MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3lem5 Structured version   Unicode version

Theorem constr3lem5 24324
Description: Lemma for constr3trl 24335 etc. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
constr3cycl.p  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
Assertion
Ref Expression
constr3lem5  |-  ( ( F `  0 )  =  ( `' E `  { A ,  B } )  /\  ( F `  1 )  =  ( `' E `  { B ,  C } )  /\  ( F `  2 )  =  ( `' E `  { C ,  A } ) )

Proof of Theorem constr3lem5
StepHypRef Expression
1 0ne1 10599 . 2  |-  0  =/=  1
2 0ne2 10743 . 2  |-  0  =/=  2
3 1ne2 10744 . 2  |-  1  =/=  2
4 constr3cycl.f . . . . 5  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
54fveq1i 5865 . . . 4  |-  ( F `
 0 )  =  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  0 )
6 c0ex 9586 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
7 fvex 5874 . . . . . 6  |-  ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
_V
86, 7fvtp1 6106 . . . . 5  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  0 )  =  ( `' E `  { A ,  B } ) )
983adant3 1016 . . . 4  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  0 )  =  ( `' E `  { A ,  B } ) )
105, 9syl5eq 2520 . . 3  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( F ` 
0 )  =  ( `' E `  { A ,  B } ) )
114fveq1i 5865 . . . 4  |-  ( F `
 1 )  =  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  1 )
12 1ex 9587 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
13 fvex 5874 . . . . . 6  |-  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
_V
1412, 13fvtp2 6107 . . . . 5  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  1  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  1 )  =  ( `' E `  { B ,  C } ) )
15143adant2 1015 . . . 4  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  1 )  =  ( `' E `  { B ,  C } ) )
1611, 15syl5eq 2520 . . 3  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( F ` 
1 )  =  ( `' E `  { B ,  C } ) )
174fveq1i 5865 . . . 4  |-  ( F `
 2 )  =  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  2 )
18 2ex 10603 . . . . . 6  |-  2  e.  _V
19 fvex 5874 . . . . . 6  |-  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
_V
2018, 19fvtp3 6108 . . . . 5  |-  ( ( 0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  2 )  =  ( `' E `  { C ,  A } ) )
21203adant1 1014 . . . 4  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  2 )  =  ( `' E `  { C ,  A } ) )
2217, 21syl5eq 2520 . . 3  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( F ` 
2 )  =  ( `' E `  { C ,  A } ) )
2310, 16, 223jca 1176 . 2  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( ( F `
 0 )  =  ( `' E `  { A ,  B }
)  /\  ( F `  1 )  =  ( `' E `  { B ,  C }
)  /\  ( F `  2 )  =  ( `' E `  { C ,  A }
) ) )
241, 2, 3, 23mp3an 1324 1  |-  ( ( F `  0 )  =  ( `' E `  { A ,  B } )  /\  ( F `  1 )  =  ( `' E `  { B ,  C } )  /\  ( F `  2 )  =  ( `' E `  { C ,  A } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 973    = wceq 1379    =/= wne 2662    u. cun 3474   {cpr 4029   {ctp 4031   <.cop 4033   `'ccnv 4998   ` cfv 5586   0cc0 9488   1c1 9489   2c2 10581   3c3 10582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-2 10590
This theorem is referenced by:  constr3trllem2  24327  constr3trllem5  24330
  Copyright terms: Public domain W3C validator