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Theorem comppfsc 20624
Description: A space where every open cover has a point-finite subcover is compact. This is significant in part because it shows half of the proposition that if only half the generalization in the definition of metacompactness (and consequently paracompactness) is performed, one does not obtain any more spaces. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
comppfsc.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
comppfsc  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Comp  <->  A. c  e.  ~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d ) ) ) )
Distinct variable groups:    c, d, J    X, c, d

Proof of Theorem comppfsc
Dummy variables  a 
b  f  p  q  s  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 3951 . . . 4  |-  ( c  e.  ~P J  -> 
c  C_  J )
2 comppfsc.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
32cmpcov 20481 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)
4 elfpw 7894 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  <->  ( d  C_  c  /\  d  e. 
Fin ) )
5 finptfin 20610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  Fin  ->  d  e.  PtFin )
65anim1i 578 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( d  e.  Fin  /\  ( d  C_  c  /\  X  =  U. d ) )  -> 
( d  e.  PtFin  /\  ( d  C_  c  /\  X  =  U. d ) ) )
76anassrs 660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  Fin  /\  d  C_  c )  /\  X  =  U. d )  ->  (
d  e.  PtFin  /\  (
d  C_  c  /\  X  =  U. d
) ) )
87ancom1s 822 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d  C_  c  /\  d  e.  Fin )  /\  X  =  U. d )  ->  (
d  e.  PtFin  /\  (
d  C_  c  /\  X  =  U. d
) ) )
94, 8sylanb 480 . . . . . . 7  |-  ( ( d  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  /\  X  =  U. d )  ->  (
d  e.  PtFin  /\  (
d  C_  c  /\  X  =  U. d
) ) )
109reximi2 2851 . . . . . 6  |-  ( E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d  ->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  c  /\  X  =  U. d
) )
113, 10syl 17 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  ->  E. d  e.  PtFin  ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d ) )
12113exp 1230 . . . 4  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( c 
C_  J  ->  ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  c  /\  X  =  U. d
) ) ) )
131, 12syl5 32 . . 3  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( c  e.  ~P J  -> 
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  c  /\  X  =  U. d
) ) ) )
1413ralrimiv 2808 . 2  |-  ( J  e.  Comp  ->  A. c  e.  ~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d ) ) )
15 elpwi 3951 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ~P J  -> 
a  C_  J )
16 0elpw 4570 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  ~P a
17 0fin 7817 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  Fin
18 elin 3608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  <->  ( (/)  e.  ~P a  /\  (/)  e.  Fin )
)
1916, 17, 18mpbir2an 934 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
20 unieq 4198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  (/)  ->  U. b  =  U. (/) )
21 uni0 4217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. (/)  =  (/)
2220, 21syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  (/)  ->  U. b  =  (/) )
2322eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  (/)  ->  ( X  =  U. b  <->  X  =  (/) ) )
2423rspcev 3136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
(/)  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  /\  X  =  (/) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
)
2519, 24mpan 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  (/)  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) X  = 
U. b )
2625a1d 25 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  (/)  ->  ( A. c  e.  ~P  J
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  c  /\  X  =  U. d
) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) X  = 
U. b ) )
2726a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  ->  ( X  =  (/)  ->  ( A. c  e.  ~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d ) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b ) ) )
28 n0 3732 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  X )
29 simp2 1031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  ->  X  =  U. a )
3029eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  ->  ( x  e.  X  <->  x  e.  U. a
) )
3130biimpd 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  ->  ( x  e.  X  ->  x  e.  U. a ) )
32 eluni2 4194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  U. a  <->  E. s  e.  a  x  e.  s )
3331, 32syl6ib 234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  ->  ( x  e.  X  ->  E. s  e.  a  x  e.  s ) )
34 simpl3 1035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
a  C_  J )
35 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
s  e.  a )
3634, 35sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
s  e.  J )
37 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  J  ->  s  C_ 
U. J )
3837, 2syl6sseqr 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  J  ->  s  C_  X )
3936, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
s  C_  X )
4039ralrimivw 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  ->  A. p  e.  a 
s  C_  X )
41 iunss 4310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U_ p  e.  a  s  C_  X  <->  A. p  e.  a  s  C_  X )
4240, 41sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  ->  U_ p  e.  a 
s  C_  X )
43 ssequn1 3595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U_ p  e.  a  s  C_  X  <->  ( U_ p  e.  a  s  u.  X )  =  X )
4442, 43sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
( U_ p  e.  a  s  u.  X )  =  X )
45 simpl2 1034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  ->  X  =  U. a
)
46 uniiun 4322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. a  =  U_ p  e.  a  p
4745, 46syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  ->  X  =  U_ p  e.  a  p )
4847uneq2d 3579 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
( U_ p  e.  a  s  u.  X )  =  ( U_ p  e.  a  s  u.  U_ p  e.  a  p ) )
4944, 48eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  ->  X  =  ( U_ p  e.  a  s  u.  U_ p  e.  a  p ) )
50 iunun 4353 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ p  e.  a  ( s  u.  p )  =  (
U_ p  e.  a  s  u.  U_ p  e.  a  p )
51 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  s  e. 
