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Theorem concompcon 19169
Description: The connected component containing  A is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
concomp.2  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
Assertion
Ref Expression
concompcon  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, X
Allowed substitution hint:    S( x)

Proof of Theorem concompcon
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 concomp.2 . . . 4  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
2 uniiun 4332 . . . 4  |-  U. {
x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  =  U_ y  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } y
31, 2eqtri 2483 . . 3  |-  S  = 
U_ y  e.  {
x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } y
43oveq2i 6212 . 2  |-  ( Jt  S )  =  ( Jt  U_ y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } y )
5 simpl 457 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
6 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )  ->  y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
7 eleq2 2527 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  y ) )
8 oveq2 6209 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( Jt  x )  =  ( Jt  y ) )
98eleq1d 2523 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( Jt  x )  e.  Con  <->  ( Jt  y )  e.  Con ) )
107, 9anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) 
<->  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con ) ) )
1110elrab 3224 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  <->  ( y  e. 
~P X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e. 
Con ) ) )
126, 11sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )  ->  (
y  e.  ~P X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con ) ) )
1312simpld 459 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )  ->  y  e.  ~P X )
1413elpwid 3979 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )  ->  y  C_  X )
1512simprd 463 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )  ->  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e. 
Con ) )
1615simpld 459 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )  ->  A  e.  y )
1715simprd 463 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )  ->  ( Jt  y )  e.  Con )
185, 14, 16, 17iuncon 19165 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  U_ y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } y )  e. 
Con )
194, 18syl5eqel 2546 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2803   ~Pcpw 3969   U.cuni 4200   U_ciun 4280   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   ↾t crest 14479  TopOnctopon 18632   Conccon 19148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-fin 7425  df-fi 7773  df-rest 14481  df-topgen 14502  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-cld 18756  df-con 19149
This theorem is referenced by:  concompcld  19171  concompclo  19172  tgpconcompeqg  19815  tgpconcomp  19816
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