Theorem constr3pthlem1 24359

Description: Lemma for constr3pth 24364. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
constr3cycl.f	|- F = { <. 0 , ( `' E ` { A , B } ) >. , <. 1 , ( `' E ` { B , C } ) >. , <. 2 , ( `' E ` { C , A } ) >. }
constr3cycl.p	|- P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } )

Assertion

Ref	Expression
constr3pthlem1	|- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } )

Proof of Theorem constr3pthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4030	. . . . . . 7 |- { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } = ( { <. 0 , A >. } u. { <. 1 , B >. } )
2	1	reseq1i 5269	. . . . . 6 |- ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 0 , A >. } u. { <. 1 , B >. } ) |` { 1 , 2 } )
3		resundir 5288	. . . . . 6 |- ( ( { <. 0 , A >. } u. { <. 1 , B >. } ) |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) )
4	2, 3	eqtri 2496	. . . . 5 |- ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) )
5		0ne1 10603	. . . . . . . . 9 |- 0 =/= 1
6		0ne2 10747	. . . . . . . . 9 |- 0 =/= 2
7	5, 6	nelpri 4048	. . . . . . . 8 |- -. 0 e. { 1 , 2 }
8		ressnop0 6068	. . . . . . . 8 |- ( -. 0 e. { 1 , 2 } -> ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = (/) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = (/)
10	9	uneq1i 3654	. . . . . 6 |- ( ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) ) = ( (/) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) )
11		uncom 3648	. . . . . . . 8 |- ( (/) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) ) = ( ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) u. (/) )
12		un0 3810	. . . . . . . 8 |- ( ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) u. (/) ) = ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } )
13	11, 12	eqtri 2496	. . . . . . 7 |- ( (/) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) ) = ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } )
14		1re 9595	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
15	14	jctl 541	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. V -> ( 1 e. RR /\ B e. V ) )
16	15	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( 1 e. RR /\ B e. V ) )
17		funsng 5634	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. RR /\ B e. V ) -> Fun { <. 1 , B >. } )
18		funrel 5605	. . . . . . . . 9 |- ( Fun { <. 1 , B >. } -> Rel { <. 1 , B >. } )
19	16, 17, 18	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> Rel { <. 1 , B >. } )
20		dmsnopss 5480	. . . . . . . . 9 |- dom { <. 1 , B >. } C_ { 1 }
21		snsspr1 4176	. . . . . . . . 9 |- { 1 } C_ { 1 , 2 }
22	20, 21	sstri 3513	. . . . . . . 8 |- dom { <. 1 , B >. } C_ { 1 , 2 }
23		relssres 5311	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel { <. 1 , B >. } /\ dom { <. 1 , B >. } C_ { 1 , 2 } ) -> ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. } )
24	19, 22, 23	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. } )
25	13, 24	syl5eq 2520	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( (/) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) ) = { <. 1 , B >. } )
26	10, 25	syl5eq 2520	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) ) = { <. 1 , B >. } )
27	4, 26	syl5eq 2520	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. } )
28		df-pr 4030	. . . . . . 7 |- { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } = ( { <. 2 , C >. } u. { <. 3 , A >. } )
29	28	reseq1i 5269	. . . . . 6 |- ( { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 2 , C >. } u. { <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } )
30		resundir 5288	. . . . . 6 |- ( ( { <. 2 , C >. } u. { <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) )
31	29, 30	eqtri 2496	. . . . 5 |- ( { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) )
32		1lt3 10704	. . . . . . . . . 10 |- 1 < 3
33	14, 32	gtneii 9696	. . . . . . . . 9 |- 3 =/= 1
34		2re 10605	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
35		2lt3 10703	. . . . . . . . . 10 |- 2 < 3
36	34, 35	gtneii 9696	. . . . . . . . 9 |- 3 =/= 2
37	33, 36	nelpri 4048	. . . . . . . 8 |- -. 3 e. { 1 , 2 }
38		ressnop0 6068	. . . . . . . 8 |- ( -. 3 e. { 1 , 2 } -> ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = (/) )
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = (/)
40	39	uneq2i 3655	. . . . . 6 |- ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) ) = ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. (/) )
41		un0 3810	. . . . . . 7 |- ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. (/) ) = ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } )
42		2z 10896	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
43		funsng 5634	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. ZZ /\ C e. W ) -> Fun { <. 2 , C >. } )
44	42, 43	mpan 670	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. W -> Fun { <. 2 , C >. } )
45		funrel 5605	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun { <. 2 , C >. } -> Rel { <. 2 , C >. } )
46	44, 45	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( C e. W -> Rel { <. 2 , C >. } )
47	46	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> Rel { <. 2 , C >. } )
48		dmsnopss 5480	. . . . . . . . 9 |- dom { <. 2 , C >. } C_ { 2 }
49		snsspr2 4177	. . . . . . . . 9 |- { 2 } C_ { 1 , 2 }
50	48, 49	sstri 3513	. . . . . . . 8 |- dom { <. 2 , C >. } C_ { 1 , 2 }
51		relssres 5311	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel { <. 2 , C >. } /\ dom { <. 2 , C >. } C_ { 1 , 2 } ) -> ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 2 , C >. } )
52	47, 50, 51	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 2 , C >. } )
53	41, 52	syl5eq 2520	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. (/) ) = { <. 2 , C >. } )
54	40, 53	syl5eq 2520	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) ) = { <. 2 , C >. } )
55	31, 54	syl5eq 2520	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 2 , C >. } )
56	27, 55	uneq12d 3659	. . 3 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) ) = ( { <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. } ) )
57		resundir 5288	. . 3 |- ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) )
58		df-pr 4030	. . 3 |- { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } = ( { <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. } )
59	56, 57, 58	3eqtr4g 2533	. 2 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } )
60		constr3cycl.p	. . 3 |- P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } )
61		id 22	. . . . 5 |- ( P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) -> P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) )
62		constr3cycl.f	. . . . . . . . 9 |- F = { <. 0 , ( `' E ` { A , B } ) >. , <. 1 , ( `' E ` { B , C } ) >. , <. 2 , ( `' E ` { C , A } ) >. }
63	62, 60	constr3lem2 24350	. . . . . . . 8 |- ( # ` F ) = 3
64	63	oveq2i 6295	. . . . . . 7 |- ( 1..^ ( # ` F ) ) = ( 1..^ 3 )
65		3z 10897	. . . . . . . 8 |- 3 e. ZZ
66		fzoval 11798	. . . . . . . 8 |- ( 3 e. ZZ -> ( 1..^ 3 ) = ( 1 ... ( 3 - 1 ) ) )
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( 1..^ 3 ) = ( 1 ... ( 3 - 1 ) )
68		3m1e2 10652	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 - 1 ) = 2
69		df-2 10594	. . . . . . . . . 10 |- 2 = ( 1 + 1 )
70	68, 69	eqtri 2496	. . . . . . . . 9 |- ( 3 - 1 ) = ( 1 + 1 )
71	70	oveq2i 6295	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... ( 3 - 1 ) ) = ( 1 ... ( 1 + 1 ) )
72		1z 10894	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
73		fzpr 11735	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) = { 1 , ( 1 + 1 ) } )
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) = { 1 , ( 1 + 1 ) }
75		1p1e2 10649	. . . . . . . . 9 |- ( 1 + 1 ) = 2
76	75	preq2i 4110	. . . . . . . 8 |- { 1 , ( 1 + 1 ) } = { 1 , 2 }
77	71, 74, 76	3eqtri 2500	. . . . . . 7 |- ( 1 ... ( 3 - 1 ) ) = { 1 , 2 }
78	64, 67, 77	3eqtri 2500	. . . . . 6 |- ( 1..^ ( # ` F ) ) = { 1 , 2 }
79	78	a1i 11	. . . . 5 |- ( P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) -> ( 1..^ ( # ` F ) ) = { 1 , 2 } )
80	61, 79	reseq12d 5274	. . . 4 |- ( P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) -> ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) )
81	80	eqeq1d 2469	. . 3 |- ( P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) -> ( ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } <-> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } ) )
82	60, 81	ax-mp 5	. 2 |- ( ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } <-> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } )
83	59, 82	sylibr 212	1 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   u. cun 3474   C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   {cpr 4029   {ctp 4031   <.cop 4033   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   |` cres 5001   Rel wrel 5004   Fun wfun 5582   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493   + caddc 9495   - cmin 9805   2c2 10585   3c3 10586   ZZcz 10864   ...cfz 11672  ..^cfzo 11792   #chash 12373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-hash 12374

This theorem is referenced by:  constr3pthlem2  24360