Theorem constr3pthlem1 25369

Description: Lemma for constr3pth 25374. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
constr3cycl.f	|- F = { <. 0 , ( `' E ` { A , B } ) >. , <. 1 , ( `' E ` { B , C } ) >. , <. 2 , ( `' E ` { C , A } ) >. }
constr3cycl.p	|- P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } )

Assertion

Ref	Expression
constr3pthlem1	|- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } )

Proof of Theorem constr3pthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3999	. . . . . . 7 |- { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } = ( { <. 0 , A >. } u. { <. 1 , B >. } )
2	1	reseq1i 5117	. . . . . 6 |- ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 0 , A >. } u. { <. 1 , B >. } ) |` { 1 , 2 } )
3		resundir 5135	. . . . . 6 |- ( ( { <. 0 , A >. } u. { <. 1 , B >. } ) |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) )
4	2, 3	eqtri 2451	. . . . 5 |- ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) )
5		0ne1 10678	. . . . . . . . 9 |- 0 =/= 1
6		0ne2 10822	. . . . . . . . 9 |- 0 =/= 2
7	5, 6	nelpri 4016	. . . . . . . 8 |- -. 0 e. { 1 , 2 }
8		ressnop0 6083	. . . . . . . 8 |- ( -. 0 e. { 1 , 2 } -> ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = (/) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = (/)
10	9	uneq1i 3616	. . . . . 6 |- ( ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) ) = ( (/) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) )
11		uncom 3610	. . . . . . . 8 |- ( (/) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) ) = ( ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) u. (/) )
12		un0 3787	. . . . . . . 8 |- ( ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) u. (/) ) = ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } )
13	11, 12	eqtri 2451	. . . . . . 7 |- ( (/) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) ) = ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } )
14		1re 9643	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
15	14	jctl 543	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. V -> ( 1 e. RR /\ B e. V ) )
16	15	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( 1 e. RR /\ B e. V ) )
17		funsng 5644	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. RR /\ B e. V ) -> Fun { <. 1 , B >. } )
18		funrel 5615	. . . . . . . . 9 |- ( Fun { <. 1 , B >. } -> Rel { <. 1 , B >. } )
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> Rel { <. 1 , B >. } )
20		dmsnopss 5324	. . . . . . . . 9 |- dom { <. 1 , B >. } C_ { 1 }
21		snsspr1 4146	. . . . . . . . 9 |- { 1 } C_ { 1 , 2 }
22	20, 21	sstri 3473	. . . . . . . 8 |- dom { <. 1 , B >. } C_ { 1 , 2 }
23		relssres 5158	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel { <. 1 , B >. } /\ dom { <. 1 , B >. } C_ { 1 , 2 } ) -> ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. } )
24	19, 22, 23	sylancl 666	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. } )
25	13, 24	syl5eq 2475	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( (/) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) ) = { <. 1 , B >. } )
26	10, 25	syl5eq 2475	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) ) = { <. 1 , B >. } )
27	4, 26	syl5eq 2475	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. } )
28		df-pr 3999	. . . . . . 7 |- { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } = ( { <. 2 , C >. } u. { <. 3 , A >. } )
29	28	reseq1i 5117	. . . . . 6 |- ( { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 2 , C >. } u. { <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } )
30		resundir 5135	. . . . . 6 |- ( ( { <. 2 , C >. } u. { <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) )
31	29, 30	eqtri 2451	. . . . 5 |- ( { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) )
32		1lt3 10779	. . . . . . . . . 10 |- 1 < 3
33	14, 32	gtneii 9747	. . . . . . . . 9 |- 3 =/= 1
34		2re 10680	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
35		2lt3 10778	. . . . . . . . . 10 |- 2 < 3
36	34, 35	gtneii 9747	. . . . . . . . 9 |- 3 =/= 2
37	33, 36	nelpri 4016	. . . . . . . 8 |- -. 3 e. { 1 , 2 }
38		ressnop0 6083	. . . . . . . 8 |- ( -. 3 e. { 1 , 2 } -> ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = (/) )
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = (/)
40	39	uneq2i 3617	. . . . . 6 |- ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) ) = ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. (/) )
41		un0 3787	. . . . . . 7 |- ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. (/) ) = ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } )
42		2z 10970	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
43		funsng 5644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. ZZ /\ C e. W ) -> Fun { <. 2 , C >. } )
44	42, 43	mpan 674	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. W -> Fun { <. 2 , C >. } )
45		funrel 5615	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun { <. 2 , C >. } -> Rel { <. 2 , C >. } )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( C e. W -> Rel { <. 2 , C >. } )
47	46	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> Rel { <. 2 , C >. } )
48		dmsnopss 5324	. . . . . . . . 9 |- dom { <. 2 , C >. } C_ { 2 }
49		snsspr2 4147	. . . . . . . . 9 |- { 2 } C_ { 1 , 2 }
50	48, 49	sstri 3473	. . . . . . . 8 |- dom { <. 2 , C >. } C_ { 1 , 2 }
51		relssres 5158	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel { <. 2 , C >. } /\ dom { <. 2 , C >. } C_ { 1 , 2 } ) -> ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 2 , C >. } )
52	47, 50, 51	sylancl 666	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 2 , C >. } )
53	41, 52	syl5eq 2475	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. (/) ) = { <. 2 , C >. } )
54	40, 53	syl5eq 2475	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) ) = { <. 2 , C >. } )
55	31, 54	syl5eq 2475	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 2 , C >. } )
56	27, 55	uneq12d 3621	. . 3 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) ) = ( { <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. } ) )
57		resundir 5135	. . 3 |- ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) )
58		df-pr 3999	. . 3 |- { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } = ( { <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. } )
59	56, 57, 58	3eqtr4g 2488	. 2 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } )
60		constr3cycl.p	. . 3 |- P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } )
61		id 23	. . . . 5 |- ( P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) -> P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) )
62		constr3cycl.f	. . . . . . . . 9 |- F = { <. 0 , ( `' E ` { A , B } ) >. , <. 1 , ( `' E ` { B , C } ) >. , <. 2 , ( `' E ` { C , A } ) >. }
63	62, 60	constr3lem2 25360	. . . . . . . 8 |- ( # ` F ) = 3
64	63	oveq2i 6313	. . . . . . 7 |- ( 1..^ ( # ` F ) ) = ( 1..^ 3 )
65		3z 10971	. . . . . . . 8 |- 3 e. ZZ
66		fzoval 11922	. . . . . . . 8 |- ( 3 e. ZZ -> ( 1..^ 3 ) = ( 1 ... ( 3 - 1 ) ) )
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( 1..^ 3 ) = ( 1 ... ( 3 - 1 ) )
68		3m1e2 10727	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 - 1 ) = 2
69		df-2 10669	. . . . . . . . . 10 |- 2 = ( 1 + 1 )
70	68, 69	eqtri 2451	. . . . . . . . 9 |- ( 3 - 1 ) = ( 1 + 1 )
71	70	oveq2i 6313	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... ( 3 - 1 ) ) = ( 1 ... ( 1 + 1 ) )
72		1z 10968	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
73		fzpr 11852	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) = { 1 , ( 1 + 1 ) } )
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) = { 1 , ( 1 + 1 ) }
75		1p1e2 10724	. . . . . . . . 9 |- ( 1 + 1 ) = 2
76	75	preq2i 4080	. . . . . . . 8 |- { 1 , ( 1 + 1 ) } = { 1 , 2 }
77	71, 74, 76	3eqtri 2455	. . . . . . 7 |- ( 1 ... ( 3 - 1 ) ) = { 1 , 2 }
78	64, 67, 77	3eqtri 2455	. . . . . 6 |- ( 1..^ ( # ` F ) ) = { 1 , 2 }
79	78	a1i 11	. . . . 5 |- ( P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) -> ( 1..^ ( # ` F ) ) = { 1 , 2 } )
80	61, 79	reseq12d 5122	. . . 4 |- ( P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) -> ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) )
81	80	eqeq1d 2424	. . 3 |- ( P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) -> ( ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } <-> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } ) )
82	60, 81	ax-mp 5	. 2 |- ( ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } <-> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } )
83	59, 82	sylibr 215	1 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1868   u. cun 3434   C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3996   {cpr 3998   {ctp 4000   <.cop 4002   `'ccnv 4849   dom cdm 4850   |` cres 4852   Rel wrel 4855   Fun wfun 5592   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   RRcr 9539   0cc0 9540   1c1 9541   + caddc 9543   - cmin 9861   2c2 10660   3c3 10661   ZZcz 10938   ...cfz 11785  ..^cfzo 11916   #chash 12515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8375  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-hash 12516

This theorem is referenced by:  constr3pthlem2  25370