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Theorem comet 21306
Description: The composition of an extended metric with a monotonic subadditive function is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
comet.1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
comet.2  |-  ( ph  ->  F : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
comet.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  0 ) )
comet.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) ) )
comet.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  ( F `  ( x +e y ) )  <_  ( ( F `  x ) +e ( F `
 y ) ) )
Assertion
Ref Expression
comet  |-  ( ph  ->  ( F  o.  D
)  e.  ( *Met `  X ) )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, F, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    X( x, y)

Proof of Theorem comet
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 comet.1 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
21elfvexd 5876 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
3 comet.2 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
4 xmetf 21122 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
51, 4syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
6 ffn 5713 . . . . 5  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  D  Fn  ( X  X.  X ) )
75, 6syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  Fn  ( X  X.  X ) )
8 xmetcl 21124 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  ( a D b )  e. 
RR* )
9 xmetge0 21137 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  0  <_  ( a D b ) )
10 elxrge0 11681 . . . . . . . 8  |-  ( ( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( a D b )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( a D b ) ) )
118, 9, 10sylanbrc 662 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  ( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
12113expb 1198 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
131, 12sylan 469 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1413ralrimivva 2824 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
15 ffnov 6386 . . . 4  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] +oo )  <->  ( D  Fn  ( X  X.  X
)  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
167, 14, 15sylanbrc 662 . . 3  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] +oo )
)
17 fco 5723 . . 3  |-  ( ( F : ( 0 [,] +oo ) --> RR* 
/\  D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( F  o.  D ) : ( X  X.  X ) --> RR* )
183, 16, 17syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o.  D
) : ( X  X.  X ) --> RR* )
19 opelxpi 4854 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  -> 
<. a ,  b >.  e.  ( X  X.  X
) )
20 fvco3 5925 . . . . . 6  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  <. a ,  b
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. a ,  b >. )  =  ( F `  ( D `  <. a ,  b >. )
) )
215, 19, 20syl2an 475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. a ,  b >. )  =  ( F `  ( D `  <. a ,  b >. )
) )
22 df-ov 6280 . . . . 5  |-  ( a ( F  o.  D
) b )  =  ( ( F  o.  D ) `  <. a ,  b >. )
23 df-ov 6280 . . . . . 6  |-  ( a D b )  =  ( D `  <. a ,  b >. )
2423fveq2i 5851 . . . . 5  |-  ( F `
 ( a D b ) )  =  ( F `  ( D `  <. a ,  b >. ) )
2521, 22, 243eqtr4g 2468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a ( F  o.  D ) b )  =  ( F `
 ( a D b ) ) )
2625eqeq1d 2404 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a ( F  o.  D ) b )  =  0  <-> 
( F `  (
a D b ) )  =  0 ) )
27 comet.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  0 ) )
2827ralrimiva 2817 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 [,] +oo )
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  0 ) )
2928adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  ->  A. x  e.  (
0 [,] +oo )
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  0 ) )
30 fveq2 5848 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( a D b ) ) )
3130eqeq1d 2404 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  ( F `  ( a D b ) )  =  0 ) )
32 eqeq1 2406 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
x  =  0  <->  (
a D b )  =  0 ) )
3331, 32bibi12d 319 . . . . 5  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  0 )  <-> 
( ( F `  ( a D b ) )  =  0  <-> 
( a D b )  =  0 ) ) )
3433rspcv 3155 . . . 4  |-  ( ( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) ( ( F `  x
)  =  0  <->  x  =  0 )  -> 
( ( F `  ( a D b ) )  =  0  <-> 
( a D b )  =  0 ) ) )
3513, 29, 34sylc 59 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( a D b ) )  =  0  <-> 
( a D b )  =  0 ) )
36 xmeteq0 21131 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  ( (
a D b )  =  0  <->  a  =  b ) )
37363expb 1198 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a D b )  =  0  <-> 
a  =  b ) )
381, 37sylan 469 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a D b )  =  0  <-> 
a  =  b ) )
3926, 35, 383bitrd 279 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a ( F  o.  D ) b )  =  0  <-> 
a  =  b ) )
403adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  F : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
41133adantr3 1158 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4240, 41ffvelrnd 6009 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a D b ) )  e.  RR* )
4316adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] +oo ) )
44 simpr3 1005 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
c  e.  X )
45 simpr1 1003 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
a  e.  X )
4643, 44, 45fovrnd 6427 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c D a )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
47 simpr2 1004 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
b  e.  X )
4843, 44, 47fovrnd 6427 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
49 ge0xaddcl 11686 . . . . . 6  |-  ( ( ( c D a )  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( c D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( ( c D a ) +e ( c D b ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5046, 48, 49syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( c D a ) +e
( c D b ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
5140, 50ffvelrnd 6009 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( c D a ) +e ( c D b ) ) )  e.  RR* )
5240, 46ffvelrnd 6009 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
c D a ) )  e.  RR* )
5340, 48ffvelrnd 6009 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
c D b ) )  e.  RR* )
5452, 53xaddcld 11545 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( c D a ) ) +e
( F `  (
c D b ) ) )  e.  RR* )
55 3anrot 979 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  X  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X )  <->  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X )
)
56 xmettri2 21133 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( c  e.  X  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a D b )  <_  ( (
c D a ) +e ( c D b ) ) )
5755, 56sylan2br 474 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a D b )  <_  ( (
c D a ) +e ( c D b ) ) )
581, 57sylan 469 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a D b )  <_  ( (
c D a ) +e ( c D b ) ) )
59 comet.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) ) )
6059ralrimivva 2824 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( x  <_  y  ->  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) ) )
6160adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  A. x  e.  (
0 [,] +oo ) A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( x  <_  y  ->  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) ) )
62 breq1 4397 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
x  <_  y  <->  ( a D b )  <_ 
y ) )
6330breq1d 4404 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  y )  <->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  y )
) )
6462, 63imbi12d 318 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
( x  <_  y  ->  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  <->  ( (
a D b )  <_  y  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  y ) ) ) )
65 breq2 4398 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( c D a ) +e ( c D b ) )  -> 
( ( a D b )  <_  y  <->  ( a D b )  <_  ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
66 fveq2 5848 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( c D a ) +e ( c D b ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
6766breq2d 4406 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( c D a ) +e ( c D b ) )  -> 
( ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  y )  <->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  ( ( c D a ) +e
( c D b ) ) ) ) )
6865, 67imbi12d 318 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( c D a ) +e ( c D b ) )  -> 
( ( ( a D b )  <_ 
y  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  y )
)  <->  ( ( a D b )  <_ 
( ( c D a ) +e
( c D b ) )  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  ( ( c D a ) +e
( c D b ) ) ) ) ) )
6964, 68rspc2va 3169 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( ( c D a ) +e
( c D b ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  ( 0 [,] +oo )
( x  <_  y  ->  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) ) )  ->  ( ( a D b )  <_ 
( ( c D a ) +e
( c D b ) )  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  ( ( c D a ) +e
( c D b ) ) ) ) )
7041, 50, 61, 69syl21anc 1229 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( a D b )  <_  (
( c D a ) +e ( c D b ) )  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  ( (
c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) )
7158, 70mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a D b ) )  <_  ( F `  ( ( c D a ) +e
( c D b ) ) ) )
72 comet.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  ( F `  ( x +e y ) )  <_  ( ( F `  x ) +e ( F `
 y ) ) )
7372ralrimivva 2824 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( F `  (
x +e y ) )  <_  (
( F `  x
) +e ( F `  y ) ) )
7473adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  A. x  e.  (
