Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3pth Structured version   Unicode version

Theorem constr3pth 25064
 Description: Construction of a path from three given edges in a graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f
constr3cycl.p
Assertion
Ref Expression
constr3pth USGrph Paths

Proof of Theorem constr3pth
StepHypRef Expression
1 usgrav 24742 . . 3 USGrph
2 constr3cycl.f . . . . 5
3 constr3cycl.p . . . . 5
42, 3constr3lem1 25049 . . . 4
5 simpr 459 . . . . . . . . . . 11 USGrph USGrph
65ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 USGrph USGrph
7 simplr 754 . . . . . . . . . 10 USGrph
8 simpr 459 . . . . . . . . . 10 USGrph
92, 3constr3trl 25063 . . . . . . . . . 10 USGrph Trails
106, 7, 8, 9syl3anc 1230 . . . . . . . . 9 USGrph Trails
11 3cycl3dv 25046 . . . . . . . . . . . . . 14 USGrph
1211ex 432 . . . . . . . . . . . . 13 USGrph
1312ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 USGrph
1413imp 427 . . . . . . . . . . 11 USGrph
1514simp2d 1010 . . . . . . . . . 10 USGrph
162, 3constr3pthlem2 25060 . . . . . . . . . 10 ..^
177, 15, 16syl2anc 659 . . . . . . . . 9 USGrph ..^
182, 3constr3pthlem3 25061 . . . . . . . . . 10 ..^
197, 14, 18syl2anc 659 . . . . . . . . 9 USGrph ..^
2010, 17, 193jca 1177 . . . . . . . 8 USGrph Trails ..^ ..^
2120ex 432 . . . . . . 7 USGrph Trails ..^ ..^
22 ispth 24974 . . . . . . . 8 Paths Trails ..^ ..^
2322ad2antrr 724 . . . . . . 7 USGrph Paths Trails ..^ ..^
2421, 23sylibrd 234 . . . . . 6 USGrph Paths
2524ex 432 . . . . 5 USGrph Paths
2625ex 432 . . . 4 USGrph Paths
274, 26mpan2 669 . . 3 USGrph Paths
281, 27mpcom 34 . 2 USGrph Paths
29283imp 1191 1 USGrph Paths
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598  cvv 3058   cun 3411   cin 3412  c0 3737  cpr 3973  ctp 3975  cop 3977   class class class wbr 4394  ccnv 4821   crn 4823   cres 4824  cima 4825   wfun 5562  cfv 5568  (class class class)co 6277  cc0 9521  c1 9522  c2 10625  c3 10626  ..^cfzo 11852  chash 12450   USGrph cusg 24734   Trails ctrail 24903   Paths cpath 24904 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-hash 12451  df-word 12589  df-usgra 24737  df-wlk 24912  df-trail 24913  df-pth 24914 This theorem is referenced by:  constr3cycl  25065
 Copyright terms: Public domain W3C validator