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Theorem coprmprod 14757
Description: The product of the elements of a sequence of pairwise coprime positive integers is coprime to a positive integer which is coprime to all integers of the sequence. (Contributed by AV, 18-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
coprmprod  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  M  C_  NN  /\  N  e.  NN )  /\  F : NN --> NN  /\  A. m  e.  M  (
( F `  m
)  gcd  N )  =  1 )  -> 
( A. m  e.  M  A. n  e.  ( M  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  ->  ( prod_ m  e.  M  ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1 ) )
Distinct variable groups:    m, F    m, M, n    m, N, n
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem coprmprod
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3439 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  NN  <->  (/)  C_  NN )
)
213anbi1d 1369 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  <->  ( (/)  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )
3 raleq 2973 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. m  e.  x  (
( F `  m
)  gcd  N )  =  1  <->  A. m  e.  (/)  ( ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1 ) )
4 difeq1 3533 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
\  { m }
)  =  ( (/)  \  { m } ) )
54raleqdv 2979 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. n  e.  ( x  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  <->  A. n  e.  ( (/)  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 ) )
65raleqbi1dv 2981 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. m  e.  x  A. n  e.  ( x  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  <->  A. m  e.  (/)  A. n  e.  ( (/)  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1 ) )
72, 3, 63anbi123d 1365 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( x  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  A. m  e.  x  ( ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1  /\  A. m  e.  x  A. n  e.  ( x  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  <->  ( ( (/)  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  (/)  ( ( F `  m )  gcd  N )  =  1  /\  A. m  e.  (/)  A. n  e.  ( (/)  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1 ) ) )
8 prodeq1 14040 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  prod_ m  e.  x  ( F `  m )  =  prod_ m  e.  (/)  ( F `  m ) )
98oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( prod_
m  e.  x  ( F `  m )  gcd  N )  =  ( prod_ m  e.  (/)  ( F `  m )  gcd  N ) )
109eqeq1d 2473 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
prod_ m  e.  x  ( F `  m )  gcd  N )  =  1  <->  ( prod_ m  e.  (/)  ( F `  m )  gcd  N
)  =  1 ) )
117, 10imbi12d 327 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( ( x  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  A. m  e.  x  ( ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1  /\  A. m  e.  x  A. n  e.  ( x  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  x  ( F `  m )  gcd  N )  =  1 )  <->  ( (
( (/)  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  (/)  ( ( F `  m )  gcd  N )  =  1  /\  A. m  e.  (/)  A. n  e.  ( (/)  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  (/)  ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1 ) ) )
12 sseq1 3439 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  NN  <->  y  C_  NN ) )
13123anbi1d 1369 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  <-> 
( y  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )
14 raleq 2973 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( A. m  e.  x  ( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1  <->  A. m  e.  y  (
( F `  m
)  gcd  N )  =  1 ) )
15 difeq1 3533 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  \  { m } )  =  ( y  \  { m } ) )
1615raleqdv 2979 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( A. n  e.  (
x  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  <->  A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1 ) )
1716raleqbi1dv 2981 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( A. m  e.  x  A. n  e.  (
x  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  <->  A. m  e.  y 
A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1 ) )
1813, 14, 173anbi123d 1365 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  A. m  e.  x  ( ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1  /\  A. m  e.  x  A. n  e.  ( x  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  <->  ( (
y  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  y  (
( F `  m
)  gcd  N )  =  1  /\  A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1 ) ) )
19 prodeq1 14040 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  prod_ m  e.  x  ( F `
 m )  = 
prod_ m  e.  y 
( F `  m
) )
2019oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( prod_ m  e.  x  ( F `  m )  gcd  N )  =  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m
)  gcd  N )
)
2120eqeq1d 2473 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( prod_ m  e.  x  ( F `  m )  gcd  N )  =  1  <->  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  N
)  =  1 ) )
2218, 21imbi12d 327 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( x 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  x  (
( F `  m
)  gcd  N )  =  1  /\  A. m  e.  x  A. n  e.  ( x  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  x  ( F `  m )  gcd  N
)  =  1 )  <-> 
( ( ( y 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  y  (
( F `  m
)  gcd  N )  =  1  /\  A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  N
)  =  1 ) ) )
23 sseq1 3439 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  C_  NN 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  NN ) )
24233anbi1d 1369 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( x 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  <->  ( (
y  u.  { z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )
25 raleq 2973 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. m  e.  x  ( ( F `  m )  gcd  N )  =  1  <->  A. m  e.  (
