Theorem copsexg 4676

Description: Substitution of class A for ordered pair <. x , y >.. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Revised by Andrew Salmon, 11-Jul-2011.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 25-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
copsexg	|- ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem copsexg

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3062	. . . 4 |- x e. _V
2		vex 3062	. . . 4 |- y e. _V
3	1, 2	eqvinop 4675	. . 3 |- ( A = <. x , y >. <-> E. z E. w ( A = <. z , w >. /\ <. z , w >. = <. x , y >. ) )
4		19.8a 1881	. . . . . . . . 9 |- ( E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) -> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) )
5	4	19.23bi 1895	. . . . . . . 8 |- ( ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) -> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) )
6	5	ex 432	. . . . . . 7 |- ( <. z , w >. = <. x , y >. -> ( ph -> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) )
7		vex 3062	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
8		vex 3062	. . . . . . . . 9 |- w e. _V
9	7, 8	opth 4665	. . . . . . . 8 |- ( <. z , w >. = <. x , y >. <-> ( z = x /\ w = y ) )
10	9	anbi1i 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) )
11	10	2exbii 1689	. . . . . . . . 9 |- ( E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) )
12		nfe1 1864	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) )
13		19.8a 1881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w = y /\ ph ) -> E. y ( w = y /\ ph ) )
14	13	anim2i 567	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = x /\ ( w = y /\ ph ) ) -> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
15	14	anassrs 646	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
16	15	eximi 1677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> E. y ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
17		biidd 237	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. y y = x -> ( ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) <-> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
18	17	drex1 2095	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y y = x -> ( E. y ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) <-> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
19	16, 18	syl5ib 219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y y = x -> ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
20		anass 647	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) <-> ( z = x /\ ( w = y /\ ph ) ) )
21	20	exbii 1688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) <-> E. y ( z = x /\ ( w = y /\ ph ) ) )
22		19.40 1700	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. y ( z = x /\ ( w = y /\ ph ) ) -> ( E. y z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
23		nfeqf2 2067	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. A. y y = x -> F/ y z = x )
24	23	19.9d 1914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. A. y y = x -> ( E. y z = x -> z = x ) )
25	24	anim1d 562	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. A. y y = x -> ( ( E. y z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
26	22, 25	syl5 30	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. A. y y = x -> ( E. y ( z = x /\ ( w = y /\ ph ) ) -> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
27	21, 26	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. A. y y = x -> ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
28		19.8a 1881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
29	27, 28	syl6 31	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A. y y = x -> ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
30	19, 29	pm2.61i 164	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
31	12, 30	exlimi 1940	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
32		euequ1 2244	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E! x x = z
33		equcom 1818	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z <-> z = x )
34	33	eubii 2262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E! x x = z <-> E! x z = x )
35	32, 34	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- E! x z = x
36		eupick 2309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E! x z = x /\ E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) -> ( z = x -> E. y ( w = y /\ ph ) ) )
37	35, 36	mpan 668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> ( z = x -> E. y ( w = y /\ ph ) ) )
38	37	com12 29	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> E. y ( w = y /\ ph ) ) )
39		euequ1 2244	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E! y y = w
40		equcom 1818	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = w <-> w = y )
41	40	eubii 2262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E! y y = w <-> E! y w = y )
42	39, 41	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- E! y w = y
43		eupick 2309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E! y w = y /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> ( w = y -> ph ) )
44	42, 43	mpan 668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y ( w = y /\ ph ) -> ( w = y -> ph ) )
45	44	com12 29	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = y -> ( E. y ( w = y /\ ph ) -> ph ) )
46	38, 45	sylan9 655	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z = x /\ w = y ) -> ( E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> ph ) )
47	31, 46	syl5 30	. . . . . . . . 9 |- ( ( z = x /\ w = y ) -> ( E. x E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> ph ) )
48	11, 47	syl5bi 217	. . . . . . . 8 |- ( ( z = x /\ w = y ) -> ( E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) -> ph ) )
49	9, 48	sylbi 195	. . . . . . 7 |- ( <. z , w >. = <. x , y >. -> ( E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) -> ph ) )
50	6, 49	impbid 190	. . . . . 6 |- ( <. z , w >. = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) )
51		eqeq1 2406	. . . . . . 7 |- ( A = <. z , w >. -> ( A = <. x , y >. <-> <. z , w >. = <. x , y >. ) )
52	51	anbi1d 703	. . . . . . . . 9 |- ( A = <. z , w >. -> ( ( A = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) )
53	52	2exbidv 1737	. . . . . . . 8 |- ( A = <. z , w >. -> ( E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) )
54	53	bibi2d 316	. . . . . . 7 |- ( A = <. z , w >. -> ( ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) <-> ( ph <-> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) ) )
55	51, 54	imbi12d 318	. . . . . 6 |- ( A = <. z , w >. -> ( ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) ) <-> ( <. z , w >. = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) ) ) )
56	50, 55	mpbiri 233	. . . . 5 |- ( A = <. z , w >. -> ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) ) )
57	56	adantr 463	. . . 4 |- ( ( A = <. z , w >. /\ <. z , w >. = <. x , y >. ) -> ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) ) )
58	57	exlimivv 1744	. . 3 |- ( E. z E. w ( A = <. z , w >. /\ <. z , w >. = <. x , y >. ) -> ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) ) )
59	3, 58	sylbi 195	. 2 |- ( A = <. x , y >. -> ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) ) )
60	59	pm2.43i 46	1 |- ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   A.wal 1403   = wceq 1405   E.wex 1633   E!weu 2238   <.cop 3978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pr 4630

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-rab 2763  df-v 3061  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979

This theorem is referenced by:  copsex2t  4677  copsex2g  4678  mosubopt  4688  opabid  4697  brabgaf  27898