MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr1trl Structured version   Unicode version
Theorem constr1trl 24252
Description: Construction of a trail from one given edge in a graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1trl.f |- F = { <. 0 , i >. }
1trl.p |- P = { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. }
Assertion
Ref Expression
constr1trl |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> F ( V Trails E ) P )
Proof of Theorem constr1trl
Dummy variable k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1trl.f . . 3 |- F = { <. 0 , i >. }
2 c0ex 9579 . . . . . . 7 |- 0 e. _V
3 vex 3109 . . . . . . 7 |- i e. _V
42, 3f1osn 5844 . . . . . 6 |- { <. 0 , i >. } : { 0 } -1-1-onto-> { i }
5 f1of1 5806 . . . . . 6 |- ( { <. 0 , i >. } : { 0 } -1-1-onto-> { i } -> { <. 0 , i >. } : { 0 } -1-1-> { i } )
6 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F = { <. 0 , i >. } -> ( # ` F ) = ( # ` { <. 0 , i >. } ) )
7 opex 4704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- <. 0 , i >. e. _V
8 hashsng 12393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. 0 , i >. e. _V -> ( # ` { <. 0 , i >. } ) = 1 )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( # ` { <. 0 , i >. } ) = 1
106, 9syl6eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F = { <. 0 , i >. } -> ( # ` F ) = 1 )
111, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( # ` F ) = 1
1211oveq2i 6286 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 1 )
13 fzo01 11854 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0..^ 1 ) = { 0 }
1412, 13eqtri 2489 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 0..^ ( # ` F ) ) = { 0 }
1514eqcomi 2473 . . . . . . . . . . 11 |- { 0 } = ( 0..^ ( # ` F ) )
16 f1eq2 5768 . . . . . . . . . . 11 |- ( { 0 } = ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( { <. 0 , i >. } : { 0 } -1-1-> { i } <-> { <. 0 , i >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> { i } ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 |- ( { <. 0 , i >. } : { 0 } -1-1-> { i } <-> { <. 0 , i >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> { i } )
1817biimpi 194 . . . . . . . . 9 |- ( { <. 0 , i >. } : { 0 } -1-1-> { i } -> { <. 0 , i >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> { i } )
1918adantr 465 . . . . . . . 8 |- ( ( { <. 0 , i >. } : { 0 } -1-1-> { i } /\ ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) ) -> { <. 0 , i >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> { i } )
20 prid1g 4126 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. V -> A e. { A , B } )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> A e. { A , B } )
22213ad2ant2 1013 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> A e. { A , B } )
2322adantl 466 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( { <. 0 , i >. } : { 0 } -1-1-> { i } /\ ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) ) -> A e. { A , B } )
24 eleq2 2533 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E ` i ) = { A , B } -> ( A e. ( E ` i ) <-> A e. { A , B } ) )
25243ad2ant3 1014 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> ( A e. ( E ` i ) <-> A e. { A , B } ) )
2625adantl 466 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( { <. 0 , i >. } : { 0 } -1-1-> { i } /\ ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) ) -> ( A e. ( E ` i ) <-> A e. { A , B } ) )
2723, 26mpbird 232 . . . . . . . . . 10 |- ( ( { <. 0 , i >. } : { 0 } -1-1-> { i } /\ ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) ) -> A e. ( E ` i ) )
28 elfvdm 5883 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( E ` i ) -> i e. dom E )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( { <. 0 , i >. } : { 0 } -1-1-> { i } /\ ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) ) -> i e. dom E )
3029snssd 4165 . . . . . . . 8 |- ( ( { <. 0 , i >. } : { 0 } -1-1-> { i } /\ ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) ) -> { i } C_ dom E )
31 f1ss 5777 . . . . . . . 8 |- ( ( { <. 0 , i >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> { i } /\ { i } C_ dom E ) -> { <. 0 , i >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E )
3219, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . 7 |- ( ( { <. 0 , i >. } : { 0 } -1-1-> { i } /\ ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) ) -> { <. 0 , i >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E )
3332ex 434 . . . . . 6 |- ( { <. 0 , i >. } : { 0 } -1-1-> { i } -> ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> { <. 0 , i >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E ) )
