MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr1trl Structured version   Unicode version

Theorem constr1trl 24717
Description: Construction of a trail from one given edge in a graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1trl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  i
>. }
1trl.p  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }
Assertion
Ref Expression
constr1trl  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  F
( V Trails  E ) P )

Proof of Theorem constr1trl
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1trl.f . . 3  |-  F  =  { <. 0 ,  i
>. }
2 c0ex 9607 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
3 vex 3112 . . . . . . 7  |-  i  e. 
_V
42, 3f1osn 5859 . . . . . 6  |-  { <. 0 ,  i >. } : { 0 } -1-1-onto-> { i }
5 f1of1 5821 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-onto-> { i }  ->  {
<. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i } )
6 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  (
# `  F )  =  ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) )
7 opex 4720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  <. 0 ,  i >.  e.  _V
8 hashsng 12441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
0 ,  i >.  e.  _V  ->  ( # `  { <. 0 ,  i >. } )  =  1 )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } )  =  1
106, 9syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  (
# `  F )  =  1 )
111, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( # `  F )  =  1
1211oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 1 )
13 fzo01 11900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0..^ 1 )  =  {
0 }
1412, 13eqtri 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  {
0 }
1514eqcomi 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 }  =  ( 0..^ ( # `  F
) )
16 f1eq2 5783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { 0 }  =  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  <->  { <. 0 ,  i >. } :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> {
i } ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  <->  { <. 0 ,  i >. } :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> {
i } )
1817biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  ->  {
<. 0 ,  i
>. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> { i } )
1918adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  { <. 0 ,  i >. } :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> {
i } )
20 prid1g 4138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  { A ,  B } )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  A  e.  { A ,  B } )
22213ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  A  e.  { A ,  B } )
2322adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  A  e.  { A ,  B }
)
24 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E `  i )  =  { A ,  B }  ->  ( A  e.  ( E `  i )  <->  A  e.  { A ,  B }
) )
25243ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( A  e.  ( E `  i )  <->  A  e.  { A ,  B }
) )
2625adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  ( A  e.  ( E `  i
)  <->  A  e.  { A ,  B } ) )
2723, 26mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  A  e.  ( E `  i ) )
28 elfvdm 5898 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( E `  i )  ->  i  e.  dom  E )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  i  e.  dom  E )
3029snssd 4177 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  { i } 
C_  dom  E )
31 f1ss 5792 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> { i }  /\  { i }  C_  dom  E )  ->  { <. 0 ,  i >. } :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
3219, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  { <. 0 ,  i >. } :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
3332ex 434 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  ->  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } )  ->  { <. 0 ,  i
>. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
) )
344, 5, 33mp2b 10 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  { <. 0 ,  i >. } : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E )
3534adantl 466 . . . 4  |-  ( ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  { <. 0 ,  i >. } :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
36 f1eq1 5782 . . . . 5  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  <->  {
<. 0 ,  i
>. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
) )
3736adantr 465 . . . 4  |-  ( ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  <->  { <. 0 ,  i
>. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
) )
3835, 37mpbird 232 . . 3  |-  ( ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
)
391, 38mpan 670 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E )
40 1trl.p . . . 4  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }
41 0z 10896 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
42 1z 10915 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
4341, 42pm3.2i 455 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )
44 0ne1 10624 . . . . . . . 8  |-  0  =/=  1
45 fprg 6081 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } : { 0 ,  1 } --> { A ,  B } )
46 0p1e1 10668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  1 )  =  1
4746eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  =  ( 0  +  1 )
4847oveq2i 6307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... 1 )  =  ( 0 ... (
0  +  1 ) )
49 fzpr 11761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) } )
5041, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
5146preq2i 4115 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  =  { 0 ,  1 }
5248, 50, 513eqtri 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... 1 )  =  { 0 ,  1 }
5352feq2i 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A ,  B }  <->  {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : { 0 ,  1 } --> { A ,  B } )
5445, 53sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A ,  B }
)
5543, 44, 54mp3an13 1315 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A ,  B }
)
56 prssi 4188 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  { A ,  B }  C_  V )
