Theorem comppfsc 28532

Description: A space where every open cover has a point-finite subcover is compact. This is significant in part because it shows half of the proposition that if only half the generalization in the definition of metacompactness (and consequently paracompactness) is performed, one does not obtain any more spaces. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
comppfsc.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
comppfsc	|- ( J e. Top -> ( J e. Comp <-> A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) ) )

Distinct variable groups:   c, d, J   X, c, d

Proof of Theorem comppfsc

Dummy variables a b f p q s x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 3864	. . . 4 |- ( c e. ~P J -> c C_ J )
2		comppfsc.1	. . . . . . 7 |- X = U. J
3	2	cmpcov 18967	. . . . . 6 |- ( ( J e. Comp /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d )
4		elfpw 7605	. . . . . . . 8 |- ( d e. ( ~P c i^i Fin ) <-> ( d C_ c /\ d e. Fin ) )
5		finptfin 28522	. . . . . . . . . . 11 |- ( d e. Fin -> d e. PtFin )
6	5	anim1i 568	. . . . . . . . . 10 |- ( ( d e. Fin /\ ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> ( d e. PtFin /\ ( d C_ c /\ X = U. d ) ) )
7	6	anassrs 648	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( d e. Fin /\ d C_ c ) /\ X = U. d ) -> ( d e. PtFin /\ ( d C_ c /\ X = U. d ) ) )
8	7	ancom1s 803	. . . . . . . 8 |- ( ( ( d C_ c /\ d e. Fin ) /\ X = U. d ) -> ( d e. PtFin /\ ( d C_ c /\ X = U. d ) ) )
9	4, 8	sylanb 472	. . . . . . 7 |- ( ( d e. ( ~P c i^i Fin ) /\ X = U. d ) -> ( d e. PtFin /\ ( d C_ c /\ X = U. d ) ) )
10	9	reximi2 2817	. . . . . 6 |- ( E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) )
11	3, 10	syl 16	. . . . 5 |- ( ( J e. Comp /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) )
12	11	3exp 1186	. . . 4 |- ( J e. Comp -> ( c C_ J -> ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) ) )
13	1, 12	syl5 32	. . 3 |- ( J e. Comp -> ( c e. ~P J -> ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) ) )
14	13	ralrimiv 2793	. 2 |- ( J e. Comp -> A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) )
15		elpwi 3864	. . . . . . 7 |- ( a e. ~P J -> a C_ J )
16		0elpw 4456	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. ~P a
17		0fin 7532	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. Fin
18		elin 3534	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. ( ~P a i^i Fin ) <-> ( (/) e. ~P a /\ (/) e. Fin ) )
19	16, 17, 18	mpbir2an 911	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. ( ~P a i^i Fin )
20		unieq 4094	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = (/) -> U. b = U. (/) )
21		uni0 4113	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. (/) = (/)
22	20, 21	syl6eq 2486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = (/) -> U. b = (/) )
23	22	eqeq2d 2449	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = (/) -> ( X = U. b <-> X = (/) ) )
24	23	rspcev 3068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (/) e. ( ~P a i^i Fin ) /\ X = (/) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b )
25	19, 24	mpan 670	. . . . . . . . 9 |- ( X = (/) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b )
26	25	a1i13 28443	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( X = (/) -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
27		n0 3641	. . . . . . . . 9 |- ( X =/= (/) <-> E. x x e. X )
28		simp2 989	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> X = U. a )
29	28	eleq2d 2505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( x e. X <-> x e. U. a ) )
30	29	biimpd 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( x e. X -> x e. U. a ) )
31		eluni2 4090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. U. a <-> E. s e. a x e. s )
32	30, 31	syl6ib 226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( x e. X -> E. s e. a x e. s ) )
33		simpl3 993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> a C_ J )
34		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> s e. a )
35	33, 34	sseldd 3352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> s e. J )
36		elssuni 4116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s e. J -> s C_ U. J )
37	36, 2	syl6sseqr 3398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s e. J -> s C_ X )
38	35, 37	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> s C_ X )
39	38	ralrimivw 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> A. p e. a s C_ X )
40		iunss 4206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U_ p e. a s C_ X <-> A. p e. a s C_ X )
41	39, 40	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> U_ p e. a s C_ X )
42		ssequn1 3521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U_ p e. a s C_ X <-> ( U_ p e. a s u. X ) = X )
43	41, 42	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( U_ p e. a s u. X ) = X )
44		simpl2 992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> X = U. a )
45		uniiun 4218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. a = U_ p e. a p
46	44, 45	syl6eq 2486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> X = U_ p e. a p )
47	46	uneq2d 3505	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( U_ p e. a s u. X ) = ( U_ p e. a s u. U_ p e. a p ) )
48	43, 47	eqtr3d 2472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> X = ( U_ p e. a s u. U_ p e. a p ) )
49		iunun 4246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U_ p e. a ( s u. p ) = ( U_ p e. a s u. U_ p e. a p )
50		vex 2970	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- s e. _V
51		vex 2970	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- p e. _V
52	50, 51	unex 6373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s u. p ) e. _V