344, 5, 33mp2b 10 . . . . 5 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> { <. 0 , i >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E )
3534adantl 466 . . . 4 |- ( ( F = { <. 0 , i >. } /\ ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) ) -> { <. 0 , i >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E )
36 f1eq1 5767 . . . . 5 |- ( F = { <. 0 , i >. } -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E <-> { <. 0 , i >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E ) )
3736adantr 465 . . . 4 |- ( ( F = { <. 0 , i >. } /\ ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) ) -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E <-> { <. 0 , i >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E ) )
3835, 37mpbird 232 . . 3 |- ( ( F = { <. 0 , i >. } /\ ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) ) -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E )
391, 38mpan 670 . 2 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E )
40 1trl.p . . . 4 |- P = { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. }
41 0z 10864 . . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
42 1z 10883 . . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
4341, 42pm3.2i 455 . . . . . . . 8 |- ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ )
44 0ne1 10592 . . . . . . . 8 |- 0 =/= 1
45 fprg 6061 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ 0 =/= 1 ) -> { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } : { 0 , 1 } --> { A , B } )
46 0p1e1 10636 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 + 1 ) = 1
4746eqcomi 2473 . . . . . . . . . . . 12 |- 1 = ( 0 + 1 )
4847oveq2i 6286 . . . . . . . . . . 11 |- ( 0 ... 1 ) = ( 0 ... ( 0 + 1 ) )
49 fzpr 11724 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) } )
5041, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) }
5146preq2i 4103 . . . . . . . . . . 11 |- { 0 , ( 0 + 1 ) } = { 0 , 1 }
5248, 50, 513eqtri 2493 . . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... 1 ) = { 0 , 1 }
5352feq2i 5715 . . . . . . . . 9 |- ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A , B } <-> { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } : { 0 , 1 } --> { A , B } )
5445, 53sylibr 212 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ 0 =/= 1 ) -> { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A , B } )
5543, 44, 54mp3an13 1310 . . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A , B } )
56 prssi 4176 . . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> { A , B } C_ V )
57 fss 5730 . . . . . . 7 |- ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A , B } /\ { A , B } C_ V ) -> { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V )
5855, 56, 57syl2anc 661 . . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V )
5958adantl 466 . . . . 5 |- ( ( P = { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V )
60 id 22 . . . . . . 7 |- ( P = { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } -> P = { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } )
6111oveq2i 6286 . . . . . . . 8 |- ( 0 ... ( # ` F ) ) = ( 0 ... 1 )
6261a1i 11 . . . . . . 7 |- ( P = { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } -> ( 0 ... ( # ` F ) ) = ( 0 ... 1 ) )
6360, 62feq12d 5711 . . . . . 6 |- ( P = { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V <-> { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V ) )
6463adantr 465 . . . . 5 |- ( ( P = { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V <-> { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V ) )
6559, 64mpbird 232 . . . 4 |- ( ( P = { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V )
6640, 65mpan 670 . . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V )
67663ad2ant2 1013 . 2 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V )
68 id 22 . . . . . 6 |- ( ( E ` i ) = { A , B } -> ( E ` i ) = { A , B } )
69683ad2ant3 1014 . . . . 5 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> ( E ` i ) = { A , B } )
70 fveq1 5856 . . . . . . . . 9 |- ( F = { <. 0 , i >. } -> ( F ` 0 ) = ( { <. 0 , i >. } ` 0 ) )
712, 3fvsn 6085 . . . . . . . . 9 |- ( { <. 0 , i >. } ` 0 ) = i
7270, 71syl6eq 2517 . . . . . . . 8 |- ( F = { <. 0 , i >. } -> ( F ` 0 ) = i )
731, 72ax-mp 5 . . . . . . 7 |- ( F ` 0 ) = i
7473a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> ( F ` 0 ) = i )
7574fveq2d 5861 . . . . 5 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> ( E ` ( F ` 0 ) ) = ( E ` i ) )
76 fveq1 5856 . . . . . . . . . 10 |- ( P = { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } -> ( P ` 0 ) = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` 0 ) )