5755, 56fssd 5746 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V )
5857adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( P  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V ) )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V )
59 id 22 . . . . . . 7  |-  ( P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  ->  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } )
6011oveq2i 6307 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... 1 )
6160a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  ->  (
0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... 1 ) )
6259, 61feq12d 5726 . . . . . 6  |-  ( P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V ) )
6362adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( P  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V ) )  -> 
( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  <->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V ) )
6458, 63mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( P  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V ) )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
6540, 64mpan 670 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
66653ad2ant2 1018 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
67 id 22 . . . . . 6  |-  ( ( E `  i )  =  { A ,  B }  ->  ( E `
 i )  =  { A ,  B } )
68673ad2ant3 1019 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( E `  i )  =  { A ,  B } )
69 fveq1 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( F `  0 )  =  ( { <. 0 ,  i >. } `
 0 ) )
702, 3fvsn 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 0 ,  i
>. } `  0 )  =  i
7169, 70syl6eq 2514 . . . . . . . 8  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( F `  0 )  =  i )
721, 71ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( F `
 0 )  =  i
7372a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( F `  0 )  =  i )
7473fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( E `  ( F `  0 ) )  =  ( E `  i ) )
75 fveq1 5871 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  ->  ( P `  0 )  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } `  0 ) )
76 fvpr1g 6117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  A  e.  V  /\  0  =/=  1 )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0
)  =  A )
772, 44, 76mp3an13 1315 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 )  =  A )
7875, 77sylan9eq 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  /\  A  e.  V )  ->  ( P `  0 )  =  A )
7940, 78mpan 670 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( P `  0 )  =  A )
8079adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( P `  0
)  =  A )
81803ad2ant2 1018 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( P `  0 )  =  A )
82 fveq1 5871 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  ->  ( P `  1 )  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } `  1 ) )
83 1ex 9608 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  _V
84 fvpr2g 6118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  B  e.  V  /\  0  =/=  1 )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
8583, 44, 84mp3an13 1315 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  V  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1 )  =  B )
8682, 85sylan9eq 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  /\  B  e.  V )  ->  ( P `  1 )  =  B )
8740, 86mpan 670 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  V  ->  ( P `  1 )  =  B )
8887adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( P `  1
)  =  B )
89883ad2ant2 1018 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( P `  1 )  =  B )
9081, 89preq12d 4119 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =  { A ,  B }
)
9168, 74, 903eqtr4d 2508 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } )
92 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
9392fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  0 )
) )
94 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
0 ) )
95 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
9695, 46syl6eq 2514 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  1 )
9796fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
1 ) )
9894, 97preq12d 4119 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
9993, 98eqeq12d 2479 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
1002, 99ralsn 4071 . . . 4  |-  ( A. k  e.  { 0 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } )
10191, 100sylibr 212 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  A. k  e.  { 0 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )
10214a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  {
0 } )
103102raleqdv 3060 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  {
0 }  ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )
104101, 103mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )
105 snex 4697 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  i >. }  e.  _V
1061, 105eqeltri 2541 . . . 4  |-  F  e. 
_V
107 prex 4698 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  e.  _V
10840, 107eqeltri 2541 . . . 4  |-  P  e. 
_V
109 istrl2 24667 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e. 
_V ) )  -> 
( F ( V Trails  E ) P  <->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
110106, 108, 109mpanr12 685 . . 3  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( F ( V Trails  E ) P  <->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
1111103ad2ant1 1017 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( F ( V Trails  E
) P  <->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
11239, 66, 104, 111mpbir3and 1179 1  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  F
( V Trails  E ) P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   {csn 4032   {cpr 4034   <.cop 4038   class class class wbr 4456   dom cdm 5008   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512   ZZcz 10885   ...cfz 11697  ..^cfzo 11821   #chash 12408   Trails ctrail 24626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-hash 12409  df-word 12546  df-wlk 24635  df-trail 24636
This theorem is referenced by:  1pthon  24720
  Copyright terms: Public domain W3C validator