Theorem comppfsc 26277

Description: A space where every open cover has a point-finite subcover is compact. This is significant in part because it shows half of the proposition that if only half the generalization in the definition of metacompactness (and consequently paracompactness) is performed, one does not obtain any more spaces. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
comppfsc.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
comppfsc	|- ( J e. Top -> ( J e. Comp <-> A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) ) )

Distinct variable groups:   c, d, J   X, c, d

Proof of Theorem comppfsc

Dummy variables a b f p q s x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 3767	. . . 4 |- ( c e. ~P J -> c C_ J )
2		comppfsc.1	. . . . . . 7 |- X = U. J
3	2	cmpcov 17406	. . . . . 6 |- ( ( J e. Comp /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d )
4		elfpw 7366	. . . . . . . 8 |- ( d e. ( ~P c i^i Fin ) <-> ( d C_ c /\ d e. Fin ) )
5		finptfin 26267	. . . . . . . . . . 11 |- ( d e. Fin -> d e. PtFin )
6	5	anim1i 552	. . . . . . . . . 10 |- ( ( d e. Fin /\ ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> ( d e. PtFin /\ ( d C_ c /\ X = U. d ) ) )
7	6	anassrs 630	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( d e. Fin /\ d C_ c ) /\ X = U. d ) -> ( d e. PtFin /\ ( d C_ c /\ X = U. d ) ) )
8	7	ancom1s 781	. . . . . . . 8 |- ( ( ( d C_ c /\ d e. Fin ) /\ X = U. d ) -> ( d e. PtFin /\ ( d C_ c /\ X = U. d ) ) )
9	4, 8	sylanb 459	. . . . . . 7 |- ( ( d e. ( ~P c i^i Fin ) /\ X = U. d ) -> ( d e. PtFin /\ ( d C_ c /\ X = U. d ) ) )
10	9	reximi2 2772	. . . . . 6 |- ( E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) )
11	3, 10	syl 16	. . . . 5 |- ( ( J e. Comp /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) )
12	11	3exp 1152	. . . 4 |- ( J e. Comp -> ( c C_ J -> ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) ) )
13	1, 12	syl5 30	. . 3 |- ( J e. Comp -> ( c e. ~P J -> ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) ) )
14	13	ralrimiv 2748	. 2 |- ( J e. Comp -> A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) )
15		elpwi 3767	. . . . . . 7 |- ( a e. ~P J -> a C_ J )
16		0elpw 4329	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. ~P a
17		0fin 7295	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. Fin
18		elin 3490	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. ( ~P a i^i Fin ) <-> ( (/) e. ~P a /\ (/) e. Fin ) )
19	16, 17, 18	mpbir2an 887	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. ( ~P a i^i Fin )
20		unieq 3984	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = (/) -> U. b = U. (/) )
21		uni0 4002	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. (/) = (/)
22	20, 21	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = (/) -> U. b = (/) )
23	22	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = (/) -> ( X = U. b <-> X = (/) ) )
24	23	rspcev 3012	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (/) e. ( ~P a i^i Fin ) /\ X = (/) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b )
25	19, 24	mpan 652	. . . . . . . . 9 |- ( X = (/) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b )
26	25	a1i13 26188	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( X = (/) -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
27		n0 3597	. . . . . . . . 9 |- ( X =/= (/) <-> E. x x e. X )
28		simp2 958	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> X = U. a )
29	28	eleq2d 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( x e. X <-> x e. U. a ) )
30	29	biimpd 199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( x e. X -> x e. U. a ) )
31		eluni2 3979	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. U. a <-> E. s e. a x e. s )
32	30, 31	syl6ib 218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( x e. X -> E. s e. a x e. s ) )
33		simpl3 962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> a C_ J )
34		simprl 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> s e. a )
35	33, 34	sseldd 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> s e. J )
36		elssuni 4003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s e. J -> s C_ U. J )
37	36, 2	syl6sseqr 3355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s e. J -> s C_ X )
38	35, 37	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> s C_ X )
39	38	ralrimivw 2750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> A. p e. a s C_ X )
40		iunss 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U_ p e. a s C_ X <-> A. p e. a s C_ X )
41	39, 40	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> U_ p e. a s C_ X )
42		ssequn1 3477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U_ p e. a s C_ X <-> ( U_ p e. a s u. X ) = X )
43	41, 42	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( U_ p e. a s u. X ) = X )
44		simpl2 961	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> X = U. a )
45		uniiun 4104	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. a = U_ p e. a p
46	44, 45	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> X = U_ p e. a p )
47	46	uneq2d 3461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( U_ p e. a s u. X ) = ( U_ p e. a s u. U_ p e. a p ) )
48	43, 47	eqtr3d 2438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> X = ( U_ p e. a s u. U_ p e. a p ) )
49		iunun 4131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U_ p e. a ( s u. p ) = ( U_ p e. a s u. U_ p e. a p )
50		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- s e. _V
51		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- p e. _V
52	50, 51	unex 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s u. p ) e. _V
53	52	dfiun3 5083	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U_ p e. a ( s u. p ) = U. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) )
