MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3trllem3 Structured version   Unicode version

Theorem constr3trllem3 24425
Description: Lemma for constr3trl 24432. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
constr3cycl.p  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
Assertion
Ref Expression
constr3trllem3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )

Proof of Theorem constr3trllem3
StepHypRef Expression
1 0z 10876 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
2 1z 10895 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
31, 2pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )
5 3simpa 993 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )
6 0ne1 10604 . . . . 5  |-  0  =/=  1
76a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  0  =/=  1 )
8 fprg 6071 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } : { 0 ,  1 } --> { A ,  B } )
9 0p1e1 10648 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
109eqcomi 2480 . . . . . . . 8  |-  1  =  ( 0  +  1 )
1110oveq2i 6296 . . . . . . 7  |-  ( 0 ... 1 )  =  ( 0 ... (
0  +  1 ) )
12 fzpr 11736 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) } )
131, 12ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
149preq2i 4110 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  =  { 0 ,  1 }
1511, 13, 143eqtri 2500 . . . . . 6  |-  ( 0 ... 1 )  =  { 0 ,  1 }
1615feq2i 5724 . . . . 5  |-  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A ,  B }  <->  {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : { 0 ,  1 } --> { A ,  B } )
178, 16sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A ,  B }
)
184, 5, 7, 17syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A ,  B }
)
19 prssi 4183 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  { A ,  B }  C_  V )
20193adant3 1016 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { A ,  B }  C_  V )
21 fss 5739 . . 3  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A ,  B }  /\  { A ,  B }  C_  V )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V )
2218, 20, 21syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V )
23 2nn0 10813 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
24 3nn0 10814 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
2523, 24pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( 2  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )
2625a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( 2  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )
)
27 pm3.22 449 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( C  e.  V  /\  A  e.  V
) )
28273adant2 1015 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( C  e.  V  /\  A  e.  V
) )
29 2re 10606 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
30 2lt3 10704 . . . . . 6  |-  2  <  3
3129, 30ltneii 9698 . . . . 5  |-  2  =/=  3
3231a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  2  =/=  3 )
33 fprg 6071 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )  /\  ( C  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  2  =/=  3 )  ->  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : { 2 ,  3 } --> { C ,  A } )
34 constr3cycl.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
35 constr3cycl.p . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
3634, 35constr3lem2 24419 . . . . . . . . 9  |-  ( # `  F )  =  3
37 df-3 10596 . . . . . . . . 9  |-  3  =  ( 2  +  1 )
3836, 37eqtri 2496 . . . . . . . 8  |-  ( # `  F )  =  ( 2  +  1 )
3938oveq2i 6296 . . . . . . 7  |-  ( 2 ... ( # `  F
) )  =  ( 2 ... ( 2  +  1 ) )
40 2z 10897 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
41 fzpr 11736 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  (
2 ... ( 2  +  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) } )
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 2 ... ( 2  +  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }
4337eqcomi 2480 . . . . . . . 8  |-  ( 2  +  1 )  =  3
4443preq2i 4110 . . . . . . 7  |-  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }  =  { 2 ,  3 }
4539, 42, 443eqtri 2500 . . . . . 6  |-  ( 2 ... ( # `  F
) )  =  {
2 ,  3 }
4645feq2i 5724 . . . . 5  |-  ( {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> { C ,  A }  <->  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } : {
2 ,  3 } --> { C ,  A } )
4733, 46sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( 2  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )  /\  ( C  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  2  =/=  3 )  ->  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> { C ,  A } )
4826, 28, 32, 47syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> { C ,  A } )
49 prssi 4183 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  { C ,  A }  C_  V )
5049ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { C ,  A }  C_  V )
51503adant2 1015 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { C ,  A }  C_  V )
