Theorem compne 16417

Description: The complement of A is not equal to A.

Assertion

Ref	Expression
compne	|- (_V \ A) =/= A

Proof of Theorem compne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm5.19 732	. . . . 5 |- -. ([y / x]x e. A <-> -. [y / x]x e. A)
2		ax-4 1319	. . . . . 6 |- (A.y(y e. {x | -. x e. A} <-> y e. {x | x e. A}) -> (y e. {x | -. x e. A} <-> y e. {x | x e. A}))
3		df-clab 1872	. . . . . . . 8 |- (y e. {x | -. x e. A} <-> [y / x] -. x e. A)
4		df-clab 1872	. . . . . . . 8 |- (y e. {x | x e. A} <-> [y / x]x e. A)
5	3, 4	bibi12i 672	. . . . . . 7 |- ((y e. {x | -. x e. A} <-> y e. {x | x e. A}) <-> ([y / x] -. x e. A <-> [y / x]x e. A))
6		sbn 1601	. . . . . . . 8 |- ([y / x] -. x e. A <-> -. [y / x]x e. A)
7	6	bibi1i 671	. . . . . . 7 |- (([y / x] -. x e. A <-> [y / x]x e. A) <-> (-. [y / x]x e. A <-> [y / x]x e. A))
8		bicom 579	. . . . . . 7 |- ((-. [y / x]x e. A <-> [y / x]x e. A) <-> ([y / x]x e. A <-> -. [y / x]x e. A))
9	5, 7, 8	3bitri 194	. . . . . 6 |- ((y e. {x | -. x e. A} <-> y e. {x | x e. A}) <-> ([y / x]x e. A <-> -. [y / x]x e. A))
10	2, 9	sylib 215	. . . . 5 |- (A.y(y e. {x | -. x e. A} <-> y e. {x | x e. A}) -> ([y / x]x e. A <-> -. [y / x]x e. A))
11	1, 10	mto 121	. . . 4 |- -. A.y(y e. {x | -. x e. A} <-> y e. {x | x e. A})
12		dfcleq 1878	. . . 4 |- ({x | -. x e. A} = {x | x e. A} <-> A.y(y e. {x | -. x e. A} <-> y e. {x | x e. A}))
13	11, 12	mtbir 209	. . 3 |- -. {x | -. x e. A} = {x | x e. A}
14		compeq 16416	. . . . 5 |- (_V \ A) = {x | -. x e. A}
15	14	eqcomi 1888	. . . 4 |- {x | -. x e. A} = (_V \ A)
16		abid2 2011	. . . 4 |- {x | x e. A} = A
17	15, 16	eqeq12i 1897	. . 3 |- ({x | -. x e. A} = {x | x e. A} <-> (_V \ A) = A)
18	13, 17	mtbi 208	. 2 |- -. (_V \ A) = A
19		df-ne 2019	. 2 |- ((_V \ A) =/= A <-> -. (_V \ A) = A)
20	18, 19	mpbir 207	1 |- (_V \ A) =/= A

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 163  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  [wsbc 1534  {cab 1871   =/= wne 2017  _Vcvv 2292   \ cdif 2590

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597

Copyright terms: Public domain