_V
52 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  p  e. 
_V
5351, 52unex 6608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  u.  p )  e. 
_V
5453dfiun3 5095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ p  e.  a  ( s  u.  p )  =  U. ran  ( p  e.  a 
|->  ( s  u.  p
) )
5550, 54eqtr3i 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U_ p  e.  a  s  u.  U_ p  e.  a  p )  =  U. ran  ( p  e.  a 
|->  ( s  u.  p
) )
5649, 55syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  ->  X  =  U. ran  (
p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) ) )
57 simpll1 1069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  p  e.  a )  ->  J  e.  Top )
5836adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  p  e.  a )  ->  s  e.  J )
5934sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  p  e.  a )  ->  p  e.  J )
60 unopn 20010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  Top  /\  s  e.  J  /\  p  e.  J )  ->  ( s  u.  p
)  e.  J )
6157, 58, 59, 60syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  p  e.  a )  ->  (
s  u.  p )  e.  J )
62 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  =  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )
6361, 62fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
( p  e.  a 
|->  ( s  u.  p
) ) : a --> J )
64 frn 5747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) ) : a --> J  ->  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) ) 
C_  J )
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  ->  ran  ( p  e.  a 
|->  ( s  u.  p
) )  C_  J
)
66 elpw2g 4564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( J  e.  Top  ->  ( ran  ( p  e.  a 
|->  ( s  u.  p
) )  e.  ~P J 
<->  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  C_  J ) )
67663ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  ->  ( ran  (
p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  e.  ~P J  <->  ran  ( p  e.  a 
|->  ( s  u.  p
) )  C_  J
) )
6867adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
( ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  e.  ~P J  <->  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) ) 
C_  J ) )
6965, 68mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  ->  ran  ( p  e.  a 
|->  ( s  u.  p
) )  e.  ~P J )
70 unieq 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  ->  U. c  =  U. ran  ( p  e.  a 
|->  ( s  u.  p
) ) )
7170eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  ->  ( X  = 
U. c  <->  X  =  U. ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) ) ) )
72 sseq2 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( c  =  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  ->  ( d  C_  c 
<->  d  C_  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) ) ) )
7372anbi1d 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  ->  ( ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d )  <->  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) ) )
7473rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  ->  ( E. d  e.  PtFin  ( d  C_  c  /\  X  =  U. d )  <->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  ran  ( p  e.  a 
|->  ( s  u.  p
) )  /\  X  =  U. d ) ) )
7571, 74imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  ->  ( ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d ) )  <-> 
( X  =  U. ran  ( p  e.  a 
|->  ( s  u.  p
) )  ->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  ran  ( p  e.  a 
|->  ( s  u.  p
) )  /\  X  =  U. d ) ) ) )
7675rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  ( p  e.  a 
|->  ( s  u.  p
) )  e.  ~P J  ->  ( A. c  e.  ~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d ) )  ->  ( X  = 
U. ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  ->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d ) ) ) )
7769, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
( A. c  e. 
~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d ) )  ->  ( X  = 
U. ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  ->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d ) ) ) )
7856, 77mpid 41 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
( A. c  e. 
