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Theorem coprmproddvdslem 14679
Description: Lemma for coprmproddvds 14680: Induction step. (Contributed by AV, 19-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
coprmproddvdslem  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K )  ->  (
( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) )  ->  prod_ m  e.  ( y  u.  { z } ) ( F `
 m )  ||  K ) ) )
Distinct variable groups:    m, F, n    m, K, y, z   
y, n, z
Allowed substitution hints:    F( y, z)    K( n)

Proof of Theorem coprmproddvdslem
StepHypRef Expression
1 nfv 1761 . . . . 5  |-  F/ m
( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )
2 nfcv 2592 . . . . 5  |-  F/_ m
( F `  z
)
3 simpll 760 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  y  e.  Fin )
4 unss 3608 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  NN  /\  {
z }  C_  NN ) 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  NN )
5 vex 3048 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
65snss 4096 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  NN  <->  { z }  C_  NN )
76biimpri 210 . . . . . . . . 9  |-  ( { z }  C_  NN  ->  z  e.  NN )
87adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  NN  /\  {
z }  C_  NN )  ->  z  e.  NN )
94, 8sylbir 217 . . . . . . 7  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  ->  z  e.  NN )
109adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  -> 
z  e.  NN )
1110adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  z  e.  NN )
12 simplr 762 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
13 simprrr 775 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  F : NN --> NN )
1413adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  /\  m  e.  y )  ->  F : NN
--> NN )
15 simpl 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  NN  /\  {
z }  C_  NN )  ->  y  C_  NN )
164, 15sylbir 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  ->  y  C_  NN )
1716adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  -> 
y  C_  NN )
1817adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  y  C_  NN )
1918sselda 3432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  /\  m  e.  y )  ->  m  e.  NN )
2014, 19ffvelrnd 6023 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  /\  m  e.  y )  ->  ( F `  m )  e.  NN )
2120nncnd 10625 . . . . 5  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  /\  m  e.  y )  ->  ( F `  m )  e.  CC )
22 fveq2 5865 . . . . 5  |-  ( m  =  z  ->  ( F `  m )  =  ( F `  z ) )
2313, 11ffvelrnd 6023 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  NN )
2423nncnd 10625 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
251, 2, 3, 11, 12, 21, 22, 24fprodsplitsn 14043 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  prod_ m  e.  ( y  u. 
{ z } ) ( F `  m
)  =  ( prod_
m  e.  y  ( F `  m )  x.  ( F `  z ) ) )
2625ad2ant2r 753 . . 3  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) ) )  ->  prod_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m )  =  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  x.  ( F `  z )
) )
27 simprl 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
y  e.  Fin )
28 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  ->  F : NN --> NN )
2928adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  ->  F : NN --> NN )
3029adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  /\  m  e.  y )  ->  F : NN --> NN )
3117adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
y  C_  NN )
3231sselda 3432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  /\  m  e.  y )  ->  m  e.  NN )
3330, 32ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  /\  m  e.  y )  ->  ( F `  m
)  e.  NN )
3427, 33fprodnncl 14009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m )  e.  NN )
3534ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  -> 
( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  e.  NN ) )
3635adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) )  ->  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m
)  e.  NN ) )
3736com12 32 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m
)  e.  NN ) )
3837adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  /\ 
A. m  e.  y  ( F `  m
)  ||  K )
)  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  (
( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m
)  e.  NN ) )
3938imp 431 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) ) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m )  e.  NN )
4039nnzd 11039 . . . . 5  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) ) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m )  e.  ZZ )
4128, 10ffvelrnd 6023 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  -> 
( F `  z
)  e.  NN )
4241nnzd 11039 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  -> 
( F `  z
)  e.  ZZ )
4342adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) )  ->  ( F `  z )  e.  ZZ )
4443adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  ZZ )
45 nnz 10959 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  ZZ )
4645adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  ->  K  e.  ZZ )
4746adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  ->  K  e.  ZZ )
4847adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) )  ->  K  e.  ZZ )
