MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3pthlem1 Structured version   Unicode version

Theorem constr3pthlem1 23492
Description: Lemma for constr3pth 23497. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
constr3cycl.p  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
Assertion
Ref Expression
constr3pthlem1  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )

Proof of Theorem constr3pthlem1
StepHypRef Expression
1 df-pr 3875 . . . . . . 7  |-  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  =  ( {
<. 0 ,  A >. }  u.  { <. 1 ,  B >. } )
21reseq1i 5101 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  ( ( {
<. 0 ,  A >. }  u.  { <. 1 ,  B >. } )  |`  { 1 ,  2 } )
3 resundir 5120 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. }  u.  { <. 1 ,  B >. } )  |`  { 1 ,  2 } )  =  ( ( {
<. 0 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )
42, 3eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  ( ( {
<. 0 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )
5 0ne1 10381 . . . . . . . . 9  |-  0  =/=  1
6 0ne2 10525 . . . . . . . . 9  |-  0  =/=  2
75, 6nelpri 3893 . . . . . . . 8  |-  -.  0  e.  { 1 ,  2 }
8 ressnop0 5884 . . . . . . . 8  |-  ( -.  0  e.  { 1 ,  2 }  ->  ( { <. 0 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  (/) )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 0 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  (/)
109uneq1i 3501 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )  =  ( (/)  u.  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )
11 uncom 3495 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  u.  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )  =  ( ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  (/) )
12 un0 3657 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  (/) )  =  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )
1311, 12eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  ( (/)  u.  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )  =  ( {
<. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )
14 1re 9377 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
1514jctl 541 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  V  ->  (
1  e.  RR  /\  B  e.  V )
)
1615adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( 1  e.  RR  /\  B  e.  V ) )
17 funsng 5459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  V )  ->  Fun  { <. 1 ,  B >. } )
18 funrel 5430 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
{ <. 1 ,  B >. }  ->  Rel  { <. 1 ,  B >. } )
1916, 17, 183syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  Rel  { <. 1 ,  B >. } )
20 dmsnopss 5306 . . . . . . . . 9  |-  dom  { <. 1 ,  B >. } 
C_  { 1 }
21 snsspr1 4017 . . . . . . . . 9  |-  { 1 }  C_  { 1 ,  2 }
2220, 21sstri 3360 . . . . . . . 8  |-  dom  { <. 1 ,  B >. } 
C_  { 1 ,  2 }
23 relssres 5142 . . . . . . . 8  |-  ( ( Rel  { <. 1 ,  B >. }  /\  dom  {
<. 1 ,  B >. }  C_  { 1 ,  2 } )  ->  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 1 ,  B >. } )
2419, 22, 23sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 1 ,  B >. } )
2513, 24syl5eq 2482 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( (/)  u.  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )  =  { <. 1 ,  B >. } )
2610, 25syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( { <. 0 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )  =  { <. 1 ,  B >. } )
274, 26syl5eq 2482 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 1 ,  B >. } )
28 df-pr 3875 . . . . . . 7  |-  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. }  =  ( {
<. 2 ,  C >. }  u.  { <. 3 ,  A >. } )
2928reseq1i 5101 . . . . . 6  |-  ( {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  ( ( {
<. 2 ,  C >. }  u.  { <. 3 ,  A >. } )  |`  { 1 ,  2 } )
30 resundir 5120 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 2 ,  C >. }  u.  { <. 3 ,  A >. } )  |`  { 1 ,  2 } )  =  ( ( {
<. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )
3129, 30eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  ( ( {
<. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )
32 1lt3 10482 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  3
3314, 32gtneii 9478 . . . . . . . . 9  |-  3  =/=  1
34 2re 10383 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
35 2lt3 10481 . . . . . . . . . 10  |-  2  <  3
3634, 35gtneii 9478 . . . . . . . . 9  |-  3  =/=  2
3733, 36nelpri 3893 . . . . . . . 8  |-  -.  3  e.  { 1 ,  2 }
38 ressnop0 5884 . . . . . . . 8  |-  ( -.  3  e.  { 1 ,  2 }  ->  ( { <. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  (/) )
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  (/)
4039uneq2i 3502 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )  =  ( ( { <. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  (/) )
