MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr1trl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem constr1trl 25311
Description: Construction of a trail from one given edge in a graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1trl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  i
>. }
1trl.p  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }
Assertion
Ref Expression
constr1trl  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  F
( V Trails  E ) P )

Proof of Theorem constr1trl
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1trl.f . . 3  |-  F  =  { <. 0 ,  i
>. }
2 c0ex 9634 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
3 vex 3047 . . . . . . 7  |-  i  e. 
_V
42, 3f1osn 5850 . . . . . 6  |-  { <. 0 ,  i >. } : { 0 } -1-1-onto-> { i }
5 f1of1 5811 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-onto-> { i }  ->  {
<. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i } )
6 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  (
# `  F )  =  ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) )
7 opex 4663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  <. 0 ,  i >.  e.  _V
8 hashsng 12546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
0 ,  i >.  e.  _V  ->  ( # `  { <. 0 ,  i >. } )  =  1 )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } )  =  1
106, 9syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  (
# `  F )  =  1 )
111, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( # `  F )  =  1
1211oveq2i 6299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 1 )
13 fzo01 11992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0..^ 1 )  =  {
0 }
1412, 13eqtri 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  {
0 }
1514eqcomi 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 }  =  ( 0..^ ( # `  F
) )
16 f1eq2 5773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { 0 }  =  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  <->  { <. 0 ,  i >. } :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> {
i } ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  <->  { <. 0 ,  i >. } :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> {
i } )
1817biimpi 198 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  ->  {
<. 0 ,  i
>. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> { i } )
1918adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  { <. 0 ,  i >. } :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> {
i } )
20 prid1g 4077 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  { A ,  B } )
2120adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  A  e.  { A ,  B } )
22213ad2ant2 1029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  A  e.  { A ,  B } )
2322adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  A  e.  { A ,  B }
)
24 eleq2 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E `  i )  =  { A ,  B }  ->  ( A  e.  ( E `  i )  <->  A  e.  { A ,  B }
) )
25243ad2ant3 1030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( A  e.  ( E `  i )  <->  A  e.  { A ,  B }
) )
2625adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  ( A  e.  ( E `  i
)  <->  A  e.  { A ,  B } ) )
2723, 26mpbird 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  A  e.  ( E `  i ) )
28 elfvdm 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( E `  i )  ->  i  e.  dom  E )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  i  e.  dom  E )
3029snssd 4116 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  { i } 
C_  dom  E )
31 f1ss 5782 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> { i }  /\  { i }  C_  dom  E )  ->  { <. 0 ,  i >. } :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
3219, 30, 31syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  { <. 0 ,  i >. } :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
3332ex 436 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  ->  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } )  ->  { <. 0 ,  i
>. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
) )
344, 5, 33mp2b 10 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  { <. 0 ,  i >. } : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E )
3534adantl 468 . . . 4  |-  ( ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  { <. 0 ,  i >. } :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
36 f1eq1 5772 . . . . 5  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  <->  {
<. 0 ,  i
>. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
) )
3736adantr 467 . . . 4  |-  ( ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  <->  { <. 0 ,  i
>. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
) )
3835, 37mpbird 236 . . 3  |-  ( ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
)
391, 38mpan 675 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E )
40 1trl.p . . . 4  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }
41 0z 10945 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
42 1z 10964 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
4341, 42pm3.2i 457 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )
44 0ne1 10674 . . . . . . . 8  |-  0  =/=  1
45 fprg 6071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } : { 0 ,  1 } --> { A ,  B } )
46 0p1e1 10718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  1 )  =  1
4746eqcomi 2459 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  =  ( 0  +  1 )
4847oveq2i 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... 1 )  =  ( 0 ... (
0  +  1 ) )
49 fzpr 11848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) } )
5041, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
5146preq2i 4054 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  =  { 0 ,  1 }
5248, 50, 513eqtri 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... 1 )  =  { 0 ,  1 }
5352feq2i 5719 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A ,  B }  <->  {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : { 0 ,  1 } --> { A ,  B } )
5445, 53sylibr 216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A ,  B }
)
5543, 44, 54mp3an13 1354 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A ,  B }
)
56 prssi 4127 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  { A ,  B }  C_  V )
5755, 56fssd 5736 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V )
