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Theorem coprmproddvdslem 14758
Description: Lemma for coprmproddvds 14759: Induction step. (Contributed by AV, 19-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
coprmproddvdslem  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K )  ->  (
( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) )  ->  prod_ m  e.  ( y  u.  { z } ) ( F `
 m )  ||  K ) ) )
Distinct variable groups:    m, F, n    m, K, y, z   
y, n, z
Allowed substitution hints:    F( y, z)    K( n)

Proof of Theorem coprmproddvdslem
StepHypRef Expression
1 nfv 1769 . . . . 5  |-  F/ m
( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )
2 nfcv 2612 . . . . 5  |-  F/_ m
( F `  z
)
3 simpll 768 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  y  e.  Fin )
4 unss 3599 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  NN  /\  {
z }  C_  NN ) 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  NN )
5 vex 3034 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
65snss 4087 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  NN  <->  { z }  C_  NN )
76biimpri 211 . . . . . . . . 9  |-  ( { z }  C_  NN  ->  z  e.  NN )
87adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  NN  /\  {
z }  C_  NN )  ->  z  e.  NN )
94, 8sylbir 218 . . . . . . 7  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  ->  z  e.  NN )
109adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  -> 
z  e.  NN )
1110adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  z  e.  NN )
12 simplr 770 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
13 simprrr 783 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  F : NN --> NN )
1413adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  /\  m  e.  y )  ->  F : NN
--> NN )
15 simpl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  NN  /\  {
z }  C_  NN )  ->  y  C_  NN )
164, 15sylbir 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  ->  y  C_  NN )
1716adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  -> 
y  C_  NN )
1817adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  y  C_  NN )
1918sselda 3418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  /\  m  e.  y )  ->  m  e.  NN )
2014, 19ffvelrnd 6038 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  /\  m  e.  y )  ->  ( F `  m )  e.  NN )
2120nncnd 10647 . . . . 5  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  /\  m  e.  y )  ->  ( F `  m )  e.  CC )
22 fveq2 5879 . . . . 5  |-  ( m  =  z  ->  ( F `  m )  =  ( F `  z ) )
2313, 11ffvelrnd 6038 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  NN )
2423nncnd 10647 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
251, 2, 3, 11, 12, 21, 22, 24fprodsplitsn 14120 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  prod_ m  e.  ( y  u. 
{ z } ) ( F `  m
)  =  ( prod_
m  e.  y  ( F `  m )  x.  ( F `  z ) ) )
2625ad2ant2r 761 . . 3  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) ) )  ->  prod_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m )  =  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  x.  ( F `  z )
) )
27 simprl 772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
y  e.  Fin )
28 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  ->  F : NN --> NN )
2928adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  ->  F : NN --> NN )
3029adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  /\  m  e.  y )  ->  F : NN --> NN )
3117adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
y  C_  NN )
3231sselda 3418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  /\  m  e.  y )  ->  m  e.  NN )
3330, 32ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  /\  m  e.  y )  ->  ( F `  m
)  e.  NN )
3427, 33fprodnncl 14086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m )  e.  NN )
3534ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  -> 
( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  e.  NN ) )
3635adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) )  ->  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m
)  e.  NN ) )
3736com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m
)  e.  NN ) )
3837adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  /\ 
A. m  e.  y  ( F `  m
)  ||  K )
)  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  (
( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m
)  e.  NN ) )
3938imp 436 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) ) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m )  e.  NN )
4039nnzd 11062 . . . . 5  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) ) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m )  e.  ZZ )
4128, 10ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  -> 
( F `  z
)  e.  NN )
4241nnzd 11062 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  -> 
( F `  z
)  e.  ZZ )
4342adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) )  ->  ( F `  z )  e.  ZZ )
4443adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  ZZ )
45 nnz 10983 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  ZZ )
4645adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  ->  K  e.  ZZ )
4746adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  ->  K  e.  ZZ )
4847adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) )  ->  K  e.  ZZ )
4948adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
