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Theorem comppfsc 20539
Description: A space where every open cover has a point-finite subcover is compact. This is significant in part because it shows half of the proposition that if only half the generalization in the definition of metacompactness (and consequently paracompactness) is performed, one does not obtain any more spaces. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
comppfsc.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
comppfsc  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Comp  <->  A. c  e.  ~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d ) ) ) )
Distinct variable groups:    c, d, J    X, c, d

Proof of Theorem comppfsc
Dummy variables  a 
b  f  p  q  s  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 3989 . . . 4  |-  ( c  e.  ~P J  -> 
c  C_  J )
2 comppfsc.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
32cmpcov 20396 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)
4 elfpw 7880 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  <->  ( d  C_  c  /\  d  e. 
Fin ) )
5 finptfin 20525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  Fin  ->  d  e.  PtFin )
65anim1i 571 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( d  e.  Fin  /\  ( d  C_  c  /\  X  =  U. d ) )  -> 
( d  e.  PtFin  /\  ( d  C_  c  /\  X  =  U. d ) ) )
76anassrs 653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  Fin  /\  d  C_  c )  /\  X  =  U. d )  ->  (
d  e.  PtFin  /\  (
d  C_  c  /\  X  =  U. d
) ) )
87ancom1s 813 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d  C_  c  /\  d  e.  Fin )  /\  X  =  U. d )  ->  (
d  e.  PtFin  /\  (
d  C_  c  /\  X  =  U. d
) ) )
94, 8sylanb 475 . . . . . . 7  |-  ( ( d  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  /\  X  =  U. d )  ->  (
d  e.  PtFin  /\  (
d  C_  c  /\  X  =  U. d
) ) )
109reximi2 2893 . . . . . 6  |-  ( E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d  ->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  c  /\  X  =  U. d
) )
113, 10syl 17 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  c  C_  J  /\  X  = 
U. c )  ->  E. d  e.  PtFin  ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d ) )
12113exp 1205 . . . 4  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( c 
C_  J  ->  ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  c  /\  X  =  U. d
) ) ) )
131, 12syl5 34 . . 3  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( c  e.  ~P J  -> 
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  c  /\  X  =  U. d
) ) ) )
1413ralrimiv 2838 . 2  |-  ( J  e.  Comp  ->  A. c  e.  ~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d ) ) )
15 elpwi 3989 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ~P J  -> 
a  C_  J )
16 0elpw 4591 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  ~P a
17 0fin 7803 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  Fin
18 elin 3650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  <->  ( (/)  e.  ~P a  /\  (/)  e.  Fin )
)
1916, 17, 18mpbir2an 929 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
20 unieq 4225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  (/)  ->  U. b  =  U. (/) )
21 uni0 4244 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. (/)  =  (/)
2220, 21syl6eq 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  (/)  ->  U. b  =  (/) )
2322eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  (/)  ->  ( X  =  U. b  <->  X  =  (/) ) )
2423rspcev 3183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
(/)  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  /\  X  =  (/) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
)
2519, 24mpan 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  (/)  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) X  = 
U. b )
2625a1d 27 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  (/)  ->  ( A. c  e.  ~P  J
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  c  /\  X  =  U. d
) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) X  = 
U. b ) )
2726a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  ->  ( X  =  (/)  ->  ( A. c  e.  ~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d ) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b ) ) )
28 n0 3772 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  X )
29 simp2 1007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  ->  X  =  U. a )
3029eleq2d 2493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  ->  ( x  e.  X  <->  x  e.  U. a
) )
3130biimpd 211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  ->  ( x  e.  X  ->  x  e.  U. a ) )
32 eluni2 4221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  U. a  <->  E. s  e.  a  x  e.  s )
3331, 32syl6ib 230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  ->  ( x  e.  X  ->  E. s  e.  a  x  e.  s ) )
34 simpl3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
a  C_  J )
35 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
s  e.  a )
3634, 35sseldd 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
s  e.  J )
37 elssuni 4246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  J  ->  s  C_ 
U. J )
3837, 2syl6sseqr 3512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  J  ->  s  C_  X )
3936, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
s  C_  X )
4039ralrimivw 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  ->  A. p  e.  a 
s  C_  X )
41 iunss 4338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U_ p  e.  a  s  C_  X  <->  A. p  e.  a  s  C_  X )
4240, 41sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  ->  U_ p  e.  a 
s  C_  X )
43 ssequn1 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U_ p  e.  a  s  C_  X  <->  ( U_ p  e.  a  s  u.  X )  =  X )
4442, 43sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
( U_ p  e.  a  s  u.  X )  =  X )
45 simpl2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  ->  X  =  U. a
)
46 uniiun 4350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. a  =  U_ p  e.  a  p
4745, 46syl6eq 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  ->  X  =  U_ p  e.  a  p )
4847uneq2d 3621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
( U_ p  e.  a  s  u.  X )  =  ( U_ p  e.  a  s  u.  U_ p  e.  a  p ) )
4944, 48eqtr3d 2466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  ->  X  =  ( U_ p  e.  a  s  u.  U_ p  e.  a  p ) )
50 iunun 4381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ p  e.  a  ( s  u.  p )  =  (
U_ p  e.  a  s  u.  U_ p  e.  a  p )
51 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  s  e. 