4948adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
5040, 44, 493jca 1188 . . . 4  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) ) )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  e.  ZZ  /\  ( F `
 z )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )
51 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  NN )  ->  F : NN
--> NN )
529adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  NN )  ->  z  e.  NN )
5351, 52ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  NN )  ->  ( F `
 z )  e.  NN )
5453ex 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : NN --> NN  ->  ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  ->  ( F `  z )  e.  NN ) )
5554adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  ->  ( F `  z )  e.  NN ) )
5655impcom 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  -> 
( F `  z
)  e.  NN )
5756adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  NN )
583, 18, 573jca 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  (
y  e.  Fin  /\  y  C_  NN  /\  ( F `  z )  e.  NN ) )
5958adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  (
y  e.  Fin  /\  y  C_  NN  /\  ( F `  z )  e.  NN ) )
6013adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  F : NN --> NN )
61 ralunb 3615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u.  {
z } )  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  <->  ( A. m  e.  y  A. n  e.  (
( y  u.  {
z } )  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  /\ 
A. m  e.  {
z } A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 ) )
6261simplbi 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u.  {
z } )  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  ->  A. m  e.  y  A. n  e.  (
( y  u.  {
z } )  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1 )
63 ssnid 3997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
{ z }
6463olci 393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  y  \/  z  e.  { z } )
65 elun 3574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( y  u. 
{ z } )  <-> 
( z  e.  y  \/  z  e.  {
z } ) )
6664, 65mpbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  e.  ( y  u.  {
z } )
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  /\  m  e.  y )  ->  z  e.  ( y  u.  {
z } ) )
68 snssi 4116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  y  ->  { m }  C_  y )
6968ssneld 3434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  y  ->  ( -.  z  e.  y  ->  -.  z  e.  {
m } ) )
7069com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( m  e.  y  ->  -.  z  e.  { m } ) )
7170adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( m  e.  y  ->  -.  z  e.  { m } ) )
7271adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  (
m  e.  y  ->  -.  z  e.  { m } ) )
7372imp 431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  /\  m  e.  y )  ->  -.  z  e.  { m } )
7467, 73eldifd 3415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  /\  m  e.  y )  ->  z  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) )
75 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  z  ->  ( F `  n )  =  ( F `  z ) )
7675oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  z  ->  (
( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  ( ( F `  m )  gcd  ( F `  z )
) )
7776eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  z  ->  (
( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  <->  (
( F `  m
)  gcd  ( F `  z ) )  =  1 ) )
7877rspcv 3146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( ( y  u.  { z } )  \  { m } )  ->  ( A. n  e.  (
( y  u.  {
z } )  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  -> 
( ( F `  m )  gcd  ( F `  z )
)  =  1 ) )
7974, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  /\  m  e.  y )  ->  ( A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  ->  ( ( F `  m )  gcd  ( F `  z
) )  =  1 ) )
8079ralimdva 2796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  ( A. m  e.  y  A. n  e.  (
( y  u.  {
z } )  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  ->  A. m  e.  y 
( ( F `  m )  gcd  ( F `  z )
)  =  1 ) )
8162, 80syl5 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  ( A. m  e.  (
y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1  ->  A. m  e.  y  ( ( F `  m )  gcd  ( F `  z )
)  =  1 ) )
8281imp 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  A. m  e.  y  ( ( F `  m )  gcd  ( F `  z
) )  =  1 )
83 raldifb 3573 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. n  e.  ( y  u.  { z } ) ( n  e/  {
m }  ->  (
( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  <->  A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 )
84 ralunb 3615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  ( y  u.  { z } ) ( n  e/  {
m }  ->  (
( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  <->  ( A. n  e.  y  (
n  e/  { m }  ->  ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 )  /\  A. n  e.  { z }  (
n  e/  { m }  ->  ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 ) ) )
85 raldifb 3573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. n  e.  y  (
n  e/  { m }  ->  ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 )  <->  A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )
