MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3pthlem2 Structured version   Unicode version

Theorem constr3pthlem2 25229
Description: Lemma for constr3pth 25233. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
constr3cycl.p  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
Assertion
Ref Expression
constr3pthlem2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  B  =/=  C )  ->  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) ) )

Proof of Theorem constr3pthlem2
StepHypRef Expression
1 3simpc 1004 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( B  e.  V  /\  C  e.  V
) )
21adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  B  =/=  C )  ->  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )
3 1z 10967 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
4 2z 10969 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
53, 4pm3.2i 456 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )
65a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  B  =/=  C )  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ ) )
7 simpr 462 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  B  =/=  C )  ->  B  =/=  C )
8 funprg 5650 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  B  =/=  C )  ->  Fun  {
<. B ,  1 >. ,  <. C ,  2
>. } )
92, 6, 7, 8syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  B  =/=  C )  ->  Fun  { <. B ,  1 >. ,  <. C ,  2 >. } )
10 cnvun 5261 . . . . . 6  |-  `' ( { <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. } )  =  ( `' { <. 1 ,  B >. }  u.  `' { <. 2 ,  C >. } )
113jctl 543 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  V  ->  (
1  e.  ZZ  /\  B  e.  V )
)
12113ad2ant2 1027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  B  e.  V ) )
1312adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  B  =/=  C )  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  B  e.  V ) )
14 cnvsng 5342 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  B  e.  V )  ->  `' { <. 1 ,  B >. }  =  { <. B ,  1 >. } )
1513, 14syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  B  =/=  C )  ->  `' { <. 1 ,  B >. }  =  { <. B , 
1 >. } )
164jctl 543 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  V  ->  (
2  e.  ZZ  /\  C  e.  V )
)
17163ad2ant3 1028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( 2  e.  ZZ  /\  C  e.  V ) )
1817adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  B  =/=  C )  ->  ( 2  e.  ZZ  /\  C  e.  V ) )
19 cnvsng 5342 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  C  e.  V )  ->  `' { <. 2 ,  C >. }  =  { <. C ,  2 >. } )
2018, 19syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  B  =/=  C )  ->  `' { <. 2 ,  C >. }  =  { <. C , 
2 >. } )
2115, 20uneq12d 3627 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  B  =/=  C )  ->  ( `' { <. 1 ,  B >. }  u.  `' { <. 2 ,  C >. } )  =  ( {
<. B ,  1 >. }  u.  { <. C , 
2 >. } ) )
2210, 21syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  B  =/=  C )  ->  `' ( { <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. } )  =  ( {
<. B ,  1 >. }  u.  { <. C , 
2 >. } ) )
23 df-pr 4005 . . . . . 6  |-  { <. 1 ,  B >. , 
<. 2 ,  C >. }  =  ( {
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. } )
2423cnveqi 5029 . . . . 5  |-  `' { <. 1 ,  B >. , 
<. 2 ,  C >. }  =  `' ( { <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. } )
25 df-pr 4005 . . . . 5  |-  { <. B ,  1 >. ,  <. C ,  2 >. }  =  ( { <. B ,  1
>. }  u.  { <. C ,  2 >. } )
2622, 24, 253eqtr4g 2495 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  B  =/=  C )  ->  `' { <. 1 ,  B >. , 
<. 2 ,  C >. }  =  { <. B ,  1 >. ,  <. C ,  2 >. } )
2726funeqd 5622 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  B  =/=  C )  ->  ( Fun  `' { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  <->  Fun  { <. B , 
1 >. ,  <. C , 
2 >. } ) )
289, 27mpbird 235 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  B  =/=  C )  ->  Fun  `' { <. 1 ,  B >. , 
<. 2 ,  C >. } )
29 constr3cycl.f . . . . . . 7  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
30 constr3cycl.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
3129, 30constr3pthlem1 25228 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )
32313adant1 1023 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )
3332adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  B  =/=  C )  ->  ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F ) ) )  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )
3433cnveqd 5030 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  B  =/=  C )  ->  `' ( P  |`  ( 1..^ (
# `  F )
) )  =  `' { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )
3534funeqd 5622 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  B  =/=  C )  ->  ( Fun  `' ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  <->  Fun  `' { <. 1 ,  B >. , 
<. 2 ,  C >. } ) )
3628, 35mpbird 235 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  B  =/=  C )  ->  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625    u. cun 3440   {csn 4002   {cpr 4004   {ctp 4006   <.cop 4008   `'ccnv 4853    |` cres 4856   Fun wfun 5595   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   0cc0 9538   1c1 9539   2c2 10659   3c3 10660   ZZcz 10937  ..^cfzo 11913   #chash 12512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-hash 12513
This theorem is referenced by:  constr3pth  25233
  Copyright terms: Public domain W3C validator