MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3trllem3 Structured version   Unicode version

Theorem constr3trllem3 25317
Description: Lemma for constr3trl 25324. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
constr3cycl.p  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
Assertion
Ref Expression
constr3trllem3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )

Proof of Theorem constr3trllem3
StepHypRef Expression
1 0z 10894 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
2 1z 10913 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
31, 2pm3.2i 456 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )
5 3simpa 1002 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )
6 0ne1 10623 . . . . 5  |-  0  =/=  1
76a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  0  =/=  1 )
8 fprg 6027 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } : { 0 ,  1 } --> { A ,  B } )
9 0p1e1 10667 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
109eqcomi 2432 . . . . . . . 8  |-  1  =  ( 0  +  1 )
1110oveq2i 6255 . . . . . . 7  |-  ( 0 ... 1 )  =  ( 0 ... (
0  +  1 ) )
12 fzpr 11797 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) } )
131, 12ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
149preq2i 4021 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  =  { 0 ,  1 }
1511, 13, 143eqtri 2449 . . . . . 6  |-  ( 0 ... 1 )  =  { 0 ,  1 }
1615feq2i 5677 . . . . 5  |-  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A ,  B }  <->  {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : { 0 ,  1 } --> { A ,  B } )
178, 16sylibr 215 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A ,  B }
)
184, 5, 7, 17syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A ,  B }
)
19 prssi 4094 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  { A ,  B }  C_  V )
20193adant3 1025 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { A ,  B }  C_  V )
2118, 20fssd 5693 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V )
22 2nn0 10832 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
23 3nn0 10833 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
2422, 23pm3.2i 456 . . . . 5  |-  ( 2  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( 2  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )
)
26 pm3.22 450 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( C  e.  V  /\  A  e.  V
) )
27263adant2 1024 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( C  e.  V  /\  A  e.  V
) )
28 2re 10625 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
29 2lt3 10723 . . . . . 6  |-  2  <  3
3028, 29ltneii 9693 . . . . 5  |-  2  =/=  3
3130a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  2  =/=  3 )
32 fprg 6027 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )  /\  ( C  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  2  =/=  3 )  ->  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : { 2 ,  3 } --> { C ,  A } )
33 constr3cycl.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
34 constr3cycl.p . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
3533, 34constr3lem2 25311 . . . . . . . . 9  |-  ( # `  F )  =  3
36 df-3 10615 . . . . . . . . 9  |-  3  =  ( 2  +  1 )
3735, 36eqtri 2445 . . . . . . . 8  |-  ( # `  F )  =  ( 2  +  1 )
3837oveq2i 6255 . . . . . . 7  |-  ( 2 ... ( # `  F
) )  =  ( 2 ... ( 2  +  1 ) )
39 2z 10915 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
40 fzpr 11797 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  (
2 ... ( 2  +  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) } )
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 2 ... ( 2  +  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }
4236eqcomi 2432 . . . . . . . 8  |-  ( 2  +  1 )  =  3
4342preq2i 4021 . . . . . . 7  |-  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }  =  { 2 ,  3 }
4438, 41, 433eqtri 2449 . . . . . 6  |-  ( 2 ... ( # `  F
) )  =  {
2 ,  3 }
4544feq2i 5677 . . . . 5  |-  ( {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> { C ,  A }  <->  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } : {
2 ,  3 } --> { C ,  A } )
4632, 45sylibr 215 . . . 4  |-  ( ( ( 2  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )  /\  ( C  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  2  =/=  3 )  ->  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> { C ,  A } )
4725, 27, 31, 46syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> { C ,  A } )
48 prssi 4094 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  { C ,  A }  C_  V )
4948ancoms 454 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { C ,  A }  C_  V )
50493adant2 1024 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { C ,  A }  C_  V )
5147, 50fssd 5693 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )
52 1lt2 10722 . . 3  |-  1  <  2
53 fzdisj 11772 . . 3  |-  ( 1  <  2  ->  (
( 0 ... 1
)  i^i  ( 2 ... ( # `  F
) ) )  =  (/) )