77 fvpr1g 6097 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. _V /\ A e. V /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` 0 ) = A )
782, 44, 77mp3an13 1310 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` 0 ) = A )
7976, 78sylan9eq 2521 . . . . . . . . 9 |- ( ( P = { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ A e. V ) -> ( P ` 0 ) = A )
8040, 79mpan 670 . . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( P ` 0 ) = A )
8180adantr 465 . . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( P ` 0 ) = A )
82813ad2ant2 1013 . . . . . 6 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> ( P ` 0 ) = A )
83 fveq1 5856 . . . . . . . . . 10 |- ( P = { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } -> ( P ` 1 ) = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` 1 ) )
84 1ex 9580 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. _V
85 fvpr2g 6098 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. _V /\ B e. V /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
8684, 44, 85mp3an13 1310 . . . . . . . . . 10 |- ( B e. V -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
8783, 86sylan9eq 2521 . . . . . . . . 9 |- ( ( P = { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ B e. V ) -> ( P ` 1 ) = B )
8840, 87mpan 670 . . . . . . . 8 |- ( B e. V -> ( P ` 1 ) = B )
8988adantl 466 . . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( P ` 1 ) = B )
90893ad2ant2 1013 . . . . . 6 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> ( P ` 1 ) = B )
9182, 90preq12d 4107 . . . . 5 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } = { A , B } )
9269, 75, 913eqtr4d 2511 . . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
93 fveq2 5857 . . . . . . 7 |- ( k = 0 -> ( F ` k ) = ( F ` 0 ) )
9493fveq2d 5861 . . . . . 6 |- ( k = 0 -> ( E ` ( F ` k ) ) = ( E ` ( F ` 0 ) ) )
95 fveq2 5857 . . . . . . 7 |- ( k = 0 -> ( P ` k ) = ( P ` 0 ) )
96 oveq1 6282 . . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( k + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
9796, 46syl6eq 2517 . . . . . . . 8 |- ( k = 0 -> ( k + 1 ) = 1 )
9897fveq2d 5861 . . . . . . 7 |- ( k = 0 -> ( P ` ( k + 1 ) ) = ( P ` 1 ) )
9995, 98preq12d 4107 . . . . . 6 |- ( k = 0 -> { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
10094, 99eqeq12d 2482 . . . . 5 |- ( k = 0 -> ( ( E ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } <-> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
1012, 100ralsn 4059 . . . 4 |- ( A. k e. { 0 } ( E ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } <-> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
10292, 101sylibr 212 . . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> A. k e. { 0 } ( E ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } )
10314a1i 11 . . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> ( 0..^ ( # ` F ) ) = { 0 } )
104103raleqdv 3057 . . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> ( A. k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } <-> A. k e. { 0 } ( E ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } ) )
105102, 104mpbird 232 . 2 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> A. k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } )
106 snex 4681 . . . . 5 |- { <. 0 , i >. } e. _V
1071, 106eqeltri 2544 . . . 4 |- F e. _V
108 prex 4682 . . . . 5 |- { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } e. _V
10940, 108eqeltri 2544 . . . 4 |- P e. _V
110 istrl2 24202 . . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( F ( V Trails E ) P <-> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } ) ) )
111107, 109, 110mpanr12 685 . . 3 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> ( F ( V Trails E ) P <-> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } ) ) )
1121113ad2ant1 1012 . 2 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> ( F ( V Trails E ) P <-> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } ) ) )
11339, 67, 105, 112mpbir3and 1174 1 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> F ( V Trails E ) P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   =/= wne 2655   A.wral 2807   _Vcvv 3106   C_ wss 3469   {csn 4020   {cpr 4022   <.cop 4026   class class class wbr 4440   dom cdm 4992   -->wf 5575   -1-1->wf1 5576   -1-1-onto->wf1o 5578   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   0cc0 9481   1c1 9482   + caddc 9484   ZZcz 10853   ...cfz 11661  ..^cfzo 11781   #chash 12360   Trails ctrail 24161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-hash 12361  df-word 12495  df-wlk 24170  df-trail 24171
This theorem is referenced by:  1pthon  24255
  Copyright terms: Public domain W3C validator