Theorem copsexg 3537

Description: Substitution of class A for ordered pair <.x, y>.. (Unnecessary distinct variable restrictions were removed by Andrew Salmon, 11-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
copsexg	|- (A = <.x, y>. -> (ph <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph)))

Distinct variable groups:   x,A   y,A

Proof of Theorem copsexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 2295	. . . 4 |- x e. _V
2		visset 2295	. . . 4 |- y e. _V
3	1, 2	eqvinop 3536	. . 3 |- (A = <.x, y>. <-> E.zE.w(A = <.z, w>. /\ <.z, w>. = <.x, y>.))
4		19.8a 1376	. . . . . . . . 9 |- ((<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph) -> E.y(<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph))
5		19.8a 1376	. . . . . . . . 9 |- (E.y(<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph))
6	4, 5	syl 12	. . . . . . . 8 |- ((<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph))
7	6	ex 402	. . . . . . 7 |- (<.z, w>. = <.x, y>. -> (ph -> E.xE.y(<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph)))
8		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
9		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- w e. _V
10	8, 9, 2	opth 3532	. . . . . . . 8 |- (<.z, w>. = <.x, y>. <-> (z = x /\ w = y))
11		pm2.27 76	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = x -> ((z = x -> E.y(w = y /\ ph)) -> E.y(w = y /\ ph)))
12		euequ1 1861	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E!x x = z
13		equcom 1488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = z <-> z = x)
14	13	eubii 1780	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (E!x x = z <-> E!x z = x)
15	12, 14	mpbi 206	. . . . . . . . . . . . 13 |- E!x z = x
16		eupick 1834	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((E!x z = x /\ E.x(z = x /\ E.y(w = y /\ ph))) -> (z = x -> E.y(w = y /\ ph)))
17	15, 16	mpan 759	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.x(z = x /\ E.y(w = y /\ ph)) -> (z = x -> E.y(w = y /\ ph)))
18	11, 17	syl5 20	. . . . . . . . . . 11 |- (z = x -> (E.x(z = x /\ E.y(w = y /\ ph)) -> E.y(w = y /\ ph)))
19		pm2.27 76	. . . . . . . . . . . 12 |- (w = y -> ((w = y -> ph) -> ph))
20		euequ1 1861	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E!y y = w
21		eqcom 1886	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = w <-> w = y)
22	21	eubii 1780	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (E!y y = w <-> E!y w = y)
23	20, 22	mpbi 206	. . . . . . . . . . . . 13 |- E!y w = y
24		eupick 1834	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((E!y w = y /\ E.y(w = y /\ ph)) -> (w = y -> ph))
25	23, 24	mpan 759	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.y(w = y /\ ph) -> (w = y -> ph))
26	19, 25	syl5 20	. . . . . . . . . . 11 |- (w = y -> (E.y(w = y /\ ph) -> ph))
27	18, 26	sylan9 517	. . . . . . . . . 10 |- ((z = x /\ w = y) -> (E.x(z = x /\ E.y(w = y /\ ph)) -> ph))
28		hbe1 1363	. . . . . . . . . . 11 |- (E.x(z = x /\ E.y(w = y /\ ph)) -> A.xE.x(z = x /\ E.y(w = y /\ ph)))
29		hba1 1350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.y y = x -> A.yA.y y = x)
30		19.8a 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((w = y /\ ph) -> E.y(w = y /\ ph))
31	30	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A.y y = x -> ((w = y /\ ph) -> E.y(w = y /\ ph)))
32	31	anim2d 620	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.y y = x -> ((z = x /\ (w = y /\ ph)) -> (z = x /\ E.y(w = y /\ ph))))
33		anass 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((z = x /\ w = y) /\ ph) <-> (z = x /\ (w = y /\ ph)))
34	32, 33	syl5ib 223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.y y = x -> (((z = x /\ w = y) /\ ph) -> (z = x /\ E.y(w = y /\ ph))))
35	29, 34	eximd 1410	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.y y = x -> (E.y((z = x /\ w = y) /\ ph) -> E.y(z = x /\ E.y(w = y /\ ph))))
36		biidd 188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.y y = x -> ((z = x /\ E.y(w = y /\ ph)) <-> (z = x /\ E.y(w = y /\ ph))))
37	36	drex1 1517	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.y y = x -> (E.y(z = x /\ E.y(w = y /\ ph)) <-> E.x(z = x /\ E.y(w = y /\ ph))))
38	35, 37	sylibd 219	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y y = x -> (E.y((z = x /\ w = y) /\ ph) -> E.x(z = x /\ E.y(w = y /\ ph))))
39		hbn1 1362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (-. A.y y = x -> A.y -. A.y y = x)
