MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3pthlem1 Structured version   Unicode version

Theorem constr3pthlem1 24359
Description: Lemma for constr3pth 24364. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
constr3cycl.p  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
Assertion
Ref Expression
constr3pthlem1  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )

Proof of Theorem constr3pthlem1
StepHypRef Expression
1 df-pr 4030 . . . . . . 7  |-  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  =  ( {
<. 0 ,  A >. }  u.  { <. 1 ,  B >. } )
21reseq1i 5269 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  ( ( {
<. 0 ,  A >. }  u.  { <. 1 ,  B >. } )  |`  { 1 ,  2 } )
3 resundir 5288 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. }  u.  { <. 1 ,  B >. } )  |`  { 1 ,  2 } )  =  ( ( {
<. 0 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )
42, 3eqtri 2496 . . . . 5  |-  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  ( ( {
<. 0 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )
5 0ne1 10603 . . . . . . . . 9  |-  0  =/=  1
6 0ne2 10747 . . . . . . . . 9  |-  0  =/=  2
75, 6nelpri 4048 . . . . . . . 8  |-  -.  0  e.  { 1 ,  2 }
8 ressnop0 6068 . . . . . . . 8  |-  ( -.  0  e.  { 1 ,  2 }  ->  ( { <. 0 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  (/) )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 0 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  (/)
109uneq1i 3654 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )  =  ( (/)  u.  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )
11 uncom 3648 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  u.  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )  =  ( ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  (/) )
12 un0 3810 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  (/) )  =  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )
1311, 12eqtri 2496 . . . . . . 7  |-  ( (/)  u.  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )  =  ( {
<. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )
14 1re 9595 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
1514jctl 541 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  V  ->  (
1  e.  RR  /\  B  e.  V )
)
1615adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( 1  e.  RR  /\  B  e.  V ) )
17 funsng 5634 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  V )  ->  Fun  { <. 1 ,  B >. } )
18 funrel 5605 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
{ <. 1 ,  B >. }  ->  Rel  { <. 1 ,  B >. } )
1916, 17, 183syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  Rel  { <. 1 ,  B >. } )
20 dmsnopss 5480 . . . . . . . . 9  |-  dom  { <. 1 ,  B >. } 
C_  { 1 }
21 snsspr1 4176 . . . . . . . . 9  |-  { 1 }  C_  { 1 ,  2 }
2220, 21sstri 3513 . . . . . . . 8  |-  dom  { <. 1 ,  B >. } 
C_  { 1 ,  2 }
23 relssres 5311 . . . . . . . 8  |-  ( ( Rel  { <. 1 ,  B >. }  /\  dom  {
<. 1 ,  B >. }  C_  { 1 ,  2 } )  ->  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 1 ,  B >. } )
2419, 22, 23sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 1 ,  B >. } )
2513, 24syl5eq 2520 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( (/)  u.  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )  =  { <. 1 ,  B >. } )
2610, 25syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( { <. 0 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )  =  { <. 1 ,  B >. } )
274, 26syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 1 ,  B >. } )
28 df-pr 4030 . . . . . . 7  |-  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. }  =  ( {
<. 2 ,  C >. }  u.  { <. 3 ,  A >. } )
2928reseq1i 5269 . . . . . 6  |-  ( {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  ( ( {
<. 2 ,  C >. }  u.  { <. 3 ,  A >. } )  |`  { 1 ,  2 } )
30 resundir 5288 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 2 ,  C >. }  u.  { <. 3 ,  A >. } )  |`  { 1 ,  2 } )  =  ( ( {
<. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )
3129, 30eqtri 2496 . . . . 5  |-  ( {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  ( ( {
<. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )
32 1lt3 10704 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  3
3314, 32gtneii 9696 . . . . . . . . 9  |-  3  =/=  1
34 2re 10605 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
35 2lt3 10703 . . . . . . . . . 10  |-  2  <  3
3634, 35gtneii 9696 . . . . . . . . 9  |-  3  =/=  2
3733, 36nelpri 4048 . . . . . . . 8  |-  -.  3  e.  { 1 ,  2 }
38 ressnop0 6068 . . . . . . . 8  |-  ( -.  3  e.  { 1 ,  2 }  ->  ( { <. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  (/) )
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  (/)
4039uneq2i 3655 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )  =  ( ( { <. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  (/) )