y  u.  { z } ) ( ( F `  m )  gcd  N )  =  1 ) )
26 difeq1 3533 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  \  { m } )  =  ( ( y  u.  { z } )  \  { m } ) )
2726raleqdv 2979 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. n  e.  ( x  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  <->  A. n  e.  ( ( y  u.  {
z } )  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1 ) )
2827raleqbi1dv 2981 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. m  e.  x  A. n  e.  ( x  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  <->  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 ) )
2924, 25, 283anbi123d 1365 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( x  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  x  (
( F `  m
)  gcd  N )  =  1  /\  A. m  e.  x  A. n  e.  ( x  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1 )  <-> 
( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1  /\ 
A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 ) ) )
30 prodeq1 14040 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  prod_ m  e.  x  ( F `  m )  =  prod_ m  e.  ( y  u.  { z } ) ( F `
 m ) )
3130oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( prod_ m  e.  x  ( F `  m )  gcd  N
)  =  ( prod_
m  e.  ( y  u.  { z } ) ( F `  m )  gcd  N
) )
3231eqeq1d 2473 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( prod_
m  e.  x  ( F `  m )  gcd  N )  =  1  <->  ( prod_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m )  gcd  N )  =  1 ) )
3329, 32imbi12d 327 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( ( x  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  A. m  e.  x  ( ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1  /\  A. m  e.  x  A. n  e.  ( x  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  x  ( F `  m )  gcd  N )  =  1 )  <->  ( (
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1  /\ 
A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  ( y  u. 
{ z } ) ( F `  m
)  gcd  N )  =  1 ) ) )
34 sseq1 3439 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  (
x  C_  NN  <->  M  C_  NN ) )
35343anbi1d 1369 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  (
( x  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  <-> 
( M  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )
36 raleq 2973 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  ( A. m  e.  x  ( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1  <->  A. m  e.  M  (
( F `  m
)  gcd  N )  =  1 ) )
37 difeq1 3533 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  (
x  \  { m } )  =  ( M  \  { m } ) )
3837raleqdv 2979 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  ( A. n  e.  (
x  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  <->  A. n  e.  ( M  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1 ) )
3938raleqbi1dv 2981 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  ( A. m  e.  x  A. n  e.  (
x  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1  <->  A. m  e.  M  A. n  e.  ( M  \  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 ) )
4035, 36, 393anbi123d 1365 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (
( ( x  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  A. m  e.  x  ( ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1  /\  A. m  e.  x  A. n  e.  ( x  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  <->  ( ( M  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  M  (
( F `  m
)  gcd  N )  =  1  /\  A. m  e.  M  A. n  e.  ( M  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1 ) ) )
41 prodeq1 14040 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  prod_ m  e.  x  ( F `
 m )  = 
prod_ m  e.  M  ( F `  m ) )
4241oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  ( prod_ m  e.  x  ( F `  m )  gcd  N )  =  ( prod_ m  e.  M  ( F `  m )  gcd  N ) )
4342eqeq1d 2473 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (
( prod_ m  e.  x  ( F `  m )  gcd  N )  =  1  <->  ( prod_ m  e.  M  ( F `  m )  gcd  N
)  =  1 ) )
4440, 43imbi12d 327 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( ( ( x 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  x  (
( F `  m
)  gcd  N )  =  1  /\  A. m  e.  x  A. n  e.  ( x  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  x  ( F `  m )  gcd  N
)  =  1 )  <-> 
( ( ( M 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  M  (
( F `  m
)  gcd  N )  =  1  /\  A. m  e.  M  A. n  e.  ( M  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  M  ( F `  m )  gcd  N
)  =  1 ) ) )
45 prod0 14074 . . . . . . . . . . 11  |-  prod_ m  e.  (/)  ( F `  m )  =  1
4645a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  prod_ m  e.  (/)  ( F `  m )  =  1 )
4746oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( prod_ m  e.  (/)  ( F `
 m )  gcd 
N )  =  ( 1  gcd  N ) )
48 nnz 10983 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
49 1gcd 14580 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  gcd  N )  =  1 )
5048, 49syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  gcd  N )  =  1 )
5147, 50eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( prod_ m  e.  (/)  ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1 )
52513ad2ant2 1052 . . . . . . 7  |-  ( (
(/)  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  ->  ( prod_ m  e.  (/)  ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1 )
53523ad2ant1 1051 . . . . . 6  |-  ( ( ( (/)  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  A. m  e.  (/)  ( ( F `  m )  gcd  N )  =  1  /\  A. m  e.  (/)  A. n  e.  ( (/)  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  (/)  ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1 )
54 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ m
( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )
55 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ m
( F `  z
)
56 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  ->  y  e.  Fin )
57 unss 3599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  C_  NN  /\  {
z }  C_  NN ) 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  NN )
58 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  z  e. 
