MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  concompid Structured version   Unicode version

Theorem concompid 19698
Description: The connected component containing  A contains  A. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
concomp.2  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
Assertion
Ref Expression
concompid  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  S )
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, X
Allowed substitution hint:    S( x)

Proof of Theorem concompid
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  X )
21snssd 4172 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  { A }  C_  X )
3 snex 4688 . . . . . 6  |-  { A }  e.  _V
43elpw 4016 . . . . 5  |-  ( { A }  e.  ~P X 
<->  { A }  C_  X )
52, 4sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  { A }  e.  ~P X
)
6 snidg 4053 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  A  e.  { A } )
76adantl 466 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  { A } )
8 restsn2 19438 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  { A } )  =  ~P { A }
)
9 pwsn 4239 . . . . . . 7  |-  ~P { A }  =  { (/)
,  { A } }
10 indiscon 19685 . . . . . . 7  |-  { (/) ,  { A } }  e.  Con
119, 10eqeltri 2551 . . . . . 6  |-  ~P { A }  e.  Con
128, 11syl6eqel 2563 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  { A } )  e. 
Con )
137, 12jca 532 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A  e.  { A }  /\  ( Jt  { A } )  e.  Con ) )
14 eleq2 2540 . . . . . 6  |-  ( x  =  { A }  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  { A }
) )
15 oveq2 6290 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { A }  ->  ( Jt  x )  =  ( Jt  { A } ) )
1615eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { A }  ->  ( ( Jt  x )  e.  Con  <->  ( Jt  { A } )  e.  Con ) )
1714, 16anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( x  =  { A }  ->  ( ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con )  <->  ( A  e.  { A }  /\  ( Jt  { A } )  e.  Con ) ) )
1814, 17anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( x  =  { A }  ->  ( ( A  e.  x  /\  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) )  <->  ( A  e.  { A }  /\  ( A  e.  { A }  /\  ( Jt  { A } )  e.  Con ) ) ) )
1918rspcev 3214 . . . 4  |-  ( ( { A }  e.  ~P X  /\  ( A  e.  { A }  /\  ( A  e. 
{ A }  /\  ( Jt  { A } )  e.  Con ) ) )  ->  E. x  e.  ~P  X ( A  e.  x  /\  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) ) )
205, 7, 13, 19syl12anc 1226 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  E. x  e.  ~P  X ( A  e.  x  /\  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) ) )
21 elunirab 4257 . . 3  |-  ( A  e.  U. { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  <->  E. x  e.  ~P  X ( A  e.  x  /\  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) ) )
2220, 21sylibr 212 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  U. { x  e. 
~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
23 concomp.2 . 2  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
2422, 23syl6eleqr 2566 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   {crab 2818    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   {cpr 4029   U.cuni 4245   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   ↾t crest 14672  TopOnctopon 19162   Conccon 19678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-fin 7517  df-fi 7867  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cld 19286  df-con 19679
This theorem is referenced by:  concompcld  19701  concompclo  19702  tgpconcompeqg  20345  tgpconcomp  20346
  Copyright terms: Public domain W3C validator