41 un0 3810 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  (/) )  =  ( { <. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )
42 2z 10896 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
43 funsng 5634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  C  e.  W )  ->  Fun  { <. 2 ,  C >. } )
4442, 43mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  W  ->  Fun  {
<. 2 ,  C >. } )
45 funrel 5605 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
{ <. 2 ,  C >. }  ->  Rel  { <. 2 ,  C >. } )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  W  ->  Rel  {
<. 2 ,  C >. } )
4746adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  Rel  { <. 2 ,  C >. } )
48 dmsnopss 5480 . . . . . . . . 9  |-  dom  { <. 2 ,  C >. } 
C_  { 2 }
49 snsspr2 4177 . . . . . . . . 9  |-  { 2 }  C_  { 1 ,  2 }
5048, 49sstri 3513 . . . . . . . 8  |-  dom  { <. 2 ,  C >. } 
C_  { 1 ,  2 }
51 relssres 5311 . . . . . . . 8  |-  ( ( Rel  { <. 2 ,  C >. }  /\  dom  {
<. 2 ,  C >. }  C_  { 1 ,  2 } )  ->  ( { <. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 2 ,  C >. } )
5247, 50, 51sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( { <. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 2 ,  C >. } )
5341, 52syl5eq 2520 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( { <. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  (/) )  =  { <. 2 ,  C >. } )
5440, 53syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( { <. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )  =  { <. 2 ,  C >. } )
5531, 54syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 2 ,  C >. } )
5627, 55uneq12d 3659 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )  =  ( {
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. } ) )
57 resundir 5288 . . 3  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  |`  { 1 ,  2 } )  =  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )
58 df-pr 4030 . . 3  |-  { <. 1 ,  B >. , 
<. 2 ,  C >. }  =  ( {
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. } )
5956, 57, 583eqtr4g 2533 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )
60 constr3cycl.p . . 3  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
61 id 22 . . . . 5  |-  ( P  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  ->  P  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) )
62 constr3cycl.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
6362, 60constr3lem2 24350 . . . . . . . 8  |-  ( # `  F )  =  3
6463oveq2i 6295 . . . . . . 7  |-  ( 1..^ ( # `  F
) )  =  ( 1..^ 3 )
65 3z 10897 . . . . . . . 8  |-  3  e.  ZZ
66 fzoval 11798 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
1..^ 3 )  =  ( 1 ... (
3  -  1 ) ) )
6765, 66ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 1..^ 3 )  =  ( 1 ... ( 3  -  1 ) )
68 3m1e2 10652 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  -  1 )  =  2
69 df-2 10594 . . . . . . . . . 10  |-  2  =  ( 1  +  1 )
7068, 69eqtri 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  -  1 )  =  ( 1  +  1 )
7170oveq2i 6295 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... ( 3  -  1 ) )  =  ( 1 ... (
1  +  1 ) )
72 1z 10894 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
73 fzpr 11735 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) } )
7472, 73ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) }
75 1p1e2 10649 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  1 )  =  2
7675preq2i 4110 . . . . . . . 8  |-  { 1 ,  ( 1  +  1 ) }  =  { 1 ,  2 }
7771, 74, 763eqtri 2500 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... ( 3  -  1 ) )  =  { 1 ,  2 }
7864, 67, 773eqtri 2500 . . . . . 6  |-  ( 1..^ ( # `  F
) )  =  {
1 ,  2 }
7978a1i 11 . . . . 5  |-  ( P  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  ->  (
1..^ ( # `  F
) )  =  {
1 ,  2 } )
8061, 79reseq12d 5274 . . . 4  |-  ( P  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  ->  ( P  |`  ( 1..^ (
# `  F )
) )  =  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  |`  { 1 ,  2 } ) )
8180eqeq1d 2469 . . 3  |-  ( P  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  ->  (
( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  <->  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } ) )
8260, 81ax-mp 5 . 2  |-  ( ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  <->  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )
8359, 82sylibr 212 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    u. cun 3474    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   {cpr 4029   {ctp 4031   <.cop 4033   `'ccnv 4998   dom cdm 4999    |` cres 5001   Rel wrel 5004   Fun wfun 5582   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    - cmin 9805   2c2 10585   3c3 10586   ZZcz 10864   ...cfz 11672  ..^cfzo 11792   #chash 12373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-hash 12374
This theorem is referenced by:  constr3pthlem2  24360
  Copyright terms: Public domain W3C validator