Theorem copsexg 4741

Description: Substitution of class A for ordered pair <. x , y >.. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Revised by Andrew Salmon, 11-Jul-2011.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 25-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
copsexg	|- ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem copsexg

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3112	. . . 4 |- x e. _V
2		vex 3112	. . . 4 |- y e. _V
3	1, 2	eqvinop 4740	. . 3 |- ( A = <. x , y >. <-> E. z E. w ( A = <. z , w >. /\ <. z , w >. = <. x , y >. ) )
4		19.8a 1858	. . . . . . . . 9 |- ( E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) -> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) )
5	4	19.23bi 1872	. . . . . . . 8 |- ( ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) -> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) )
6	5	ex 434	. . . . . . 7 |- ( <. z , w >. = <. x , y >. -> ( ph -> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) )
7		vex 3112	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
8		vex 3112	. . . . . . . . 9 |- w e. _V
9	7, 8	opth 4730	. . . . . . . 8 |- ( <. z , w >. = <. x , y >. <-> ( z = x /\ w = y ) )
10	9	anbi1i 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) )
11	10	2exbii 1669	. . . . . . . . 9 |- ( E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) )
12		nfe1 1841	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) )
13		19.8a 1858	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w = y /\ ph ) -> E. y ( w = y /\ ph ) )
14	13	anim2i 569	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = x /\ ( w = y /\ ph ) ) -> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
15	14	anassrs 648	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
16	15	eximi 1657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> E. y ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
17		biidd 237	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. y y = x -> ( ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) <-> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
18	17	drex1 2070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y y = x -> ( E. y ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) <-> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
19	16, 18	syl5ib 219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y y = x -> ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
20		anass 649	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) <-> ( z = x /\ ( w = y /\ ph ) ) )
21	20	exbii 1668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) <-> E. y ( z = x /\ ( w = y /\ ph ) ) )
22		19.40 1680	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. y ( z = x /\ ( w = y /\ ph ) ) -> ( E. y z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
23		nfeqf2 2042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. A. y y = x -> F/ y z = x )
24	23	19.9d 1893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. A. y y = x -> ( E. y z = x -> z = x ) )
25	24	anim1d 564	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. A. y y = x -> ( ( E. y z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
26	22, 25	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. A. y y = x -> ( E. y ( z = x /\ ( w = y /\ ph ) ) -> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
27	21, 26	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. A. y y = x -> ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
28		19.8a 1858	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
29	27, 28	syl6 33	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A. y y = x -> ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
30	19, 29	pm2.61i 164	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
31	12, 30	exlimi 1913	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
32		euequ1 2289	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E! x x = z
33		equcom 1795	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z <-> z = x )
34	33	eubii 2307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E! x x = z <-> E! x z = x )
35	32, 34	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- E! x z = x
36		eupick 2358	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E! x z = x /\ E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) -> ( z = x -> E. y ( w = y /\ ph ) ) )
37	35, 36	mpan 670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> ( z = x -> E. y ( w = y /\ ph ) ) )
38	37	com12 31	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> E. y ( w = y /\ ph ) ) )
39		euequ1 2289	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E! y y = w
40		equcom 1795	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = w <-> w = y )
41	40	eubii 2307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E! y y = w <-> E! y w = y )
42	39, 41	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- E! y w = y
43		eupick 2358	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E! y w = y /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> ( w = y -> ph ) )
44	42, 43	mpan 670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y ( w = y /\ ph ) -> ( w = y -> ph ) )
45	44	com12 31	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = y -> ( E. y ( w = y /\ ph ) -> ph ) )
46	38, 45	sylan9 657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z = x /\ w = y ) -> ( E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> ph ) )
47	31, 46	syl5 32	. . . . . . . . 9 |- ( ( z = x /\ w = y ) -> ( E. x E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> ph ) )
48	11, 47	syl5bi 217	. . . . . . . 8 |- ( ( z = x /\ w = y ) -> ( E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) -> ph ) )
49	9, 48	sylbi 195	. . . . . . 7 |- ( <. z , w >. = <. x , y >. -> ( E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) -> ph ) )
50	6, 49	impbid 191	. . . . . 6 |- ( <. z , w >. = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) )
51		eqeq1 2461	. . . . . . 7 |- ( A = <. z , w >. -> ( A = <. x , y >. <-> <. z , w >. = <. x , y >. ) )
52	51	anbi1d 704	. . . . . . . . 9 |- ( A = <. z , w >. -> ( ( A = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) )
53	52	2exbidv 1717	. . . . . . . 8 |- ( A = <. z , w >. -> ( E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) )
54	53	bibi2d 318	. . . . . . 7 |- ( A = <. z , w >. -> ( ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) <-> ( ph <-> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) ) )
55	51, 54	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( A = <. z , w >. -> ( ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) ) <-> ( <. z , w >. = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) ) ) )
56	50, 55	mpbiri 233	. . . . 5 |- ( A = <. z , w >. -> ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) ) )
57	56	adantr 465	. . . 4 |- ( ( A = <. z , w >. /\ <. z , w >. = <. x , y >. ) -> ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) ) )
58	57	exlimivv 1724	. . 3 |- ( E. z E. w ( A = <. z , w >. /\ <. z , w >. = <. x , y >. ) -> ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) ) )
59	3, 58	sylbi 195	. 2 |- ( A = <. x , y >. -> ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) ) )
60	59	pm2.43i 47	1 |- ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1393   = wceq 1395   E.wex 1613   E!weu 2283   <.cop 4038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039

This theorem is referenced by:  copsex2t  4743  copsex2g  4744  mosubopt  4754  opabid  4763  brabgaf  27599