53	52	dfiun3 5089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U_ p e. a ( s u. p ) = U. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) )
54	49, 53	eqtr3i 2460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U_ p e. a s u. U_ p e. a p ) = U. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) )
55	48, 54	syl6eq 2486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> X = U. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) )
56		simpll1 1027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ p e. a ) -> J e. Top )
57	35	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ p e. a ) -> s e. J )
58	33	sselda 3351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ p e. a ) -> p e. J )
59		unopn 18491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J e. Top /\ s e. J /\ p e. J ) -> ( s u. p ) e. J )
60	56, 57, 58, 59	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ p e. a ) -> ( s u. p ) e. J )
61		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p e. a |-> ( s u. p ) ) = ( p e. a |-> ( s u. p ) )
62	60, 61	fmptd 5862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( p e. a |-> ( s u. p ) ) : a --> J )
63		frn 5560	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( p e. a |-> ( s u. p ) ) : a --> J -> ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) C_ J )
64	62, 63	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) C_ J )
65		elpw2g 4450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( J e. Top -> ( ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) e. ~P J <-> ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) C_ J ) )
66	65	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) e. ~P J <-> ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) C_ J ) )
67	66	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) e. ~P J <-> ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) C_ J ) )
68	64, 67	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) e. ~P J )
69		unieq 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c = ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> U. c = U. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) )
70	69	eqeq2d 2449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c = ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> ( X = U. c <-> X = U. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) ) )
71		sseq2 3373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( c = ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> ( d C_ c <-> d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) ) )
72	71	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c = ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> ( ( d C_ c /\ X = U. d ) <-> ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) )
73	72	rexbidv 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c = ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> ( E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) <-> E. d e. PtFin ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) )
74	70, 73	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> ( ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) <-> ( X = U. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> E. d e. PtFin ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) ) )
75	74	rspcv 3064	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) e. ~P J -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> ( X = U. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> E. d e. PtFin ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) ) )
76	68, 75	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> ( X = U. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> E. d e. PtFin ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) ) )
77	55, 76	mpid 41	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. d e. PtFin ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) )
78		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> x e. s )
79		ssel2 3346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( a C_ J /\ s e. a ) -> s e. J )
80	79	3ad2antl3 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ s e. a ) -> s e. J )
81	80	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> s e. J )
82		elunii 4091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. s /\ s e. J ) -> x e. U. J )
83	78, 81, 82	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> x e. U. J )
84	83, 2	syl6eleqr 2529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> x e. X )
85	84	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> x e. X )
86		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> X = U. d )
87	85, 86	eleqtrd 2514	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> x e. U. d )
88		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- U. d = U. d
89	88	ptfinfin 28523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( d e. PtFin /\ x e. U. d ) -> { z e. d | x e. z } e. Fin )
90	89	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. U. d -> ( d e. PtFin -> { z e. d | x e. z } e. Fin ) )
91	87, 90	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> ( d e. PtFin -> { z e. d | x e. z } e. Fin ) )
92		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) )
93		elun1 3518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x e. s -> x e. ( s u. p ) )
94	93	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> x e. ( s u. p ) )
95	94	ralrimivw 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> A. p e. a x e. ( s u. p ) )
96	52	rgenw 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- A. p e. a ( s u. p ) e. _V
97		eleq2 2499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z = ( s u. p ) -> ( x e. z <-> x e. ( s u. p ) ) )