40		dveeq2 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (-. A.y y = x -> (z = x -> A.y z = x))
41	39, 40	hbnd 1467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (-. A.y y = x -> (-. z = x -> A.y -. z = x))
42	41	con1d 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (-. A.y y = x -> (-. A.y -. z = x -> z = x))
43		df-ex 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (E.y z = x <-> -. A.y -. z = x)
44	42, 43	syl5ib 223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (-. A.y y = x -> (E.y z = x -> z = x))
45	44	anim1d 619	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (-. A.y y = x -> ((E.y z = x /\ E.y(w = y /\ ph)) -> (z = x /\ E.y(w = y /\ ph))))
46		19.40 1447	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (E.y(z = x /\ (w = y /\ ph)) -> (E.y z = x /\ E.y(w = y /\ ph)))
47	45, 46	syl5 20	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. A.y y = x -> (E.y(z = x /\ (w = y /\ ph)) -> (z = x /\ E.y(w = y /\ ph))))
48	33	exbii 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (E.y((z = x /\ w = y) /\ ph) <-> E.y(z = x /\ (w = y /\ ph)))
49	47, 48	syl5ib 223	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. A.y y = x -> (E.y((z = x /\ w = y) /\ ph) -> (z = x /\ E.y(w = y /\ ph))))
50		19.8a 1376	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z = x /\ E.y(w = y /\ ph)) -> E.x(z = x /\ E.y(w = y /\ ph)))
51	49, 50	syl6 25	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. A.y y = x -> (E.y((z = x /\ w = y) /\ ph) -> E.x(z = x /\ E.y(w = y /\ ph))))
52	38, 51	pm2.61i 140	. . . . . . . . . . 11 |- (E.y((z = x /\ w = y) /\ ph) -> E.x(z = x /\ E.y(w = y /\ ph)))
53	28, 52	19.23ai 1412	. . . . . . . . . 10 |- (E.xE.y((z = x /\ w = y) /\ ph) -> E.x(z = x /\ E.y(w = y /\ ph)))
54	27, 53	syl5 20	. . . . . . . . 9 |- ((z = x /\ w = y) -> (E.xE.y((z = x /\ w = y) /\ ph) -> ph))
55	10	anbi1i 539	. . . . . . . . . 10 |- ((<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph) <-> ((z = x /\ w = y) /\ ph))
56	55	2exbii 1399	. . . . . . . . 9 |- (E.xE.y(<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph) <-> E.xE.y((z = x /\ w = y) /\ ph))
57	54, 56	syl5ib 223	. . . . . . . 8 |- ((z = x /\ w = y) -> (E.xE.y(<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph) -> ph))
58	10, 57	sylbi 216	. . . . . . 7 |- (<.z, w>. = <.x, y>. -> (E.xE.y(<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph) -> ph))
59	7, 58	impbid 574	. . . . . 6 |- (<.z, w>. = <.x, y>. -> (ph <-> E.xE.y(<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph)))
60		eqeq1 1890	. . . . . . 7 |- (A = <.z, w>. -> (A = <.x, y>. <-> <.z, w>. = <.x, y>.))
61	60	anbi1d 679	. . . . . . . . 9 |- (A = <.z, w>. -> ((A = <.x, y>. /\ ph) <-> (<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph)))
62	61	2exbidv 1659	. . . . . . . 8 |- (A = <.z, w>. -> (E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph) <-> E.xE.y(<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph)))
63	62	bibi2d 680	. . . . . . 7 |- (A = <.z, w>. -> ((ph <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph)) <-> (ph <-> E.xE.y(<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph))))
64	60, 63	imbi12d 688	. . . . . 6 |- (A = <.z, w>. -> ((A = <.x, y>. -> (ph <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph))) <-> (<.z, w>. = <.x, y>. -> (ph <-> E.xE.y(<.z, w>. = <.x, y>. /\ ph)))))
65	59, 64	mpbiri 211	. . . . 5 |- (A = <.z, w>. -> (A = <.x, y>. -> (ph <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph))))
66	65	adantr 425	. . . 4 |- ((A = <.z, w>. /\ <.z, w>. = <.x, y>.) -> (A = <.x, y>. -> (ph <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph))))
67	66	19.23aivv 1675	. . 3 |- (E.zE.w(A = <.z, w>. /\ <.z, w>. = <.x, y>.) -> (A = <.x, y>. -> (ph <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph))))
68	3, 67	sylbi 216	. 2 |- (A = <.x, y>. -> (A = <.x, y>. -> (ph <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph))))
69	68	pm2.43i 78	1 |- (A = <.x, y>. -> (ph <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ ph)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298  E.wex 1326  E!weu 1771  <.cop 3046

This theorem is referenced by:  copsex2g 3539  mosubopt 3551  opabid 3557  ssopab2 3573

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053

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