MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3trllem1 Structured version   Unicode version

Theorem constr3trllem1 24771
Description: Lemma for constr3trl 24780. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
constr3cycl.p  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
Assertion
Ref Expression
constr3trllem1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  F  e. Word  dom  E )

Proof of Theorem constr3trllem1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 9501 . . . . 5  |-  0  e.  _V
2 1ex 9502 . . . . 5  |-  1  e.  _V
3 2ex 10524 . . . . 5  |-  2  e.  _V
4 fvex 5784 . . . . 5  |-  ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
_V
5 fvex 5784 . . . . 5  |-  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
_V
6 fvex 5784 . . . . 5  |-  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
_V
7 0ne1 10520 . . . . 5  |-  0  =/=  1
8 0ne2 10664 . . . . 5  |-  0  =/=  2
9 1ne2 10665 . . . . 5  |-  1  =/=  2
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ftp 5984 . . . 4  |-  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } : { 0 ,  1 ,  2 } --> { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) }
11 constr3cycl.f . . . . . 6  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
1211a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } )
13 fzo0to3tp 11799 . . . . . 6  |-  ( 0..^ 3 )  =  {
0 ,  1 ,  2 }
1413a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( 0..^ 3 )  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
1512, 14feq12d 5628 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( F :
( 0..^ 3 ) --> { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) }  <->  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } : { 0 ,  1 ,  2 } --> { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) } ) )
1610, 15mpbiri 233 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  F : ( 0..^ 3 ) --> { ( `' E `  { A ,  B }
) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) } )
17 usgraf 24467 . . . . . 6  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  =  2 } )
18 f1f1orn 5735 . . . . . 6  |-  ( E : dom  E -1-1-> {
x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  =  2 }  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran  E )
19 f1ocnvdm 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
dom  E )
20193ad2antr1 1159 . . . . . . . 8  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
dom  E )
21 f1ocnvdm 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
dom  E )
22213ad2antr2 1160 . . . . . . . 8  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
dom  E )
23 f1ocnvdm 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
dom  E )
24233ad2antr3 1161 . . . . . . . 8  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
dom  E )
2520, 22, 243jca 1174 . . . . . . 7  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  (
( `' E `  { A ,  B }
)  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { B ,  C }
)  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { C ,  A }
)  e.  dom  E
) )
2625ex 432 . . . . . 6  |-  ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  ->  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
dom  E  /\  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
dom  E  /\  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
dom  E ) ) )
2717, 18, 263syl 20 . . . . 5  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ( `' E `  { A ,  B } )  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { B ,  C } )  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { C ,  A } )  e.  dom  E ) ) )
2827imp 427 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
dom  E  /\  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
dom  E  /\  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
dom  E ) )
294, 5, 6tpss 4109 . . . 4  |-  ( ( ( `' E `  { A ,  B }
)  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { B ,  C }
)  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { C ,  A }
)  e.  dom  E
)  <->  { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) }  C_  dom  E )
3028, 29sylib 196 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C }
) ,  ( `' E `  { C ,  A } ) } 
C_  dom  E )
3116, 30jca 530 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( F :
( 0..^ 3 ) --> { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) }  /\  {
( `' E `  { A ,  B }
) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) }  C_  dom  E ) )
32 fss 5647 . 2  |-  ( ( F : ( 0..^ 3 ) --> { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C }
) ,  ( `' E `  { C ,  A } ) }  /\  { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C }
) ,  ( `' E `  { C ,  A } ) } 
C_  dom  E )  ->  F : ( 0..^ 3 ) --> dom  E
)
33 iswrdi 12457 . 2  |-  ( F : ( 0..^ 3 ) --> dom  E  ->  F  e. Word  dom  E )
3431, 32, 333syl 20 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  F  e. Word  dom  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   {crab 2736    \ cdif 3386    u. cun 3387    C_ wss 3389   (/)c0 3711   ~Pcpw 3927   {csn 3944   {cpr 3946   {ctp 3948   <.cop 3950   class class class wbr 4367   `'ccnv 4912   dom cdm 4913   ran crn 4914   -->wf 5492   -1-1->wf1 5493   -1-1-onto->wf1o 5495   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   0cc0 9403   1c1 9404   2c2 10502   3c3 10503  ..^cfzo 11717   #chash 12307  Word cword 12438   USGrph cusg 24451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-word 12446  df-usgra 24454
This theorem is referenced by:  constr3trllem2  24772  constr3trl  24780
  Copyright terms: Public domain W3C validator