5040, 44, 493jca 1210 . . . 4  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) ) )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  e.  ZZ  /\  ( F `
 z )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )
51 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  NN )  ->  F : NN
--> NN )
529adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  NN )  ->  z  e.  NN )
5351, 52ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  NN )  ->  ( F `
 z )  e.  NN )
5453ex 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : NN --> NN  ->  ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  ->  ( F `  z )  e.  NN ) )
5554adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  ->  ( F `  z )  e.  NN ) )
5655impcom 437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  -> 
( F `  z
)  e.  NN )
5756adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  NN )
583, 18, 573jca 1210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  (
y  e.  Fin  /\  y  C_  NN  /\  ( F `  z )  e.  NN ) )
5958adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  (
y  e.  Fin  /\  y  C_  NN  /\  ( F `  z )  e.  NN ) )
6013adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  F : NN --> NN )
61 ralunb 3606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u.  {
z } )  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  <->  ( A. m  e.  y  A. n  e.  (
( y  u.  {
z } )  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  /\ 
A. m  e.  {
z } A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 ) )
6261simplbi 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u.  {
z } )  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  ->  A. m  e.  y  A. n  e.  (
( y  u.  {
z } )  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1 )
63 ssnid 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
{ z }
6463olci 398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  y  \/  z  e.  { z } )
65 elun 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( y  u. 
{ z } )  <-> 
( z  e.  y  \/  z  e.  {
z } ) )
6664, 65mpbir 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  e.  ( y  u.  {
z } )
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  /\  m  e.  y )  ->  z  e.  ( y  u.  {
z } ) )
68 snssi 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  y  ->  { m }  C_  y )
6968ssneld 3420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  y  ->  ( -.  z  e.  y  ->  -.  z  e.  {
m } ) )
7069com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( m  e.  y  ->  -.  z  e.  { m } ) )
7170adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( m  e.  y  ->  -.  z  e.  { m } ) )
7271adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  (
m  e.  y  ->  -.  z  e.  { m } ) )
7372imp 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  /\  m  e.  y )  ->  -.  z  e.  { m } )
7467, 73eldifd 3401 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  /\  m  e.  y )  ->  z  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) )
75 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  z  ->  ( F `  n )  =  ( F `  z ) )
7675oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  z  ->  (
( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  ( ( F `  m )  gcd  ( F `  z )
) )
7776eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  z  ->  (
( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  <->  (
( F `  m
)  gcd  ( F `  z ) )  =  1 ) )
7877rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( ( y  u.  { z } )  \  { m } )  ->  ( A. n  e.  (
( y  u.  {
z } )  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  -> 
( ( F `  m )  gcd  ( F `  z )
)  =  1 ) )
7974, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  /\  m  e.  y )  ->  ( A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  ->  ( ( F `  m )  gcd  ( F `  z
) )  =  1 ) )
8079ralimdva 2805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  ( A. m  e.  y  A. n  e.  (
( y  u.  {
z } )  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  ->  A. m  e.  y 
( ( F `  m )  gcd  ( F `  z )
)  =  1 ) )
8162, 80syl5 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  ( A. m  e.  (
y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1  ->  A. m  e.  y  ( ( F `  m )  gcd  ( F `  z )
)  =  1 ) )
8281imp 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  A. m  e.  y  ( ( F `  m )  gcd  ( F `  z
) )  =  1 )
83 raldifb 3562 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. n  e.  ( y  u.  { z } ) ( n  e/  {
m }  ->  (
( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  <->  A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 )
84 ralunb 3606 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  ( y  u.  { z } ) ( n  e/  {
m }  ->  (
( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  <->  ( A. n  e.  y  (
n  e/  { m }  ->  ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 )  /\  A. n  e.  { z }  (
n  e/  { m }  ->  ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 ) ) )
85 raldifb 3562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. n  e.  y  (
n  e/  { m }  ->  ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 )  <->  A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )
8685biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. n  e.  y  (
n  e/  { m }  ->  ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 )  ->  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )
8786adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. n  e.  y  ( n  e/  {
m }  ->  (
( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  /\  A. n  e.  { z }  ( n  e/  { m }  ->  (
( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 ) )  ->  A. n  e.  (
y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )
8884, 87sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. n  e.  ( y  u.  { z } ) ( n  e/  {
m }  ->  (
( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )
8983, 88sylbir 218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  ->  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )
9089ralimi 2796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. m  e.  y  A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  ->  A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )
9190adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( ( y  u.  {
z } )  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  /\ 
A. m  e.  {
z } A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 )  ->  A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )
9261, 91sylbi 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u.  {
z } )  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  ->  A. m  e.  y  A. n  e.  (
y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )
9392adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )
94 coprmprod 14757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  C_  NN  /\  ( F `  z )  e.  NN )  /\  F : NN --> NN  /\  A. m  e.  y  (
( F `  m
)  gcd  ( F `  z ) )  =  1 )  ->  ( A. m  e.  y  A. n  e.  (
y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  gcd  ( F `  z
) )  =  1 ) )
9594imp 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  C_  NN  /\  ( F `  z )  e.  NN )  /\  F : NN --> NN  /\  A. m  e.  y  ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  z
) )  =  1 )  /\  A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  ( F `  z ) )  =  1 )
9659, 60, 82, 93, 95syl31anc 1295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  ( F `  z ) )  =  1 )
9796ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  ( A. m  e.  (
y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  ( F `  z )
)  =  1 ) )
9897adantrd 475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  (
( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K )  -> 
( prod_ m  e.  y  ( F `  m
)  gcd  ( F `  z ) )  =  1 ) )
9998expimpd 614 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  ( F `  z )
)  =  1 ) )
10099adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  /\ 
A. m  e.  y  ( F `  m
)  ||  K )
)  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  (
( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  ( F `  z )
)  =  1 ) )
101100imp 436 . . . 4  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) ) )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  gcd  ( F `  z
) )  =  1 )
10284simplbi 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  ( y  u.  { z } ) ( n  e/  {
m }  ->  (
( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  A. n  e.  y  ( n  e/  { m }  ->  ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 ) )
10383, 102sylbir 218 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  ->  A. n  e.  y  ( n  e/  { m }  ->  ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 ) )
104103ralimi 2796 . . . . . . . 8  |-  ( A. m  e.  y  A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  ->  A. m  e.  y  A. n  e.  y  ( n  e/  { m }  ->  ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 ) )
105104adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( ( y  u.  {
z } )  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  /\ 
A. m  e.  {
z } A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 )  ->  A. m  e.  y  A. n  e.  y  ( n  e/  { m }  ->  ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 ) )
10661, 105sylbi 200 . . . . . 6  |-  ( A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u.  {
z } )  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  ->  A. m  e.  y  A. n  e.  y 
( n  e/  {
m }  ->  (
( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 ) )
107 ralunb 3606 . . . . . . 7  |-  ( A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( F `  m
)  ||  K  <->  ( A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K  /\  A. m  e.  { z }  ( F `  m )  ||  K ) )
108107simplbi 467 . . . . . 6  |-  ( A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( F `  m
)  ||  K  ->  A. m  e.  y  ( F `  m ) 
||  K )
10985ralbii 2823 . . . . . . . 8  |-  ( A. m  e.  y  A. n  e.  y  (
n  e/  { m }  ->  ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 )  <->  A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )
110109anbi1i 709 . . . . . . 7  |-  ( ( A. m  e.  y 
A. n  e.  y  ( n  e/  {
m }  ->  (
( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K )  <->  ( A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  /\ 
A. m  e.  y  ( F `  m
)  ||  K )
)
11117adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. m  e.  y  A. n  e.  (
y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  ->  y  C_  NN )
112 simprrl 782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. m  e.  y  A. n  e.  (
y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  ->  K  e.  NN )
113 simprrr 783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. m  e.  y  A. n  e.  (