_V
5958snss 4087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  NN  <->  { z }  C_  NN )
6059biimpri 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( { z }  C_  NN  ->  z  e.  NN )
6160adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  C_  NN  /\  {
z }  C_  NN )  ->  z  e.  NN )
6257, 61sylbir 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  ->  z  e.  NN )
63623ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  ->  z  e.  NN )
6463adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  ->  z  e.  NN )
65 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  ->  -.  z  e.  y )
66 simpll3 1071 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  /\  m  e.  y )  ->  F : NN --> NN )
67 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  C_  NN  /\  {
z }  C_  NN )  ->  y  C_  NN )
6857, 67sylbir 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  ->  y  C_  NN )
69683ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  ->  y  C_  NN )
7069adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  ->  y  C_  NN )
7170sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  /\  m  e.  y )  ->  m  e.  NN )
7266, 71ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  /\  m  e.  y )  ->  ( F `  m )  e.  NN )
7372nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  /\  m  e.  y )  ->  ( F `  m )  e.  CC )
74 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  z  ->  ( F `  m )  =  ( F `  z ) )
75 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  F : NN --> NN )  ->  F : NN
--> NN )
7662adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  F : NN --> NN )  ->  z  e.  NN )
7775, 76ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  F : NN --> NN )  ->  ( F `
 z )  e.  NN )
78773adant2 1049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  ->  ( F `  z )  e.  NN )
7978adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  ->  ( F `  z )  e.  NN )
8079nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
8154, 55, 56, 64, 65, 73, 74, 80fprodsplitsn 14120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  ->  prod_ m  e.  ( y  u. 
{ z } ) ( F `  m
)  =  ( prod_
m  e.  y  ( F `  m )  x.  ( F `  z ) ) )
8281oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  ->  ( prod_ m  e.  ( y  u.  { z } ) ( F `  m )  gcd  N
)  =  ( (
prod_ m  e.  y 
( F `  m
)  x.  ( F `
 z ) )  gcd  N ) )
8356, 72fprodnncl 14086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  e.  NN )
8483nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  ->  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  e.  ZZ )
8579nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  ->  ( F `  z )  e.  ZZ )
8684, 85zmulcld 11069 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  x.  ( F `  z ) )  e.  ZZ )
87483ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  ->  N  e.  ZZ )
8887adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  ->  N  e.  ZZ )
89 gcdcom 14563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( prod_ m  e.  y  ( F `  m
)  x.  ( F `
 z ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( prod_ m  e.  y  ( F `  m
)  x.  ( F `
 z ) )  gcd  N )  =  ( N  gcd  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  x.  ( F `  z ) ) ) )
9086, 88, 89syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  ->  (
( prod_ m  e.  y  ( F `  m
)  x.  ( F `
 z ) )  gcd  N )  =  ( N  gcd  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  x.  ( F `  z ) ) ) )
9182, 90eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  ->  ( prod_ m  e.  ( y  u.  { z } ) ( F `  m )  gcd  N
)  =  ( N  gcd  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  x.  ( F `  z )
) ) )
9291ex 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  ->  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y )  ->  ( prod_ m  e.  ( y  u.  { z } ) ( F `
 m )  gcd 
N )  =  ( N  gcd  ( prod_
m  e.  y  ( F `  m )  x.  ( F `  z ) ) ) ) )
93923ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1  /\ 
A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 )  ->  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( prod_ m  e.  ( y  u. 
