MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3lem5 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem constr3lem5 25455
Description: Lemma for constr3trl 25466 etc. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
constr3cycl.p  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
Assertion
Ref Expression
constr3lem5  |-  ( ( F `  0 )  =  ( `' E `  { A ,  B } )  /\  ( F `  1 )  =  ( `' E `  { B ,  C } )  /\  ( F `  2 )  =  ( `' E `  { C ,  A } ) )

Proof of Theorem constr3lem5
StepHypRef Expression
1 0ne1 10699 . 2  |-  0  =/=  1
2 0ne2 10844 . 2  |-  0  =/=  2
3 1ne2 10845 . 2  |-  1  =/=  2
4 constr3cycl.f . . . . 5  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
54fveq1i 5880 . . . 4  |-  ( F `
 0 )  =  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  0 )
6 c0ex 9655 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
7 fvex 5889 . . . . . 6  |-  ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
_V
86, 7fvtp1 6127 . . . . 5  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  0 )  =  ( `' E `  { A ,  B } ) )
983adant3 1050 . . . 4  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  0 )  =  ( `' E `  { A ,  B } ) )
105, 9syl5eq 2517 . . 3  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( F ` 
0 )  =  ( `' E `  { A ,  B } ) )
114fveq1i 5880 . . . 4  |-  ( F `
 1 )  =  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  1 )
12 1ex 9656 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
13 fvex 5889 . . . . . 6  |-  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
_V
1412, 13fvtp2 6128 . . . . 5  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  1  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  1 )  =  ( `' E `  { B ,  C } ) )
15143adant2 1049 . . . 4  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  1 )  =  ( `' E `  { B ,  C } ) )
1611, 15syl5eq 2517 . . 3  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( F ` 
1 )  =  ( `' E `  { B ,  C } ) )
174fveq1i 5880 . . . 4  |-  ( F `
 2 )  =  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  2 )
18 2ex 10703 . . . . . 6  |-  2  e.  _V
19 fvex 5889 . . . . . 6  |-  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
_V
2018, 19fvtp3 6129 . . . . 5  |-  ( ( 0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  2 )  =  ( `' E `  { C ,  A } ) )
21203adant1 1048 . . . 4  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  2 )  =  ( `' E `  { C ,  A } ) )
2217, 21syl5eq 2517 . . 3  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( F ` 
2 )  =  ( `' E `  { C ,  A } ) )
2310, 16, 223jca 1210 . 2  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( ( F `
 0 )  =  ( `' E `  { A ,  B }
)  /\  ( F `  1 )  =  ( `' E `  { B ,  C }
)  /\  ( F `  2 )  =  ( `' E `  { C ,  A }
) ) )
241, 2, 3, 23mp3an 1390 1  |-  ( ( F `  0 )  =  ( `' E `  { A ,  B } )  /\  ( F `  1 )  =  ( `' E `  { B ,  C } )  /\  ( F `  2 )  =  ( `' E `  { C ,  A } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 1007    = wceq 1452    =/= wne 2641    u. cun 3388   {cpr 3961   {ctp 3963   <.cop 3965   `'ccnv 4838   ` cfv 5589   0cc0 9557   1c1 9558   2c2 10681   3c3 10682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-2 10690
This theorem is referenced by:  constr3trllem2  25458  constr3trllem5  25461
  Copyright terms: Public domain W3C validator