MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3trllem3 Structured version   Unicode version

Theorem constr3trllem3 23550
Description: Lemma for constr3trl 23557. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
constr3cycl.p  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
Assertion
Ref Expression
constr3trllem3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )

Proof of Theorem constr3trllem3
StepHypRef Expression
1 0z 10669 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
2 1z 10688 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
31, 2pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )
5 3simpa 985 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )
6 0ne1 10401 . . . . 5  |-  0  =/=  1
76a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  0  =/=  1 )
8 fprg 5903 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } : { 0 ,  1 } --> { A ,  B } )
9 0p1e1 10445 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
109eqcomi 2447 . . . . . . . 8  |-  1  =  ( 0  +  1 )
1110oveq2i 6114 . . . . . . 7  |-  ( 0 ... 1 )  =  ( 0 ... (
0  +  1 ) )
12 fzpr 11523 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) } )
131, 12ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
149preq2i 3970 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  =  { 0 ,  1 }
1511, 13, 143eqtri 2467 . . . . . 6  |-  ( 0 ... 1 )  =  { 0 ,  1 }
1615feq2i 5564 . . . . 5  |-  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A ,  B }  <->  {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : { 0 ,  1 } --> { A ,  B } )
178, 16sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A ,  B }
)
184, 5, 7, 17syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A ,  B }
)
19 prssi 4041 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  { A ,  B }  C_  V )
20193adant3 1008 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { A ,  B }  C_  V )
21 fss 5579 . . 3  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A ,  B }  /\  { A ,  B }  C_  V )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V )
2218, 20, 21syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V )
23 2nn0 10608 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
24 3nn0 10609 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
2523, 24pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( 2  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )
2625a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( 2  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )
)
27 pm3.22 449 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( C  e.  V  /\  A  e.  V
) )
28273adant2 1007 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( C  e.  V  /\  A  e.  V
) )
29 2re 10403 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
30 2lt3 10501 . . . . . 6  |-  2  <  3
3129, 30ltneii 9499 . . . . 5  |-  2  =/=  3
3231a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  2  =/=  3 )
33 fprg 5903 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )  /\  ( C  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  2  =/=  3 )  ->  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : { 2 ,  3 } --> { C ,  A } )
34 constr3cycl.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
35 constr3cycl.p . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
3634, 35constr3lem2 23544 . . . . . . . . 9  |-  ( # `  F )  =  3
37 df-3 10393 . . . . . . . . 9  |-  3  =  ( 2  +  1 )
3836, 37eqtri 2463 . . . . . . . 8  |-  ( # `  F )  =  ( 2  +  1 )
3938oveq2i 6114 . . . . . . 7  |-  ( 2 ... ( # `  F
) )  =  ( 2 ... ( 2  +  1 ) )
40 2z 10690 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
41 fzpr 11523 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  (
2 ... ( 2  +  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) } )
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 2 ... ( 2  +  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }
4337eqcomi 2447 . . . . . . . 8  |-  ( 2  +  1 )  =  3
4443preq2i 3970 . . . . . . 7  |-  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }  =  { 2 ,  3 }
4539, 42, 443eqtri 2467 . . . . . 6  |-  ( 2 ... ( # `  F
) )  =  {
2 ,  3 }
4645feq2i 5564 . . . . 5  |-  ( {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> { C ,  A }  <->  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } : {
2 ,  3 } --> { C ,  A } )
4733, 46sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( 2  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )  /\  ( C  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  2  =/=  3 )  ->  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> { C ,  A } )
4826, 28, 32, 47syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> { C ,  A } )
49 prssi 4041 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  { C ,  A }  C_  V )
5049ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { C ,  A }  C_  V )
51503adant2 1007 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { C ,  A }  C_  V )