8685biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. n  e.  y  (
n  e/  { m }  ->  ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 )  ->  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )
8786adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. n  e.  y  ( n  e/  {
m }  ->  (
( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  /\  A. n  e.  { z }  ( n  e/  { m }  ->  (
( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 ) )  ->  A. n  e.  (
y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )
8884, 87sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. n  e.  ( y  u.  { z } ) ( n  e/  {
m }  ->  (
( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )
8983, 88sylbir 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  ->  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )
9089ralimi 2781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. m  e.  y  A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  ->  A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )
9190adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( ( y  u.  {
z } )  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  /\ 
A. m  e.  {
z } A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 )  ->  A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )
9261, 91sylbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u.  {
z } )  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  ->  A. m  e.  y  A. n  e.  (
y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )
9392adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )
94 coprmprod 14678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  C_  NN  /\  ( F `  z )  e.  NN )  /\  F : NN --> NN  /\  A. m  e.  y  (
( F `  m
)  gcd  ( F `  z ) )  =  1 )  ->  ( A. m  e.  y  A. n  e.  (
y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  gcd  ( F `  z
) )  =  1 ) )
9594imp 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  C_  NN  /\  ( F `  z )  e.  NN )  /\  F : NN --> NN  /\  A. m  e.  y  ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  z
) )  =  1 )  /\  A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  ( F `  z ) )  =  1 )
9659, 60, 82, 93, 95syl31anc 1271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  ( F `  z ) )  =  1 )
9796ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  ( A. m  e.  (
y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  ( F `  z )
)  =  1 ) )
9897adantrd 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  (
( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K )  -> 
( prod_ m  e.  y  ( F `  m
)  gcd  ( F `  z ) )  =  1 ) )
9998expimpd 608 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  ( F `  z )
)  =  1 ) )
10099adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  /\ 
A. m  e.  y  ( F `  m
)  ||  K )
)  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  (
( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  ( F `  z )
)  =  1 ) )
101100imp 431 . . . 4  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) ) )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  gcd  ( F `  z
) )  =  1 )
10284simplbi 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  ( y  u.  { z } ) ( n  e/  {
m }  ->  (
( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  A. n  e.  y  ( n  e/  { m }  ->  ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 ) )
10383, 102sylbir 217 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  ->  A. n  e.  y  ( n  e/  { m }  ->  ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 ) )
104103ralimi 2781 . . . . . . . 8  |-  ( A. m  e.  y  A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  ->  A. m  e.  y  A. n  e.  y  ( n  e/  { m }  ->  ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 ) )
105104adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( ( y  u.  {
z } )  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  /\ 
A. m  e.  {
z } A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 )  ->  A. m  e.  y  A. n  e.  y  ( n  e/  { m }  ->  ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 ) )
10661, 105sylbi 199 . . . . . 6  |-  ( A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u.  {
z } )  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  ->  A. m  e.  y  A. n  e.  y 
( n  e/  {
m }  ->  (
( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 ) )
107 ralunb 3615 . . . . . . 7  |-  ( A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( F `  m
)  ||  K  <->  ( A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K  /\  A. m  e.  { z }  ( F `  m )  ||  K ) )
108107simplbi 462 . . . . . 6  |-  ( A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( F `  m
)  ||  K  ->  A. m  e.  y  ( F `  m ) 
||  K )
10985ralbii 2819 . . . . . . . 8  |-  ( A. m  e.  y  A. n  e.  y  (
n  e/  { m }  ->  ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 )  <->  A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )
110109anbi1i 701 . . . . . . 7  |-  ( ( A. m  e.  y 
A. n  e.  y  ( n  e/  {
m }  ->  (
( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K )  <->  ( A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  /\ 
A. m  e.  y  ( F `  m
)  ||  K )
)
11117adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. m  e.  y  A. n  e.  (
y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  ->  y  C_  NN )
