MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  concompid Unicode version

Theorem concompid 17447
Description: The connected component containing  A contains  A. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
concomp.2  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
Assertion
Ref Expression
concompid  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  S )
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, X
Allowed substitution hint:    S( x)

Proof of Theorem concompid
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  X )
21snssd 3903 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  { A }  C_  X )
3 snex 4365 . . . . . 6  |-  { A }  e.  _V
43elpw 3765 . . . . 5  |-  ( { A }  e.  ~P X 
<->  { A }  C_  X )
52, 4sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  { A }  e.  ~P X
)
6 snidg 3799 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  A  e.  { A } )
76adantl 453 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  { A } )
8 restsn2 17189 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  { A } )  =  ~P { A }
)
9 pwsn 3969 . . . . . . 7  |-  ~P { A }  =  { (/)
,  { A } }
10 indiscon 17434 . . . . . . 7  |-  { (/) ,  { A } }  e.  Con
119, 10eqeltri 2474 . . . . . 6  |-  ~P { A }  e.  Con
128, 11syl6eqel 2492 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  { A } )  e. 
Con )
137, 12jca 519 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A  e.  { A }  /\  ( Jt  { A } )  e.  Con ) )
14 eleq2 2465 . . . . . 6  |-  ( x  =  { A }  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  { A }
) )
15 oveq2 6048 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { A }  ->  ( Jt  x )  =  ( Jt  { A } ) )
1615eleq1d 2470 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { A }  ->  ( ( Jt  x )  e.  Con  <->  ( Jt  { A } )  e.  Con ) )
1714, 16anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( x  =  { A }  ->  ( ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con )  <->  ( A  e.  { A }  /\  ( Jt  { A } )  e.  Con ) ) )
1814, 17anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( x  =  { A }  ->  ( ( A  e.  x  /\  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) )  <->  ( A  e.  { A }  /\  ( A  e.  { A }  /\  ( Jt  { A } )  e.  Con ) ) ) )
1918rspcev 3012 . . . 4  |-  ( ( { A }  e.  ~P X  /\  ( A  e.  { A }  /\  ( A  e. 
{ A }  /\  ( Jt  { A } )  e.  Con ) ) )  ->  E. x  e.  ~P  X ( A  e.  x  /\  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) ) )
205, 7, 13, 19syl12anc 1182 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  E. x  e.  ~P  X ( A  e.  x  /\  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) ) )
21 elunirab 3988 . . 3  |-  ( A  e.  U. { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  <->  E. x  e.  ~P  X ( A  e.  x  /\  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) ) )
2220, 21sylibr 204 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  U. { x  e. 
~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
23 concomp.2 . 2  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
2422, 23syl6eleqr 2495 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667   {crab 2670    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   {cpr 3775   U.cuni 3975   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ↾t crest 13603  TopOnctopon 16914   Conccon 17427
This theorem is referenced by:  concompcld  17450  concompclo  17451  tgpconcompeqg  18094  tgpconcomp  18095
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-fin 7072  df-fi 7374  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cld 17038  df-con 17428
  Copyright terms: Public domain W3C validator