5857adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( P  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V ) )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V )
59 id 22 . . . . . . 7  |-  ( P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  ->  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } )
6011oveq2i 6299 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... 1 )
6160a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  ->  (
0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... 1 ) )
6259, 61feq12d 5715 . . . . . 6  |-  ( P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V ) )
6362adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( P  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V ) )  -> 
( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  <->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V ) )
6458, 63mpbird 236 . . . 4  |-  ( ( P  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V ) )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
6540, 64mpan 675 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
66653ad2ant2 1029 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
67 id 22 . . . . . 6  |-  ( ( E `  i )  =  { A ,  B }  ->  ( E `
 i )  =  { A ,  B } )
68673ad2ant3 1030 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( E `  i )  =  { A ,  B } )
69 fveq1 5862 . . . . . . . . 9  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( F `  0 )  =  ( { <. 0 ,  i >. } `
 0 ) )
702, 3fvsn 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 0 ,  i
>. } `  0 )  =  i
7169, 70syl6eq 2500 . . . . . . . 8  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( F `  0 )  =  i )
721, 71ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( F `
 0 )  =  i
7372a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( F `  0 )  =  i )
7473fveq2d 5867 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( E `  ( F `  0 ) )  =  ( E `  i ) )
75 fveq1 5862 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  ->  ( P `  0 )  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } `  0 ) )
76 fvpr1g 6107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  A  e.  V  /\  0  =/=  1 )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0
)  =  A )
772, 44, 76mp3an13 1354 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 )  =  A )
7875, 77sylan9eq 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  /\  A  e.  V )  ->  ( P `  0 )  =  A )
7940, 78mpan 675 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( P `  0 )  =  A )
8079adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( P `  0
)  =  A )
81803ad2ant2 1029 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( P `  0 )  =  A )
82 fveq1 5862 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  ->  ( P `  1 )  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } `  1 ) )
83 1ex 9635 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  _V
84 fvpr2g 6108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  B  e.  V  /\  0  =/=  1 )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
8583, 44, 84mp3an13 1354 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  V  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1 )  =  B )
8682, 85sylan9eq 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  /\  B  e.  V )  ->  ( P `  1 )  =  B )
8740, 86mpan 675 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  V  ->  ( P `  1 )  =  B )
8887adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( P `  1
)  =  B )
89883ad2ant2 1029 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( P `  1 )  =  B )
9081, 89preq12d 4058 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =  { A ,  B }
)
9168, 74, 903eqtr4d 2494 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } )
92 fveq2 5863 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
9392fveq2d 5867 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  0 )
) )
94 fveq2 5863 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
0 ) )
95 oveq1 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
9695, 46syl6eq 2500 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  1 )
9796fveq2d 5867 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
1 ) )
9894, 97preq12d 4058 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
9993, 98eqeq12d 2465 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
1002, 99ralsn 4009 . . . 4  |-  ( A. k  e.  { 0 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } )
10191, 100sylibr 216 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  A. k  e.  { 0 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )
10214a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  {
0 } )
103102raleqdv 2992 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  {
0 }  ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )
104101, 103mpbird 236 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )
105 snex 4640 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  i >. }  e.  _V
1061, 105eqeltri 2524 . . . 4  |-  F  e. 
_V
107 prex 4641 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  e.  _V
10840, 107eqeltri 2524 . . . 4  |-  P  e. 
_V
109 istrl2 25261 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e. 
_V ) )  -> 
( F ( V Trails  E ) P  <->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
110106, 108, 109mpanr12 690 . . 3  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( F ( V Trails  E ) P  <->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
1111103ad2ant1 1028 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( F ( V Trails  E
) P  <->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
11239, 66, 104, 111mpbir3and 1190 1  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  F
( V Trails  E ) P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   _Vcvv 3044    C_ wss 3403   {csn 3967   {cpr 3969   <.cop 3973   class class class wbr 4401   dom cdm 4833   -->wf 5577   -1-1->wf1 5578   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539   ZZcz 10934   ...cfz 11781  ..^cfzo 11912   #chash 12512   Trails ctrail 25220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-hash 12513  df-word 12661  df-wlk 25229  df-trail 25230
This theorem is referenced by:  1pthon  25314
  Copyright terms: Public domain W3C validator