Theorem copsexg 4564

Description: Substitution of class A for ordered pair <. x , y >.. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Revised by Andrew Salmon, 11-Jul-2011.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
copsexg	|- ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem copsexg

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2965	. . . 4 |- x e. _V
2		vex 2965	. . . 4 |- y e. _V
3	1, 2	eqvinop 4563	. . 3 |- ( A = <. x , y >. <-> E. z E. w ( A = <. z , w >. /\ <. z , w >. = <. x , y >. ) )
4		19.8a 1792	. . . . . . . . 9 |- ( E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) -> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) )
5	4	19.23bi 1804	. . . . . . . 8 |- ( ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) -> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) )
6	5	ex 434	. . . . . . 7 |- ( <. z , w >. = <. x , y >. -> ( ph -> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) )
7		vex 2965	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
8		vex 2965	. . . . . . . . 9 |- w e. _V
9	7, 8	opth 4554	. . . . . . . 8 |- ( <. z , w >. = <. x , y >. <-> ( z = x /\ w = y ) )
10	9	anbi1i 688	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) )
11	10	2exbii 1635	. . . . . . . . 9 |- ( E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) )
12		nfe1 1777	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) )
13		nfa1 1829	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y A. y y = x
14		anass 642	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) <-> ( z = x /\ ( w = y /\ ph ) ) )
15		19.8a 1792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w = y /\ ph ) -> E. y ( w = y /\ ph ) )
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y y = x -> ( ( w = y /\ ph ) -> E. y ( w = y /\ ph ) ) )
17	16	anim2d 560	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. y y = x -> ( ( z = x /\ ( w = y /\ ph ) ) -> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
18	14, 17	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. y y = x -> ( ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
19	13, 18	eximd 1815	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y y = x -> ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> E. y ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
20		biidd 237	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. y y = x -> ( ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) <-> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
21	20	drex1 2018	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y y = x -> ( E. y ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) <-> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
22	19, 21	sylibd 214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y y = x -> ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
23	14	exbii 1634	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) <-> E. y ( z = x /\ ( w = y /\ ph ) ) )
24		19.40 1646	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. y ( z = x /\ ( w = y /\ ph ) ) -> ( E. y z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
25		nfeqf2 1988	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. A. y y = x -> F/ y z = x )
26	25	19.9d 1824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. A. y y = x -> ( E. y z = x -> z = x ) )
27	26	anim1d 559	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. A. y y = x -> ( ( E. y z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
28	24, 27	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. A. y y = x -> ( E. y ( z = x /\ ( w = y /\ ph ) ) -> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
29	23, 28	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. A. y y = x -> ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
30		19.8a 1792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
31	29, 30	syl6 33	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A. y y = x -> ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
32	22, 31	pm2.61i 164	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
33	12, 32	exlimi 1843	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
34		euequ1 2366	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E! x x = z
35		equcom 1731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z <-> z = x )
36	35	eubii 2276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E! x x = z <-> E! x z = x )
37	34, 36	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- E! x z = x
38		eupick 2338	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E! x z = x /\ E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) -> ( z = x -> E. y ( w = y /\ ph ) ) )
39	37, 38	mpan 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> ( z = x -> E. y ( w = y /\ ph ) ) )
40	39	com12 31	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> E. y ( w = y /\ ph ) ) )
41		euequ1 2366	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E! y y = w
42		equcom 1731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = w <-> w = y )
43	42	eubii 2276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E! y y = w <-> E! y w = y )
44	41, 43	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- E! y w = y
45		eupick 2338	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E! y w = y /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> ( w = y -> ph ) )
46	44, 45	mpan 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y ( w = y /\ ph ) -> ( w = y -> ph ) )
47	46	com12 31	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = y -> ( E. y ( w = y /\ ph ) -> ph ) )
48	40, 47	sylan9 650	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z = x /\ w = y ) -> ( E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> ph ) )
49	33, 48	syl5 32	. . . . . . . . 9 |- ( ( z = x /\ w = y ) -> ( E. x E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> ph ) )
50	11, 49	syl5bi 217	. . . . . . . 8 |- ( ( z = x /\ w = y ) -> ( E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) -> ph ) )
51	9, 50	sylbi 195	. . . . . . 7 |- ( <. z , w >. = <. x , y >. -> ( E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) -> ph ) )
52	6, 51	impbid 191	. . . . . 6 |- ( <. z , w >. = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) )
53		eqeq1 2439	. . . . . . 7 |- ( A = <. z , w >. -> ( A = <. x , y >. <-> <. z , w >. = <. x , y >. ) )
54	53	anbi1d 697	. . . . . . . . 9 |- ( A = <. z , w >. -> ( ( A = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) )
55	54	2exbidv 1681	. . . . . . . 8 |- ( A = <. z , w >. -> ( E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) )
56	55	bibi2d 318	. . . . . . 7 |- ( A = <. z , w >. -> ( ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) <-> ( ph <-> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) ) )
57	53, 56	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( A = <. z , w >. -> ( ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) ) <-> ( <. z , w >. = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) ) ) )
58	52, 57	mpbiri 233	. . . . 5 |- ( A = <. z , w >. -> ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) ) )
59	58	adantr 462	. . . 4 |- ( ( A = <. z , w >. /\ <. z , w >. = <. x , y >. ) -> ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) ) )
60	59	exlimivv 1688	. . 3 |- ( E. z E. w ( A = <. z , w >. /\ <. z , w >. = <. x , y >. ) -> ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) ) )
61	3, 60	sylbi 195	. 2 |- ( A = <. x , y >. -> ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) ) )
62	61	pm2.43i 47	1 |- ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1360   = wceq 1362   E.wex 1589   E!weu 2254   <.cop 3871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pr 4519

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-rab 2714  df-v 2964  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872

This theorem is referenced by:  copsex2t  4566  copsex2g  4567  mosubopt  4577  opabid  4584