54	49, 53	eqtr3i 2426	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U_ p e. a s u. U_ p e. a p ) = U. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) )
55	48, 54	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> X = U. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) )
56		simpll1 996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ p e. a ) -> J e. Top )
57	35	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ p e. a ) -> s e. J )
58	33	sselda 3308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ p e. a ) -> p e. J )
59		unopn 16931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J e. Top /\ s e. J /\ p e. J ) -> ( s u. p ) e. J )
60	56, 57, 58, 59	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ p e. a ) -> ( s u. p ) e. J )
61		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p e. a |-> ( s u. p ) ) = ( p e. a |-> ( s u. p ) )
62	60, 61	fmptd 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( p e. a |-> ( s u. p ) ) : a --> J )
63		frn 5556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( p e. a |-> ( s u. p ) ) : a --> J -> ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) C_ J )
64	62, 63	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) C_ J )
65		elpw2g 4323	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( J e. Top -> ( ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) e. ~P J <-> ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) C_ J ) )
66	65	3ad2ant1 978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) e. ~P J <-> ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) C_ J ) )
67	66	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) e. ~P J <-> ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) C_ J ) )
68	64, 67	mpbird 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) e. ~P J )
69		unieq 3984	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c = ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> U. c = U. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) )
70	69	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c = ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> ( X = U. c <-> X = U. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) ) )
71		sseq2 3330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( c = ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> ( d C_ c <-> d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) ) )
72	71	anbi1d 686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c = ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> ( ( d C_ c /\ X = U. d ) <-> ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) )
73	72	rexbidv 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c = ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> ( E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) <-> E. d e. PtFin ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) )
74	70, 73	imbi12d 312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> ( ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) <-> ( X = U. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> E. d e. PtFin ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) ) )
75	74	rspcv 3008	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) e. ~P J -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> ( X = U. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> E. d e. PtFin ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) ) )
76	68, 75	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> ( X = U. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> E. d e. PtFin ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) ) )
77	55, 76	mpid 39	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. d e. PtFin ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) )
78		simprr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> x e. s )
79		ssel2 3303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( a C_ J /\ s e. a ) -> s e. J )
80	79	3ad2antl3 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ s e. a ) -> s e. J )
81	80	adantrr 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> s e. J )
82		elunii 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. s /\ s e. J ) -> x e. U. J )
83	78, 81, 82	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> x e. U. J )
84	83, 2	syl6eleqr 2495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> x e. X )
85	84	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> x e. X )
86		simprr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> X = U. d )
87	85, 86	eleqtrd 2480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> x e. U. d )
88		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- U. d = U. d
89	88	ptfinfin 26268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( d e. PtFin /\ x e. U. d ) -> { z e. d | x e. z } e. Fin )
90	89	expcom 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. U. d -> ( d e. PtFin -> { z e. d | x e. z } e. Fin ) )
91	87, 90	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> ( d e. PtFin -> { z e. d | x e. z } e. Fin ) )
92		simprl 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) )
93		elun1 3474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x e. s -> x e. ( s u. p ) )
94	93	ad2antll 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> x e. ( s u. p ) )
95	94	ralrimivw 2750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> A. p e. a x e. ( s u. p ) )
96	52	rgenw 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- A. p e. a ( s u. p ) e. _V
97		eleq2 2465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z = ( s u. p ) -> ( x e. z <-> x e. ( s u. p ) ) )
