MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  concompid Structured version   Unicode version

Theorem concompid 20226
Description: The connected component containing  A contains  A. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
concomp.2  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
Assertion
Ref Expression
concompid  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  S )
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, X
Allowed substitution hint:    S( x)

Proof of Theorem concompid
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  X )
21snssd 4119 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  { A }  C_  X )
3 snex 4634 . . . . . 6  |-  { A }  e.  _V
43elpw 3963 . . . . 5  |-  ( { A }  e.  ~P X 
<->  { A }  C_  X )
52, 4sylibr 214 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  { A }  e.  ~P X
)
6 snidg 4000 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  A  e.  { A } )
76adantl 466 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  { A } )
8 restsn2 19967 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  { A } )  =  ~P { A }
)
9 pwsn 4187 . . . . . . 7  |-  ~P { A }  =  { (/)
,  { A } }
10 indiscon 20213 . . . . . . 7  |-  { (/) ,  { A } }  e.  Con
119, 10eqeltri 2488 . . . . . 6  |-  ~P { A }  e.  Con
128, 11syl6eqel 2500 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  { A } )  e. 
Con )
137, 12jca 532 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A  e.  { A }  /\  ( Jt  { A } )  e.  Con ) )
14 eleq2 2477 . . . . . 6  |-  ( x  =  { A }  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  { A }
) )
15 oveq2 6288 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { A }  ->  ( Jt  x )  =  ( Jt  { A } ) )
1615eleq1d 2473 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { A }  ->  ( ( Jt  x )  e.  Con  <->  ( Jt  { A } )  e.  Con ) )
1714, 16anbi12d 711 . . . . . 6  |-  ( x  =  { A }  ->  ( ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con )  <->  ( A  e.  { A }  /\  ( Jt  { A } )  e.  Con ) ) )
1814, 17anbi12d 711 . . . . 5  |-  ( x  =  { A }  ->  ( ( A  e.  x  /\  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) )  <->  ( A  e.  { A }  /\  ( A  e.  { A }  /\  ( Jt  { A } )  e.  Con ) ) ) )
1918rspcev 3162 . . . 4  |-  ( ( { A }  e.  ~P X  /\  ( A  e.  { A }  /\  ( A  e. 
{ A }  /\  ( Jt  { A } )  e.  Con ) ) )  ->  E. x  e.  ~P  X ( A  e.  x  /\  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) ) )
205, 7, 13, 19syl12anc 1230 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  E. x  e.  ~P  X ( A  e.  x  /\  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) ) )
21 elunirab 4205 . . 3  |-  ( A  e.  U. { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  <->  E. x  e.  ~P  X ( A  e.  x  /\  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) ) )
2220, 21sylibr 214 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  U. { x  e. 
~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
23 concomp.2 . 2  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
2422, 23syl6eleqr 2503 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   E.wrex 2757   {crab 2760    C_ wss 3416   (/)c0 3740   ~Pcpw 3957   {csn 3974   {cpr 3976   U.cuni 4193   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   ↾t crest 15037  TopOnctopon 19689   Conccon 20206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-fin 7560  df-fi 7907  df-rest 15039  df-topgen 15060  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-cld 19814  df-con 20207
This theorem is referenced by:  concompcld  20229  concompclo  20230  tgpconcompeqg  20904  tgpconcomp  20905
  Copyright terms: Public domain W3C validator