52 fss 5739 . . 3  |-  ( ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> { C ,  A }  /\  { C ,  A }  C_  V )  ->  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )
5348, 51, 52syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )
54 1lt2 10703 . . 3  |-  1  <  2
55 fzdisj 11713 . . 3  |-  ( 1  <  2  ->  (
( 0 ... 1
)  i^i  ( 2 ... ( # `  F
) ) )  =  (/) )
5654, 55mp1i 12 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( ( 0 ... 1 )  i^i  (
2 ... ( # `  F
) ) )  =  (/) )
57 fun 5748 . . 3  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V  /\  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( ( 0 ... 1 )  i^i  ( 2 ... ( # `
 F ) ) )  =  (/) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) : ( ( 0 ... 1
)  u.  ( 2 ... ( # `  F
) ) ) --> ( V  u.  V ) )
5835a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V  /\  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( ( 0 ... 1 )  i^i  ( 2 ... ( # `
 F ) ) )  =  (/) )  ->  P  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) )
59 3nn 10695 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
6036, 59eqeltri 2551 . . . . . 6  |-  ( # `  F )  e.  NN
61 elnnuz 11119 . . . . . 6  |-  ( (
# `  F )  e.  NN  <->  ( # `  F
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
6260, 61mpbi 208 . . . . 5  |-  ( # `  F )  e.  (
ZZ>= `  1 )
63 0le1 10077 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  1
6463a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  0  <_  1 )
65 eluzle 11095 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  1  <_  ( # `  F
) )
66 eluzelz 11092 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  ( # `  F
)  e.  ZZ )
67 elfz 11679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  ( # `
 F )  e.  ZZ )  ->  (
1  e.  ( 0 ... ( # `  F
) )  <->  ( 0  <_  1  /\  1  <_  ( # `  F
) ) ) )
682, 1, 67mp3an12 1314 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  F )  e.  ZZ  ->  ( 1  e.  ( 0 ... ( # `  F
) )  <->  ( 0  <_  1  /\  1  <_  ( # `  F
) ) ) )
6966, 68syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  ( 1  e.  ( 0 ... ( # `  F ) )  <->  ( 0  <_  1  /\  1  <_  ( # `  F
) ) ) )
7064, 65, 69mpbir2and 920 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  1  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) )
71 fzsplit 11712 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ( 0 ... ( # `  F
) )  ->  (
0 ... ( # `  F
) )  =  ( ( 0 ... 1
)  u.  ( ( 1  +  1 ) ... ( # `  F
) ) ) )
7270, 71syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  ( 0 ... ( # `
 F ) )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  ( ( 1  +  1 ) ... ( # `
 F ) ) ) )
73 df-2 10595 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( 1  +  1 )
7473oveq1i 6295 . . . . . . 7  |-  ( 2 ... ( # `  F
) )  =  ( ( 1  +  1 ) ... ( # `  F ) )
7574uneq2i 3655 . . . . . 6  |-  ( ( 0 ... 1 )  u.  ( 2 ... ( # `  F
) ) )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  (
( 1  +  1 ) ... ( # `  F ) ) )
7672, 75syl6eqr 2526 . . . . 5  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  ( 0 ... ( # `
 F ) )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  ( 2 ... ( # `
 F ) ) ) )
7762, 76mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V  /\  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( ( 0 ... 1 )  i^i  ( 2 ... ( # `
 F ) ) )  =  (/) )  -> 
( 0 ... ( # `
 F ) )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  ( 2 ... ( # `
 F ) ) ) )
78 unidm 3647 . . . . . 6  |-  ( V  u.  V )  =  V
7978eqcomi 2480 . . . . 5  |-  V  =  ( V  u.  V
)
8079a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V  /\  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( ( 0 ... 1 )  i^i  ( 2 ... ( # `
 F ) ) )  =  (/) )  ->  V  =  ( V  u.  V ) )
8158, 77, 80feq123d 5721 . . 3  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V  /\  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( ( 0 ... 1 )  i^i  ( 2 ... ( # `
 F ) ) )  =  (/) )  -> 
( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  <-> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) : ( ( 0 ... 1
)  u.  ( 2 ... ( # `  F
) ) ) --> ( V  u.  V ) ) )
8257, 81mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V  /\  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( ( 0 ... 1 )  i^i  ( 2 ... ( # `
 F ) ) )  =  (/) )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
8322, 53, 56, 82syl21anc 1227 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {cpr 4029   {ctp 4031   <.cop 4033   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496    < clt 9629    <_ cle 9630   NNcn 10537   2c2 10586   3c3 10587   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11083   ...cfz 11673   #chash 12374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-hash 12375
This theorem is referenced by:  constr3trllem4  24426  constr3trl  24432
  Copyright terms: Public domain W3C validator