Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  concn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem concn 20518
 Description: A continuous function from a connected topology with one point in a clopen set must lie entirely within the set. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
concn.x
concn.j
concn.f
concn.u
concn.c
concn.a
concn.1
Assertion
Ref Expression
concn

Proof of Theorem concn
StepHypRef Expression
1 concn.f . . . 4
2 concn.x . . . . 5
3 eqid 2471 . . . . 5
42, 3cnf 20339 . . . 4
51, 4syl 17 . . 3
6 ffn 5739 . . 3
75, 6syl 17 . 2
8 frn 5747 . . . 4
95, 8syl 17 . . 3
10 concn.j . . . 4
11 dffn4 5812 . . . . . 6
127, 11sylib 201 . . . . 5
13 cntop2 20334 . . . . . . . 8
141, 13syl 17 . . . . . . 7
153restuni 20255 . . . . . . 7 t
1614, 9, 15syl2anc 673 . . . . . 6 t
17 foeq3 5804 . . . . . 6 t t
1816, 17syl 17 . . . . 5 t
1912, 18mpbid 215 . . . 4 t
203toptopon 20025 . . . . . . 7 TopOn
2114, 20sylib 201 . . . . . 6 TopOn
22 ssid 3437 . . . . . . 7
2322a1i 11 . . . . . 6
24 cnrest2 20379 . . . . . 6 TopOn t
2521, 23, 9, 24syl3anc 1292 . . . . 5 t
261, 25mpbid 215 . . . 4 t
27 eqid 2471 . . . . 5 t t
2827cnconn 20514 . . . 4 t t t
2910, 19, 26, 28syl3anc 1292 . . 3 t
30 concn.u . . 3
31 concn.1 . . . 4
32 concn.a . . . . 5
33 fnfvelrn 6034 . . . . 5
347, 32, 33syl2anc 673 . . . 4
35 inelcm 3823 . . . 4
3631, 34, 35syl2anc 673 . . 3
37 concn.c . . 3
383, 9, 29, 30, 36, 37consubclo 20516 . 2
39 df-f 5593 . 2
407, 38, 39sylanbrc 677 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cuni 4190   crn 4840   wfn 5584  wf 5585  wfo 5587  cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397  ctop 19994  TopOnctopon 19995  ccld 20108   ccn 20317  ccon 20503 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-cn 20320  df-con 20504 This theorem is referenced by:  pconcon  30026  cvmliftmolem1  30076  cvmlift2lem9  30106  cvmlift3lem6  30119
 Copyright terms: Public domain W3C validator