MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr1trl Structured version   Unicode version

Theorem constr1trl 23640
Description: Construction of a trail from one given edge in a graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1trl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  i
>. }
1trl.p  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }
Assertion
Ref Expression
constr1trl  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  F
( V Trails  E ) P )

Proof of Theorem constr1trl
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1trl.f . . 3  |-  F  =  { <. 0 ,  i
>. }
2 c0ex 9492 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
3 vex 3081 . . . . . . 7  |-  i  e. 
_V
42, 3f1osn 5787 . . . . . 6  |-  { <. 0 ,  i >. } : { 0 } -1-1-onto-> { i }
5 f1of1 5749 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-onto-> { i }  ->  {
<. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i } )
6 fveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  (
# `  F )  =  ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) )
7 opex 4665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  <. 0 ,  i >.  e.  _V
8 hashsng 12254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
0 ,  i >.  e.  _V  ->  ( # `  { <. 0 ,  i >. } )  =  1 )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } )  =  1
106, 9syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  (
# `  F )  =  1 )
111, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( # `  F )  =  1
1211oveq2i 6212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 1 )
13 fzo01 11730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0..^ 1 )  =  {
0 }
1412, 13eqtri 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  {
0 }
1514eqcomi 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 }  =  ( 0..^ ( # `  F
) )
16 f1eq2 5711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { 0 }  =  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  <->  { <. 0 ,  i >. } :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> {
i } ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  <->  { <. 0 ,  i >. } :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> {
i } )
1817biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  ->  {
<. 0 ,  i
>. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> { i } )
1918adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  { <. 0 ,  i >. } :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> {
i } )
20 prid1g 4090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  { A ,  B } )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  A  e.  { A ,  B } )
22213ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  A  e.  { A ,  B } )
2322adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  A  e.  { A ,  B }
)
24 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E `  i )  =  { A ,  B }  ->  ( A  e.  ( E `  i )  <->  A  e.  { A ,  B }
) )
25243ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( A  e.  ( E `  i )  <->  A  e.  { A ,  B }
) )
2625adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  ( A  e.  ( E `  i
)  <->  A  e.  { A ,  B } ) )
2723, 26mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  A  e.  ( E `  i ) )
28 elfvdm 5826 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( E `  i )  ->  i  e.  dom  E )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  i  e.  dom  E )
3029snssd 4127 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  { i } 
C_  dom  E )
31 f1ss 5720 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> { i }  /\  { i }  C_  dom  E )  ->  { <. 0 ,  i >. } :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
3219, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  { <. 0 ,  i >. } :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
3332ex 434 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  ->  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } )  ->  { <. 0 ,  i
>. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
) )
344, 5, 33mp2b 10 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  { <. 0 ,  i >. } : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E )
3534adantl 466 . . . 4  |-  ( ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  { <. 0 ,  i >. } :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
36 f1eq1 5710 . . . . 5  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  <->  {
<. 0 ,  i
>. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
) )
3736adantr 465 . . . 4  |-  ( ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  <->  { <. 0 ,  i
>. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
) )
3835, 37mpbird 232 . . 3  |-  ( ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
)
391, 38mpan 670 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E )
40 1trl.p . . . 4  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }
41 0z 10769 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
42 1z 10788 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
4341, 42pm3.2i 455 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )
44 0ne1 10501 . . . . . . . 8  |-  0  =/=  1
45 fprg 6001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } : { 0 ,  1 } --> { A ,  B } )
46 0p1e1 10545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  1 )  =  1
4746eqcomi 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  =  ( 0  +  1 )
4847oveq2i 6212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... 1 )  =  ( 0 ... (
0  +  1 ) )
49 fzpr 11629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) } )
5041, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
5146preq2i 4067 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  =  { 0 ,  1 }
5248, 50, 513eqtri 2487 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... 1 )  =  { 0 ,  1 }
5352feq2i 5661 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A ,  B }  <->  {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : { 0 ,  1 } --> { A ,  B } )
5445, 53sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A ,  B }
)
5543, 44, 54mp3an13 1306 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A ,  B }
)
56 prssi 4138 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  { A ,  B }  C_  V )
57 fss 5676 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A ,  B }  /\  { A ,  B }  C_  V )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V )
5855, 56, 57syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V )