_V
52 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  p  e. 
_V
5351, 52unex 6601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  u.  p )  e. 
_V
5453dfiun3 5106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ p  e.  a  ( s  u.  p )  =  U. ran  ( p  e.  a 
|->  ( s  u.  p
) )
5550, 54eqtr3i 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U_ p  e.  a  s  u.  U_ p  e.  a  p )  =  U. ran  ( p  e.  a 
|->  ( s  u.  p
) )
5649, 55syl6eq 2480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  ->  X  =  U. ran  (
p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) ) )
57 simpll1 1045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  p  e.  a )  ->  J  e.  Top )
5836adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  p  e.  a )  ->  s  e.  J )
5934sselda 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  p  e.  a )  ->  p  e.  J )
60 unopn 19925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  Top  /\  s  e.  J  /\  p  e.  J )  ->  ( s  u.  p
)  e.  J )
6157, 58, 59, 60syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  p  e.  a )  ->  (
s  u.  p )  e.  J )
62 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  =  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )
6361, 62fmptd 6059 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
( p  e.  a 
|->  ( s  u.  p
) ) : a --> J )
64 frn 5750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) ) : a --> J  ->  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) ) 
C_  J )
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  ->  ran  ( p  e.  a 
|->  ( s  u.  p
) )  C_  J
)
66 elpw2g 4585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( J  e.  Top  ->  ( ran  ( p  e.  a 
|->  ( s  u.  p
) )  e.  ~P J 
<->  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  C_  J ) )
67663ad2ant1 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  ->  ( ran  (
p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  e.  ~P J  <->  ran  ( p  e.  a 
|->  ( s  u.  p
) )  C_  J
) )
6867adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
( ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  e.  ~P J  <->  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) ) 
C_  J ) )
6965, 68mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  ->  ran  ( p  e.  a 
|->  ( s  u.  p
) )  e.  ~P J )
70 unieq 4225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  ->  U. c  =  U. ran  ( p  e.  a 
|->  ( s  u.  p
) ) )
7170eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  ->  ( X  = 
U. c  <->  X  =  U. ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) ) ) )
72 sseq2 3487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( c  =  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  ->  ( d  C_  c 
<->  d  C_  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) ) ) )
7372anbi1d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  ->  ( ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d )  <->  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) ) )
7473rexbidv 2940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  ->  ( E. d  e.  PtFin  ( d  C_  c  /\  X  =  U. d )  <->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  ran  ( p  e.  a 
|->  ( s  u.  p
) )  /\  X  =  U. d ) ) )
7571, 74imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  ->  ( ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d ) )  <-> 
( X  =  U. ran  ( p  e.  a 
|->  ( s  u.  p
) )  ->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  ran  ( p  e.  a 
|->  ( s  u.  p
) )  /\  X  =  U. d ) ) ) )
7675rspcv 3179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  ( p  e.  a 
|->  ( s  u.  p
) )  e.  ~P J  ->  ( A. c  e.  ~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d ) )  ->  ( X  = 
U. ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  ->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d ) ) ) )
7769, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
( A. c  e. 
~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d ) )  ->  ( X  = 
U. ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  ->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d ) ) ) )
7856, 77mpid 43 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
( A. c  e. 
