MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr1trl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem constr1trl 25397
Description: Construction of a trail from one given edge in a graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1trl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  i
>. }
1trl.p  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }
Assertion
Ref Expression
constr1trl  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  F
( V Trails  E ) P )

Proof of Theorem constr1trl
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1trl.f . . 3  |-  F  =  { <. 0 ,  i
>. }
2 c0ex 9655 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
3 vex 3034 . . . . . . 7  |-  i  e. 
_V
42, 3f1osn 5866 . . . . . 6  |-  { <. 0 ,  i >. } : { 0 } -1-1-onto-> { i }
5 f1of1 5827 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-onto-> { i }  ->  {
<. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i } )
6 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  (
# `  F )  =  ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) )
7 opex 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  <. 0 ,  i >.  e.  _V
8 hashsng 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
0 ,  i >.  e.  _V  ->  ( # `  { <. 0 ,  i >. } )  =  1 )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } )  =  1
106, 9syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  (
# `  F )  =  1 )
111, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( # `  F )  =  1
1211oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 1 )
13 fzo01 12024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0..^ 1 )  =  {
0 }
1412, 13eqtri 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  {
0 }
1514eqcomi 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 }  =  ( 0..^ ( # `  F
) )
16 f1eq2 5788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { 0 }  =  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  <->  { <. 0 ,  i >. } :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> {
i } ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  <->  { <. 0 ,  i >. } :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> {
i } )
1817biimpi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  ->  {
<. 0 ,  i
>. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> { i } )
1918adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  { <. 0 ,  i >. } :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> {
i } )
20 prid1g 4069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  { A ,  B } )
2120adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  A  e.  { A ,  B } )
22213ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  A  e.  { A ,  B } )
2322adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  A  e.  { A ,  B }
)
24 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E `  i )  =  { A ,  B }  ->  ( A  e.  ( E `  i )  <->  A  e.  { A ,  B }
) )
25243ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( A  e.  ( E `  i )  <->  A  e.  { A ,  B }
) )
2625adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  ( A  e.  ( E `  i
)  <->  A  e.  { A ,  B } ) )
2723, 26mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  A  e.  ( E `  i ) )
28 elfvdm 5905 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( E `  i )  ->  i  e.  dom  E )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  i  e.  dom  E )
3029snssd 4108 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  { i } 
C_  dom  E )
31 f1ss 5797 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> { i }  /\  { i }  C_  dom  E )  ->  { <. 0 ,  i >. } :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
3219, 30, 31syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  { <. 0 ,  i >. } :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
3332ex 441 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  i
>. } : { 0 } -1-1-> { i }  ->  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } )  ->  { <. 0 ,  i
>. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
) )
344, 5, 33mp2b 10 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  { <. 0 ,  i >. } : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E )
3534adantl 473 . . . 4  |-  ( ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  { <. 0 ,  i >. } :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
36 f1eq1 5787 . . . . 5  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  <->  {
<. 0 ,  i
>. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
) )
3736adantr 472 . . . 4  |-  ( ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  <->  { <. 0 ,  i
>. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
) )
3835, 37mpbird 240 . . 3  |-  ( ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } ) )  ->  F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
)
391, 38mpan 684 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E )
40 1trl.p . . . 4  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }
41 0z 10972 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
42 1z 10991 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
4341, 42pm3.2i 462 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )
44 0ne1 10699 . . . . . . . 8  |-  0  =/=  1
45 fprg 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } : { 0 ,  1 } --> { A ,  B } )
46 0p1e1 10743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  1 )  =  1
4746eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  =  ( 0  +  1 )
4847oveq2i 6319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... 1 )  =  ( 0 ... (
0  +  1 ) )
49 fzpr 11877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) } )
5041, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
5146preq2i 4046 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  =  { 0 ,  1 }
5248, 50, 513eqtri 2497 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... 1 )  =  { 0 ,  1 }
5352feq2i 5731 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A ,  B }  <->  {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : { 0 ,  1 } --> { A ,  B } )
5445, 53sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A ,  B }
)
5543, 44, 54mp3an13 1381 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A ,  B }
)
56 prssi 4119 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  { A ,  B }  C_  V )