~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d ) )  ->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d ) ) )
79 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  ->  x  e.  s )
80 ssel2 3413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( a  C_  J  /\  s  e.  a )  ->  s  e.  J )
81803ad2antl3 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  s  e.  a )  ->  s  e.  J )
8281adantrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
s  e.  J )
83 elunii 4195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  s  /\  s  e.  J )  ->  x  e.  U. J
)
8479, 82, 83syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  ->  x  e.  U. J )
8584, 2syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  ->  x  e.  X )
8685adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  x  e.  X )
87 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  X  =  U. d )
8886, 87eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  x  e.  U. d )
89 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U. d  =  U. d
9089ptfinfin 20611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( d  e.  PtFin  /\  x  e.  U. d )  ->  { z  e.  d  |  x  e.  z }  e.  Fin )
9190expcom 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  U. d  -> 
( d  e.  PtFin  ->  { z  e.  d  |  x  e.  z }  e.  Fin )
)
9288, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  (
d  e.  PtFin  ->  { z  e.  d  |  x  e.  z }  e.  Fin ) )
93 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) ) )
94 elun1 3592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  s  ->  x  e.  ( s  u.  p
) )
9594ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  ->  x  e.  ( s  u.  p ) )
9695ralrimivw 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  ->  A. p  e.  a  x  e.  ( s  u.  p ) )
9753rgenw 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  A. p  e.  a  ( s  u.  p )  e.  _V
98 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  =  ( s  u.  p )  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  ( s  u.  p
) ) )
9962, 98ralrnmpt 6046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. p  e.  a  (
s  u.  p )  e.  _V  ->  ( A. z  e.  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p
) ) x  e.  z  <->  A. p  e.  a  x  e.  ( s  u.  p ) ) )
10097, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. z  e.  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) ) x  e.  z  <->  A. p  e.  a  x  e.  ( s  u.  p
) )
10196, 100sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  ->  A. z  e.  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p
) ) x  e.  z )
102101adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  A. z  e.  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) ) x  e.  z )
103 ssralv 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( d 
C_  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  ->  ( A. z  e.  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) ) x  e.  z  ->  A. z  e.  d  x  e.  z ) )
10493, 102, 103sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  A. z  e.  d  x  e.  z )
105 rabid2 2954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( d  =  { z  e.  d  |  x  e.  z }  <->  A. z  e.  d  x  e.  z )
106104, 105sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  d  =  { z  e.  d  |  x  e.  z } )
107106eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  (
d  e.  Fin  <->  { z  e.  d  |  x  e.  z }  e.  Fin ) )
108107biimprd 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  ( { z  e.  d  |  x  e.  z }  e.  Fin  ->  d  e.  Fin ) )
10962rnmpt 5086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ran  (
p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  =  { q  |  E. p  e.  a  q  =  ( s  u.  p ) }
11093, 109syl6sseq 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  d  C_ 
{ q  |  E. p  e.  a  q  =  ( s  u.  p ) } )
111 ssabral 3486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( d 
C_  { q  |  E. p  e.  a  q  =  ( s  u.  p ) }  <->  A. q  e.  d  E. p  e.  a 
q  =  ( s  u.  p ) )
112110, 111sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  A. q  e.  d  E. p  e.  a  q  =  ( s  u.  p
) )
113 uneq2 3573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  =  ( f `  q )  ->  (
s  u.  p )  =  ( s  u.  ( f `  q
) ) )
114113eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  ( f `  q )  ->  (
q  =  ( s  u.  p )  <->  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) )
115114ac6sfi 7833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( d  e.  Fin  /\  A. q  e.  d  E. p  e.  a  q  =  ( s  u.  p ) )  ->  E. f ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  ( f `  q
) ) ) )
116115expcom 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. q  e.  d  E. p  e.  a  q  =  ( s  u.  p )  ->  (
d  e.  Fin  ->  E. f ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  ( f `  q
) ) ) ) )
117112, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  (
d  e.  Fin  ->  E. f ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  ( f `  q
) ) ) ) )
118 frn 5747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f : d --> a  ->  ran  f  C_  a )
119118adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  ( f `
 q ) ) )  ->  ran  f  C_  a )
120119ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  ran  f  C_  a )
12135ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  s  e.  a )
122121snssd 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  { s } 
C_  a )
123120, 122unssd 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  ( ran  f  u.  { s } ) 
C_  a )
124 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  d  e.  Fin )
125 simprrl 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  f : d --> a )
126 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f : d --> a  -> 
f  Fn  d )
127125, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  f  Fn  d
)
128 dffn4 5812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  Fn  d  <->  f :
d -onto-> ran  f )
129127, 128sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  f : d
-onto->
ran  f )
130 fofi 7878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( d  e.  Fin  /\  f : d -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  e. 