~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d ) )  ->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d ) ) )
79 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  ->  x  e.  s )
80 ssel2 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( a  C_  J  /\  s  e.  a )  ->  s  e.  J )
81803ad2antl3 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  s  e.  a )  ->  s  e.  J )
8281adantrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
s  e.  J )
83 elunii 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  s  /\  s  e.  J )  ->  x  e.  U. J
)
8479, 82, 83syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  ->  x  e.  U. J )
8584, 2syl6eleqr 2522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  ->  x  e.  X )
8685adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  x  e.  X )
87 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  X  =  U. d )
8886, 87eleqtrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  x  e.  U. d )
89 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U. d  =  U. d
9089ptfinfin 20526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( d  e.  PtFin  /\  x  e.  U. d )  ->  { z  e.  d  |  x  e.  z }  e.  Fin )
9190expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  U. d  -> 
( d  e.  PtFin  ->  { z  e.  d  |  x  e.  z }  e.  Fin )
)
9288, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  (
d  e.  PtFin  ->  { z  e.  d  |  x  e.  z }  e.  Fin ) )
93 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) ) )
94 elun1 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  s  ->  x  e.  ( s  u.  p
) )
9594ad2antll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  ->  x  e.  ( s  u.  p ) )
9695ralrimivw 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  ->  A. p  e.  a  x  e.  ( s  u.  p ) )
9753rgenw 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  A. p  e.  a  ( s  u.  p )  e.  _V
98 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  =  ( s  u.  p )  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  ( s  u.  p
) ) )
9962, 98ralrnmpt 6044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. p  e.  a  (
s  u.  p )  e.  _V  ->  ( A. z  e.  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p
) ) x  e.  z  <->  A. p  e.  a  x  e.  ( s  u.  p ) ) )
10097, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. z  e.  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) ) x  e.  z  <->  A. p  e.  a  x  e.  ( s  u.  p
) )
10196, 100sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  ->  A. z  e.  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p
) ) x  e.  z )
102101adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  A. z  e.  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) ) x  e.  z )
103 ssralv 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( d 
C_  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  ->  ( A. z  e.  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) ) x  e.  z  ->  A. z  e.  d  x  e.  z ) )
10493, 102, 103sylc 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  A. z  e.  d  x  e.  z )
105 rabid2 3007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( d  =  { z  e.  d  |  x  e.  z }  <->  A. z  e.  d  x  e.  z )
106104, 105sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  d  =  { z  e.  d  |  x  e.  z } )
107106eleq1d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  (
d  e.  Fin  <->  { z  e.  d  |  x  e.  z }  e.  Fin ) )
108107biimprd 227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  ( { z  e.  d  |  x  e.  z }  e.  Fin  ->  d  e.  Fin ) )
10962rnmpt 5097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ran  (
p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  =  { q  |  E. p  e.  a  q  =  ( s  u.  p ) }
11093, 109syl6sseq 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  d  C_ 
{ q  |  E. p  e.  a  q  =  ( s  u.  p ) } )
111 ssabral 3533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( d 
C_  { q  |  E. p  e.  a  q  =  ( s  u.  p ) }  <->  A. q  e.  d  E. p  e.  a 
q  =  ( s  u.  p ) )
112110, 111sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  A. q  e.  d  E. p  e.  a  q  =  ( s  u.  p
) )
113 uneq2 3615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  =  ( f `  q )  ->  (
s  u.  p )  =  ( s  u.  ( f `  q
) ) )
114113eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  ( f `  q )  ->  (
q  =  ( s  u.  p )  <->  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) )
115114ac6sfi 7819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( d  e.  Fin  /\  A. q  e.  d  E. p  e.  a  q  =  ( s  u.  p ) )  ->  E. f ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  ( f `  q
) ) ) )
116115expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. q  e.  d  E. p  e.  a  q  =  ( s  u.  p )  ->  (
d  e.  Fin  ->  E. f ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  ( f `  q
) ) ) ) )
117112, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  (
d  e.  Fin  ->  E. f ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  ( f `  q
) ) ) ) )
118 frn 5750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f : d --> a  ->  ran  f  C_  a )
119118adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  ( f `
 q ) ) )  ->  ran  f  C_  a )
120119ad2antll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  ran  f  C_  a )
12135ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  s  e.  a )
122121snssd 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  { s } 
C_  a )
123120, 122unssd 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  ( ran  f  u.  { s } ) 
C_  a )
124 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  d  e.  Fin )
125 simprrl 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  f : d --> a )
126 ffn 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f : d --> a  -> 
f  Fn  d )
127125, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  f  Fn  d
)
128 dffn4 5814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  Fn  d  <->  f :
d -onto-> ran  f )
129127, 128sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  f : d
-onto->
ran  f )
130 fofi 7864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( d  e.  Fin  /\  f : d -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  e. 
