Theorem copsexg 4706

Description: Substitution of class A for ordered pair <. x , y >.. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Revised by Andrew Salmon, 11-Jul-2011.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 25-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
copsexg	|- ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem copsexg

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3083	. . . 4 |- x e. _V
2		vex 3083	. . . 4 |- y e. _V
3	1, 2	eqvinop 4705	. . 3 |- ( A = <. x , y >. <-> E. z E. w ( A = <. z , w >. /\ <. z , w >. = <. x , y >. ) )
4		19.8a 1912	. . . . . . . . 9 |- ( E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) -> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) )
5	4	19.23bi 1926	. . . . . . . 8 |- ( ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) -> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) )
6	5	ex 435	. . . . . . 7 |- ( <. z , w >. = <. x , y >. -> ( ph -> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) )
7		vex 3083	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
8		vex 3083	. . . . . . . . 9 |- w e. _V
9	7, 8	opth 4695	. . . . . . . 8 |- ( <. z , w >. = <. x , y >. <-> ( z = x /\ w = y ) )
10	9	anbi1i 699	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) )
11	10	2exbii 1713	. . . . . . . . 9 |- ( E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) )
12		nfe1 1894	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) )
13		19.8a 1912	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w = y /\ ph ) -> E. y ( w = y /\ ph ) )
14	13	anim2i 571	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = x /\ ( w = y /\ ph ) ) -> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
15	14	anassrs 652	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
16	15	eximi 1701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> E. y ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
17		biidd 240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. y y = x -> ( ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) <-> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
18	17	drex1 2128	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y y = x -> ( E. y ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) <-> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
19	16, 18	syl5ib 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y y = x -> ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
20		anass 653	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) <-> ( z = x /\ ( w = y /\ ph ) ) )
21	20	exbii 1712	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) <-> E. y ( z = x /\ ( w = y /\ ph ) ) )
22		19.40 1725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. y ( z = x /\ ( w = y /\ ph ) ) -> ( E. y z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
23		nfeqf2 2100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. A. y y = x -> F/ y z = x )
24	23	19.9d 1945	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. A. y y = x -> ( E. y z = x -> z = x ) )
25	24	anim1d 566	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. A. y y = x -> ( ( E. y z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
26	22, 25	syl5 33	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. A. y y = x -> ( E. y ( z = x /\ ( w = y /\ ph ) ) -> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
27	21, 26	syl5bi 220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. A. y y = x -> ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
28		19.8a 1912	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
29	27, 28	syl6 34	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A. y y = x -> ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) )
30	19, 29	pm2.61i 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
31	12, 30	exlimi 1972	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) )
32		euequ1 2275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E! x x = z
33		equcom 1848	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z <-> z = x )
34	33	eubii 2291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E! x x = z <-> E! x z = x )
35	32, 34	mpbi 211	. . . . . . . . . . . . 13 |- E! x z = x
36		eupick 2335	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E! x z = x /\ E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) ) -> ( z = x -> E. y ( w = y /\ ph ) ) )
37	35, 36	mpan 674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> ( z = x -> E. y ( w = y /\ ph ) ) )
38	37	com12 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> E. y ( w = y /\ ph ) ) )
39		euequ1 2275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E! y y = w
40		equcom 1848	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = w <-> w = y )
41	40	eubii 2291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E! y y = w <-> E! y w = y )
42	39, 41	mpbi 211	. . . . . . . . . . . . 13 |- E! y w = y
43		eupick 2335	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E! y w = y /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> ( w = y -> ph ) )
44	42, 43	mpan 674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y ( w = y /\ ph ) -> ( w = y -> ph ) )
45	44	com12 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = y -> ( E. y ( w = y /\ ph ) -> ph ) )
46	38, 45	sylan9 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z = x /\ w = y ) -> ( E. x ( z = x /\ E. y ( w = y /\ ph ) ) -> ph ) )
47	31, 46	syl5 33	. . . . . . . . 9 |- ( ( z = x /\ w = y ) -> ( E. x E. y ( ( z = x /\ w = y ) /\ ph ) -> ph ) )
48	11, 47	syl5bi 220	. . . . . . . 8 |- ( ( z = x /\ w = y ) -> ( E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) -> ph ) )
49	9, 48	sylbi 198	. . . . . . 7 |- ( <. z , w >. = <. x , y >. -> ( E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) -> ph ) )
50	6, 49	impbid 193	. . . . . 6 |- ( <. z , w >. = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) )
51		eqeq1 2426	. . . . . . 7 |- ( A = <. z , w >. -> ( A = <. x , y >. <-> <. z , w >. = <. x , y >. ) )
52	51	anbi1d 709	. . . . . . . . 9 |- ( A = <. z , w >. -> ( ( A = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) )
53	52	2exbidv 1764	. . . . . . . 8 |- ( A = <. z , w >. -> ( E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) )
54	53	bibi2d 319	. . . . . . 7 |- ( A = <. z , w >. -> ( ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) <-> ( ph <-> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) ) )
55	51, 54	imbi12d 321	. . . . . 6 |- ( A = <. z , w >. -> ( ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) ) <-> ( <. z , w >. = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( <. z , w >. = <. x , y >. /\ ph ) ) ) ) )
56	50, 55	mpbiri 236	. . . . 5 |- ( A = <. z , w >. -> ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) ) )
57	56	adantr 466	. . . 4 |- ( ( A = <. z , w >. /\ <. z , w >. = <. x , y >. ) -> ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) ) )
58	57	exlimivv 1771	. . 3 |- ( E. z E. w ( A = <. z , w >. /\ <. z , w >. = <. x , y >. ) -> ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) ) )
59	3, 58	sylbi 198	. 2 |- ( A = <. x , y >. -> ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) ) )
60	59	pm2.43i 49	1 |- ( A = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   A.wal 1435   = wceq 1437   E.wex 1657   E!weu 2269   <.cop 4004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pr 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-rab 2780  df-v 3082  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005

This theorem is referenced by:  copsex2t  4707  copsex2g  4708  mosubopt  4718  opabid  4727  brabgaf  28218