98	61, 97	ralrnmpt 5847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A. p e. a ( s u. p ) e. _V -> ( A. z e. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) x e. z <-> A. p e. a x e. ( s u. p ) ) )
99	96, 98	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. z e. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) x e. z <-> A. p e. a x e. ( s u. p ) )
100	95, 99	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> A. z e. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) x e. z )
101	100	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> A. z e. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) x e. z )
102		ssralv 3411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> ( A. z e. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) x e. z -> A. z e. d x e. z ) )
103	92, 101, 102	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> A. z e. d x e. z )
104		rabid2 2893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( d = { z e. d | x e. z } <-> A. z e. d x e. z )
105	103, 104	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> d = { z e. d | x e. z } )
106	105	eleq1d 2504	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> ( d e. Fin <-> { z e. d | x e. z } e. Fin ) )
107	106	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> ( { z e. d | x e. z } e. Fin -> d e. Fin ) )
108	61	rnmpt 5080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) = { q | E. p e. a q = ( s u. p ) }
109	92, 108	syl6sseq 3397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> d C_ { q | E. p e. a q = ( s u. p ) } )
110		ssabral 3418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( d C_ { q | E. p e. a q = ( s u. p ) } <-> A. q e. d E. p e. a q = ( s u. p ) )
111	109, 110	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> A. q e. d E. p e. a q = ( s u. p ) )
112		uneq2 3499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = ( f ` q ) -> ( s u. p ) = ( s u. ( f ` q ) ) )
113	112	eqeq2d 2449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = ( f ` q ) -> ( q = ( s u. p ) <-> q = ( s u. ( f ` q ) ) ) )
114	113	ac6sfi 7548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( d e. Fin /\ A. q e. d E. p e. a q = ( s u. p ) ) -> E. f ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) )
115	114	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. q e. d E. p e. a q = ( s u. p ) -> ( d e. Fin -> E. f ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) )
116	111, 115	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> ( d e. Fin -> E. f ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) )
117		frn 5560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( f : d --> a -> ran f C_ a )
118	117	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) -> ran f C_ a )
119	118	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> ran f C_ a )
120	34	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> s e. a )
121	120	snssd 4013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> { s } C_ a )
122	119, 121	unssd 3527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> ( ran f u. { s } ) C_ a )
123		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> d e. Fin )
124		simprrl 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> f : d --> a )
125		ffn 5554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( f : d --> a -> f Fn d )
126	124, 125	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> f Fn d )
127		dffn4 5621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( f Fn d <-> f : d -onto-> ran f )
128	126, 127	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> f : d -onto-> ran f )
129		fofi 7589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( d e. Fin /\ f : d -onto-> ran f ) -> ran f e. Fin )
130	123, 128, 129	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> ran f e. Fin )
131		snfi 7382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- { s } e. Fin
132		unfi 7571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ran f e. Fin /\ { s } e. Fin ) -> ( ran f u. { s } ) e. Fin )
133	130, 131, 132	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> ( ran f u. { s } ) e. Fin )
134		elfpw 7605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ran f u. { s } ) e. ( ~P a i^i Fin ) <-> ( ( ran f u. { s } ) C_ a /\ ( ran f u. { s } ) e. Fin ) )
135	122, 133, 134	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> ( ran f u. { s } ) e. ( ~P a i^i Fin ) )
136		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> X = U. d )
137		uniiun 4218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- U. d = U_ q e. d q
138		simprrr 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) )
139		iuneq2 4182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) -> U_ q e. d q = U_ q e. d ( s u. ( f ` q ) ) )
140	138, 139	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> U_ q e. d q = U_ q e. d ( s u. ( f ` q ) ) )
141	137, 140	syl5eq 2482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> U. d = U_ q e. d ( s u. ( f ` q ) ) )
142	136, 141	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> X = U_ q e. d ( s u. ( f ` q ) ) )
143		ssun2 3515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- { s } C_ ( ran f u. { s } )
144		ssnid 3901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- s e. { s }
145	143, 144	sselii 3348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- s e. ( ran f u. { s } )
146		elssuni 4116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( s e. ( ran f u. { s } ) -> s C_ U. ( ran f u. { s } ) )
147	145, 146	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- s C_ U. ( ran f u. { s } )
148		fvssunirn 5708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( f ` q ) C_ U. ran f
149		ssun1 3514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ran f C_ ( ran f u. { s } )
150	149	unissi 4109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- U. ran f C_ U. ( ran f u. { s } )
