Theorem constr3pthlem1 21595

Description: Lemma for constr3pth 21600. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
constr3cycl.f	|- F = { <. 0 , ( `' E ` { A , B } ) >. , <. 1 , ( `' E ` { B , C } ) >. , <. 2 , ( `' E ` { C , A } ) >. }
constr3cycl.p	|- P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } )

Assertion

Ref	Expression
constr3pthlem1	|- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } )

Proof of Theorem constr3pthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3781	. . . . . . 7 |- { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } = ( { <. 0 , A >. } u. { <. 1 , B >. } )
2	1	reseq1i 5101	. . . . . 6 |- ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 0 , A >. } u. { <. 1 , B >. } ) |` { 1 , 2 } )
3		resundir 5120	. . . . . 6 |- ( ( { <. 0 , A >. } u. { <. 1 , B >. } ) |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) )
4	2, 3	eqtri 2424	. . . . 5 |- ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) )
5		ax-1ne0 9015	. . . . . . . . . 10 |- 1 =/= 0
6	5	necomi 2649	. . . . . . . . 9 |- 0 =/= 1
7		2ne0 10039	. . . . . . . . . 10 |- 2 =/= 0
8	7	necomi 2649	. . . . . . . . 9 |- 0 =/= 2
9	6, 8	nelpri 3795	. . . . . . . 8 |- -. 0 e. { 1 , 2 }
10		ressnop0 5872	. . . . . . . 8 |- ( -. 0 e. { 1 , 2 } -> ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = (/) )
11	9, 10	ax-mp 8	. . . . . . 7 |- ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = (/)
12	11	uneq1i 3457	. . . . . 6 |- ( ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) ) = ( (/) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) )
13		uncom 3451	. . . . . . . 8 |- ( (/) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) ) = ( ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) u. (/) )
14		un0 3612	. . . . . . . 8 |- ( ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) u. (/) ) = ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } )
15	13, 14	eqtri 2424	. . . . . . 7 |- ( (/) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) ) = ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } )
16		1re 9046	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
17	16	jctl 526	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. V -> ( 1 e. RR /\ B e. V ) )
18	17	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( 1 e. RR /\ B e. V ) )
19		funsng 5456	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. RR /\ B e. V ) -> Fun { <. 1 , B >. } )
20		funrel 5430	. . . . . . . . 9 |- ( Fun { <. 1 , B >. } -> Rel { <. 1 , B >. } )
21	18, 19, 20	3syl 19	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> Rel { <. 1 , B >. } )
22		dmsnopss 5301	. . . . . . . . 9 |- dom { <. 1 , B >. } C_ { 1 }
23		snsspr1 3907	. . . . . . . . 9 |- { 1 } C_ { 1 , 2 }
24	22, 23	sstri 3317	. . . . . . . 8 |- dom { <. 1 , B >. } C_ { 1 , 2 }
25		relssres 5142	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel { <. 1 , B >. } /\ dom { <. 1 , B >. } C_ { 1 , 2 } ) -> ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. } )
26	21, 24, 25	sylancl 644	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. } )
27	15, 26	syl5eq 2448	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( (/) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) ) = { <. 1 , B >. } )
28	12, 27	syl5eq 2448	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) ) = { <. 1 , B >. } )
29	4, 28	syl5eq 2448	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. } )
30		df-pr 3781	. . . . . . 7 |- { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } = ( { <. 2 , C >. } u. { <. 3 , A >. } )
31	30	reseq1i 5101	. . . . . 6 |- ( { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 2 , C >. } u. { <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } )
32		resundir 5120	. . . . . 6 |- ( ( { <. 2 , C >. } u. { <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) )
33	31, 32	eqtri 2424	. . . . 5 |- ( { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) )
34		1lt3 10100	. . . . . . . . . 10 |- 1 < 3
35	16, 34	gtneii 9141	. . . . . . . . 9 |- 3 =/= 1
36		2re 10025	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
37		2lt3 10099	. . . . . . . . . 10 |- 2 < 3
38	36, 37	gtneii 9141	. . . . . . . . 9 |- 3 =/= 2
39	35, 38	nelpri 3795	. . . . . . . 8 |- -. 3 e. { 1 , 2 }
40		ressnop0 5872	. . . . . . . 8 |- ( -. 3 e. { 1 , 2 } -> ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = (/) )
41	39, 40	ax-mp 8	. . . . . . 7 |- ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = (/)
42	41	uneq2i 3458	. . . . . 6 |- ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) ) = ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. (/) )