5755, 56fssd 5750 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V )
5857adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( P  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V ) )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V )
59 id 22 . . . . . . 7  |-  ( P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  ->  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } )
6011oveq2i 6319 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... 1 )
6160a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  ->  (
0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... 1 ) )
6259, 61feq12d 5727 . . . . . 6  |-  ( P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V ) )
6362adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( P  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V ) )  -> 
( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  <->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V ) )
6458, 63mpbird 240 . . . 4  |-  ( ( P  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V ) )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
6540, 64mpan 684 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
66653ad2ant2 1052 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
67 id 22 . . . . . 6  |-  ( ( E `  i )  =  { A ,  B }  ->  ( E `
 i )  =  { A ,  B } )
68673ad2ant3 1053 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( E `  i )  =  { A ,  B } )
69 fveq1 5878 . . . . . . . . 9  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( F `  0 )  =  ( { <. 0 ,  i >. } `
 0 ) )
702, 3fvsn 6113 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 0 ,  i
>. } `  0 )  =  i
7169, 70syl6eq 2521 . . . . . . . 8  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( F `  0 )  =  i )
721, 71ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( F `
 0 )  =  i
7372a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( F `  0 )  =  i )
7473fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( E `  ( F `  0 ) )  =  ( E `  i ) )
75 fveq1 5878 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  ->  ( P `  0 )  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } `  0 ) )
76 fvpr1g 6125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  A  e.  V  /\  0  =/=  1 )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0
)  =  A )
772, 44, 76mp3an13 1381 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 )  =  A )
7875, 77sylan9eq 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  /\  A  e.  V )  ->  ( P `  0 )  =  A )
7940, 78mpan 684 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( P `  0 )  =  A )
8079adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( P `  0
)  =  A )
81803ad2ant2 1052 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( P `  0 )  =  A )
82 fveq1 5878 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  ->  ( P `  1 )  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } `  1 ) )
83 1ex 9656 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  _V
84 fvpr2g 6126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  B  e.  V  /\  0  =/=  1 )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
8583, 44, 84mp3an13 1381 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  V  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1 )  =  B )
8682, 85sylan9eq 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  /\  B  e.  V )  ->  ( P `  1 )  =  B )
8740, 86mpan 684 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  V  ->  ( P `  1 )  =  B )
8887adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( P `  1
)  =  B )
89883ad2ant2 1052 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( P `  1 )  =  B )
9081, 89preq12d 4050 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =  { A ,  B }
)
9168, 74, 903eqtr4d 2515 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } )
92 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
9392fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  0 )
) )
94 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
0 ) )
95 oveq1 6315 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
9695, 46syl6eq 2521 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  1 )
9796fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
1 ) )
9894, 97preq12d 4050 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
9993, 98eqeq12d 2486 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
1002, 99ralsn 4001 . . . 4  |-  ( A. k  e.  { 0 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } )
10191, 100sylibr 217 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  A. k  e.  { 0 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )
10214a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  {
0 } )
103102raleqdv 2979 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  {
0 }  ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )
104101, 103mpbird 240 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )
105 snex 4641 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  i >. }  e.  _V
1061, 105eqeltri 2545 . . . 4  |-  F  e. 
_V
107 prex 4642 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  e.  _V
10840, 107eqeltri 2545 . . . 4  |-  P  e. 
_V
109 istrl2 25347 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e. 
_V ) )  -> 
( F ( V Trails  E ) P  <->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
110106, 108, 109mpanr12 699 . . 3  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( F ( V Trails  E ) P  <->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
1111103ad2ant1 1051 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( F ( V Trails  E
) P  <->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
11239, 66, 104, 111mpbir3and 1213 1  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  F
( V Trails  E ) P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   {csn 3959   {cpr 3961   <.cop 3965   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560   ZZcz 10961   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   #chash 12553   Trails ctrail 25306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-wlk 25315  df-trail 25316
This theorem is referenced by:  1pthon  25400
  Copyright terms: Public domain W3C validator