Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  consuba Structured version   Unicode version

Theorem consuba 19899
 Description: Connectedness for a subspace. See connsub 19900. (Contributed by FL, 29-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
consuba TopOn t
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem consuba
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resttopon 19640 . . 3 TopOn t TopOn
2 dfcon2 19898 . . 3 t TopOn t t t
31, 2syl 16 . 2 TopOn t t t
4 vex 3098 . . . . 5
54inex1 4578 . . . 4
65a1i 11 . . 3 TopOn
7 toponmax 19407 . . . . . 6 TopOn
87adantr 465 . . . . 5 TopOn
9 simpr 461 . . . . 5 TopOn
108, 9ssexd 4584 . . . 4 TopOn
11 elrest 14807 . . . 4 TopOn t
1210, 11syldan 470 . . 3 TopOn t
13 vex 3098 . . . . . 6
1413inex1 4578 . . . . 5
1514a1i 11 . . . 4 TopOn
16 elrest 14807 . . . . . 6 TopOn t
1710, 16syldan 470 . . . . 5 TopOn t
1817adantr 465 . . . 4 TopOn t
19 simplr 755 . . . . . . 7 TopOn
2019neeq1d 2720 . . . . . 6 TopOn
21 simpr 461 . . . . . . 7 TopOn
2221neeq1d 2720 . . . . . 6 TopOn
2319, 21ineq12d 3686 . . . . . . . 8 TopOn
24 inindir 3701 . . . . . . . 8
2523, 24syl6eqr 2502 . . . . . . 7 TopOn
2625eqeq1d 2445 . . . . . 6 TopOn
2720, 22, 263anbi123d 1300 . . . . 5 TopOn
2819, 21uneq12d 3644 . . . . . . 7 TopOn
29 indir 3731 . . . . . . 7
3028, 29syl6eqr 2502 . . . . . 6 TopOn
3130neeq1d 2720 . . . . 5 TopOn
3227, 31imbi12d 320 . . . 4 TopOn
3315, 18, 32ralxfr2d 4653 . . 3 TopOn t
346, 12, 33ralxfr2d 4653 . 2 TopOn t t
353, 34bitrd 253 1 TopOn t
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804   wne 2638  wral 2793  wrex 2794  cvv 3095   cun 3459   cin 3460   wss 3461  c0 3770  cfv 5578  (class class class)co 6281   ↾t crest 14800  TopOnctopon 19373  ccon 19890 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-fin 7522  df-fi 7873  df-rest 14802  df-topgen 14823  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-cld 19498  df-con 19891 This theorem is referenced by:  connsub  19900  nconsubb  19902
 Copyright terms: Public domain W3C validator