Theorem constr3pthlem1 24633

Description: Lemma for constr3pth 24638. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
constr3cycl.f	|- F = { <. 0 , ( `' E ` { A , B } ) >. , <. 1 , ( `' E ` { B , C } ) >. , <. 2 , ( `' E ` { C , A } ) >. }
constr3cycl.p	|- P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } )

Assertion

Ref	Expression
constr3pthlem1	|- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } )

Proof of Theorem constr3pthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4017	. . . . . . 7 |- { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } = ( { <. 0 , A >. } u. { <. 1 , B >. } )
2	1	reseq1i 5259	. . . . . 6 |- ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 0 , A >. } u. { <. 1 , B >. } ) |` { 1 , 2 } )
3		resundir 5278	. . . . . 6 |- ( ( { <. 0 , A >. } u. { <. 1 , B >. } ) |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) )
4	2, 3	eqtri 2472	. . . . 5 |- ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) )
5		0ne1 10610	. . . . . . . . 9 |- 0 =/= 1
6		0ne2 10754	. . . . . . . . 9 |- 0 =/= 2
7	5, 6	nelpri 4035	. . . . . . . 8 |- -. 0 e. { 1 , 2 }
8		ressnop0 6063	. . . . . . . 8 |- ( -. 0 e. { 1 , 2 } -> ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = (/) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = (/)
10	9	uneq1i 3639	. . . . . 6 |- ( ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) ) = ( (/) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) )
11		uncom 3633	. . . . . . . 8 |- ( (/) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) ) = ( ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) u. (/) )
12		un0 3796	. . . . . . . 8 |- ( ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) u. (/) ) = ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } )
13	11, 12	eqtri 2472	. . . . . . 7 |- ( (/) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) ) = ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } )
14		1re 9598	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
15	14	jctl 541	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. V -> ( 1 e. RR /\ B e. V ) )
16	15	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( 1 e. RR /\ B e. V ) )
17		funsng 5624	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. RR /\ B e. V ) -> Fun { <. 1 , B >. } )
18		funrel 5595	. . . . . . . . 9 |- ( Fun { <. 1 , B >. } -> Rel { <. 1 , B >. } )
19	16, 17, 18	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> Rel { <. 1 , B >. } )
20		dmsnopss 5470	. . . . . . . . 9 |- dom { <. 1 , B >. } C_ { 1 }
21		snsspr1 4164	. . . . . . . . 9 |- { 1 } C_ { 1 , 2 }
22	20, 21	sstri 3498	. . . . . . . 8 |- dom { <. 1 , B >. } C_ { 1 , 2 }
23		relssres 5301	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel { <. 1 , B >. } /\ dom { <. 1 , B >. } C_ { 1 , 2 } ) -> ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. } )
24	19, 22, 23	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. } )
25	13, 24	syl5eq 2496	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( (/) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) ) = { <. 1 , B >. } )
26	10, 25	syl5eq 2496	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) ) = { <. 1 , B >. } )
27	4, 26	syl5eq 2496	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. } )
28		df-pr 4017	. . . . . . 7 |- { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } = ( { <. 2 , C >. } u. { <. 3 , A >. } )
29	28	reseq1i 5259	. . . . . 6 |- ( { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 2 , C >. } u. { <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } )
30		resundir 5278	. . . . . 6 |- ( ( { <. 2 , C >. } u. { <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) )
31	29, 30	eqtri 2472	. . . . 5 |- ( { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) )
32		1lt3 10711	. . . . . . . . . 10 |- 1 < 3
33	14, 32	gtneii 9699	. . . . . . . . 9 |- 3 =/= 1
34		2re 10612	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
35		2lt3 10710	. . . . . . . . . 10 |- 2 < 3
36	34, 35	gtneii 9699	. . . . . . . . 9 |- 3 =/= 2
37	33, 36	nelpri 4035	. . . . . . . 8 |- -. 3 e. { 1 , 2 }
38		ressnop0 6063	. . . . . . . 8 |- ( -. 3 e. { 1 , 2 } -> ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = (/) )
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = (/)
40	39	uneq2i 3640	. . . . . 6 |- ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) ) = ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. (/) )
41		un0 3796	. . . . . . 7 |- ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. (/) ) = ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } )
42		2z 10903	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
43		funsng 5624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. ZZ /\ C e. W ) -> Fun { <. 2 , C >. } )
44	42, 43	mpan 670	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. W -> Fun { <. 2 , C >. } )
45		funrel 5595	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun { <. 2 , C >. } -> Rel { <. 2 , C >. } )
46	44, 45	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( C e. W -> Rel { <. 2 , C >. } )
47	46	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> Rel { <. 2 , C >. } )
48		dmsnopss 5470	. . . . . . . . 9 |- dom { <. 2 , C >. } C_ { 2 }
49		snsspr2 4165	. . . . . . . . 9 |- { 2 } C_ { 1 , 2 }
50	48, 49	sstri 3498	. . . . . . . 8 |- dom { <. 2 , C >. } C_ { 1 , 2 }
51		relssres 5301	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel { <. 2 , C >. } /\ dom { <. 2 , C >. } C_ { 1 , 2 } ) -> ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 2 , C >. } )
52	47, 50, 51	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 2 , C >. } )
53	41, 52	syl5eq 2496	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. (/) ) = { <. 2 , C >. } )
54	40, 53	syl5eq 2496	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) ) = { <. 2 , C >. } )
55	31, 54	syl5eq 2496	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 2 , C >. } )
56	27, 55	uneq12d 3644	. . 3 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) ) = ( { <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. } ) )
57		resundir 5278	. . 3 |- ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) )
58		df-pr 4017	. . 3 |- { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } = ( { <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. } )
59	56, 57, 58	3eqtr4g 2509	. 2 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } )
60		constr3cycl.p	. . 3 |- P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } )
61		id 22	. . . . 5 |- ( P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) -> P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) )
62		constr3cycl.f	. . . . . . . . 9 |- F = { <. 0 , ( `' E ` { A , B } ) >. , <. 1 , ( `' E ` { B , C } ) >. , <. 2 , ( `' E ` { C , A } ) >. }
63	62, 60	constr3lem2 24624	. . . . . . . 8 |- ( # ` F ) = 3
64	63	oveq2i 6292	. . . . . . 7 |- ( 1..^ ( # ` F ) ) = ( 1..^ 3 )
65		3z 10904	. . . . . . . 8 |- 3 e. ZZ
66		fzoval 11812	. . . . . . . 8 |- ( 3 e. ZZ -> ( 1..^ 3 ) = ( 1 ... ( 3 - 1 ) ) )
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( 1..^ 3 ) = ( 1 ... ( 3 - 1 ) )
68		3m1e2 10659	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 - 1 ) = 2
69		df-2 10601	. . . . . . . . . 10 |- 2 = ( 1 + 1 )
70	68, 69	eqtri 2472	. . . . . . . . 9 |- ( 3 - 1 ) = ( 1 + 1 )
71	70	oveq2i 6292	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... ( 3 - 1 ) ) = ( 1 ... ( 1 + 1 ) )
72		1z 10901	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
73		fzpr 11746	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) = { 1 , ( 1 + 1 ) } )
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) = { 1 , ( 1 + 1 ) }
75		1p1e2 10656	. . . . . . . . 9 |- ( 1 + 1 ) = 2
76	75	preq2i 4098	. . . . . . . 8 |- { 1 , ( 1 + 1 ) } = { 1 , 2 }
77	71, 74, 76	3eqtri 2476	. . . . . . 7 |- ( 1 ... ( 3 - 1 ) ) = { 1 , 2 }
78	64, 67, 77	3eqtri 2476	. . . . . 6 |- ( 1..^ ( # ` F ) ) = { 1 , 2 }
79	78	a1i 11	. . . . 5 |- ( P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) -> ( 1..^ ( # ` F ) ) = { 1 , 2 } )
80	61, 79	reseq12d 5264	. . . 4 |- ( P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) -> ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) )
81	80	eqeq1d 2445	. . 3 |- ( P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) -> ( ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } <-> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } ) )
82	60, 81	ax-mp 5	. 2 |- ( ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } <-> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } )
83	59, 82	sylibr 212	1 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1383   e. wcel 1804   u. cun 3459   C_ wss 3461   (/)c0 3770   {csn 4014   {cpr 4016   {ctp 4018   <.cop 4020   `'ccnv 4988   dom cdm 4989   |` cres 4991   Rel wrel 4994   Fun wfun 5572   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496   + caddc 9498   - cmin 9810   2c2 10592   3c3 10593   ZZcz 10871   ...cfz 11683  ..^cfzo 11806   #chash 12387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-hash 12388

This theorem is referenced by:  constr3pthlem2  24634