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Theorem conpcon 24875
Description: A connected and locally path-connected space is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
conpcon  |-  ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  ->  J  e. PCon
)

Proof of Theorem conpcon
Dummy variables  x  f  y  z  g  h  s  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 contop 17433 . . 3  |-  ( J  e.  Con  ->  J  e.  Top )
21adantr 452 . 2  |-  ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  ->  J  e. 
Top )
3 eqid 2404 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
4 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  J  e.  Con )
5 inss1 3521 . . . . . . 7  |-  ( J  i^i  ( Clsd `  J
) )  C_  J
6 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  ->  J  e. 𝑛Locally PCon )
71ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  ->  J  e.  Top )
83topopn 16934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  J )
97, 8syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  ->  U. J  e.  J )
10 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  ->  z  e.  U. J )
11 nlly2i 17492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally PCon  /\  U. J  e.  J  /\  z  e. 
U. J )  ->  E. s  e.  ~P  U. J E. u  e.  J  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) )
126, 9, 10, 11syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  ->  E. s  e.  ~P  U. J E. u  e.  J  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
)
13 simprr1 1005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  ->  z  e.  u )
14 eqeq2 2413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  w  ->  (
( f `  1
)  =  y  <->  ( f `  1 )  =  w ) )
1514anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  w  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y )  <->  ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  w ) ) )
1615rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  w  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  w ) ) )
1716elrab 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) }  <-> 
( w  e.  U. J  /\  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  w ) ) )
1817simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) }  ->  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  w ) )
19 simprr3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( J  e. 
Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  ->  ( Jt  s
)  e. PCon )
2019adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  ( Jt  s )  e. PCon )
21 simprr2 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( J  e. 
Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  ->  u  C_  s
)
2221adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  u  C_  s )
23 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  w  e.  u )
2422, 23sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  w  e.  s )
257ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  J  e.  Top )
26 elpwi 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( s  e.  ~P U. J  ->  s  C_  U. J )
2726ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( J  e. 
Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  ->  s  C_  U. J )
2827adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  s  C_ 
U. J )
293restuni 17180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( J  e.  Top  /\  s  C_  U. J )  ->  s  =  U. ( Jt  s ) )
3025, 28, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  s  =  U. ( Jt  s ) )
3124, 30eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  w  e.  U. ( Jt  s ) )
32 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  y  e.  u )
3322, 32sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  y  e.  s )
3433, 30eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  y  e.  U. ( Jt  s ) )
35 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  U. ( Jt  s )  =  U. ( Jt  s )
3635pconcn 24864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( Jt  s )  e. PCon  /\  w  e.  U. ( Jt  s )  /\  y  e.  U. ( Jt  s ) )  ->  E. h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) ) ( ( h `  0
)  =  w  /\  ( h `  1
)  =  y ) )
3720, 31, 34, 36syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  E. h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) ) ( ( h `  0
)  =  w  /\  ( h `  1
)  =  y ) )
38 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
)  ->  g  e.  ( II  Cn  J
) )
3938ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
g  e.  ( II 
Cn  J ) )
4025adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  ->  J  e.  Top )
41 cnrest2r 17305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( J  e.  Top  ->  (
II  Cn  ( Jt  s
) )  C_  (
II  Cn  J )
)
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( II  Cn  ( Jt  s ) )  C_  ( II  Cn  J
) )
43 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  ->  h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) ) )
4442, 43sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  ->  h  e.  ( II  Cn  J ) )
45 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
)  ->  ( (
g `  0 )  =  x  /\  (
g `  1 )  =  w ) )
4645ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) )
4746simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( g `  1
)  =  w )
48 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( h `  0
)  =  w )
4947, 48eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( g `  1
)  =  ( h `
 0 ) )
5039, 44, 49pcocn 18995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( g ( *p
`  J ) h )  e.  ( II 
Cn  J ) )
5139, 44pco0 18992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( ( g ( *p `  J ) h ) `  0
)  =  ( g `
 0 ) )
5246simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( g `  0
)  =  x )
5351, 52eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( ( g ( *p `  J ) h ) `  0
)  =  x )
5439, 44pco1 18993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( ( g ( *p `  J ) h ) `  1
)  =  ( h `
 1 ) )
55 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( h `  1
)  =  y )
5654, 55eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( ( g ( *p `  J ) h ) `  1
)  =  y )
57 fveq1 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f  =  ( g ( *p `  J ) h )  ->  (