Fin )
131124, 129, 130syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  ran  f  e.  Fin )
132 snfi 7668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { s }  e.  Fin
133 unfi 7856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ran  f  e.  Fin  /\ 
{ s }  e.  Fin )  ->  ( ran  f  u.  { s } )  e.  Fin )
134131, 132, 133sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  ( ran  f  u.  { s } )  e.  Fin )
135 elfpw 7894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ran  f  u.  {
s } )  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  <->  ( ( ran  f  u.  { s } )  C_  a  /\  ( ran  f  u. 
{ s } )  e.  Fin ) )
136123, 134, 135sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  ( ran  f  u.  { s } )  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) )
137 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  X  =  U. d )
138 uniiun 4322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  U. d  =  U_ q  e.  d  q
139 simprrr 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  ( f `  q ) ) )
140 iuneq2 4286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  ( f `  q
) )  ->  U_ q  e.  d  q  =  U_ q  e.  d  ( s  u.  ( f `
 q ) ) )
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  U_ q  e.  d  q  =  U_ q  e.  d  ( s  u.  ( f `  q
) ) )
142138, 141syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  U. d  =  U_ q  e.  d  (
s  u.  ( f `
 q ) ) )
143137, 142eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  X  =  U_ q  e.  d  (
s  u.  ( f `
 q ) ) )
144 ssun2 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  { s }  C_  ( ran  f  u.  { s } )
145 ssnid 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  s  e. 
{ s }
146144, 145sselii 3415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  s  e.  ( ran  f  u. 
{ s } )
147 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( s  e.  ( ran  f  u.  { s } )  ->  s  C_  U. ( ran  f  u.  { s } ) )
148146, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  s  C_  U. ( ran  f  u. 
{ s } )
149 fvssunirn 5902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f `
 q )  C_  U.
ran  f
150 ssun1 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ran  f  C_  ( ran  f  u. 
{ s } )
151150unissi 4213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  U. ran  f  C_  U. ( ran  f  u.  { s } )
152149, 151sstri 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f `
 q )  C_  U. ( ran  f  u. 
{ s } )
153148, 152unssi 3600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( s  u.  ( f `  q ) )  C_  U. ( ran  f  u. 
{ s } )
154153rgenw 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  A. q  e.  d  ( s  u.  ( f `  q
) )  C_  U. ( ran  f  u.  { s } )
155 iunss 4310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( U_ q  e.  d  (
s  u.  ( f `
 q ) ) 
C_  U. ( ran  f  u.  { s } )  <->  A. q  e.  d 
( s  u.  (
f `  q )
)  C_  U. ( ran  f  u.  { s } ) )
156154, 155mpbir 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  U_ q  e.  d  ( s  u.  ( f `  q
) )  C_  U. ( ran  f  u.  { s } )
157143, 156syl6eqss 3468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  X  C_  U. ( ran  f  u.  { s } ) )
15834ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  a  C_  J
)
159120, 158sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  ran  f  C_  J )
16036ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  s  e.  J
)
161160snssd 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  { s } 
C_  J )
162159, 161unssd 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  ( ran  f  u.  { s } ) 
C_  J )
163 uniss 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ran  f  u.  {
s } )  C_  J  ->  U. ( ran  f  u.  { s } ) 
C_  U. J )
164163, 2syl6sseqr 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ran  f  u.  {
s } )  C_  J  ->  U. ( ran  f  u.  { s } ) 
C_  X )
165162, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  U. ( ran  f  u.  { s } ) 
C_  X )
166157, 165eqssd 3435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  X  =  U. ( ran  f  u.  {
s } ) )
167 unieq 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( b  =  ( ran  f  u.  { s } )  ->  U. b  =  U. ( ran  f  u.  {
s } ) )
168167eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( b  =  ( ran  f  u.  { s } )  ->  ( X  = 
U. b  <->  X  =  U. ( ran  f  u. 
{ s } ) ) )
169168rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ran  f  u. 
