MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  concompid Structured version   Unicode version

Theorem concompid 19038
Description: The connected component containing  A contains  A. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
concomp.2  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
Assertion
Ref Expression
concompid  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  S )
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, X
Allowed substitution hint:    S( x)

Proof of Theorem concompid
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  X )
21snssd 4021 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  { A }  C_  X )
3 snex 4536 . . . . . 6  |-  { A }  e.  _V
43elpw 3869 . . . . 5  |-  ( { A }  e.  ~P X 
<->  { A }  C_  X )
52, 4sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  { A }  e.  ~P X
)
6 snidg 3906 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  A  e.  { A } )
76adantl 466 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  { A } )
8 restsn2 18778 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  { A } )  =  ~P { A }
)
9 pwsn 4088 . . . . . . 7  |-  ~P { A }  =  { (/)
,  { A } }
10 indiscon 19025 . . . . . . 7  |-  { (/) ,  { A } }  e.  Con
119, 10eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  ~P { A }  e.  Con
128, 11syl6eqel 2531 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  { A } )  e. 
Con )
137, 12jca 532 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A  e.  { A }  /\  ( Jt  { A } )  e.  Con ) )
14 eleq2 2504 . . . . . 6  |-  ( x  =  { A }  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  { A }
) )
15 oveq2 6102 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { A }  ->  ( Jt  x )  =  ( Jt  { A } ) )
1615eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { A }  ->  ( ( Jt  x )  e.  Con  <->  ( Jt  { A } )  e.  Con ) )
1714, 16anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( x  =  { A }  ->  ( ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con )  <->  ( A  e.  { A }  /\  ( Jt  { A } )  e.  Con ) ) )
1814, 17anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( x  =  { A }  ->  ( ( A  e.  x  /\  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) )  <->  ( A  e.  { A }  /\  ( A  e.  { A }  /\  ( Jt  { A } )  e.  Con ) ) ) )
1918rspcev 3076 . . . 4  |-  ( ( { A }  e.  ~P X  /\  ( A  e.  { A }  /\  ( A  e. 
{ A }  /\  ( Jt  { A } )  e.  Con ) ) )  ->  E. x  e.  ~P  X ( A  e.  x  /\  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) ) )
205, 7, 13, 19syl12anc 1216 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  E. x  e.  ~P  X ( A  e.  x  /\  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) ) )
21 elunirab 4106 . . 3  |-  ( A  e.  U. { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  <->  E. x  e.  ~P  X ( A  e.  x  /\  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) ) )
2220, 21sylibr 212 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  U. { x  e. 
~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
23 concomp.2 . 2  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
2422, 23syl6eleqr 2534 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2719   {crab 2722    C_ wss 3331   (/)c0 3640   ~Pcpw 3863   {csn 3880   {cpr 3882   U.cuni 4094   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   ↾t crest 14362  TopOnctopon 18502   Conccon 19018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-oadd 6927  df-er 7104  df-en 7314  df-fin 7317  df-fi 7664  df-rest 14364  df-topgen 14385  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-cld 18626  df-con 19019
This theorem is referenced by:  concompcld  19041  concompclo  19042  tgpconcompeqg  19685  tgpconcomp  19686
  Copyright terms: Public domain W3C validator