5452, 53mp1i 13 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( ( 0 ... 1 )  i^i  (
2 ... ( # `  F
) ) )  =  (/) )
55 fun 5701 . . 3  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V  /\  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( ( 0 ... 1 )  i^i  ( 2 ... ( # `
 F ) ) )  =  (/) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) : ( ( 0 ... 1
)  u.  ( 2 ... ( # `  F
) ) ) --> ( V  u.  V ) )
5634a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V  /\  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( ( 0 ... 1 )  i^i  ( 2 ... ( # `
 F ) ) )  =  (/) )  ->  P  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) )
57 3nn 10714 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
5835, 57eqeltri 2497 . . . . . 6  |-  ( # `  F )  e.  NN
59 elnnuz 11141 . . . . . 6  |-  ( (
# `  F )  e.  NN  <->  ( # `  F
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
6058, 59mpbi 211 . . . . 5  |-  ( # `  F )  e.  (
ZZ>= `  1 )
61 0le1 10083 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  1
6261a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  0  <_  1 )
63 eluzle 11117 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  1  <_  ( # `  F
) )
64 eluzelz 11114 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  ( # `  F
)  e.  ZZ )
65 elfz 11736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  ( # `
 F )  e.  ZZ )  ->  (
1  e.  ( 0 ... ( # `  F
) )  <->  ( 0  <_  1  /\  1  <_  ( # `  F
) ) ) )
662, 1, 65mp3an12 1350 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  F )  e.  ZZ  ->  ( 1  e.  ( 0 ... ( # `  F
) )  <->  ( 0  <_  1  /\  1  <_  ( # `  F
) ) ) )
6764, 66syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  ( 1  e.  ( 0 ... ( # `  F ) )  <->  ( 0  <_  1  /\  1  <_  ( # `  F
) ) ) )
6862, 63, 67mpbir2and 930 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  1  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) )
69 fzsplit 11771 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ( 0 ... ( # `  F
) )  ->  (
0 ... ( # `  F
) )  =  ( ( 0 ... 1
)  u.  ( ( 1  +  1 ) ... ( # `  F
) ) ) )
7068, 69syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  ( 0 ... ( # `
 F ) )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  ( ( 1  +  1 ) ... ( # `
 F ) ) ) )
71 df-2 10614 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( 1  +  1 )
7271oveq1i 6254 . . . . . . 7  |-  ( 2 ... ( # `  F
) )  =  ( ( 1  +  1 ) ... ( # `  F ) )
7372uneq2i 3555 . . . . . 6  |-  ( ( 0 ... 1 )  u.  ( 2 ... ( # `  F
) ) )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  (
( 1  +  1 ) ... ( # `  F ) ) )
7470, 73syl6eqr 2475 . . . . 5  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  ( 0 ... ( # `
 F ) )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  ( 2 ... ( # `
 F ) ) ) )
7560, 74mp1i 13 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V  /\  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( ( 0 ... 1 )  i^i  ( 2 ... ( # `
 F ) ) )  =  (/) )  -> 
( 0 ... ( # `
 F ) )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  ( 2 ... ( # `
 F ) ) ) )
76 unidm 3547 . . . . . 6  |-  ( V  u.  V )  =  V
7776eqcomi 2432 . . . . 5  |-  V  =  ( V  u.  V
)
7877a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V  /\  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( ( 0 ... 1 )  i^i  ( 2 ... ( # `
 F ) ) )  =  (/) )  ->  V  =  ( V  u.  V ) )
7956, 75, 78feq123d 5674 . . 3  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V  /\  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( ( 0 ... 1 )  i^i  ( 2 ... ( # `
 F ) ) )  =  (/) )  -> 
( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  <-> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) : ( ( 0 ... 1
)  u.  ( 2 ... ( # `  F
) ) ) --> ( V  u.  V ) ) )
8055, 79mpbird 235 . 2  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V  /\  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( ( 0 ... 1 )  i^i  ( 2 ... ( # `
 F ) ) )  =  (/) )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
8121, 51, 54, 80syl21anc 1263 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2594    u. cun 3372    i^i cin 3373    C_ wss 3374   (/)c0 3699   {cpr 3938   {ctp 3940   <.cop 3942   class class class wbr 4361   `'ccnv 4790   -->wf 5535   ` cfv 5539  (class class class)co 6244   0cc0 9485   1c1 9486    + caddc 9488    < clt 9621    <_ cle 9622   NNcn 10555   2c2 10605   3c3 10606   NN0cn0 10815   ZZcz 10883   ZZ>=cuz 11105   ...cfz 11730   #chash 12460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-int 4194  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-om 6646  df-1st 6746  df-2nd 6747  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-fin 7523  df-card 8320  df-cda 8544  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10556  df-2 10614  df-3 10615  df-n0 10816  df-z 10884  df-uz 11106  df-fz 11731  df-hash 12461
This theorem is referenced by:  constr3trllem4  25318  constr3trl  25324
  Copyright terms: Public domain W3C validator