Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  concompclo Structured version   Unicode version

Theorem concompclo 19802
 Description: The connected component containing is a subset of any clopen set containing . (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
concomp.2 t
Assertion
Ref Expression
concompclo TopOn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem concompclo
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . 2
2 simp1 996 . . . 4 TopOn TopOn
3 inss1 3723 . . . . . . 7
4 simp2 997 . . . . . . 7 TopOn
53, 4sseldi 3507 . . . . . 6 TopOn
6 toponss 19297 . . . . . 6 TopOn
72, 5, 6syl2anc 661 . . . . 5 TopOn
8 simp3 998 . . . . 5 TopOn
97, 8sseldd 3510 . . . 4 TopOn
10 concomp.2 . . . . 5 t
1110concompcld 19801 . . . 4 TopOn
122, 9, 11syl2anc 661 . . 3 TopOn
131cldss 19396 . . 3
1412, 13syl 16 . 2 TopOn
1510concompcon 19799 . . 3 TopOn t
162, 9, 15syl2anc 661 . 2 TopOn t
1710concompid 19798 . . . 4 TopOn
182, 9, 17syl2anc 661 . . 3 TopOn
19 inelcm 3886 . . 3
208, 18, 19syl2anc 661 . 2 TopOn
21 inss2 3724 . . 3
2221, 4sseldi 3507 . 2 TopOn
231, 14, 16, 5, 20, 22consubclo 19791 1 TopOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  crab 2821   cin 3480   wss 3481  c0 3790  cpw 4016  cuni 4251  cfv 5594  (class class class)co 6295   ↾t crest 14692  TopOnctopon 19262  ccld 19383  ccon 19778 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-fin 7532  df-fi 7883  df-rest 14694  df-topgen 14715  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-con 19779 This theorem is referenced by:  tgpconcompss  20478
 Copyright terms: Public domain W3C validator