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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > comfeq | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Condition for two categories with the same hom-sets to have the same composition. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.) |
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comfeq.1 |
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comfeq.2 |
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comfeq.h |
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comfeq.3 |
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comfeq.4 |
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comfeq.5 |
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comfeq |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ovex 6318 |
. . . . . 6
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2 | fvex 5875 |
. . . . . 6
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3 | 1, 2 | mpt2ex 6870 |
. . . . 5
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4 | 3 | rgen2w 2750 |
. . . 4
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5 | mpt22eqb 6405 |
. . . 4
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6 | 4, 5 | ax-mp 5 |
. . 3
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7 | vex 3048 |
. . . . . . . . 9
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8 | vex 3048 |
. . . . . . . . 9
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9 | 7, 8 | op2ndd 6804 |
. . . . . . . 8
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10 | 9 | oveq1d 6305 |
. . . . . . 7
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11 | fveq2 5865 |
. . . . . . . . 9
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12 | df-ov 6293 |
. . . . . . . . 9
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13 | 11, 12 | syl6eqr 2503 |
. . . . . . . 8
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14 | oveq1 6297 |
. . . . . . . . . 10
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15 | 14 | oveqd 6307 |
. . . . . . . . 9
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16 | oveq1 6297 |
. . . . . . . . . 10
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17 | 16 | oveqd 6307 |
. . . . . . . . 9
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18 | 15, 17 | eqeq12d 2466 |
. . . . . . . 8
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19 | 13, 18 | raleqbidv 3001 |
. . . . . . 7
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20 | 10, 19 | raleqbidv 3001 |
. . . . . 6
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21 | ovex 6318 |
. . . . . . . 8
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22 | 21 | rgen2w 2750 |
. . . . . . 7
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23 | mpt22eqb 6405 |
. . . . . . 7
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24 | 22, 23 | ax-mp 5 |
. . . . . 6
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25 | ralcom 2951 |
. . . . . 6
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26 | 20, 24, 25 | 3bitr4g 292 |
. . . . 5
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27 | 26 | ralbidv 2827 |
. . . 4
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28 | 27 | ralxp 4976 |
. . 3
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29 | 6, 28 | bitri 253 |
. 2
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30 | comfeq.3 |
. . . . . 6
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31 | 30 | sqxpeqd 4860 |
. . . . 5
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32 | eqidd 2452 |
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33 | 31, 30, 32 | mpt2eq123dv 6353 |
. . . 4
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34 | eqid 2451 |
. . . . 5
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35 | eqid 2451 |
. . . . 5
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36 | comfeq.h |
. . . . 5
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37 | comfeq.1 |
. . . . 5
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38 | 34, 35, 36, 37 | comfffval 15603 |
. . . 4
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39 | 33, 38 | syl6eqr 2503 |
. . 3
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40 | eqid 2451 |
. . . . . . . 8
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41 | comfeq.5 |
. . . . . . . . 9
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42 | 41 | 3ad2ant1 1029 |
. . . . . . . 8
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43 | xp2nd 6824 |
. . . . . . . . . 10
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44 | 43 | 3ad2ant2 1030 |
. . . . . . . . 9
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45 | 30 | 3ad2ant1 1029 |
. . . . . . . . 9
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46 | 44, 45 | eleqtrd 2531 |
. . . . . . . 8
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47 | simp3 1010 |
. . . . . . . . 9
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48 | 47, 45 | eleqtrd 2531 |
. . . . . . . 8
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49 | 35, 36, 40, 42, 46, 48 | homfeqval 15602 |
. . . . . . 7
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50 | xp1st 6823 |
. . . . . . . . . . . 12
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51 | 50 | 3ad2ant2 1030 |
. . . . . . . . . . 11
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52 | 51, 45 | eleqtrd 2531 |
. . . . . . . . . 10
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53 | 35, 36, 40, 42, 52, 46 | homfeqval 15602 |
. . . . . . . . 9
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54 | df-ov 6293 |
. . . . . . . . 9
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55 | df-ov 6293 |
. . . . . . . . 9
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56 | 53, 54, 55 | 3eqtr3g 2508 |
. . . . . . . 8
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57 | 1st2nd2 6830 |
. . . . . . . . . 10
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58 | 57 | 3ad2ant2 1030 |
. . . . . . . . 9
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59 | 58 | fveq2d 5869 |
. . . . . . . 8
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60 | 58 | fveq2d 5869 |
. . . . . . . 8
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61 | 56, 59, 60 | 3eqtr4d 2495 |
. . . . . . 7
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62 | eqidd 2452 |
. . . . . . 7
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63 | 49, 61, 62 | mpt2eq123dv 6353 |
. . . . . 6
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64 | 63 | mpt2eq3dva 6355 |
. . . . 5
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65 | comfeq.4 |
. . . . . . 7
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66 | 65 | sqxpeqd 4860 |
. . . . . 6
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67 | eqidd 2452 |
. . . . . 6
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68 | 66, 65, 67 | mpt2eq123dv 6353 |
. . . . 5
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69 | 64, 68 | eqtrd 2485 |
. . . 4
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70 | eqid 2451 |
. . . . 5
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71 | eqid 2451 |
. . . . 5
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72 | comfeq.2 |
. . . . 5
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73 | 70, 71, 40, 72 | comfffval 15603 |
. . . 4
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74 | 69, 73 | syl6eqr 2503 |
. . 3
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75 | 39, 74 | eqeq12d 2466 |
. 2
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76 | 29, 75 | syl5rbbr 264 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1669 ax-4 1682 ax-5 1758 ax-6 1805 ax-7 1851 ax-8 1889 ax-9 1896 ax-10 1915 ax-11 1920 ax-12 1933 ax-13 2091 ax-ext 2431 ax-rep 4515 ax-sep 4525 ax-nul 4534 ax-pow 4581 ax-pr 4639 ax-un 6583 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3an 987 df-tru 1447 df-ex 1664 df-nf 1668 df-sb 1798 df-eu 2303 df-mo 2304 df-clab 2438 df-cleq 2444 df-clel 2447 df-nfc 2581 df-ne 2624 df-ral 2742 df-rex 2743 df-reu 2744 df-rab 2746 df-v 3047 df-sbc 3268 df-csb 3364 df-dif 3407 df-un 3409 df-in 3411 df-ss 3418 df-nul 3732 df-if 3882 df-pw 3953 df-sn 3969 df-pr 3971 df-op 3975 df-uni 4199 df-iun 4280 df-br 4403 df-opab 4462 df-mpt 4463 df-id 4749 df-xp 4840 df-rel 4841 df-cnv 4842 df-co 4843 df-dm 4844 df-rn 4845 df-res 4846 df-ima 4847 df-iota 5546 df-fun 5584 df-fn 5585 df-f 5586 df-f1 5587 df-fo 5588 df-f1o 5589 df-fv 5590 df-ov 6293 df-oprab 6294 df-mpt2 6295 df-1st 6793 df-2nd 6794 df-homf 15576 df-comf 15577 |
This theorem is referenced by: comfeqd 15612 2oppccomf 15630 oppccomfpropd 15632 resssetc 15987 resscatc 16000 |
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