98	61, 97	ralrnmpt 5837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A. p e. a ( s u. p ) e. _V -> ( A. z e. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) x e. z <-> A. p e. a x e. ( s u. p ) ) )
99	96, 98	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. z e. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) x e. z <-> A. p e. a x e. ( s u. p ) )
100	95, 99	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> A. z e. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) x e. z )
101	100	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> A. z e. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) x e. z )
102		ssralv 3367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> ( A. z e. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) x e. z -> A. z e. d x e. z ) )
103	92, 101, 102	sylc 58	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> A. z e. d x e. z )
104		rabid2 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( d = { z e. d | x e. z } <-> A. z e. d x e. z )
105	103, 104	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> d = { z e. d | x e. z } )
106	105	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> ( d e. Fin <-> { z e. d | x e. z } e. Fin ) )
107	106	biimprd 215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> ( { z e. d | x e. z } e. Fin -> d e. Fin ) )
108	61	rnmpt 5075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) = { q | E. p e. a q = ( s u. p ) }
109	92, 108	syl6sseq 3354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> d C_ { q | E. p e. a q = ( s u. p ) } )
110		ssabral 3374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( d C_ { q | E. p e. a q = ( s u. p ) } <-> A. q e. d E. p e. a q = ( s u. p ) )
111	109, 110	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> A. q e. d E. p e. a q = ( s u. p ) )
112		uneq2 3455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = ( f ` q ) -> ( s u. p ) = ( s u. ( f ` q ) ) )
113	112	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = ( f ` q ) -> ( q = ( s u. p ) <-> q = ( s u. ( f ` q ) ) ) )
114	113	ac6sfi 7310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( d e. Fin /\ A. q e. d E. p e. a q = ( s u. p ) ) -> E. f ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) )
115	114	expcom 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. q e. d E. p e. a q = ( s u. p ) -> ( d e. Fin -> E. f ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) )
116	111, 115	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> ( d e. Fin -> E. f ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) )
117		frn 5556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( f : d --> a -> ran f C_ a )
118	117	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) -> ran f C_ a )
119	118	ad2antll 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> ran f C_ a )
120	34	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> s e. a )
121	120	snssd 3903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> { s } C_ a )
122	119, 121	unssd 3483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> ( ran f u. { s } ) C_ a )
123		simprl 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> d e. Fin )
124		simprrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> f : d --> a )
125		ffn 5550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( f : d --> a -> f Fn d )
126	124, 125	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> f Fn d )
127		dffn4 5618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( f Fn d <-> f : d -onto-> ran f )
128	126, 127	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> f : d -onto-> ran f )
129		fofi 7351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( d e. Fin /\ f : d -onto-> ran f ) -> ran f e. Fin )
130	123, 128, 129	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> ran f e. Fin )
131		snfi 7146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- { s } e. Fin
132		unfi 7333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ran f e. Fin /\ { s } e. Fin ) -> ( ran f u. { s } ) e. Fin )
133	130, 131, 132	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> ( ran f u. { s } ) e. Fin )
134		elfpw 7366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ran f u. { s } ) e. ( ~P a i^i Fin ) <-> ( ( ran f u. { s } ) C_ a /\ ( ran f u. { s } ) e. Fin ) )
135	122, 133, 134	sylanbrc 646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> ( ran f u. { s } ) e. ( ~P a i^i Fin ) )
136		simplrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> X = U. d )
137		uniiun 4104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- U. d = U_ q e. d q
138		simprrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) )
139		iuneq2 4069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) -> U_ q e. d q = U_ q e. d ( s u. ( f ` q ) ) )
140	138, 139	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> U_ q e. d q = U_ q e. d ( s u. ( f ` q ) ) )
141	137, 140	syl5eq 2448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> U. d = U_ q e. d ( s u. ( f ` q ) ) )
142	136, 141	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> X = U_ q e. d ( s u. ( f ` q ) ) )
143		ssun2 3471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- { s } C_ ( ran f u. { s } )
144	50	snid 3801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- s e. { s }
145	143, 144	sselii 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- s e. ( ran f u. { s } )
146		elssuni 4003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( s e. ( ran f u. { s } ) -> s C_ U. ( ran f u. { s } ) )
147	145, 146	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- s C_ U. ( ran f u. { s } )
148		fvssunirn 5713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( f ` q ) C_ U. ran f
149		ssun1 3470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ran f C_ ( ran f u. { s } )