Fin )
131124, 129, 130syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  ran  f  e.  Fin )
132 snfi 7655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { s }  e.  Fin
133 unfi 7842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ran  f  e.  Fin  /\ 
{ s }  e.  Fin )  ->  ( ran  f  u.  { s } )  e.  Fin )
134131, 132, 133sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  ( ran  f  u.  { s } )  e.  Fin )
135 elfpw 7880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ran  f  u.  {
s } )  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  <->  ( ( ran  f  u.  { s } )  C_  a  /\  ( ran  f  u. 
{ s } )  e.  Fin ) )
136123, 134, 135sylanbrc 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  ( ran  f  u.  { s } )  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) )
137 simplrr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  X  =  U. d )
138 uniiun 4350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  U. d  =  U_ q  e.  d  q
139 simprrr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  ( f `  q ) ) )
140 iuneq2 4314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  ( f `  q
) )  ->  U_ q  e.  d  q  =  U_ q  e.  d  ( s  u.  ( f `
 q ) ) )
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  U_ q  e.  d  q  =  U_ q  e.  d  ( s  u.  ( f `  q
) ) )
142138, 141syl5eq 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  U. d  =  U_ q  e.  d  (
s  u.  ( f `
 q ) ) )
143137, 142eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  X  =  U_ q  e.  d  (
s  u.  ( f `
 q ) ) )
144 ssun2 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  { s }  C_  ( ran  f  u.  { s } )
145 ssnid 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  s  e. 
{ s }
146144, 145sselii 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  s  e.  ( ran  f  u. 
{ s } )
147 elssuni 4246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( s  e.  ( ran  f  u.  { s } )  ->  s  C_  U. ( ran  f  u.  { s } ) )
148146, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  s  C_  U. ( ran  f  u. 
{ s } )
149 fvssunirn 5902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f `
 q )  C_  U.
ran  f
150 ssun1 3630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ran  f  C_  ( ran  f  u. 
{ s } )
151150unissi 4240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  U. ran  f  C_  U. ( ran  f  u.  { s } )
152149, 151sstri 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f `
 q )  C_  U. ( ran  f  u. 
{ s } )
153148, 152unssi 3642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( s  u.  ( f `  q ) )  C_  U. ( ran  f  u. 
{ s } )
154153rgenw 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  A. q  e.  d  ( s  u.  ( f `  q
) )  C_  U. ( ran  f  u.  { s } )
155 iunss 4338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( U_ q  e.  d  (
s  u.  ( f `
 q ) ) 
C_  U. ( ran  f  u.  { s } )  <->  A. q  e.  d 
( s  u.  (
f `  q )
)  C_  U. ( ran  f  u.  { s } ) )
156154, 155mpbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  U_ q  e.  d  ( s  u.  ( f `  q
) )  C_  U. ( ran  f  u.  { s } )
157143, 156syl6eqss 3515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  X  C_  U. ( ran  f  u.  { s } ) )
15834ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  a  C_  J
)
159120, 158sstrd 3475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  ran  f  C_  J )
16036ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  s  e.  J
)
161160snssd 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  { s } 
C_  J )
162159, 161unssd 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  ( ran  f  u.  { s } ) 
C_  J )
163 uniss 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ran  f  u.  {
s } )  C_  J  ->  U. ( ran  f  u.  { s } ) 
C_  U. J )
164163, 2syl6sseqr 3512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ran  f  u.  {
s } )  C_  J  ->  U. ( ran  f  u.  { s } ) 
C_  X )
165162, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  U. ( ran  f  u.  { s } ) 
C_  X )
166157, 165eqssd 3482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  X  =  U. ( ran  f  u.  {
s } ) )
167 unieq 4225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( b  =  ( ran  f  u.  { s } )  ->  U. b  =  U. ( ran  f  u.  {
s } ) )
168167eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( b  =  ( ran  f  u.  { s } )  ->  ( X  = 
U. b  <->  X  =  U. ( ran  f  u. 
{ s } ) ) )
169168rspcev 3183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ran  f  u. 