52 fss 5579 . . 3  |-  ( ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> { C ,  A }  /\  { C ,  A }  C_  V )  ->  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )
5348, 51, 52syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )
54 1lt2 10500 . . 3  |-  1  <  2
55 fzdisj 11488 . . 3  |-  ( 1  <  2  ->  (
( 0 ... 1
)  i^i  ( 2 ... ( # `  F
) ) )  =  (/) )
5654, 55mp1i 12 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( ( 0 ... 1 )  i^i  (
2 ... ( # `  F
) ) )  =  (/) )
57 fun 5587 . . 3  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V  /\  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( ( 0 ... 1 )  i^i  ( 2 ... ( # `
 F ) ) )  =  (/) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) : ( ( 0 ... 1
)  u.  ( 2 ... ( # `  F
) ) ) --> ( V  u.  V ) )
5835a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V  /\  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( ( 0 ... 1 )  i^i  ( 2 ... ( # `
 F ) ) )  =  (/) )  ->  P  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) )
59 3nn 10492 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
6036, 59eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  ( # `  F )  e.  NN
61 elnnuz 10909 . . . . . 6  |-  ( (
# `  F )  e.  NN  <->  ( # `  F
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
6260, 61mpbi 208 . . . . 5  |-  ( # `  F )  e.  (
ZZ>= `  1 )
63 0le1 9875 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  1
6463a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  0  <_  1 )
65 eluzle 10885 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  1  <_  ( # `  F
) )
66 eluzelz 10882 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  ( # `  F
)  e.  ZZ )
67 elfz 11455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  ( # `
 F )  e.  ZZ )  ->  (
1  e.  ( 0 ... ( # `  F
) )  <->  ( 0  <_  1  /\  1  <_  ( # `  F
) ) ) )
682, 1, 67mp3an12 1304 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  F )  e.  ZZ  ->  ( 1  e.  ( 0 ... ( # `  F
) )  <->  ( 0  <_  1  /\  1  <_  ( # `  F
) ) ) )
6966, 68syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  ( 1  e.  ( 0 ... ( # `  F ) )  <->  ( 0  <_  1  /\  1  <_  ( # `  F
) ) ) )
7064, 65, 69mpbir2and 913 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  1  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) )
71 fzsplit 11487 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ( 0 ... ( # `  F
) )  ->  (
0 ... ( # `  F
) )  =  ( ( 0 ... 1
)  u.  ( ( 1  +  1 ) ... ( # `  F
) ) ) )
7270, 71syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  ( 0 ... ( # `
 F ) )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  ( ( 1  +  1 ) ... ( # `
 F ) ) ) )
73 df-2 10392 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( 1  +  1 )
7473oveq1i 6113 . . . . . . 7  |-  ( 2 ... ( # `  F
) )  =  ( ( 1  +  1 ) ... ( # `  F ) )
7574uneq2i 3519 . . . . . 6  |-  ( ( 0 ... 1 )  u.  ( 2 ... ( # `  F
) ) )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  (
( 1  +  1 ) ... ( # `  F ) ) )
7672, 75syl6eqr 2493 . . . . 5  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  ( 0 ... ( # `
 F ) )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  ( 2 ... ( # `
 F ) ) ) )
7762, 76mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V  /\  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( ( 0 ... 1 )  i^i  ( 2 ... ( # `
 F ) ) )  =  (/) )  -> 
( 0 ... ( # `
 F ) )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  ( 2 ... ( # `
 F ) ) ) )
78 unidm 3511 . . . . . 6  |-  ( V  u.  V )  =  V
7978eqcomi 2447 . . . . 5  |-  V  =  ( V  u.  V
)
8079a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V  /\  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( ( 0 ... 1 )  i^i  ( 2 ... ( # `
 F ) ) )  =  (/) )  ->  V  =  ( V  u.  V ) )
8158, 77, 80feq123d 5561 . . 3  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V  /\  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( ( 0 ... 1 )  i^i  ( 2 ... ( # `
 F ) ) )  =  (/) )  -> 
( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  <-> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) : ( ( 0 ... 1
)  u.  ( 2 ... ( # `  F
) ) ) --> ( V  u.  V ) ) )
8257, 81mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V  /\  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( ( 0 ... 1 )  i^i  ( 2 ... ( # `
 F ) ) )  =  (/) )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
8322, 53, 56, 82syl21anc 1217 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618    u. cun 3338    i^i cin 3339    C_ wss 3340   (/)c0 3649   {cpr 3891   {ctp 3893   <.cop 3895   class class class wbr 4304   `'ccnv 4851   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   0cc0 9294   1c1 9295    + caddc 9297    < clt 9430    <_ cle 9431   NNcn 10334   2c2 10383   3c3 10384   NN0cn0 10591   ZZcz 10658   ZZ>=cuz 10873   ...cfz 11449   #chash 12115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-hash 12116
This theorem is referenced by:  constr3trllem4  23551  constr3trl  23557
  Copyright terms: Public domain W3C validator