150	149	unissi 3998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- U. ran f C_ U. ( ran f u. { s } )
151	148, 150	sstri 3317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( f ` q ) C_ U. ( ran f u. { s } )
152	147, 151	unssi 3482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( s u. ( f ` q ) ) C_ U. ( ran f u. { s } )
153	152	rgenw 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- A. q e. d ( s u. ( f ` q ) ) C_ U. ( ran f u. { s } )
154		iunss 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( U_ q e. d ( s u. ( f ` q ) ) C_ U. ( ran f u. { s } ) <-> A. q e. d ( s u. ( f ` q ) ) C_ U. ( ran f u. { s } ) )
155	153, 154	mpbir 201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- U_ q e. d ( s u. ( f ` q ) ) C_ U. ( ran f u. { s } )
156	142, 155	syl6eqss 3358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> X C_ U. ( ran f u. { s } ) )
157	33	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> a C_ J )
158	119, 157	sstrd 3318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> ran f C_ J )
159	35	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> s e. J )
160	159	snssd 3903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> { s } C_ J )
161	158, 160	unssd 3483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> ( ran f u. { s } ) C_ J )
162		uniss 3996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ran f u. { s } ) C_ J -> U. ( ran f u. { s } ) C_ U. J )
163	162, 2	syl6sseqr 3355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ran f u. { s } ) C_ J -> U. ( ran f u. { s } ) C_ X )
164	161, 163	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> U. ( ran f u. { s } ) C_ X )
165	156, 164	eqssd 3325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> X = U. ( ran f u. { s } ) )
166		unieq 3984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( b = ( ran f u. { s } ) -> U. b = U. ( ran f u. { s } ) )
167	166	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( b = ( ran f u. { s } ) -> ( X = U. b <-> X = U. ( ran f u. { s } ) ) )
168	167	rspcev 3012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ran f u. { s } ) e. ( ~P a i^i Fin ) /\ X = U. ( ran f u. { s } ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b )
169	135, 165, 168	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b )
170	169	expr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ d e. Fin ) -> ( ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) )
171	170	exlimdv 1643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ d e. Fin ) -> ( E. f ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) )
172	171	ex 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> ( d e. Fin -> ( E. f ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
173	116, 172	mpdd 38	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> ( d e. Fin -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) )
174	91, 107, 173	3syld 53	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> ( d e. PtFin -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) )
175	174	ex 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) -> ( d e. PtFin -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
176	175	com23 74	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( d e. PtFin -> ( ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
177	176	rexlimdv 2789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( E. d e. PtFin ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) )
178	77, 177	syld 42	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) )
179	178	rexlimdvaa 2791	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( E. s e. a x e. s -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
180	32, 179	syld 42	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( x e. X -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
181	180	exlimdv 1643	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( E. x x e. X -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
182	27, 181	syl5bi 209	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( X =/= (/) -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
183	26, 182	pm2.61dne 2644	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) )
184	15, 183	syl3an3 1219	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a e. ~P J ) -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) )
185	184	3exp 1152	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( X = U. a -> ( a e. ~P J -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) ) )
186	185	com24 83	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> ( a e. ~P J -> ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) ) )
187	186	ralrimdv 2755	. . 3 |- ( J e. Top -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> A. a e. ~P J ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
188	2	iscmp 17405	. . . 4 |- ( J e. Comp <-> ( J e. Top /\ A. a e. ~P J ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
189	188	baibr 873	. . 3 |- ( J e. Top -> ( A. a e. ~P J ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) <-> J e. Comp ) )
190	187, 189	sylibd 206	. 2 |- ( J e. Top -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> J e. Comp ) )
191	14, 190	impbid2 196	1 |- ( J e. Top -> ( J e. Comp <-> A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   {cab 2390   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916   u. cun 3278   i^i cin 3279   C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U.cuni 3975   U_ciun 4053   e. cmpt 4226   ran crn 4838   Fn wfn 5408   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   ` cfv 5413   Fincfn 7068   Topctop 16913   Compccmp 17403   PtFincptfin 26231

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-fin 7072  df-top 16918  df-cmp 17404  df-ptfin 26235