Theorem constr3pthlem1 25431

Description: Lemma for constr3pth 25436. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
constr3cycl.f	|- F = { <. 0 , ( `' E ` { A , B } ) >. , <. 1 , ( `' E ` { B , C } ) >. , <. 2 , ( `' E ` { C , A } ) >. }
constr3cycl.p	|- P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } )

Assertion

Ref	Expression
constr3pthlem1	|- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } )

Proof of Theorem constr3pthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3982	. . . . . . 7 |- { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } = ( { <. 0 , A >. } u. { <. 1 , B >. } )
2	1	reseq1i 5119	. . . . . 6 |- ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 0 , A >. } u. { <. 1 , B >. } ) |` { 1 , 2 } )
3		resundir 5137	. . . . . 6 |- ( ( { <. 0 , A >. } u. { <. 1 , B >. } ) |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) )
4	2, 3	eqtri 2483	. . . . 5 |- ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) )
5		0ne1 10704	. . . . . . . . 9 |- 0 =/= 1
6		0ne2 10849	. . . . . . . . 9 |- 0 =/= 2
7	5, 6	nelpri 3999	. . . . . . . 8 |- -. 0 e. { 1 , 2 }
8		ressnop0 6094	. . . . . . . 8 |- ( -. 0 e. { 1 , 2 } -> ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = (/) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = (/)
10	9	uneq1i 3595	. . . . . 6 |- ( ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) ) = ( (/) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) )
11		uncom 3589	. . . . . . . 8 |- ( (/) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) ) = ( ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) u. (/) )
12		un0 3770	. . . . . . . 8 |- ( ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) u. (/) ) = ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } )
13	11, 12	eqtri 2483	. . . . . . 7 |- ( (/) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) ) = ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } )
14		1re 9667	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
15	14	jctl 548	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. V -> ( 1 e. RR /\ B e. V ) )
16	15	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( 1 e. RR /\ B e. V ) )
17		funsng 5646	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. RR /\ B e. V ) -> Fun { <. 1 , B >. } )
18		funrel 5617	. . . . . . . . 9 |- ( Fun { <. 1 , B >. } -> Rel { <. 1 , B >. } )
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> Rel { <. 1 , B >. } )
20		dmsnopss 5326	. . . . . . . . 9 |- dom { <. 1 , B >. } C_ { 1 }
21		snsspr1 4133	. . . . . . . . 9 |- { 1 } C_ { 1 , 2 }
22	20, 21	sstri 3452	. . . . . . . 8 |- dom { <. 1 , B >. } C_ { 1 , 2 }
23		relssres 5160	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel { <. 1 , B >. } /\ dom { <. 1 , B >. } C_ { 1 , 2 } ) -> ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. } )
24	19, 22, 23	sylancl 673	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. } )
25	13, 24	syl5eq 2507	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( (/) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) ) = { <. 1 , B >. } )
26	10, 25	syl5eq 2507	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( { <. 0 , A >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) ) = { <. 1 , B >. } )
27	4, 26	syl5eq 2507	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. } )
28		df-pr 3982	. . . . . . 7 |- { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } = ( { <. 2 , C >. } u. { <. 3 , A >. } )
29	28	reseq1i 5119	. . . . . 6 |- ( { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 2 , C >. } u. { <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } )
30		resundir 5137	. . . . . 6 |- ( ( { <. 2 , C >. } u. { <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) )
31	29, 30	eqtri 2483	. . . . 5 |- ( { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) )
32		1lt3 10806	. . . . . . . . . 10 |- 1 < 3
33	14, 32	gtneii 9771	. . . . . . . . 9 |- 3 =/= 1
34		2re 10706	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
35		2lt3 10805	. . . . . . . . . 10 |- 2 < 3
36	34, 35	gtneii 9771	. . . . . . . . 9 |- 3 =/= 2
37	33, 36	nelpri 3999	. . . . . . . 8 |- -. 3 e. { 1 , 2 }
38		ressnop0 6094	. . . . . . . 8 |- ( -. 3 e. { 1 , 2 } -> ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = (/) )
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = (/)
40	39	uneq2i 3596	. . . . . 6 |- ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) ) = ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. (/) )
41		un0 3770	. . . . . . 7 |- ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. (/) ) = ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } )
42		2z 10997	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
43		funsng 5646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. ZZ /\ C e. W ) -> Fun { <. 2 , C >. } )