{ z } ) ( F `  m
)  gcd  N )  =  ( N  gcd  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m
)  x.  ( F `
 z ) ) ) ) )
9493com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1  /\ 
A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  ( y  u. 
{ z } ) ( F `  m
)  gcd  N )  =  ( N  gcd  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m
)  x.  ( F `
 z ) ) ) ) )
9594adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( ( y  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  A. m  e.  y  ( ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1  /\  A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  N )  =  1 ) )  -> 
( ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( ( F `  m
)  gcd  N )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u.  {
z } )  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( F `  m )  gcd  N )  =  ( N  gcd  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  x.  ( F `  z ) ) ) ) )
9695imp 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  A. m  e.  y  ( ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1  /\  A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  N )  =  1 ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1  /\ 
A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 ) )  ->  ( prod_ m  e.  ( y  u.  { z } ) ( F `  m )  gcd  N
)  =  ( N  gcd  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  x.  ( F `  z )
) ) )
97 simpl2 1034 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  ->  N  e.  NN )
9897, 83, 793jca 1210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  ->  ( N  e.  NN  /\  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  e.  NN  /\  ( F `
 z )  e.  NN ) )
9998ex 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  ->  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y )  ->  ( N  e.  NN  /\ 
prod_ m  e.  y 
( F `  m
)  e.  NN  /\  ( F `  z )  e.  NN ) ) )
100993ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1  /\ 
A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 )  ->  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( N  e.  NN  /\  prod_ m  e.  y  ( F `  m )  e.  NN  /\  ( F `  z
)  e.  NN ) ) )
101100com12 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1  /\ 
A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 )  ->  ( N  e.  NN  /\  prod_ m  e.  y  ( F `  m )  e.  NN  /\  ( F `  z
)  e.  NN ) ) )
102101adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( ( y  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  A. m  e.  y  ( ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1  /\  A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  N )  =  1 ) )  -> 
( ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( ( F `  m
)  gcd  N )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u.  {
z } )  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1 )  ->  ( N  e.  NN  /\  prod_ m  e.  y  ( F `  m )  e.  NN  /\  ( F `  z
)  e.  NN ) ) )
103102imp 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  A. m  e.  y  ( ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1  /\  A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  N )  =  1 ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1  /\ 
A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 ) )  ->  ( N  e.  NN  /\  prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  e.  NN  /\  ( F `
 z )  e.  NN ) )
104 gcdcom 14563 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  prod_ m  e.  y  ( F `  m )  e.  ZZ )  -> 
( N  gcd  prod_ m  e.  y  ( F `
 m ) )  =  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  N
) )
10588, 84, 104syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  ->  ( N  gcd  prod_ m  e.  y  ( F `  m
) )  =  (
prod_ m  e.  y 
( F `  m
)  gcd  N )
)
106105ex 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  ->  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y )  ->  ( N  gcd  prod_ m  e.  y  ( F `
 m ) )  =  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  N
) ) )
1071063ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1  /\ 
A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 )  ->  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( N  gcd  prod_ m  e.  y  ( F `  m
) )  =  (
prod_ m  e.  y 
( F `  m
)  gcd  N )
) )
108107com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1  /\ 
A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 )  ->  ( N  gcd  prod_ m  e.  y  ( F `  m
) )  =  (
prod_ m  e.  y 
( F `  m
)  gcd  N )
) )
109108adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ( ( y  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  A. m  e.  y  ( ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1  /\  A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  N )  =  1 ) )  -> 
( ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( ( F `  m
)  gcd  N )  =  1  /\  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u.  {
z } )  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1 )  ->  ( N  gcd  prod_
m  e.  y  ( F `  m ) )  =  ( prod_
m  e.  y  ( F `  m )  gcd  N ) ) )