5958adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( P  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V ) )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V )
60 id 22 . . . . . . 7  |-  ( P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  ->  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } )
6111oveq2i 6212 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... 1 )
6261a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  ->  (
0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... 1 ) )
6360, 62feq12d 5657 . . . . . 6  |-  ( P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V ) )
6463adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( P  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V ) )  -> 
( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  <->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V ) )
6559, 64mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( P  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V ) )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
6640, 65mpan 670 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
67663ad2ant2 1010 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
68 id 22 . . . . . 6  |-  ( ( E `  i )  =  { A ,  B }  ->  ( E `
 i )  =  { A ,  B } )
69683ad2ant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( E `  i )  =  { A ,  B } )
70 fveq1 5799 . . . . . . . . 9  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( F `  0 )  =  ( { <. 0 ,  i >. } `
 0 ) )
712, 3fvsn 6021 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 0 ,  i
>. } `  0 )  =  i
7270, 71syl6eq 2511 . . . . . . . 8  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( F `  0 )  =  i )
731, 72ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( F `
 0 )  =  i
7473a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( F `  0 )  =  i )
7574fveq2d 5804 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( E `  ( F `  0 ) )  =  ( E `  i ) )
76 fveq1 5799 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  ->  ( P `  0 )  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } `  0 ) )
77 fvpr1g 6033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  A  e.  V  /\  0  =/=  1 )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0
)  =  A )
782, 44, 77mp3an13 1306 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 )  =  A )
7976, 78sylan9eq 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  /\  A  e.  V )  ->  ( P `  0 )  =  A )
8040, 79mpan 670 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( P `  0 )  =  A )
8180adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( P `  0
)  =  A )
82813ad2ant2 1010 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( P `  0 )  =  A )
83 fveq1 5799 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  ->  ( P `  1 )  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } `  1 ) )
84 1ex 9493 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  _V
85 fvpr2g 6034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  B  e.  V  /\  0  =/=  1 )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
8684, 44, 85mp3an13 1306 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  V  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1 )  =  B )
8783, 86sylan9eq 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  /\  B  e.  V )  ->  ( P `  1 )  =  B )
8840, 87mpan 670 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  V  ->  ( P `  1 )  =  B )
8988adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( P `  1
)  =  B )
90893ad2ant2 1010 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( P `  1 )  =  B )
9182, 90preq12d 4071 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =  { A ,  B }
)
9269, 75, 913eqtr4d 2505 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } )
93 fveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
9493fveq2d 5804 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  0 )
) )
95 fveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
0 ) )
96 oveq1 6208 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
9796, 46syl6eq 2511 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  1 )
9897fveq2d 5804 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
1 ) )
9995, 98preq12d 4071 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
10094, 99eqeq12d 2476 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
1012, 100ralsn 4024 . . . 4  |-  ( A. k  e.  { 0 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } )
10292, 101sylibr 212 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  A. k  e.  { 0 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )
10314a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  {
0 } )
104103raleqdv 3029 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  {
0 }  ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )
105102, 104mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )
106 snex 4642 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  i >. }  e.  _V
1071, 106eqeltri 2538 . . . 4  |-  F  e. 
_V
108 prex 4643 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  e.  _V
10940, 108eqeltri 2538 . . . 4  |-  P  e. 
_V
110 istrl2 23590 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e. 
_V ) )  -> 
( F ( V Trails  E ) P  <->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
111107, 109, 110mpanr12 685 . . 3  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( F ( V Trails  E ) P  <->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
1121113ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( F ( V Trails  E
) P  <->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
11339, 67, 105, 112mpbir3and 1171 1  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  F
( V Trails  E ) P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   _Vcvv 3078    C_ wss 3437   {csn 3986   {cpr 3988   <.cop 3992   class class class wbr 4401   dom cdm 4949   -->wf 5523   -1-1->wf1 5524   -1-1-onto->wf1o 5526   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   0cc0 9394   1c1 9395    + caddc 9397   ZZcz 10758   ...cfz 11555  ..^cfzo 11666   #chash 12221   Trails ctrail 23559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-pm 7328  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-hash 12222  df-word 12348  df-wlk 23568  df-trail 23569
This theorem is referenced by:  1pthon  23643
  Copyright terms: Public domain W3C validator