MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3lem1 Structured version   Unicode version

Theorem constr3lem1 23710
Description: Lemma for constr3trl 23724 etc. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
constr3cycl.p  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
Assertion
Ref Expression
constr3lem1  |-  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )

Proof of Theorem constr3lem1
StepHypRef Expression
1 constr3cycl.f . . 3  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
2 tpex 6492 . . 3  |-  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }  e.  _V
31, 2eqeltri 2538 . 2  |-  F  e. 
_V
4 constr3cycl.p . . 3  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
5 prex 4645 . . . 4  |-  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  e.  _V
6 prex 4645 . . . 4  |-  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. }  e.  _V
75, 6unex 6491 . . 3  |-  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  e.  _V
84, 7eqeltri 2538 . 2  |-  P  e. 
_V
93, 8pm3.2i 455 1  |-  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    u. cun 3437   {cpr 3990   {ctp 3992   <.cop 3994   `'ccnv 4950   ` cfv 5529   0cc0 9397   1c1 9398   2c2 10486   3c3 10487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-rex 2805  df-v 3080  df-dif 3442  df-un 3444  df-nul 3749  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-uni 4203
This theorem is referenced by:  constr3trl  23724  constr3pth  23725  constr3cycl  23726
  Copyright terms: Public domain W3C validator