41 un0 3657 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  (/) )  =  ( { <. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )
42 2z 10670 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
43 funsng 5459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  C  e.  W )  ->  Fun  { <. 2 ,  C >. } )
4442, 43mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  W  ->  Fun  {
<. 2 ,  C >. } )
45 funrel 5430 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
{ <. 2 ,  C >. }  ->  Rel  { <. 2 ,  C >. } )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  W  ->  Rel  {
<. 2 ,  C >. } )
4746adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  Rel  { <. 2 ,  C >. } )
48 dmsnopss 5306 . . . . . . . . 9  |-  dom  { <. 2 ,  C >. } 
C_  { 2 }
49 snsspr2 4018 . . . . . . . . 9  |-  { 2 }  C_  { 1 ,  2 }
5048, 49sstri 3360 . . . . . . . 8  |-  dom  { <. 2 ,  C >. } 
C_  { 1 ,  2 }
51 relssres 5142 . . . . . . . 8  |-  ( ( Rel  { <. 2 ,  C >. }  /\  dom  {
<. 2 ,  C >. }  C_  { 1 ,  2 } )  ->  ( { <. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 2 ,  C >. } )
5247, 50, 51sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( { <. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 2 ,  C >. } )
5341, 52syl5eq 2482 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( { <. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  (/) )  =  { <. 2 ,  C >. } )
5440, 53syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( { <. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )  =  { <. 2 ,  C >. } )
5531, 54syl5eq 2482 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 2 ,  C >. } )
5627, 55uneq12d 3506 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )  =  ( {
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. } ) )
57 resundir 5120 . . 3  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  |`  { 1 ,  2 } )  =  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )
58 df-pr 3875 . . 3  |-  { <. 1 ,  B >. , 
<. 2 ,  C >. }  =  ( {
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. } )
5956, 57, 583eqtr4g 2495 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )
60 constr3cycl.p . . 3  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
61 id 22 . . . . 5  |-  ( P  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  ->  P  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) )
62 constr3cycl.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
6362, 60constr3lem2 23483 . . . . . . . 8  |-  ( # `  F )  =  3
6463oveq2i 6097 . . . . . . 7  |-  ( 1..^ ( # `  F
) )  =  ( 1..^ 3 )
65 3z 10671 . . . . . . . 8  |-  3  e.  ZZ
66 fzoval 11546 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
1..^ 3 )  =  ( 1 ... (
3  -  1 ) ) )
6765, 66ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 1..^ 3 )  =  ( 1 ... ( 3  -  1 ) )
68 3m1e2 10430 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  -  1 )  =  2
69 df-2 10372 . . . . . . . . . 10  |-  2  =  ( 1  +  1 )
7068, 69eqtri 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  -  1 )  =  ( 1  +  1 )
7170oveq2i 6097 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... ( 3  -  1 ) )  =  ( 1 ... (
1  +  1 ) )
72 1z 10668 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
73 fzpr 11503 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) } )
7472, 73ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) }
75 1p1e2 10427 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  1 )  =  2
7675preq2i 3953 . . . . . . . 8  |-  { 1 ,  ( 1  +  1 ) }  =  { 1 ,  2 }
7771, 74, 763eqtri 2462 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... ( 3  -  1 ) )  =  { 1 ,  2 }
7864, 67, 773eqtri 2462 . . . . . 6  |-  ( 1..^ ( # `  F
) )  =  {
1 ,  2 }
7978a1i 11 . . . . 5  |-  ( P  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  ->  (
1..^ ( # `  F
) )  =  {
1 ,  2 } )
8061, 79reseq12d 5106 . . . 4  |-  ( P  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  ->  ( P  |`  ( 1..^ (
# `  F )
) )  =  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  |`  { 1 ,  2 } ) )
8180eqeq1d 2446 . . 3  |-  ( P  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  ->  (
( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  <->  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } ) )
8260, 81ax-mp 5 . 2  |-  ( ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  <->  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )
8359, 82sylibr 212 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    u. cun 3321    C_ wss 3323   (/)c0 3632   {csn 3872   {cpr 3874   {ctp 3876   <.cop 3878   `'ccnv 4834   dom cdm 4835    |` cres 4837   Rel wrel 4840   Fun wfun 5407   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    - cmin 9587   2c2 10363   3c3 10364   ZZcz 10638   ...cfz 11429  ..^cfzo 11540   #chash 12095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-hash 12096
This theorem is referenced by:  constr3pthlem2  23493
  Copyright terms: Public domain W3C validator