Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  congsym Structured version   Unicode version

Theorem congsym 30802
Description: Congruence mod  A is a symmetric/commutative relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
congsym  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  A  ||  ( B  -  C
) ) )  ->  A  ||  ( C  -  B ) )

Proof of Theorem congsym
StepHypRef Expression
1 simprr 756 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  A  ||  ( B  -  C
) ) )  ->  A  ||  ( B  -  C ) )
2 zcn 10879 . . . . 5  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  CC )
32ad2antrl 727 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  A  ||  ( B  -  C
) ) )  ->  C  e.  CC )
4 zcn 10879 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
54ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  A  ||  ( B  -  C
) ) )  ->  B  e.  CC )
63, 5negsubdi2d 9956 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  A  ||  ( B  -  C
) ) )  ->  -u ( C  -  B
)  =  ( B  -  C ) )
71, 6breqtrrd 4478 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  A  ||  ( B  -  C
) ) )  ->  A  ||  -u ( C  -  B ) )
8 simpll 753 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  A  ||  ( B  -  C
) ) )  ->  A  e.  ZZ )
9 simprl 755 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  A  ||  ( B  -  C
) ) )  ->  C  e.  ZZ )
10 simplr 754 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  A  ||  ( B  -  C
) ) )  ->  B  e.  ZZ )
119, 10zsubcld 10981 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  A  ||  ( B  -  C
) ) )  -> 
( C  -  B
)  e.  ZZ )
12 dvdsnegb 13874 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( C  -  B
)  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  ( C  -  B
)  <->  A  ||  -u ( C  -  B )
) )
138, 11, 12syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  A  ||  ( B  -  C
) ) )  -> 
( A  ||  ( C  -  B )  <->  A 
||  -u ( C  -  B ) ) )
147, 13mpbird 232 1  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  A  ||  ( B  -  C
) ) )  ->  A  ||  ( C  -  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767   class class class wbr 4452  (class class class)co 6294   CCcc 9500    - cmin 9815   -ucneg 9816   ZZcz 10874    || cdivides 13859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-n0 10806  df-z 10875  df-dvds 13860
This theorem is referenced by:  congneg  30803  congrep  30807  acongsym  30810  acongtr  30812  acongrep  30814  jm2.27a  30843
  Copyright terms: Public domain W3C validator