f `  0 )  =  ( ( g ( *p `  J
) h ) ` 
0 ) )
5857eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f  =  ( g ( *p `  J ) h )  ->  (
( f `  0
)  =  x  <->  ( (
g ( *p `  J ) h ) `
 0 )  =  x ) )
59 fveq1 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f  =  ( g ( *p `  J ) h )  ->  (
f `  1 )  =  ( ( g ( *p `  J
) h ) ` 
1 ) )
6059eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f  =  ( g ( *p `  J ) h )  ->  (
( f `  1
)  =  y  <->  ( (
g ( *p `  J ) h ) `
 1 )  =  y ) )
6158, 60anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  =  ( g ( *p `  J ) h )  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y )  <->  ( ( ( g ( *p `  J ) h ) `
 0 )  =  x  /\  ( ( g ( *p `  J ) h ) `
 1 )  =  y ) ) )
6261rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( g ( *p
`  J ) h )  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( ( g ( *p `  J
) h ) ` 
0 )  =  x  /\  ( ( g ( *p `  J
) h ) ` 
1 )  =  y ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) )
6350, 53, 56, 62syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) )
6437, 63rexlimddv 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) )
6564anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  (
( g `  0
)  =  x  /\  ( g `  1
)  =  w ) ) ) )  /\  y  e.  u )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) )
6665ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) ) )  ->  A. y  e.  u  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) )
6766anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  w  e.  u
)  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  x  /\  (
g `  1 )  =  w ) ) )  ->  A. y  e.  u  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) )
6867rexlimdvaa 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  w  e.  u )  ->  ( E. g  e.  (
II  Cn  J )
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w )  ->  A. y  e.  u  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) ) )
6921adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  w  e.  u )  ->  u  C_  s )
70 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  w  e.  u )  ->  s  e.  ~P U. J )
7170, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  w  e.  u )  ->  s  C_ 
U. J )
7269, 71sstrd 3318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  w  e.  u )  ->  u  C_ 
U. J )
7368, 72jctild 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  w  e.  u )  ->  ( E. g  e.  (
II  Cn  J )
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w )  ->  ( u  C_ 
U. J  /\  A. y  e.  u  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) ) ) )
74 fveq1 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  0 )  =  ( g ` 
0 ) )
7574eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  g  ->  (
( f `  0
)  =  x  <->  ( g `  0 )  =  x ) )
76 fveq1 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  1 )  =  ( g ` 
1 ) )
7776eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  g  ->  (
( f `  1
)  =  w  <->  ( g `  1 )  =  w ) )
7875, 77anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  g  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  w )  <->  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )
7978cbvrexv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. f  e.  ( II 
Cn  J ) ( ( f `  0
)  =  x  /\  ( f `  1
)  =  w )  <->  E. g  e.  (
II  Cn  J )
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) )
80 ssrab 3381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u 
C_  { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) }  <-> 
( u  C_  U. J  /\  A. y  e.  u  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
8173, 79, 803imtr4g 262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  w  e.  u )  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  w )  ->  u  C_  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) } ) )
8218, 81syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  w  e.  u )  ->  (
w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) }  ->  u  C_ 
{ y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) } ) )
8382ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  ->  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  ->  u 
C_  { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) } ) )
8413, 83jca 519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  ->  ( z  e.  u  /\  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  ->  u 
C_  { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) } ) ) )
8584expr 599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  s  e.  ~P U. J
)  ->  ( (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )  ->  ( z  e.  u  /\  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) }  ->  u  C_ 
{ y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) } ) ) ) )
8685reximdv 2777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  s  e.  ~P U. J
)  ->  ( E. u  e.  J  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )  ->  E. u  e.  J  ( z  e.  u  /\  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) }  ->  u  C_ 
{ y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) } ) ) ) )
8786rexlimdva 2790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  ->  ( E. s  e.  ~P  U. J E. u  e.  J  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )  ->  E. u  e.  J  ( z  e.  u  /\  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  ->  u 
C_  { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) } ) ) ) )
8812, 87mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  ->  E. u  e.  J  ( z  e.  u  /\  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  ->  u 
C_  { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) } ) ) )
8988anassrs 630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J
)  /\  z  e.  U. J )  ->  E. u  e.  J  ( z  e.  u  /\  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  ->  u 
C_  { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) } ) ) )
9089ralrimiva 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  A. z  e.  U. J E. u  e.  J  ( z  e.  u  /\  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) }  ->  u  C_ 
{ y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) } ) ) )
911ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  J  e.  Top )
92 ssrab2 3388 . . . . . . . . 9  |-  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) }  C_  U. J
933isclo2 17107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) }  C_  U. J
)  ->  ( {
y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) }  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  <->  A. z  e.  U. J E. u  e.  J  ( z  e.  u  /\  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  ->  u 
C_  { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) } ) ) ) )
9491, 92, 93sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  -> 
( { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) }  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J )
)  <->  A. z  e.  U. J E. u  e.  J  ( z  e.  u  /\  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) }  ->  u  C_ 
{ y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) } ) ) ) )
9590, 94mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) ) )
965, 95sseldi 3306 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  e.  J )
97 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  x  e.  U. J )
98 iitopon 18862 . . . . . . . . . 10  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
9998a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  II  e.  (TopOn `  (
0 [,] 1 ) ) )
1003toptopon 16953 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
10191, 100sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
102 cnconst2 17301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  x  e.  U. J )  ->  (
( 0 [,] 1
)  X.  { x } )  e.  ( II  Cn  J ) )
10399, 101, 97, 102syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  -> 
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  e.  ( II  Cn  J
) )
104 0elunit 10971 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
105 vex 2919 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
106105fvconst2 5906 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } ) ` 
0 )  =  x )
107104, 106mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  -> 
( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } ) `
 0 )  =  x )
108 1elunit 10972 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
109105fvconst2 5906 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } ) ` 
1 )  =  x )
110108, 109mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  -> 
( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } ) `
 1 )  =  x )
111 eqeq2 2413 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( f `  1
)  =  y  <->  ( f `  1 )  =  x ) )
112111anbi2d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y )  <->  ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  x ) ) )
113 fveq1 5686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } )  ->  ( f ` 
0 )  =  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } ) ` 
0 ) )
114113eqeq1d 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } )  ->  ( ( f `
 0 )  =  x  <->  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { x }
) `  0 )  =  x ) )
115 fveq1 5686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } )  ->  ( f ` 
1 )  =  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } ) ` 
1 ) )
116115eqeq1d 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } )  ->  ( ( f `
 1 )  =  x  <->  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { x }
) `  1 )  =  x ) )
117114, 116anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } )  ->  ( ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  x )  <->  ( (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } ) ` 
0 )  =  x  /\  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { x }
) `  1 )  =  x ) ) )
118112, 117rspc2ev 3020 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  U. J  /\  ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } ) ` 
0 )  =  x  /\  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { x }
) `  1 )  =  x ) )  ->  E. y  e.  U. J E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) )
11997, 103, 107, 110, 118syl112anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  E. y  e.  U. J E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) )
120 rabn0 3607 . . . . . . 7  |-  ( { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) }  =/=  (/)  <->  E. y  e.  U. J E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) )
121119, 120sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  =/=  (/) )
122 inss2 3522 . . . . . . 7  |-  ( J  i^i  ( Clsd `  J
) )  C_  ( Clsd `  J )
123122, 95sseldi 3306 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  e.  ( Clsd `  J )
)
1243, 4, 96, 121, 123conclo 17431 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  =  U. J )
125124eqcomd 2409 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  U. J  =  {
y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) } )
126 rabid2 2845 . . . 4  |-  ( U. J  =  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) }  <->  A. y  e.  U. J E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) )
127125, 126sylib 189 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  A. y  e.  U. J E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) )
128127ralrimiva 2749 . 2  |-  ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  ->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) )
1293ispcon 24863 . 2  |-  ( J  e. PCon 
<->  ( J  e.  Top  /\ 
A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
1302, 128, 129sylanbrc 646 1  |-  ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  ->  J  e. PCon
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U.cuni 3975    X. cxp 4835   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946   1c1 8947   [,]cicc 10875   ↾t crest 13603   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   Clsdccld 17035    Cn ccn 17242   Conccon 17427  𝑛Locally cnlly 17481   IIcii 18858   *pcpco 18978  PConcpcon 24859
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-nei 17117  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-con 17428  df-nlly 17483  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-ii 18860  df-pco 18983  df-pcon 24861
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