MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3lem1 Structured version   Unicode version

Theorem constr3lem1 24944
Description: Lemma for constr3trl 24958 etc. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
constr3cycl.p  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
Assertion
Ref Expression
constr3lem1  |-  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )

Proof of Theorem constr3lem1
StepHypRef Expression
1 constr3cycl.f . . 3  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
2 tpex 6535 . . 3  |-  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }  e.  _V
31, 2eqeltri 2484 . 2  |-  F  e. 
_V
4 constr3cycl.p . . 3  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
5 prex 4630 . . . 4  |-  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  e.  _V
6 prex 4630 . . . 4  |-  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. }  e.  _V
75, 6unex 6534 . . 3  |-  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  e.  _V
84, 7eqeltri 2484 . 2  |-  P  e. 
_V
93, 8pm3.2i 453 1  |-  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840   _Vcvv 3056    u. cun 3409   {cpr 3971   {ctp 3973   <.cop 3975   `'ccnv 4939   ` cfv 5523   0cc0 9440   1c1 9441   2c2 10544   3c3 10545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pr 4627  ax-un 6528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-rex 2757  df-v 3058  df-dif 3414  df-un 3416  df-nul 3736  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-uni 4189
This theorem is referenced by:  constr3trl  24958  constr3pth  24959  constr3cycl  24960
  Copyright terms: Public domain W3C validator