Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  congrep Structured version   Unicode version

Theorem congrep 31115
Description: Every integer is congruent to some number in the fundamental domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
congrep  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) A  ||  ( a  -  N ) )
Distinct variable groups:    A, a    N, a

Proof of Theorem congrep
StepHypRef Expression
1 zmodfz 12020 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A  e.  NN )  ->  ( N  mod  A
)  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )
21ancoms 453 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  mod  A
)  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )
3 nnz 10907 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
43adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
5 simpr 461 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
6 zmodcl 12018 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A  e.  NN )  ->  ( N  mod  A
)  e.  NN0 )
76ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  mod  A
)  e.  NN0 )
87nn0zd 10988 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  mod  A
)  e.  ZZ )
9 zre 10889 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
10 nnrp 11254 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR+ )
11 moddifz 12011 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  A  e.  RR+ )  -> 
( ( N  -  ( N  mod  A ) )  /  A )  e.  ZZ )
129, 10, 11syl2anr 478 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  ( N  mod  A ) )  /  A )  e.  ZZ )
13 nnne0 10589 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  A  =/=  0 )
1413adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  =/=  0 )
155, 8zsubcld 10995 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  -  ( N  mod  A ) )  e.  ZZ )
16 dvdsval2 14001 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0  /\  ( N  -  ( N  mod  A ) )  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  ( N  -  ( N  mod  A ) )  <->  ( ( N  -  ( N  mod  A ) )  /  A
)  e.  ZZ ) )
174, 14, 15, 16syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  ( N  -  ( N  mod  A ) )  <->  ( ( N  -  ( N  mod  A ) )  /  A )  e.  ZZ ) )
1812, 17mpbird 232 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  ||  ( N  -  ( N  mod  A ) ) )
19 congsym 31110 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  mod  A )  e.  ZZ  /\  A  ||  ( N  -  ( N  mod  A ) ) ) )  ->  A  ||  ( ( N  mod  A )  -  N ) )
204, 5, 8, 18, 19syl22anc 1229 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  ||  ( ( N  mod  A )  -  N ) )
21 oveq1 6303 . . . 4  |-  ( a  =  ( N  mod  A )  ->  ( a  -  N )  =  ( ( N  mod  A
)  -  N ) )
2221breq2d 4468 . . 3  |-  ( a  =  ( N  mod  A )  ->  ( A  ||  ( a  -  N
)  <->  A  ||  ( ( N  mod  A )  -  N ) ) )
2322rspcev 3210 . 2  |-  ( ( ( N  mod  A
)  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) )  /\  A  ||  ( ( N  mod  A )  -  N ) )  ->  E. a  e.  (
0 ... ( A  - 
1 ) ) A 
||  ( a  -  N ) )
242, 20, 23syl2anc 661 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) A  ||  ( a  -  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   E.wrex 2808   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   RR+crp 11245   ...cfz 11697    mod cmo 11999    || cdvds 13998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fl 11932  df-mod 12000  df-dvds 13999
This theorem is referenced by:  acongrep  31122
  Copyright terms: Public domain W3C validator