MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3lem5 Structured version   Unicode version

Theorem constr3lem5 23681
Description: Lemma for constr3trl 23692 etc. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
constr3cycl.p  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
Assertion
Ref Expression
constr3lem5  |-  ( ( F `  0 )  =  ( `' E `  { A ,  B } )  /\  ( F `  1 )  =  ( `' E `  { B ,  C } )  /\  ( F `  2 )  =  ( `' E `  { C ,  A } ) )

Proof of Theorem constr3lem5
StepHypRef Expression
1 0ne1 10495 . 2  |-  0  =/=  1
2 0ne2 10639 . 2  |-  0  =/=  2
3 1ne2 10640 . 2  |-  1  =/=  2
4 constr3cycl.f . . . . 5  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
54fveq1i 5795 . . . 4  |-  ( F `
 0 )  =  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  0 )
6 c0ex 9486 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
7 fvex 5804 . . . . . 6  |-  ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
_V
86, 7fvtp1 6029 . . . . 5  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  0 )  =  ( `' E `  { A ,  B } ) )
983adant3 1008 . . . 4  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  0 )  =  ( `' E `  { A ,  B } ) )
105, 9syl5eq 2505 . . 3  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( F ` 
0 )  =  ( `' E `  { A ,  B } ) )
114fveq1i 5795 . . . 4  |-  ( F `
 1 )  =  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  1 )
12 1ex 9487 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
13 fvex 5804 . . . . . 6  |-  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
_V
1412, 13fvtp2 6030 . . . . 5  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  1  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  1 )  =  ( `' E `  { B ,  C } ) )
15143adant2 1007 . . . 4  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  1 )  =  ( `' E `  { B ,  C } ) )
1611, 15syl5eq 2505 . . 3  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( F ` 
1 )  =  ( `' E `  { B ,  C } ) )
174fveq1i 5795 . . . 4  |-  ( F `
 2 )  =  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  2 )
18 2ex 10499 . . . . . 6  |-  2  e.  _V
19 fvex 5804 . . . . . 6  |-  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
_V
2018, 19fvtp3 6031 . . . . 5  |-  ( ( 0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  2 )  =  ( `' E `  { C ,  A } ) )
21203adant1 1006 . . . 4  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  2 )  =  ( `' E `  { C ,  A } ) )
2217, 21syl5eq 2505 . . 3  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( F ` 
2 )  =  ( `' E `  { C ,  A } ) )
2310, 16, 223jca 1168 . 2  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( ( F `
 0 )  =  ( `' E `  { A ,  B }
)  /\  ( F `  1 )  =  ( `' E `  { B ,  C }
)  /\  ( F `  2 )  =  ( `' E `  { C ,  A }
) ) )
241, 2, 3, 23mp3an 1315 1  |-  ( ( F `  0 )  =  ( `' E `  { A ,  B } )  /\  ( F `  1 )  =  ( `' E `  { B ,  C } )  /\  ( F `  2 )  =  ( `' E `  { C ,  A } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 965    = wceq 1370    =/= wne 2645    u. cun 3429   {cpr 3982   {ctp 3984   <.cop 3986   `'ccnv 4942   ` cfv 5521   0cc0 9388   1c1 9389   2c2 10477   3c3 10478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-2 10486
This theorem is referenced by:  constr3trllem2  23684  constr3trllem5  23687
  Copyright terms: Public domain W3C validator