MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3trllem1 Structured version   Unicode version

Theorem constr3trllem1 23657
Description: Lemma for constr3trl 23666. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
constr3cycl.p  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
Assertion
Ref Expression
constr3trllem1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  F  e. Word  dom  E )

Proof of Theorem constr3trllem1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 9467 . . . . 5  |-  0  e.  _V
2 1ex 9468 . . . . 5  |-  1  e.  _V
3 2ex 10480 . . . . 5  |-  2  e.  _V
4 fvex 5785 . . . . 5  |-  ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
_V
5 fvex 5785 . . . . 5  |-  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
_V
6 fvex 5785 . . . . 5  |-  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
_V
7 0ne1 10476 . . . . 5  |-  0  =/=  1
8 0ne2 10620 . . . . 5  |-  0  =/=  2
9 1ne2 10621 . . . . 5  |-  1  =/=  2
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ftp 5978 . . . 4  |-  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } : { 0 ,  1 ,  2 } --> { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) }
11 constr3cycl.f . . . . . 6  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
1211a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } )
13 fzo0to3tp 11702 . . . . . 6  |-  ( 0..^ 3 )  =  {
0 ,  1 ,  2 }
1413a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( 0..^ 3 )  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
1512, 14feq12d 5632 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( F :
( 0..^ 3 ) --> { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) }  <->  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } : { 0 ,  1 ,  2 } --> { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) } ) )
1610, 15mpbiri 233 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  F : ( 0..^ 3 ) --> { ( `' E `  { A ,  B }
) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) } )
17 usgraf 23395 . . . . . 6  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  =  2 } )
18 f1f1orn 5736 . . . . . 6  |-  ( E : dom  E -1-1-> {
x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  =  2 }  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran  E )
19 f1ocnvdm 6074 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
dom  E )
20193ad2antr1 1153 . . . . . . . 8  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
dom  E )
21 f1ocnvdm 6074 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
dom  E )
22213ad2antr2 1154 . . . . . . . 8  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
dom  E )
23 f1ocnvdm 6074 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
dom  E )
24233ad2antr3 1155 . . . . . . . 8  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
dom  E )
2520, 22, 243jca 1168 . . . . . . 7  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  (
( `' E `  { A ,  B }
)  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { B ,  C }
)  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { C ,  A }
)  e.  dom  E
) )
2625ex 434 . . . . . 6  |-  ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  ->  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
dom  E  /\  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
dom  E  /\  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
dom  E ) ) )
2717, 18, 263syl 20 . . . . 5  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ( `' E `  { A ,  B } )  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { B ,  C } )  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { C ,  A } )  e.  dom  E ) ) )
2827imp 429 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
dom  E  /\  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
dom  E  /\  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
dom  E ) )
294, 5, 6tpss 4122 . . . 4  |-  ( ( ( `' E `  { A ,  B }
)  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { B ,  C }
)  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { C ,  A }
)  e.  dom  E
)  <->  { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) }  C_  dom  E )
3028, 29sylib 196 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C }
) ,  ( `' E `  { C ,  A } ) } 
C_  dom  E )
3116, 30jca 532 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( F :
( 0..^ 3 ) --> { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) }  /\  {
( `' E `  { A ,  B }
) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) }  C_  dom  E ) )
32 fss 5651 . 2  |-  ( ( F : ( 0..^ 3 ) --> { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C }
) ,  ( `' E `  { C ,  A } ) }  /\  { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C }
) ,  ( `' E `  { C ,  A } ) } 
C_  dom  E )  ->  F : ( 0..^ 3 ) --> dom  E
)
33 iswrdi 12327 . 2  |-  ( F : ( 0..^ 3 ) --> dom  E  ->  F  e. Word  dom  E )
3431, 32, 333syl 20 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  F  e. Word  dom  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1757   {crab 2796    \ cdif 3409    u. cun 3410    C_ wss 3412   (/)c0 3721   ~Pcpw 3944   {csn 3961   {cpr 3963   {ctp 3965   <.cop 3967   class class class wbr 4376   `'ccnv 4923   dom cdm 4924   ran crn 4925   -->wf 5498   -1-1->wf1 5499   -1-1-onto->wf1o 5501   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   0cc0 9369   1c1 9370   2c2 10458   3c3 10459  ..^cfzo 11635   #chash 12190  Word cword 12309   USGrph cusg 23385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-word 12317  df-usgra 23387
This theorem is referenced by:  constr3trllem2  23658  constr3trl  23666
  Copyright terms: Public domain W3C validator