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Theorem copisnmnd 39913
Description: A structure with a constant group addition operation and at least two elements is not a monoid. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
copisnmnd.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
copisnmnd.p  |-  ( +g  `  M )  =  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  C )
copisnmnd.c  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
copisnmnd.n  |-  ( ph  ->  1  <  ( # `  B ) )
Assertion
Ref Expression
copisnmnd  |-  ( ph  ->  M  e/  Mnd )
Distinct variable groups:    x, B, y    x, C, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    M( x, y)

Proof of Theorem copisnmnd
Dummy variables  a 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 copisnmnd.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
2 copisnmnd.n . . 3  |-  ( ph  ->  1  <  ( # `  B ) )
3 copisnmnd.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  M
)
4 fvex 5880 . . . . . . 7  |-  ( Base `  M )  e.  _V
53, 4eqeltri 2527 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  B  /\  1  <  ( # `  B
) )  ->  B  e.  _V )
7 simpr 463 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  B  /\  1  <  ( # `  B
) )  ->  1  <  ( # `  B
) )
8 simpl 459 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  B  /\  1  <  ( # `  B
) )  ->  C  e.  B )
9 hashgt12el2 12603 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  _V  /\  1  <  ( # `  B
)  /\  C  e.  B )  ->  E. c  e.  B  C  =/=  c )
106, 7, 8, 9syl3anc 1269 . . . 4  |-  ( ( C  e.  B  /\  1  <  ( # `  B
) )  ->  E. c  e.  B  C  =/=  c )
11 df-ne 2626 . . . . . . 7  |-  ( C  =/=  c  <->  -.  C  =  c )
1211rexbii 2891 . . . . . 6  |-  ( E. c  e.  B  C  =/=  c  <->  E. c  e.  B  -.  C  =  c
)
13 rexnal 2838 . . . . . 6  |-  ( E. c  e.  B  -.  C  =  c  <->  -.  A. c  e.  B  C  =  c )
1412, 13bitri 253 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  B  C  =/=  c  <->  -.  A. c  e.  B  C  =  c )
15 eqidd 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  C )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) )
16 eqidd 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B
)  /\  ( x  =  a  /\  y  =  c ) )  ->  C  =  C )
17 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  a  e.  B )
1817adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  a  e.  B )
19 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  c  e.  B )
201adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  C  e.  B )
2120adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  C  e.  B )
2215, 16, 18, 19, 21ovmpt2d 6429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  (
a ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =  C )
2322adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B
)  /\  ( a
( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =  c )  -> 
( a ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =  C )
24 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B
)  /\  ( a
( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =  c )  -> 
( a ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =  c )
2523, 24eqtr3d 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B
)  /\  ( a
( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =  c )  ->  C  =  c )
2625ex 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  (
( a ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =  c  ->  C  =  c ) )
2726ralimdva 2798 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. c  e.  B  ( a ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =  c  ->  A. c  e.  B  C  =  c )
)
2827rexlimdva 2881 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  B  A. c  e.  B  ( a ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  C ) c )  =  c  ->  A. c  e.  B  C  =  c ) )
2928con3d 139 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -.  A. c  e.  B  C  =  c  ->  -.  E. a  e.  B  A. c  e.  B  ( a
( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =  c ) )
30 rexnal 2838 . . . . . . . . 9  |-  ( E. c  e.  B  -.  ( a ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =  c  <->  -.  A. c  e.  B  ( a ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =  c )
3130bicomi 206 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. c  e.  B  ( a ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =  c  <->  E. c  e.  B  -.  ( a ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =  c )
3231ralbii 2821 . . . . . . 7  |-  ( A. a  e.  B  -.  A. c  e.  B  ( a ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =  c  <->  A. a  e.  B  E. c  e.  B  -.  (
a ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =  c )
33 ralnex 2836 . . . . . . 7  |-  ( A. a  e.  B  -.  A. c  e.  B  ( a ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =  c  <->  -.  E. a  e.  B  A. c  e.  B  ( a
( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =  c )
34 df-ne 2626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =/=  c  <->  -.  (
a ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =  c )
3534bicomi 206 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( a ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =  c  <-> 
( a ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =/=  c
)
3635rexbii 2891 . . . . . . . 8  |-  ( E. c  e.  B  -.  ( a ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =  c  <->  E. c  e.  B  ( a ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =/=  c
)
3736ralbii 2821 . . . . . . 7  |-  ( A. a  e.  B  E. c  e.  B  -.  ( a ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =  c  <->  A. a  e.  B  E. c  e.  B  ( a ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =/=  c
)
3832, 33, 373bitr3i 279 . . . . . 6  |-  ( -. 
E. a  e.  B  A. c  e.  B  ( a ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =  c  <->  A. a  e.  B  E. c  e.  B  ( a ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =/=  c
)
3929, 38syl6ib 230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  A. c  e.  B  C  =  c  ->  A. a  e.  B  E. c  e.  B  ( a ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =/=  c
) )
4014, 39syl5bi 221 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  B  C  =/=  c  ->  A. a  e.  B  E. c  e.  B  ( a ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =/=  c
) )
4110, 40syl5 33 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  B  /\  1  < 
( # `  B ) )  ->  A. a  e.  B  E. c  e.  B  ( a
( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =/=  c ) )
421, 2, 41mp2and 686 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  B  E. c  e.  B  ( a ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =/=  c
)
43 copisnmnd.p . . . 4  |-  ( +g  `  M )  =  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  C )
4443eqcomi 2462 . . 3  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C )  =  ( +g  `  M
)
453, 44isnmnd 16552 . 2  |-  ( A. a  e.  B  E. c  e.  B  (
a ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) c )  =/=  c  ->  M  e/  Mnd )
4642, 45syl 17 1  |-  ( ph  ->  M  e/  Mnd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624    e/ wnel 2625   A.wral 2739   E.wrex 2740   _Vcvv 3047   class class class wbr 4405   ` cfv 5585  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   1c1 9545    < clt 9680   #chash 12522   Basecbs 15133   +g cplusg 15202   Mndcmnd 16547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-hash 12523  df-mnd 16549
This theorem is referenced by:  cznnring  40062
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