Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coprimeprodsq Structured version   Unicode version

Theorem coprimeprodsq 14744
 Description: If three numbers are coprime, and the square of one is the product of the other two, then there is a formula for the other two in terms of and square. (Contributed by Scott Fenton, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
coprimeprodsq

Proof of Theorem coprimeprodsq
StepHypRef Expression
1 nn0z 10960 . . . . . . . 8
2 nn0z 10960 . . . . . . . 8
3 gcdcl 14465 . . . . . . . 8
41, 2, 3syl2an 479 . . . . . . 7
543adant2 1024 . . . . . 6
653ad2ant1 1026 . . . . 5
76nn0cnd 10927 . . . 4
87sqvald 12412 . . 3
9 simp13 1037 . . . . . . . . 9
109nn0cnd 10927 . . . . . . . 8
11 nn0cn 10879 . . . . . . . . . 10
12113ad2ant1 1026 . . . . . . . . 9
13123ad2ant1 1026 . . . . . . . 8
1410, 13mulcomd 9664 . . . . . . 7
15 simpl3 1010 . . . . . . . . . . 11
1615nn0cnd 10927 . . . . . . . . . 10
1716sqvald 12412 . . . . . . . . 9
1817eqeq1d 2424 . . . . . . . 8
1918biimp3a 1364 . . . . . . 7
2014, 19oveq12d 6319 . . . . . 6
21 simp11 1035 . . . . . . . 8
2221nn0zd 11038 . . . . . . 7
239nn0zd 11038 . . . . . . 7
24 mulgcd 14499 . . . . . . 7
259, 22, 23, 24syl3anc 1264 . . . . . 6
26 simp12 1036 . . . . . . 7
27 mulgcd 14499 . . . . . . 7
2821, 23, 26, 27syl3anc 1264 . . . . . 6
2920, 25, 283eqtr3d 2471 . . . . 5
3029oveq2d 6317 . . . 4
31 mulgcdr 14501 . . . . 5
3222, 23, 6, 31syl3anc 1264 . . . 4
336nn0zd 11038 . . . . 5
34 gcdcl 14465 . . . . . . . . . 10
352, 34sylan 473 . . . . . . . . 9
3635ancoms 454 . . . . . . . 8
37363adant1 1023 . . . . . . 7
38373ad2ant1 1026 . . . . . 6
3938nn0zd 11038 . . . . 5
40 mulgcd 14499 . . . . 5
4121, 33, 39, 40syl3anc 1264 . . . 4
4230, 32, 413eqtr3d 2471 . . 3
4323ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . . 14
44 gcdid 14480 . . . . . . . . . . . . . 14
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
4645oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . 12
47 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . 13
48 gcdabs1 14483 . . . . . . . . . . . . 13
4943, 47, 48syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12
5046, 49eqtrd 2463 . . . . . . . . . . 11
51 gcdass 14498 . . . . . . . . . . . 12
5243, 43, 47, 51syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11
53 gcdcom 14469 . . . . . . . . . . . 12
5443, 47, 53syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11
5550, 52, 543eqtr3d 2471 . . . . . . . . . 10
5655oveq2d 6317 . . . . . . . . 9
5713ad2ant1 1026 . . . . . . . . . 10
5837nn0zd 11038 . . . . . . . . . 10
59 gcdass 14498 . . . . . . . . . 10
6057, 43, 58, 59syl3anc 1264 . . . . . . . . 9
61 gcdass 14498 . . . . . . . . . 10
6257, 47, 43, 61syl3anc 1264 . . . . . . . . 9
6356, 60, 623eqtr4d 2473 . . . . . . . 8
6463eqeq1d 2424 . . . . . . 7
6564biimpar 487 . . . . . 6
6665oveq2d 6317 . . . . 5
67663adant3 1025 . . . 4
6813mulid1d 9660 . . . 4
6967, 68eqtrd 2463 . . 3
708, 42, 693eqtrrd 2468 . 2
71703expia 1207 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1868  cfv 5597  (class class class)co 6301  cc 9537  c1 9540   cmul 9544  c2 10659  cn0 10869  cz 10937  cexp 12271  cabs 13283   cgcd 14453 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-sup 7958  df-inf 7959  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-cj 13148  df-re 13149  df-im 13150  df-sqrt 13284  df-abs 13285  df-dvds 14291  df-gcd 14454 This theorem is referenced by:  coprimeprodsq2  14745  pythagtriplem6  14756
 Copyright terms: Public domain W3C validator