MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3lem5 Structured version   Unicode version

Theorem constr3lem5 24946
Description: Lemma for constr3trl 24957 etc. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
constr3cycl.p  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
Assertion
Ref Expression
constr3lem5  |-  ( ( F `  0 )  =  ( `' E `  { A ,  B } )  /\  ( F `  1 )  =  ( `' E `  { B ,  C } )  /\  ( F `  2 )  =  ( `' E `  { C ,  A } ) )

Proof of Theorem constr3lem5
StepHypRef Expression
1 0ne1 10564 . 2  |-  0  =/=  1
2 0ne2 10708 . 2  |-  0  =/=  2
3 1ne2 10709 . 2  |-  1  =/=  2
4 constr3cycl.f . . . . 5  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
54fveq1i 5806 . . . 4  |-  ( F `
 0 )  =  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  0 )
6 c0ex 9540 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
7 fvex 5815 . . . . . 6  |-  ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
_V
86, 7fvtp1 6054 . . . . 5  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  0 )  =  ( `' E `  { A ,  B } ) )
983adant3 1017 . . . 4  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  0 )  =  ( `' E `  { A ,  B } ) )
105, 9syl5eq 2455 . . 3  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( F ` 
0 )  =  ( `' E `  { A ,  B } ) )
114fveq1i 5806 . . . 4  |-  ( F `
 1 )  =  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  1 )
12 1ex 9541 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
13 fvex 5815 . . . . . 6  |-  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
_V
1412, 13fvtp2 6055 . . . . 5  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  1  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  1 )  =  ( `' E `  { B ,  C } ) )
15143adant2 1016 . . . 4  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  1 )  =  ( `' E `  { B ,  C } ) )
1611, 15syl5eq 2455 . . 3  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( F ` 
1 )  =  ( `' E `  { B ,  C } ) )
174fveq1i 5806 . . . 4  |-  ( F `
 2 )  =  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  2 )
18 2ex 10568 . . . . . 6  |-  2  e.  _V
19 fvex 5815 . . . . . 6  |-  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
_V
2018, 19fvtp3 6056 . . . . 5  |-  ( ( 0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  2 )  =  ( `' E `  { C ,  A } ) )
21203adant1 1015 . . . 4  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } `  2 )  =  ( `' E `  { C ,  A } ) )
2217, 21syl5eq 2455 . . 3  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( F ` 
2 )  =  ( `' E `  { C ,  A } ) )
2310, 16, 223jca 1177 . 2  |-  ( ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )  ->  ( ( F `
 0 )  =  ( `' E `  { A ,  B }
)  /\  ( F `  1 )  =  ( `' E `  { B ,  C }
)  /\  ( F `  2 )  =  ( `' E `  { C ,  A }
) ) )
241, 2, 3, 23mp3an 1326 1  |-  ( ( F `  0 )  =  ( `' E `  { A ,  B } )  /\  ( F `  1 )  =  ( `' E `  { B ,  C } )  /\  ( F `  2 )  =  ( `' E `  { C ,  A } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 974    = wceq 1405    =/= wne 2598    u. cun 3411   {cpr 3973   {ctp 3975   <.cop 3977   `'ccnv 4941   ` cfv 5525   0cc0 9442   1c1 9443   2c2 10546   3c3 10547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-2 10555
This theorem is referenced by:  constr3trllem2  24949  constr3trllem5  24952
  Copyright terms: Public domain W3C validator