Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  comfeq Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem comfeq 15611
 Description: Condition for two categories with the same hom-sets to have the same composition. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
comfeq.1 comp
comfeq.2 comp
comfeq.h
comfeq.3
comfeq.4
comfeq.5 f f
Assertion
Ref Expression
comfeq compf compf
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,   ,,,   ,,,,   ,,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   ()   ()   ()

Proof of Theorem comfeq
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6318 . . . . . 6
2 fvex 5875 . . . . . 6
31, 2mpt2ex 6870 . . . . 5
43rgen2w 2750 . . . 4
5 mpt22eqb 6405 . . . 4
64, 5ax-mp 5 . . 3
7 vex 3048 . . . . . . . . 9
8 vex 3048 . . . . . . . . 9
97, 8op2ndd 6804 . . . . . . . 8
109oveq1d 6305 . . . . . . 7
11 fveq2 5865 . . . . . . . . 9
12 df-ov 6293 . . . . . . . . 9
1311, 12syl6eqr 2503 . . . . . . . 8
14 oveq1 6297 . . . . . . . . . 10
1514oveqd 6307 . . . . . . . . 9
16 oveq1 6297 . . . . . . . . . 10
1716oveqd 6307 . . . . . . . . 9
1815, 17eqeq12d 2466 . . . . . . . 8
1913, 18raleqbidv 3001 . . . . . . 7
2010, 19raleqbidv 3001 . . . . . 6
21 ovex 6318 . . . . . . . 8
2221rgen2w 2750 . . . . . . 7
23 mpt22eqb 6405 . . . . . . 7
2422, 23ax-mp 5 . . . . . 6
25 ralcom 2951 . . . . . 6
2620, 24, 253bitr4g 292 . . . . 5
2726ralbidv 2827 . . . 4
2827ralxp 4976 . . 3
296, 28bitri 253 . 2
30 comfeq.3 . . . . . 6
3130sqxpeqd 4860 . . . . 5
32 eqidd 2452 . . . . 5
3331, 30, 32mpt2eq123dv 6353 . . . 4
34 eqid 2451 . . . . 5 compf compf
35 eqid 2451 . . . . 5
36 comfeq.h . . . . 5
37 comfeq.1 . . . . 5 comp
3834, 35, 36, 37comfffval 15603 . . . 4 compf
3933, 38syl6eqr 2503 . . 3 compf
40 eqid 2451 . . . . . . . 8
41 comfeq.5 . . . . . . . . 9 f f
42413ad2ant1 1029 . . . . . . . 8 f f
43 xp2nd 6824 . . . . . . . . . 10
44433ad2ant2 1030 . . . . . . . . 9
45303ad2ant1 1029 . . . . . . . . 9
4644, 45eleqtrd 2531 . . . . . . . 8
47 simp3 1010 . . . . . . . . 9
4847, 45eleqtrd 2531 . . . . . . . 8
4935, 36, 40, 42, 46, 48homfeqval 15602 . . . . . . 7
50 xp1st 6823 . . . . . . . . . . . 12
51503ad2ant2 1030 . . . . . . . . . . 11
5251, 45eleqtrd 2531 . . . . . . . . . 10
5335, 36, 40, 42, 52, 46homfeqval 15602 . . . . . . . . 9
54 df-ov 6293 . . . . . . . . 9
55 df-ov 6293 . . . . . . . . 9
5653, 54, 553eqtr3g 2508 . . . . . . . 8
57 1st2nd2 6830 . . . . . . . . . 10
58573ad2ant2 1030 . . . . . . . . 9
5958fveq2d 5869 . . . . . . . 8
6058fveq2d 5869 . . . . . . . 8
6156, 59, 603eqtr4d 2495 . . . . . . 7
62 eqidd 2452 . . . . . . 7
6349, 61, 62mpt2eq123dv 6353 . . . . . 6
6463mpt2eq3dva 6355 . . . . 5
65 comfeq.4 . . . . . . 7
6665sqxpeqd 4860 . . . . . 6
67 eqidd 2452 . . . . . 6
6866, 65, 67mpt2eq123dv 6353 . . . . 5
6964, 68eqtrd 2485 . . . 4
70 eqid 2451 . . . . 5 compf compf
71 eqid 2451 . . . . 5
72 comfeq.2 . . . . 5 comp
7370, 71, 40, 72comfffval 15603 . . . 4 compf
7469, 73syl6eqr 2503 . . 3 compf
7539, 74eqeq12d 2466 . 2 compf compf
7629, 75syl5rbbr 264 1 compf compf
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887  wral 2737  cvv 3045  cop 3974   cxp 4832  cfv 5582  (class class class)co 6290   cmpt2 6292  c1st 6791  c2nd 6792  cbs 15121   chom 15201  compcco 15202   f chomf 15572  compfccomf 15573 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-homf 15576  df-comf 15577 This theorem is referenced by:  comfeqd  15612  2oppccomf  15630  oppccomfpropd  15632  resssetc  15987  resscatc  16000
 Copyright terms: Public domain W3C validator