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Theorem copsexg 4676
Description: Substitution of class  A for ordered pair  <. x ,  y >.. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Revised by Andrew Salmon, 11-Jul-2011.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 25-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
copsexg  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    y, A
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem copsexg
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3062 . . . 4  |-  x  e. 
_V
2 vex 3062 . . . 4  |-  y  e. 
_V
31, 2eqvinop 4675 . . 3  |-  ( A  =  <. x ,  y
>. 
<->  E. z E. w
( A  =  <. z ,  w >.  /\  <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >. )
)
4 19.8a 1881 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  E. x E. y
( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) )
5419.23bi 1895 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  ->  E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
65ex 432 . . . . . . 7  |-  ( <.
z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  ->  ( ph  ->  E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
7 vex 3062 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
8 vex 3062 . . . . . . . . 9  |-  w  e. 
_V
97, 8opth 4665 . . . . . . . 8  |-  ( <.
z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  <->  ( z  =  x  /\  w  =  y )
)
109anbi1i 693 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  ( (
z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph ) )
11102exbii 1689 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x E. y (
<. z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. x E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph ) )
12 nfe1 1864 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x E. x ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )
13 19.8a 1881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  =  y  /\  ph )  ->  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )
1413anim2i 567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  =  x  /\  ( w  =  y  /\  ph ) )  -> 
( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
1514anassrs 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
1615eximi 1677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  E. y
( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
17 biidd 237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )  <-> 
( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) ) )
1817drex1 2095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( E. y ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
)  <->  E. x ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
1916, 18syl5ib 219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  E. x ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
20 anass 647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  <->  ( z  =  x  /\  ( w  =  y  /\  ph ) ) )
2120exbii 1688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  <->  E. y ( z  =  x  /\  (
w  =  y  /\  ph ) ) )
22 19.40 1700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. y ( z  =  x  /\  ( w  =  y  /\  ph ) )  ->  ( E. y  z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
23 nfeqf2 2067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/ y 
z  =  x )
242319.9d 1914 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( E. y  z  =  x  ->  z  =  x ) )
2524anim1d 562 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( ( E. y  z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) )  ->  (
z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
2622, 25syl5 30 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( E. y ( z  =  x  /\  ( w  =  y  /\  ph ) )  ->  (
z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
2721, 26syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) ) ) )
28 19.8a 1881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
)  ->  E. x
( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
2927, 28syl6 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  E. x
( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) ) )
3019, 29pm2.61i 164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  E. x
( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
3112, 30exlimi 1940 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  E. x ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) )
32 euequ1 2244 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E! x  x  =  z
33 equcom 1818 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  <->  z  =  x )
3433eubii 2262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E! x  x  =  z  <-> 
E! x  z  =  x )
3532, 34mpbi 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  E! x  z  =  x
36 eupick 2309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E! x  z  =  x  /\  E. x
( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )  -> 
( z  =  x  ->  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
3735, 36mpan 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )  ->  ( z  =  x  ->  E. y
( w  =  y  /\  ph ) ) )
3837com12 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  ( E. x ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )  ->  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
39 euequ1 2244 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E! y  y  =  w
40 equcom 1818 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  w  <->  w  =  y )
4140eubii 2262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E! y  y  =  w  <-> 
E! y  w  =  y )
4239, 41mpbi 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  E! y  w  =  y
43 eupick 2309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E! y  w  =  y  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )  ->  ( w  =  y  ->  ph ) )
4442, 43mpan 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y ( w  =  y  /\  ph )  ->  ( w  =  y  ->  ph ) )
4544com12 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  ( E. y ( w  =  y  /\  ph )  ->  ph ) )
4638, 45sylan9 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( E. x ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
)  ->  ph ) )
4731, 46syl5 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( E. x E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  ph ) )
4811, 47syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  ph ) )
499, 48sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( <.
z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  ->  ( E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  ph ) )
506, 49impbid 190 . . . . . 6  |-  ( <.
z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
51 eqeq1 2406 . . . . . . 7  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( A  = 
<. x ,  y >.  <->  <.
z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.
) )
5251anbi1d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  ph )  <->  ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
53522exbidv 1737 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
5453bibi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( ph  <->  E. x E. y ( A  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )  <->  ( ph  <->  E. x E. y (
<. z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) )
5551, 54imbi12d 318 . . . . . 6  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) )  <-> 
( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) ) )
5650, 55mpbiri 233 . . . . 5  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( A  = 
<. x ,  y >.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) )
5756adantr 463 . . . 4  |-  ( ( A  =  <. z ,  w >.  /\  <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >. )  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  ->  ( ph 
<->  E. x E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) )
5857exlimivv 1744 . . 3  |-  ( E. z E. w ( A  =  <. z ,  w >.  /\  <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >. )  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  ->  ( ph 
<->  E. x E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) )
593, 58sylbi 195 . 2  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( A  = 
<. x ,  y >.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) )
6059pm2.43i 46 1  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1403    = wceq 1405   E.wex 1633   E!weu 2238   <.cop 3978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pr 4630
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-rab 2763  df-v 3061  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979
This theorem is referenced by:  copsex2t  4677  copsex2g  4678  mosubopt  4688  opabid  4697  brabgaf  27898
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