y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  ->  F : NN --> NN )
114111, 112, 113jca32 544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. m  e.  y  A. n  e.  (
y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  ->  ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )
115 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. m  e.  y  A. n  e.  (
y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  ->  ( A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )
116 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  /\ 
A. m  e.  y  ( F `  m
)  ||  K )
)  ->  ( (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )
117114, 115, 116syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. m  e.  y  A. n  e.  (
y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  /\  (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) ) )  ->  ( ( ( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  /\ 
A. m  e.  y  ( F `  m
)  ||  K )
)  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
)  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )
118117exp31 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( A. m  e.  y  A. n  e.  (
y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
)  ->  ( (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  -> 
( ( ( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) ) ) )
119118com24 89 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K )  ->  (
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  ->  ( ( A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  /\ 
A. m  e.  y  ( F `  m
)  ||  K )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m
)  ||  K )
) ) )
120119imp 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  /\ 
A. m  e.  y  ( F `  m
)  ||  K )
)  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  (
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  ->  ( ( A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  /\ 
A. m  e.  y  ( F `  m
)  ||  K )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m
)  ||  K )
) )
121120imp 436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  ( ( A. m  e.  y  A. n  e.  (
y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
)  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )
122110, 121syl5bi 225 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  ( ( A. m  e.  y  A. n  e.  y 
( n  e/  {
m }  ->  (
( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )
123106, 108, 122syl2ani 668 . . . . 5  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )  ->  ( ( A. m  e.  (
y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m ) 
||  K ) )
124123impr 631 . . . 4  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) ) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
)
12522breq1d 4405 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  z  ->  (
( F `  m
)  ||  K  <->  ( F `  z )  ||  K
) )
126125rspcv 3132 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K  ->  ( F `  z )  ||  K ) )
12766, 126ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( F `  m
)  ||  K  ->  ( F `  z ) 
||  K )
128127adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K )  -> 
( F `  z
)  ||  K )
129128adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) )  ->  ( F `  z )  ||  K
)
130129adantl 473 . . . 4  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) ) )  ->  ( F `  z )  ||  K
)
131 coprmdvds2 14739 . . . . 5  |-  ( ( ( prod_ m  e.  y  ( F `  m
)  e.  ZZ  /\  ( F `  z )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  ( F `  z ) )  =  1 )  ->  (
( prod_ m  e.  y  ( F `  m
)  ||  K  /\  ( F `  z ) 
||  K )  -> 
( prod_ m  e.  y  ( F `  m
)  x.  ( F `
 z ) ) 
||  K ) )
132131imp 436 . . . 4  |-  ( ( ( ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  e.  ZZ  /\  ( F `  z
)  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m
)  gcd  ( F `  z ) )  =  1 )  /\  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m ) 
||  K  /\  ( F `  z )  ||  K ) )  -> 
( prod_ m  e.  y  ( F `  m
)  x.  ( F `
 z ) ) 
||  K )
13350, 101, 124, 130, 132syl22anc 1293 . . 3  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) ) )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  x.  ( F `  z
) )  ||  K
)
13426, 133eqbrtrd 4416 . 2  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) ) )  ->  prod_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K )
135134exp31 615 1  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( ( y  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN
--> NN ) )  /\  ( A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  y  ( F `  m )  ||  K
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  ||  K )  ->  (
( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) )  /\  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m ) 
||  K ) )  ->  prod_ m  e.  ( y  u.  { z } ) ( F `
 m )  ||  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    e/ wnel 2642   A.wral 2756    \ cdif 3387    u. cun 3388    C_ wss 3390   {csn 3959   class class class wbr 4395   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   1c1 9558    x. cmul 9562   NNcn 10631   ZZcz 10961   prod_cprod 14036    || cdvds 14382    gcd cgcd 14547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-prod 14037  df-dvds 14383  df-gcd 14548
This theorem is referenced by:  coprmproddvds  14759
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