{ s } )  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  /\  X  =  U. ( ran  f  u.  { s } ) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) X  = 
U. b )
170136, 166, 169syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  (
d  e.  Fin  /\  ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) ) ) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b )
171170expr 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  d  e.  Fin )  ->  (
( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  (
f `  q )
) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) X  = 
U. b ) )
172171exlimdv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  /\  d  e.  Fin )  ->  ( E. f ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  ( f `  q
) ) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
) )
173172ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  (
d  e.  Fin  ->  ( E. f ( f : d --> a  /\  A. q  e.  d  q  =  ( s  u.  ( f `  q
) ) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
) ) )
174117, 173mpdd 42 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  (
d  e.  Fin  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
) )
17592, 108, 1743syld 58 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  (
s  e.  a  /\  x  e.  s )
)  /\  ( d  C_ 
ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p ) )  /\  X  =  U. d
) )  ->  (
d  e.  PtFin  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) X  = 
U. b ) )
176175ex 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
( ( d  C_  ran  ( p  e.  a 
|->  ( s  u.  p
) )  /\  X  =  U. d )  -> 
( d  e.  PtFin  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
) ) )
177176com23 82 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
( d  e.  PtFin  -> 
( ( d  C_  ran  ( p  e.  a 
|->  ( s  u.  p
) )  /\  X  =  U. d )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
) ) )
178177rexlimdv 2916 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
( E. d  e. 
PtFin  ( d  C_  ran  ( p  e.  a  |->  ( s  u.  p
) )  /\  X  =  U. d )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
) )
17978, 178syld 46 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  /\  ( s  e.  a  /\  x  e.  s ) )  -> 
( A. c  e. 
~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d ) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b ) )
180179rexlimdvaa 2919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  ->  ( E. s  e.  a  x  e.  s  ->  ( A. c  e.  ~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d ) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b ) ) )
18133, 180syld 46 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  ->  ( x  e.  X  ->  ( A. c  e.  ~P  J
( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  c  /\  X  =  U. d
) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) X  = 
U. b ) ) )
182181exlimdv 1769 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  ->  ( E. x  x  e.  X  ->  ( A. c  e.  ~P  J ( X  = 
U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  c  /\  X  =  U. d ) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
) ) )
18328, 182syl5bi 221 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  ->  ( X  =/=  (/)  ->  ( A. c  e.  ~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d ) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b ) ) )
18427, 183pm2.61dne 2742 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  C_  J )  ->  ( A. c  e.  ~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d ) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b ) )
18515, 184syl3an3 1300 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  U. a  /\  a  e.  ~P J )  ->  ( A. c  e.  ~P  J ( X  = 
U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  c  /\  X  =  U. d ) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
) )
1861853exp 1205 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( X  =  U. a  ->  ( a  e.  ~P J  ->  ( A. c  e.  ~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d ) )  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b ) ) ) )
187186com24 91 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. c  e.  ~P  J ( X  = 
U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  c  /\  X  =  U. d ) )  -> 
( a  e.  ~P J  ->  ( X  = 
U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) X  = 
U. b ) ) ) )
188187ralrimdv 2842 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. c  e.  ~P  J ( X  = 
U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  c  /\  X  =  U. d ) )  ->  A. a  e.  ~P  J ( X  = 
U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) X  = 
U. b ) ) )
1892iscmp 20395 . . . 4  |-  ( J  e.  Comp  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. a  e.  ~P  J ( X  =  U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. b
) ) )
190189baibr 913 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. a  e.  ~P  J ( X  = 
U. a  ->  E. b  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) X  = 
U. b )  <->  J  e.  Comp ) )
191188, 190sylibd 218 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. c  e.  ~P  J ( X  = 
U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d  C_  c  /\  X  =  U. d ) )  ->  J  e.  Comp ) )
19214, 191impbid2 208 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Comp  <->  A. c  e.  ~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  PtFin  ( d 
C_  c  /\  X  =  U. d ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438   E.wex 1660    e. wcel 1869   {cab 2408    =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   {crab 2780   _Vcvv 3082    u. cun 3435    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   ~Pcpw 3980   {csn 3997   U.cuni 4217   U_ciun 4297    |-> cmpt 4480   ran crn 4852    Fn wfn 5594   -->wf 5595   -onto->wfo 5597   ` cfv 5599   Fincfn 7575   Topctop 19909   Compccmp 20393   PtFincptfin 20510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-fin 7579  df-top 19913  df-cmp 20394  df-ptfin 20513
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