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Theorem copco 20732
Description: The composition of a concatenation of paths with a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pcoval.3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
pcoval2.4  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 0 ) )
copco.6  |-  ( ph  ->  H  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
copco  |-  ( ph  ->  ( H  o.  ( F ( *p `  J ) G ) )  =  ( ( H  o.  F ) ( *p `  K
) ( H  o.  G ) ) )

Proof of Theorem copco
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcoval.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
2 iiuni 20599 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
3 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
42, 3cnf 18992 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
51, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J )
6 elii1 20649 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  x  <_  ( 1  /  2 ) ) )
7 iihalf1 20645 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
2  x.  x )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
86, 7sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( 2  x.  x
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
9 fvco3 5880 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J  /\  ( 2  x.  x )  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( H  o.  F
) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( H `  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ) )
105, 8, 9syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  x  <_  ( 1  /  2 ) ) )  ->  (
( H  o.  F
) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( H `  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ) )
1110anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
( H  o.  F
) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( H `  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ) )
1211ifeq1da 3930 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( H  o.  F ) `  (
2  x.  x ) ) ,  ( ( H  o.  G ) `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( H `  ( F `
 ( 2  x.  x ) ) ) ,  ( ( H  o.  G ) `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
13 pcoval.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
142, 3cnf 18992 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( II  Cn  J )  ->  G : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
1513, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : ( 0 [,] 1 ) --> U. J )
16 elii2 20650 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) )
17 iihalf2 20647 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  x
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  ( ( 2  x.  x )  - 
1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
19 fvco3 5880 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( 0 [,] 1 ) --> U. J  /\  ( ( 2  x.  x )  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( H  o.  G
) `  ( (
2  x.  x )  -  1 ) )  =  ( H `  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
2015, 18, 19syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2
) ) )  -> 
( ( H  o.  G ) `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) )  =  ( H `
 ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
2120anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( H  o.  G ) `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) )  =  ( H `
 ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
2221ifeq2da 3931 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( H `  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ) ,  ( ( H  o.  G ) `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( H `
 ( F `  ( 2  x.  x
) ) ) ,  ( H `  ( G `  ( (
2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) )
2312, 22eqtrd 2495 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( H  o.  F ) `  (
2  x.  x ) ) ,  ( ( H  o.  G ) `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( H `  ( F `
 ( 2  x.  x ) ) ) ,  ( H `  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) )
2423mpteq2dva 4489 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( ( H  o.  F ) `
 ( 2  x.  x ) ) ,  ( ( H  o.  G ) `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( H `
 ( F `  ( 2  x.  x
) ) ) ,  ( H `  ( G `  ( (
2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) ) )
25 copco.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  ( J  Cn  K ) )
26 cnco 19012 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  H  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( H  o.  F
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
271, 25, 26syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  o.  F
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
28 cnco 19012 . . . 4  |-  ( ( G  e.  ( II 
Cn  J )  /\  H  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( H  o.  G
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
2913, 25, 28syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  o.  G
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
3027, 29pcoval 20725 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( H  o.  F ) ( *p
`  K ) ( H  o.  G ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( H  o.  F ) `  (
2  x.  x ) ) ,  ( ( H  o.  G ) `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) ) )
311, 13pcoval 20725 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) G )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) ) )
32 pcoval2.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 0 ) )
331, 13, 32pcocn 20731 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) G )  e.  ( II 
Cn  J ) )
3431, 33eqeltrrd 2543 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( F `
 ( 2  x.  x ) ) ,  ( G `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) )  e.  ( II  Cn  J
) )
352, 3cnf 18992 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
3634, 35syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( F `
 ( 2  x.  x ) ) ,  ( G `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) ) : ( 0 [,] 1
) --> U. J )
37 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) )
3837fmpt 5976 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( 0 [,] 1 ) if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  e.  U. J  <->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> U. J )
3936, 38sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 [,] 1 ) if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( F `
 ( 2  x.  x ) ) ,  ( G `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) )  e.  U. J )
40 eqid 2454 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
413, 40cnf 18992 . . . . 5  |-  ( H  e.  ( J  Cn  K )  ->  H : U. J --> U. K
)
4225, 41syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  H : U. J --> U. K )
4342feqmptd 5856 . . 3  |-  ( ph  ->  H  =  ( y  e.  U. J  |->  ( H `  y ) ) )
44 fveq2 5802 . . . 4  |-  ( y  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  -> 
( H `  y
)  =  ( H `
 if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) )
45 fvif 5813 . . . 4  |-  ( H `
 if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( H `  ( F `
 ( 2  x.  x ) ) ) ,  ( H `  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
4644, 45syl6eq 2511 . . 3  |-  ( y  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  -> 
( H `  y
)  =  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( H `  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ) ,  ( H `  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) )
4739, 31, 43, 46fmptcof 5989 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  o.  ( F ( *p `  J ) G ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( H `  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ) ,  ( H `  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) ) )
4824, 30, 473eqtr4rd 2506 1  |-  ( ph  ->  ( H  o.  ( F ( *p `  J ) G ) )  =  ( ( H  o.  F ) ( *p `  K
) ( H  o.  G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   ifcif 3902   U.cuni 4202   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461    o. ccom 4955   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   0cc0 9397   1c1 9398    x. cmul 9402    <_ cle 9534    - cmin 9710    / cdiv 10108   2c2 10486   [,]cicc 11418    Cn ccn 18970   IIcii 20593   *pcpco 20714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475  ax-mulf 9477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7776  df-sup 7806  df-oi 7839  df-card 8224  df-cda 8452  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-q 11069  df-rp 11107  df-xneg 11204  df-xadd 11205  df-xmul 11206  df-ioo 11419  df-icc 11422  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-seq 11928  df-exp 11987  df-hash 12225  df-cj 12710  df-re 12711  df-im 12712  df-sqr 12846  df-abs 12847  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-starv 14376  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-unif 14384  df-hom 14385  df-cco 14386  df-rest 14484  df-topn 14485  df-0g 14503  df-gsum 14504  df-topgen 14505  df-pt 14506  df-prds 14509  df-xrs 14563  df-qtop 14568  df-imas 14569  df-xps 14571  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-mnd 15538  df-submnd 15588  df-mulg 15671  df-cntz 15958  df-cmn 16404  df-psmet 17944  df-xmet 17945  df-met 17946  df-bl 17947  df-mopn 17948  df-cnfld 17954  df-top 18645  df-bases 18647  df-topon 18648  df-topsp 18649  df-cld 18765  df-cn 18973  df-cnp 18974  df-tx 19277  df-hmeo 19470  df-xms 20037  df-ms 20038  df-tms 20039  df-ii 20595  df-pco 20719
This theorem is referenced by:  pi1coghm  20775  cvmlift3lem6  27380
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