110109imp 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  A. m  e.  y  ( ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1  /\  A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  N )  =  1 ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1  /\ 
A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 ) )  ->  ( N  gcd  prod_ m  e.  y  ( F `  m
) )  =  (
prod_ m  e.  y 
( F `  m
)  gcd  N )
)
11168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
y  u.  { z } )  C_  NN  ->  y  C_  NN )
)
112 idd 24 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN ) )
113 idd 24 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( F : NN --> NN  ->  F : NN --> NN ) )
114111, 112, 1133anim123d 1372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  ->  ( y  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN ) ) )
115 ssun1 3588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
116 ssralv 3479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( ( F `  m
)  gcd  N )  =  1  ->  A. m  e.  y  ( ( F `  m )  gcd  N )  =  1 ) )
117115, 116mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1  ->  A. m  e.  y 
( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1 ) )
118 ssralv 3479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  ->  A. m  e.  y  A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 ) )
119115, 118mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u.  {
z } )  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  ->  A. m  e.  y  A. n  e.  (
( y  u.  {
z } )  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1 ) )
120115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  m  e.  y )  ->  y  C_  ( y  u.  {
z } ) )
121120ssdifd 3558 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  m  e.  y )  ->  (
y  \  { m } )  C_  (
( y  u.  {
z } )  \  { m } ) )
122 ssralv 3479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  \  { m } )  C_  (
( y  u.  {
z } )  \  { m } )  ->  ( A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1  ->  A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1 ) )
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  m  e.  y )  ->  ( A. n  e.  (
( y  u.  {
z } )  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  ->  A. n  e.  (
y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1 ) )
124123ralimdva 2805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( A. m  e.  y  A. n  e.  ( (
y  u.  { z } )  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  ->  A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 ) )
125119, 124syld 44 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u.  {
z } )  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1  ->  A. m  e.  y  A. n  e.  (
y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n ) )  =  1 ) )
126114, 117, 1253anim123d 1372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1  /\ 
A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 )  ->  ( (
y  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  y  (
( F `  m
)  gcd  N )  =  1  /\  A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  { m } ) ( ( F `  m )  gcd  ( F `  n )
)  =  1 ) ) )
127126imim1d 77 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( ( y  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  A. m  e.  y  ( ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1  /\  A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1  /\ 
A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1 ) ) )
128127imp31 439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  A. m  e.  y  ( ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1  /\  A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  N )  =  1 ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1  /\ 
A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 ) )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  N )  =  1 )
129110, 128eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  A. m  e.  y  ( ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1  /\  A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  N )  =  1 ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1  /\ 
A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 ) )  ->  ( N  gcd  prod_ m  e.  y  ( F `  m
) )  =  1 )
130 rpmulgcd 14602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
prod_ m  e.  y 
( F `  m
)  e.  NN  /\  ( F `  z )  e.  NN )  /\  ( N  gcd  prod_ m  e.  y  ( F `  m ) )  =  1 )  ->  ( N  gcd  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  x.  ( F `  z )
) )  =  ( N  gcd  ( F `
 z ) ) )
131103, 129, 130syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  A. m  e.  y  ( ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1  /\  A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  N )  =  1 ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1  /\ 
A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 ) )  ->  ( N  gcd  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  x.  ( F `  z )
) )  =  ( N  gcd  ( F `
 z ) ) )
132 ssnid 3989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  z  e. 
{ z }
133132olci 398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  y  \/  z  e.  { z } )
134 elun 3565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( y  u. 