44	42, 43	mpan 681	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. W -> Fun { <. 2 , C >. } )
45		funrel 5617	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun { <. 2 , C >. } -> Rel { <. 2 , C >. } )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( C e. W -> Rel { <. 2 , C >. } )
47	46	adantl 472	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> Rel { <. 2 , C >. } )
48		dmsnopss 5326	. . . . . . . . 9 |- dom { <. 2 , C >. } C_ { 2 }
49		snsspr2 4134	. . . . . . . . 9 |- { 2 } C_ { 1 , 2 }
50	48, 49	sstri 3452	. . . . . . . 8 |- dom { <. 2 , C >. } C_ { 1 , 2 }
51		relssres 5160	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel { <. 2 , C >. } /\ dom { <. 2 , C >. } C_ { 1 , 2 } ) -> ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 2 , C >. } )
52	47, 50, 51	sylancl 673	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 2 , C >. } )
53	41, 52	syl5eq 2507	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. (/) ) = { <. 2 , C >. } )
54	40, 53	syl5eq 2507	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( { <. 2 , C >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) ) = { <. 2 , C >. } )
55	31, 54	syl5eq 2507	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) = { <. 2 , C >. } )
56	27, 55	uneq12d 3600	. . 3 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) ) = ( { <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. } ) )
57		resundir 5137	. . 3 |- ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) = ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` { 1 , 2 } ) u. ( { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } |` { 1 , 2 } ) )
58		df-pr 3982	. . 3 |- { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } = ( { <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. } )
59	56, 57, 58	3eqtr4g 2520	. 2 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } )
60		constr3cycl.p	. . 3 |- P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } )
61		id 22	. . . . 5 |- ( P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) -> P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) )
62		constr3cycl.f	. . . . . . . . 9 |- F = { <. 0 , ( `' E ` { A , B } ) >. , <. 1 , ( `' E ` { B , C } ) >. , <. 2 , ( `' E ` { C , A } ) >. }
63	62, 60	constr3lem2 25422	. . . . . . . 8 |- ( # ` F ) = 3
64	63	oveq2i 6325	. . . . . . 7 |- ( 1..^ ( # ` F ) ) = ( 1..^ 3 )
65		3z 10998	. . . . . . . 8 |- 3 e. ZZ
66		fzoval 11951	. . . . . . . 8 |- ( 3 e. ZZ -> ( 1..^ 3 ) = ( 1 ... ( 3 - 1 ) ) )
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( 1..^ 3 ) = ( 1 ... ( 3 - 1 ) )
68		3m1e2 10753	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 - 1 ) = 2
69		df-2 10695	. . . . . . . . . 10 |- 2 = ( 1 + 1 )
70	68, 69	eqtri 2483	. . . . . . . . 9 |- ( 3 - 1 ) = ( 1 + 1 )
71	70	oveq2i 6325	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... ( 3 - 1 ) ) = ( 1 ... ( 1 + 1 ) )
72		1z 10995	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
73		fzpr 11879	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) = { 1 , ( 1 + 1 ) } )
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) = { 1 , ( 1 + 1 ) }
75		1p1e2 10750	. . . . . . . . 9 |- ( 1 + 1 ) = 2
76	75	preq2i 4067	. . . . . . . 8 |- { 1 , ( 1 + 1 ) } = { 1 , 2 }
77	71, 74, 76	3eqtri 2487	. . . . . . 7 |- ( 1 ... ( 3 - 1 ) ) = { 1 , 2 }
78	64, 67, 77	3eqtri 2487	. . . . . 6 |- ( 1..^ ( # ` F ) ) = { 1 , 2 }
79	78	a1i 11	. . . . 5 |- ( P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) -> ( 1..^ ( # ` F ) ) = { 1 , 2 } )
80	61, 79	reseq12d 5124	. . . 4 |- ( P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) -> ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) )
81	80	eqeq1d 2463	. . 3 |- ( P = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) -> ( ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } <-> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } ) )
82	60, 81	ax-mp 5	. 2 |- ( ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } <-> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , A >. } ) |` { 1 , 2 } ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } )
83	59, 82	sylibr 217	1 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = { <. 1 , B >. , <. 2 , C >. } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1454   e. wcel 1897   u. cun 3413   C_ wss 3415   (/)c0 3742   {csn 3979   {cpr 3981   {ctp 3983   <.cop 3985   `'ccnv 4851   dom cdm 4852   |` cres 4854   Rel wrel 4857   Fun wfun 5594   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   RRcr 9563   0cc0 9564   1c1 9565   + caddc 9567   - cmin 9885   2c2 10686   3c3 10687   ZZcz 10965   ...cfz 11812  ..^cfzo 11945   #chash 12546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-hash 12547

This theorem is referenced by:  constr3pthlem2  25432