112 simprrl 774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. m  e.  y  A. n  e.  (
y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  ->  K  e.  NN )
113 simprrr 775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. m  e.  y  A. n  e.  (
y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  ->  F : NN --> NN )
114111, 112, 113jca32 538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. m  e.  y  A. n  e.  (
y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  ->  ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )
115 simplr 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. m  e.  y  A. n  e.  (
y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  ->  ( A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )
116 pm2.27 40 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  /\ 
A. m  e.  y  ( F `  m
)  ||  K )
)  ->  ( (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )
117114, 115, 116syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. m  e.  y  A. n  e.  (
y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  ->  ( ( ( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  /\ 
A. m  e.  y  ( F `  m
)  ||  K )
)  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
)  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )
118117exp31 609 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( A. m  e.  y  A. n  e.  (
y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
)  ->  ( (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  -> 
( ( ( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) ) ) )
119118com24 90 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K )  ->  (
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  ->  ( ( A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  /\ 
A. m  e.  y  ( F `  m
)  ||  K )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m
)  ||  K )
) ) )
120119imp 431 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  /\ 
A. m  e.  y  ( F `  m
)  ||  K )
)  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  (
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  ->  ( ( A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  /\ 
A. m  e.  y  ( F `  m
)  ||  K )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m
)  ||  K )
) )
121120imp 431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  ( ( A. m  e.  y  A. n  e.  (
y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
)  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )
122110, 121syl5bi 221 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  ( ( A. m  e.  y  A. n  e.  y 
( n  e/  {
m }  ->  (
( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )
123106, 108, 122syl2ani 662 . . . . 5  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  ( ( A. m  e.  (
y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m ) 
||  K ) )
124123impr 625 . . . 4  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) ) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
)
12522breq1d 4412 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  z  ->  (
( F `  m
)  ||  K  <->  ( F `  z )  ||  K
) )
126125rspcv 3146 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K  ->  ( F `  z )  ||  K ) )
12766, 126ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( F `  m
)  ||  K  ->  ( F `  z ) 
||  K )
128127adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K )  -> 
( F `  z
)  ||  K )
129128adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) )  ->  ( F `  z )  ||  K
)
130129adantl 468 . . . 4  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) ) )  ->  ( F `  z )  ||  K
)
131 coprmdvds2 14660 . . . . 5  |-  ( ( ( prod_ m  e.  y  ( F `  m
)  e.  ZZ  /\  ( F `  z )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  ( F `  z ) )  =  1 )  ->  (
( prod_ m  e.  y  ( F `  m
)  ||  K  /\  ( F `  z ) 
||  K )  -> 
( prod_ m  e.  y  ( F `  m
)  x.  ( F `
 z ) ) 
||  K ) )
132131imp 431 . . . 4  |-  ( ( ( ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  e.  ZZ  /\  ( F `  z
)  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m
)  gcd  ( F `  z ) )  =  1 )  /\  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m ) 
||  K  /\  ( F `  z )  ||  K ) )  -> 
( prod_ m  e.  y  ( F `  m
)  x.  ( F `
 z ) ) 
||  K )
13350, 101, 124, 130, 132syl22anc 1269 . . 3  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) ) )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  x.  ( F `  z
) )  ||  K
)
13426, 133eqbrtrd 4423 . 2  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) ) )  ->  prod_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K )
135134exp31 609 1  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K )  ->  (
( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) )  ->  prod_ m  e.  ( y  u.  { z } ) ( F `
 m )  ||  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    e/ wnel 2623   A.wral 2737    \ cdif 3401    u. cun 3402    C_ wss 3404   {csn 3968   class class class wbr 4402   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   1c1 9540    x. cmul 9544   NNcn 10609   ZZcz 10937   prod_cprod 13959    || cdvds 14305    gcd cgcd 14468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-prod 13960  df-dvds 14306  df-gcd 14469
This theorem is referenced by:  coprmproddvds  14680
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