{ z } )  <-> 
( z  e.  y  \/  z  e.  {
z } ) )
135133, 134mpbir 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e.  ( y  u.  {
z } )
13674oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  z  ->  (
( F `  m
)  gcd  N )  =  ( ( F `
 z )  gcd 
N ) )
137136eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  z  ->  (
( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1  <->  (
( F `  z
)  gcd  N )  =  1 ) )
138137rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( ( F `  m
)  gcd  N )  =  1  ->  (
( F `  z
)  gcd  N )  =  1 ) )
139135, 138mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  ->  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( ( F `  m
)  gcd  N )  =  1  ->  (
( F `  z
)  gcd  N )  =  1 ) )
140139imp 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1 )  ->  ( ( F `
 z )  gcd 
N )  =  1 )
14178nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  ->  ( F `  z )  e.  ZZ )
142 gcdcom 14563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( F `  z )  e.  ZZ )  -> 
( N  gcd  ( F `  z )
)  =  ( ( F `  z )  gcd  N ) )
14387, 141, 142syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  ->  ( N  gcd  ( F `  z ) )  =  ( ( F `  z )  gcd  N ) )
144143eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  ->  ( ( N  gcd  ( F `  z ) )  =  1  <->  ( ( F `
 z )  gcd 
N )  =  1 ) )
145144adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1 )  ->  ( ( N  gcd  ( F `  z ) )  =  1  <->  ( ( F `
 z )  gcd 
N )  =  1 ) )
146140, 145mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1 )  ->  ( N  gcd  ( F `  z ) )  =  1 )
1471463adant3 1050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1  /\ 
A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 )  ->  ( N  gcd  ( F `  z
) )  =  1 )
148147adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  A. m  e.  y  ( ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1  /\  A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  N )  =  1 ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1  /\ 
A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 ) )  ->  ( N  gcd  ( F `  z ) )  =  1 )
14996, 131, 1483eqtrd 2509 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( ( y  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  A. m  e.  y  ( ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1  /\  A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  N )  =  1 ) )  /\  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1  /\ 
A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 ) )  ->  ( prod_ m  e.  ( y  u.  { z } ) ( F `  m )  gcd  N
)  =  1 )
150149exp31 615 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( ( y  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  A. m  e.  y  ( ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1  /\  A. m  e.  y  A. n  e.  ( y  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  y  ( F `  m )  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( ( ( y  u.  { z } )  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN
--> NN )  /\  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1  /\ 
A. m  e.  ( y  u.  { z } ) A. n  e.  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { m }
) ( ( F `
 m )  gcd  ( F `  n
) )  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  ( y  u. 
{ z } ) ( F `  m
)  gcd  N )  =  1 ) ) )
15111, 22, 33, 44, 53, 150findcard2s 7830 . . . . 5  |-  ( M  e.  Fin  ->  (
( ( M  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  A. m  e.  M  ( ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1  /\  A. m  e.  M  A. n  e.  ( M  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1 )  ->  ( prod_ m  e.  M  ( F `  m )  gcd  N )  =  1 ) )
1521513expd 1250 . . . 4  |-  ( M  e.  Fin  ->  (
( M  C_  NN  /\  N  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  ->  ( A. m  e.  M  ( ( F `  m )  gcd  N )  =  1  ->  ( A. m  e.  M  A. n  e.  ( M  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  ->  ( prod_ m  e.  M  ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1 ) ) ) )
1531523expd 1250 . . 3  |-  ( M  e.  Fin  ->  ( M  C_  NN  ->  ( N  e.  NN  ->  ( F : NN --> NN  ->  ( A. m  e.  M  ( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1  -> 
( A. m  e.  M  A. n  e.  ( M  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  ->  ( prod_ m  e.  M  ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1 ) ) ) ) ) )
1541533imp 1224 . 2  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  M  C_  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( F : NN --> NN  ->  ( A. m  e.  M  ( ( F `  m )  gcd  N
)  =  1  -> 
( A. m  e.  M  A. n  e.  ( M  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  ->  ( prod_ m  e.  M  ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1 ) ) ) )
1551543imp 1224 1  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  M  C_  NN  /\  N  e.  NN )  /\  F : NN --> NN  /\  A. m  e.  M  (
( F `  m
)  gcd  N )  =  1 )  -> 
( A. m  e.  M  A. n  e.  ( M  \  {
m } ) ( ( F `  m
)  gcd  ( F `  n ) )  =  1  ->  ( prod_ m  e.  M  ( F `
 m )  gcd 
N )  =  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756    \ cdif 3387    u. cun 3388    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   1c1 9558    x. cmul 9562   NNcn 10631   ZZcz 10961   prod_cprod 14036    gcd cgcd 14547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-prod 14037  df-dvds 14383  df-gcd 14548
This theorem is referenced by:  coprmproddvdslem  14758
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