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Theorem concompcon 20058
Description: The connected component containing  A is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
concomp.2  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
Assertion
Ref Expression
concompcon  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, X
Allowed substitution hint:    S( x)

Proof of Theorem concompcon
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 concomp.2 . . . 4  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
2 uniiun 4385 . . . 4  |-  U. {
x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  =  U_ y  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } y
31, 2eqtri 2486 . . 3  |-  S  = 
U_ y  e.  {
x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } y
43oveq2i 6307 . 2  |-  ( Jt  S )  =  ( Jt  U_ y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } y )
5 simpl 457 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
6 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )  ->  y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
7 eleq2 2530 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  y ) )
8 oveq2 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( Jt  x )  =  ( Jt  y ) )
98eleq1d 2526 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( Jt  x )  e.  Con  <->  ( Jt  y )  e.  Con ) )
107, 9anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) 
<->  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con ) ) )
1110elrab 3257 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  <->  ( y  e. 
~P X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e. 
Con ) ) )
126, 11sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )  ->  (
y  e.  ~P X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con ) ) )
1312simpld 459 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )  ->  y  e.  ~P X )
1413elpwid 4025 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )  ->  y  C_  X )
1512simprd 463 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )  ->  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e. 
Con ) )
1615simpld 459 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )  ->  A  e.  y )
1715simprd 463 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )  ->  ( Jt  y )  e.  Con )
185, 14, 16, 17iuncon 20054 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  U_ y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } y )  e. 
Con )
194, 18syl5eqel 2549 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811   ~Pcpw 4015   U.cuni 4251   U_ciun 4332   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   ↾t crest 14837  TopOnctopon 19521   Conccon 20037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-fin 7539  df-fi 7889  df-rest 14839  df-topgen 14860  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-cld 19646  df-con 20038
This theorem is referenced by:  concompcld  20060  concompclo  20061  tgpconcompeqg  20735  tgpconcomp  20736
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