.  {
0 ,  1 }  ( c ^r 
k ) )
4 prex 4661 . 2  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
5 unidm 3610 . . 3  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  { 0 ,  1 } )  =  { 0 ,  1 }
65eqcomi 2436 . 2  |-  { 0 ,  1 }  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 0 ,  1 } )
7 oveq2 6311 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
d ^r  k )  =  ( d ^r  j ) )
87cbviunv 4336 . . . 4  |-  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  = 
U_ j  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
j )
9 1ex 9640 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
10 oveq2 6311 . . . . . . 7  |-  ( i  =  1  ->  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )  =  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  1 ) )
119, 10iunxsn 4380 . . . . . 6  |-  U_ i  e.  { 1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )  =  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  1 )
12 ovex 6331 . . . . . . . 8  |-  ( d ^r  j )  e.  _V
134, 12iunex 6785 . . . . . . 7  |-  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j )  e. 
_V
14 relexp1g 13083 . . . . . . 7  |-  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j )  e.  _V  ->  (
U_ j  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
j ) ^r 
1 )  =  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  1 )  =  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j )
1611, 15eqtri 2452 . . . . 5  |-  U_ i  e.  { 1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )  =  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j )
1716eqcomi 2436 . . . 4  |-  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j )  = 
U_ i  e.  {
1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )
188, 17eqtri 2452 . . 3  |-  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  = 
U_ i  e.  {
1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )
19 snsspr2 4148 . . . 4  |-  { 1 }  C_  { 0 ,  1 }
20 iunss1 4309 . . . 4  |-  ( { 1 }  C_  { 0 ,  1 }  ->  U_ i  e.  { 1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j ) ^r  i )  C_  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i ) )
2119, 20ax-mp 5 . . 3  |-  U_ i  e.  { 1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )  C_  U_ i  e. 
{ 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j ) ^r  i )
2218, 21eqsstri 3495 . 2  |-  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  C_  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )
23 c0ex 9639 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
2423prid1 4106 . . . . 5  |-  0  e.  { 0 ,  1 }
25 oveq2 6311 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  (
d ^r  k )  =  ( d ^r  0 ) )
2625ssiun2s 4341 . . . . 5  |-  ( 0  e.  { 0 ,  1 }  ->  (
d ^r  0 )  C_  U_ k  e. 
{ 0 ,  1 }  ( d ^r  k ) )
2724, 26ax-mp 5 . . . 4  |-  ( d ^r  0 ) 
C_  U_ k  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
k )
28 oveq2 6311 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
d ^r  j )  =  ( d ^r  k ) )
2928cbviunv 4336 . . . . 5  |-  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j )  = 
U_ k  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
k )
3029eqimssi 3519 . . . 4  |-  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j )  C_  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  k )
31 unss12 3639 . . . 4  |-  ( ( ( d ^r 
0 )  C_  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  /\  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j )  C_  U_ k  e. 
{ 0 ,  1 }  ( d ^r  k ) )  ->  ( ( d ^r  0 )  u.  U_ j  e. 
{ 0 ,  1 }  ( d ^r  j ) ) 
C_  ( U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  u. 
U_ k  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
k ) ) )
3227, 30, 31mp2an 677 . . 3  |-  ( ( d ^r  0 )  u.  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j ) ) 
C_  ( U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  u. 
U_ k  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
k ) )
33 df-pr 4000 . . . . 5  |-  { 0 ,  1 }  =  ( { 0 }  u.  { 1 } )
34 iuneq1 4311 . . . . 5  |-  ( { 0 ,  1 }  =  ( { 0 }  u.  { 1 } )  ->  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j ) ^r  i )  = 
U_ i  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) (
U_ j  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
j ) ^r 
i ) )
3533, 34ax-mp 5 . . . 4  |-  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j ) ^r  i )  = 
U_ i  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) (
U_ j  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
j ) ^r 
i )
36 iunxun 4382 . . . . 5  |-  U_ i  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j ) ^r  i )  =  ( U_ i  e. 
{ 0 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )  u.  U_ i  e.  { 1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i ) )
37 oveq2 6311 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  0  ->  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )  =  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  0 ) )
3823, 37iunxsn 4380 . . . . . . 7  |-  U_ i  e.  { 0 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )  =  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  0 )
39 vex 3085 . . . . . . . 8  |-  d  e. 
_V
40 0nn0 10886 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
41 1nn0 10887 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
42 prssi 4154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  ->  { 0 ,  1 }  C_  NN0 )
4340, 41, 42mp2an 677 . . . . . . . 8  |-  { 0 ,  1 }  C_  NN0
44 inidm 3672 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 0 ,  1 } )  =  { 0 ,  1 }
4524, 44eleqtrri 2510 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ( { 0 ,  1 }  i^i  {
0 ,  1 } )
4645ne0ii 3769 . . . . . . . 8  |-  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 0 ,  1 } )  =/=  (/)
47 iunrelexp0 36198 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  e.  _V  /\  { 0 ,  1 } 
C_  NN0  /\  ( { 0 ,  1 }  i^i  { 0 ,  1 } )  =/=  (/) )  ->  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  0 )  =  ( d ^r  0 ) )
4839, 43, 46, 47mp3an 1361 . . . . . . 7  |-  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  0 )  =  ( d ^r  0 )
4938, 48eqtri 2452 . . . . . 6  |-  U_ i  e.  { 0 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )  =  ( d ^r  0 )
5049, 16uneq12i 3619 . . . . 5  |-  ( U_ i  e.  { 0 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j ) ^r  i )  u. 
U_ i  e.  {
1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i ) )  =  ( ( d ^r 
0 )  u.  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) )
5136, 50eqtri 2452 . . . 4  |-  U_ i  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j ) ^r  i )  =  ( ( d ^r  0 )  u. 
U_ j  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
j ) )
5235, 51eqtri 2452 . . 3  |-  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j ) ^r  i )  =  ( ( d ^r  0 )  u. 
U_ j  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
j ) )
53 iunxun 4382 . . 3  |-  U_ k  e.  ( { 0 ,  1 }  u.  {
0 ,  1 } ) ( d ^r  k )  =  ( U_ k  e. 
{ 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  u. 
U_ k  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
k ) )
5432, 52, 533sstr4i 3504 . 2  |-  U_ i  e.  { 0 ,  1 }  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j ) ^r  i )  C_  U_ k  e.  ( { 0 ,  1 }  u.  { 0 ,  1 } ) ( d ^r  k )
551, 2, 3, 4, 4, 6, 22, 22, 54comptiunov2i 36202 1  |-  ( r*  o.  r* )  =  r*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619   _Vcvv 3082    u. cun 3435    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   {csn 3997   {cpr 3999   U_ciun 4297    o. ccom 4855  (class class class)co 6303   0cc0 9541   1c1 9542   NN0cn0 10871   ^r crelexp 13077   r*crcl 36168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-seq 12215  df-relexp 13078  df-rcl 36169
This theorem is referenced by:  corclrtrcl  36237  cortrclrcl  36239
  Copyright terms: Public domain W3C validator