{ s } )  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  /\  X  =  U. ( ran  f  u.  { s } ) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) X  = 
U. b )
170136, 166, 169syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b )
171170expr 626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  d  e.  Fin )  ->  (
( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) X  = 
U. b ) )
172171exlimdv 1787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  d  e.  Fin )  ->  ( E. f ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  ( f `  q
) ) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
) )
173172ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  (
d  e.  Fin  ->  ( E. f ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  ( f `  q
) ) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
) ) )
174117, 173mpdd 40 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  (
d  e.  Fin  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
) )
17592, 108, 1743syld 56 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  (
d  e.  PtFin  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) X  = 
U. b ) )
176175ex 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
( ( d  C_  ran  ( p  e.  a 
|->  ( s  u.  p
) )  /\  X  =  U. d )  -> 
( d  e.  PtFin  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
) ) )
177176com23 80 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
( d  e.  PtFin  -> 
( ( d  C_  ran  ( p  e.  a 
|->  ( s  u.  p
) )  /\  X  =  U. d )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
) ) )
178177rexlimdv 2870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
( E. d  e. 
PtFin  ( d  C_  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p
) )  /\  X  =  U. d )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
) )
17978, 178syld 44 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
( A. c  e. 
~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d ) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b ) )
180179rexlimdvaa 2872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  ->  ( E. s  e.  a  x  e.  s  ->  ( A. c  e.  ~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d ) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b ) ) )
18133, 180syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  ->  ( x  e.  X  ->  ( A. c  e.  ~P  J
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  c  /\  X  =  U. d
) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) X  = 
U. b ) ) )
182181exlimdv 1787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  ->  ( E. x  x  e.  X  ->  ( A. c  e.  ~P  J ( X  = 
U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  c  /\  X  =  U. d ) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
) ) )
18328, 182syl5bi 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  ->  ( X  =/=  (/)  ->  ( A. c  e.  ~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d ) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b ) ) )
18427, 183pm2.61dne 2729 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  ->  ( A. c  e.  ~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d ) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b ) )
18515, 184syl3an3 1327 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  e.  ~P J )  ->  ( A. c  e.  ~P  J ( X  = 
U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  c  /\  X  =  U. d ) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
) )
1861853exp 1230 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( X  =  U. a  ->  ( a  e.  ~P J  ->  ( A. c  e.  ~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d ) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b ) ) ) )
187186com24 89 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. c  e.  ~P  J ( X  = 
U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  c  /\  X  =  U. d ) )  -> 
( a  e.  ~P J  ->  ( X  = 
U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) X  = 
U. b ) ) ) )
188187ralrimdv 2811 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. c  e.  ~P  J ( X  = 
U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  c  /\  X  =  U. d ) )  ->  A. a  e.  ~P  J ( X  = 
U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) X  = 
U. b ) ) )
1892iscmp 20480 . . . 4  |-  ( J  e.  Comp  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. a  e.  ~P  J ( X  =  U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
) ) )
190189baibr 920 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. a  e.  ~P  J ( X  = 
U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) X  = 
U. b )  <->  J  e.  Comp ) )
191188, 190sylibd 222 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. c  e.  ~P  J ( X  = 
U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  c  /\  X  =  U. d ) )  ->  J  e.  Comp ) )
19214, 191impbid2 209 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Comp  <->  A. c  e.  ~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   {cab 2457    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190   U_ciun 4269    |-> cmpt 4454   ran crn 4840    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589   Fincfn 7587   Topctop 19994   Compccmp 20478   PtFincptfin 20595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-fin 7591  df-top 19998  df-cmp 20479  df-ptfin 20598
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