Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  comfeq Unicode version

Theorem comfeq 13887
 Description: Condition for two categories with the same hom-sets to have the same composition. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
comfeq.1 comp
comfeq.2 comp
comfeq.h
comfeq.3
comfeq.4
comfeq.5 f f
Assertion
Ref Expression
comfeq compf compf
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,   ,,,   ,,,,   ,,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   ()   ()   ()

Proof of Theorem comfeq
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6065 . . . . . 6
2 fvex 5701 . . . . . 6
31, 2mpt2ex 6384 . . . . 5
43rgen2w 2734 . . . 4
5 mpt22eqb 6138 . . . 4
64, 5ax-mp 8 . . 3
7 vex 2919 . . . . . . . . 9
8 vex 2919 . . . . . . . . 9
97, 8op2ndd 6317 . . . . . . . 8
109oveq1d 6055 . . . . . . 7
11 fveq2 5687 . . . . . . . . 9
12 df-ov 6043 . . . . . . . . 9
1311, 12syl6eqr 2454 . . . . . . . 8
14 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10
1514oveqd 6057 . . . . . . . . 9
16 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10
1716oveqd 6057 . . . . . . . . 9
1815, 17eqeq12d 2418 . . . . . . . 8
1913, 18raleqbidv 2876 . . . . . . 7
2010, 19raleqbidv 2876 . . . . . 6
21 ovex 6065 . . . . . . . 8
2221rgen2w 2734 . . . . . . 7
23 mpt22eqb 6138 . . . . . . 7
2422, 23ax-mp 8 . . . . . 6
25 ralcom 2828 . . . . . 6
2620, 24, 253bitr4g 280 . . . . 5
2726ralbidv 2686 . . . 4
2827ralxp 4975 . . 3
296, 28bitri 241 . 2
30 comfeq.3 . . . . . 6
3130, 30xpeq12d 4862 . . . . 5
32 eqidd 2405 . . . . 5
3331, 30, 32mpt2eq123dv 6095 . . . 4
34 eqid 2404 . . . . 5 compf compf
35 eqid 2404 . . . . 5
36 comfeq.h . . . . 5
37 comfeq.1 . . . . 5 comp
3834, 35, 36, 37comfffval 13879 . . . 4 compf
3933, 38syl6eqr 2454 . . 3 compf
40 eqid 2404 . . . . . . . 8
41 comfeq.5 . . . . . . . . 9 f f
42413ad2ant1 978 . . . . . . . 8 f f
43 xp2nd 6336 . . . . . . . . . 10
44433ad2ant2 979 . . . . . . . . 9
45303ad2ant1 978 . . . . . . . . 9
4644, 45eleqtrd 2480 . . . . . . . 8
47 simp3 959 . . . . . . . . 9
4847, 45eleqtrd 2480 . . . . . . . 8
4935, 36, 40, 42, 46, 48homfeqval 13878 . . . . . . 7
50 xp1st 6335 . . . . . . . . . . . 12
51503ad2ant2 979 . . . . . . . . . . 11
5251, 45eleqtrd 2480 . . . . . . . . . 10
5335, 36, 40, 42, 52, 46homfeqval 13878 . . . . . . . . 9
54 df-ov 6043 . . . . . . . . 9
55 df-ov 6043 . . . . . . . . 9
5653, 54, 553eqtr3g 2459 . . . . . . . 8
57 1st2nd2 6345 . . . . . . . . . 10
58573ad2ant2 979 . . . . . . . . 9
5958fveq2d 5691 . . . . . . . 8
6058fveq2d 5691 . . . . . . . 8
6156, 59, 603eqtr4d 2446 . . . . . . 7
62 eqidd 2405 . . . . . . 7
6349, 61, 62mpt2eq123dv 6095 . . . . . 6
6463mpt2eq3dva 6097 . . . . 5
65 comfeq.4 . . . . . . 7
6665, 65xpeq12d 4862 . . . . . 6
67 eqidd 2405 . . . . . 6
6866, 65, 67mpt2eq123dv 6095 . . . . 5
6964, 68eqtrd 2436 . . . 4
70 eqid 2404 . . . . 5 compf compf
71 eqid 2404 . . . . 5
72 comfeq.2 . . . . 5 comp
7370, 71, 40, 72comfffval 13879 . . . 4 compf
7469, 73syl6eqr 2454 . . 3 compf
7539, 74eqeq12d 2418 . 2 compf compf
7629, 75syl5rbbr 252 1 compf compf
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721  wral 2666  cvv 2916  cop 3777   cxp 4835  cfv 5413  (class class class)co 6040   cmpt2 6042  c1st 6306  c2nd 6307  cbs 13424   chom 13495  compcco 13496   f chomf 13846  compfccomf 13847 This theorem is referenced by:  comfeqd  13888  2oppccomf  13906  oppccomfpropd  13908  resssetc  14202  resscatc  14215 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-homf 13850  df-comf 13851
 Copyright terms: Public domain W3C validator