151	148, 150	sstri 3360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( f ` q ) C_ U. ( ran f u. { s } )
152	147, 151	unssi 3526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( s u. ( f ` q ) ) C_ U. ( ran f u. { s } )
153	152	rgenw 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- A. q e. d ( s u. ( f ` q ) ) C_ U. ( ran f u. { s } )
154		iunss 4206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( U_ q e. d ( s u. ( f ` q ) ) C_ U. ( ran f u. { s } ) <-> A. q e. d ( s u. ( f ` q ) ) C_ U. ( ran f u. { s } ) )
155	153, 154	mpbir 209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- U_ q e. d ( s u. ( f ` q ) ) C_ U. ( ran f u. { s } )
156	142, 155	syl6eqss 3401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> X C_ U. ( ran f u. { s } ) )
157	33	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> a C_ J )
158	119, 157	sstrd 3361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> ran f C_ J )
159	35	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> s e. J )
160	159	snssd 4013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> { s } C_ J )
161	158, 160	unssd 3527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> ( ran f u. { s } ) C_ J )
162		uniss 4107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ran f u. { s } ) C_ J -> U. ( ran f u. { s } ) C_ U. J )
163	162, 2	syl6sseqr 3398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ran f u. { s } ) C_ J -> U. ( ran f u. { s } ) C_ X )
164	161, 163	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> U. ( ran f u. { s } ) C_ X )
165	156, 164	eqssd 3368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> X = U. ( ran f u. { s } ) )
166		unieq 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( b = ( ran f u. { s } ) -> U. b = U. ( ran f u. { s } ) )
167	166	eqeq2d 2449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( b = ( ran f u. { s } ) -> ( X = U. b <-> X = U. ( ran f u. { s } ) ) )
168	167	rspcev 3068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ran f u. { s } ) e. ( ~P a i^i Fin ) /\ X = U. ( ran f u. { s } ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b )
169	135, 165, 168	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b )
170	169	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ d e. Fin ) -> ( ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) )
171	170	exlimdv 1690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ d e. Fin ) -> ( E. f ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) )
172	171	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> ( d e. Fin -> ( E. f ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
173	116, 172	mpdd 40	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> ( d e. Fin -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) )
174	91, 107, 173	3syld 55	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> ( d e. PtFin -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) )
175	174	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) -> ( d e. PtFin -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
176	175	com23 78	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( d e. PtFin -> ( ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
177	176	rexlimdv 2835	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( E. d e. PtFin ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) )
178	77, 177	syld 44	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) )
179	178	rexlimdvaa 2837	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( E. s e. a x e. s -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
180	32, 179	syld 44	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( x e. X -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
181	180	exlimdv 1690	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( E. x x e. X -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
182	27, 181	syl5bi 217	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( X =/= (/) -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
183	26, 182	pm2.61dne 2683	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) )
184	15, 183	syl3an3 1253	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a e. ~P J ) -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) )
185	184	3exp 1186	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( X = U. a -> ( a e. ~P J -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) ) )
186	185	com24 87	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> ( a e. ~P J -> ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) ) )
187	186	ralrimdv 2800	. . 3 |- ( J e. Top -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> A. a e. ~P J ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
188	2	iscmp 18966	. . . 4 |- ( J e. Comp <-> ( J e. Top /\ A. a e. ~P J ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
189	188	baibr 897	. . 3 |- ( J e. Top -> ( A. a e. ~P J ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) <-> J e. Comp ) )
190	187, 189	sylibd 214	. 2 |- ( J e. Top -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> J e. Comp ) )
191	14, 190	impbid2 204	1 |- ( J e. Top -> ( J e. Comp <-> A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   {cab 2424   =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   {crab 2714   _Vcvv 2967   u. cun 3321   i^i cin 3322   C_ wss 3323   (/)c0 3632   ~Pcpw 3855   {csn 3872   U.cuni 4086   U_ciun 4166   e. cmpt 4345   ran crn 4836   Fn wfn 5408   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   ` cfv 5413   Fincfn 7302   Topctop 18473   Compccmp 18964   PtFincptfin 28486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-fin 7306  df-top 18478  df-cmp 18965  df-ptfin 28490

This theorem is referenced by: (None)