43		un0 3612	. . . . . . 7 |- ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. (/) ) = ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } )
44		2z 10268	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
45		funsng 5456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. ZZ /\ C e. W ) -> Fun { <. 2 , C >. } )
46	44, 45	mpan 652	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. W -> Fun { <. 2 , C >. } )
47		funrel 5430	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun { <. 2 , C >. } -> Rel { <. 2 , C >. } )
48	46, 47	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( C e. W -> Rel { <. 2 , C >. } )
49	48	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> Rel { <. 2 , C >. } )
50		dmsnopss 5301	. . . . . . . . 9 |- dom { <. 2 , C >. } C_ { 2 }
51		snsspr2 3908	. . . . . . . . 9 |- { 2 } C_ { 1 , 2 }
52	50, 51	sstri 3317	. . . . . . . 8 |- dom { <. 2 , C >. } C_ { 1 , 2 }
53		relssres 5142	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel { <. 2 , C >. } /\ dom { <. 2 , C >. } C_ { 1 , 2 } ) -> ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 2 , C >. } )
54	49, 52, 53	sylancl 644	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 2 , C >. } )
55	43, 54	syl5eq 2448	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. (/) ) = { <. 2 , C >. } )
56	42, 55	syl5eq 2448	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) ) = { <. 2 , C >. } )
57	33, 56	syl5eq 2448	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 2 , C >. } )
58	29, 57	uneq12d 3462	. . 3 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) ) = ( { <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. } ) )
59		resundir 5120	. . 3 |- ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) )
60		df-pr 3781	. . 3 |- { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } = ( { <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. } )
61	58, 59, 60	3eqtr4g 2461	. 2 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } )
62		constr3cycl.p	. . 3 |- P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } )
63		id 20	. . . . 5 |- ( P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) -> P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) )
64		constr3cycl.f	. . . . . . . . 9 |- F = { <. 0 , ( `' E ` { A , B } ) >. , <. 1 , ( `' E ` { B , C } ) >. , <. 2 , ( `' E ` { C , A } ) >. }
65	64, 62	constr3lem2 21586	. . . . . . . 8 |- ( # ` F ) = 3
66	65	oveq2i 6051	. . . . . . 7 |- ( 1..^ ( # ` F ) ) = ( 1..^ 3 )
67		3nn0 10195	. . . . . . . . 9 |- 3 e. NN0
68	67	nn0zi 10262	. . . . . . . 8 |- 3 e. ZZ
69		fzoval 11096	. . . . . . . 8 |- ( 3 e. ZZ -> ( 1..^ 3 ) = ( 1 ... ( 3 - 1 ) ) )
70	68, 69	ax-mp 8	. . . . . . 7 |- ( 1..^ 3 ) = ( 1 ... ( 3 - 1 ) )
71		3m1e2 10052	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 - 1 ) = 2
72		df-2 10014	. . . . . . . . . 10 |- 2 = ( 1 + 1 )
73	71, 72	eqtri 2424	. . . . . . . . 9 |- ( 3 - 1 ) = ( 1 + 1 )
74	73	oveq2i 6051	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... ( 3 - 1 ) ) = ( 1 ... ( 1 + 1 ) )
75		1z 10267	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
76		fzpr 11057	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) = { 1 , ( 1 + 1 ) } )
77	75, 76	ax-mp 8	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) = { 1 , ( 1 + 1 ) }
78		1p1e2 10050	. . . . . . . . 9 |- ( 1 + 1 ) = 2
79	78	preq2i 3847	. . . . . . . 8 |- { 1 , ( 1 + 1 ) } = { 1 , 2 }
80	74, 77, 79	3eqtri 2428	. . . . . . 7 |- ( 1 ... ( 3 - 1 ) ) = { 1 , 2 }
81	66, 70, 80	3eqtri 2428	. . . . . 6 |- ( 1..^ ( # ` F ) ) = { 1 , 2 }
82	81	a1i 11	. . . . 5 |- ( P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) -> ( 1..^ ( # ` F ) ) = { 1 , 2 } )
83	63, 82	reseq12d 5106	. . . 4 |- ( P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) -> ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) )
84	83	eqeq1d 2412	. . 3 |- ( P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) -> ( ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } <-> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } ) )
85	62, 84	ax-mp 8	. 2 |- ( ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } <-> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } )
86	61, 85	sylibr 204	1 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   u. cun 3278   C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   {cpr 3775   {ctp 3776   <.cop 3777   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   |` cres 4839   Rel wrel 4842   Fun wfun 5407   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   - cmin 9247   2c2 10005   3c3 10006   ZZcz 10238   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090   #chash 11573

This theorem is referenced by:  constr3pthlem2  21596

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-hash 11574