MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3cycllem1 Structured version   Unicode version

Theorem constr3cycllem1 24784
Description: Lemma for constr3cycl 24787. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
constr3cycl.p  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
Assertion
Ref Expression
constr3cycllem1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) )

Proof of Theorem constr3cycllem1
StepHypRef Expression
1 constr3cycl.f . . . 4  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
2 constr3cycl.p . . . 4  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
31, 2constr3lem4 24773 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( ( ( P `
 0 )  =  A  /\  ( P `
 1 )  =  B )  /\  (
( P `  2
)  =  C  /\  ( P `  3 )  =  A ) ) )
4 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  A  /\  ( P ` 
1 )  =  B )  /\  ( ( P `  2 )  =  C  /\  ( P `  3 )  =  A ) )  -> 
( P `  0
)  =  A )
5 simprr 757 . . . 4  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  A  /\  ( P ` 
1 )  =  B )  /\  ( ( P `  2 )  =  C  /\  ( P `  3 )  =  A ) )  -> 
( P `  3
)  =  A )
64, 5eqtr4d 2501 . . 3  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  A  /\  ( P ` 
1 )  =  B )  /\  ( ( P `  2 )  =  C  /\  ( P `  3 )  =  A ) )  -> 
( P `  0
)  =  ( P `
 3 ) )
73, 6syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P `  0
)  =  ( P `
 3 ) )
81, 2constr3lem2 24772 . . 3  |-  ( # `  F )  =  3
98fveq2i 5875 . 2  |-  ( P `
 ( # `  F
) )  =  ( P `  3 )
107, 9syl6eqr 2516 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    u. cun 3469   {cpr 4034   {ctp 4036   <.cop 4038   `'ccnv 5007   ` cfv 5594   0cc0 9509   1c1 9510   2c2 10606   3c3 10607   #chash 12407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-hash 12408
This theorem is referenced by:  constr3cycl  24787
  Copyright terms: Public domain W3C validator