0 [,] +oo ) A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( F `  (
x +e y ) )  <_  (
( F `  x
) +e ( F `  y ) ) )
75 oveq1 6284 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  (
x +e y )  =  ( ( c D a ) +e y ) )
7675fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  ( F `  ( x +e y ) )  =  ( F `
 ( ( c D a ) +e y ) ) )
77 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( c D a ) ) )
7877oveq1d 6292 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  (
( F `  x
) +e ( F `  y ) )  =  ( ( F `  ( c D a ) ) +e ( F `
 y ) ) )
7976, 78breq12d 4407 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  (
( F `  (
x +e y ) )  <_  (
( F `  x
) +e ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( ( c D a ) +e
y ) )  <_ 
( ( F `  ( c D a ) ) +e
( F `  y
) ) ) )
80 oveq2 6285 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  (
( c D a ) +e y )  =  ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
8180fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  ( F `  ( (
c D a ) +e y ) )  =  ( F `
 ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
82 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( c D b ) ) )
8382oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  (
( F `  (
c D a ) ) +e ( F `  y ) )  =  ( ( F `  ( c D a ) ) +e ( F `
 ( c D b ) ) ) )
8481, 83breq12d 4407 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  (
( F `  (
( c D a ) +e y ) )  <_  (
( F `  (
c D a ) ) +e ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( ( c D a ) +e
( c D b ) ) )  <_ 
( ( F `  ( c D a ) ) +e
( F `  (
c D b ) ) ) ) )
8579, 84rspc2va 3169 . . . . 5  |-  ( ( ( ( c D a )  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( c D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  ( 0 [,] +oo )
( F `  (
x +e y ) )  <_  (
( F `  x
) +e ( F `  y ) ) )  ->  ( F `  ( (
c D a ) +e ( c D b ) ) )  <_  ( ( F `  ( c D a ) ) +e ( F `
 ( c D b ) ) ) )
8646, 48, 74, 85syl21anc 1229 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( c D a ) +e ( c D b ) ) )  <_  (
( F `  (
c D a ) ) +e ( F `  ( c D b ) ) ) )
8742, 51, 54, 71, 86xrletrd 11417 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a D b ) )  <_  ( ( F `  ( c D a ) ) +e ( F `
 ( c D b ) ) ) )
88253adantr3 1158 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a ( F  o.  D ) b )  =  ( F `
 ( a D b ) ) )
895adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
90 opelxpi 4854 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  X  /\  a  e.  X )  -> 
<. c ,  a >.  e.  ( X  X.  X
) )
9144, 45, 90syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  <. c ,  a >.  e.  ( X  X.  X
) )
92 fvco3 5925 . . . . . 6  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  <. c ,  a
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. c ,  a >. )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  a >. )
) )
9389, 91, 92syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. c ,  a >. )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  a >. )
) )
94 df-ov 6280 . . . . 5  |-  ( c ( F  o.  D
) a )  =  ( ( F  o.  D ) `  <. c ,  a >. )
95 df-ov 6280 . . . . . 6  |-  ( c D a )  =  ( D `  <. c ,  a >. )
9695fveq2i 5851 . . . . 5  |-  ( F `
 ( c D a ) )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  a >. ) )
9793, 94, 963eqtr4g 2468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c ( F  o.  D ) a )  =  ( F `
 ( c D a ) ) )
98 opelxpi 4854 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  X  /\  b  e.  X )  -> 
<. c ,  b >.  e.  ( X  X.  X
) )
9944, 47, 98syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  <. c ,  b >.  e.  ( X  X.  X
) )
100 fvco3 5925 . . . . . 6  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  <. c ,  b
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. c ,  b >. )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  b >. )
) )
10189, 99, 100syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. c ,  b >. )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  b >. )
) )
102 df-ov 6280 . . . . 5  |-  ( c ( F  o.  D
) b )  =  ( ( F  o.  D ) `  <. c ,  b >. )
103 df-ov 6280 . . . . . 6  |-  ( c D b )  =  ( D `  <. c ,  b >. )
104103fveq2i 5851 . . . . 5  |-  ( F `
 ( c D b ) )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  b >. ) )
105101, 102, 1043eqtr4g 2468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c ( F  o.  D ) b )  =  ( F `
 ( c D b ) ) )
10697, 105oveq12d 6295 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( c ( F  o.  D ) a ) +e
( c ( F  o.  D ) b ) )  =  ( ( F `  (
c D a ) ) +e ( F `  ( c D b ) ) ) )
10787, 88, 1063brtr4d 4424 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a ( F  o.  D ) b )  <_  ( (
c ( F  o.  D ) a ) +e ( c ( F  o.  D
) b ) ) )
1082, 18, 39, 107isxmetd 21119 1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  D
)  e.  ( *Met `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   <.cop 3977   class class class wbr 4394    X. cxp 4820    o. ccom 4826    Fn wfn 5563   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   0cc0 9521   +oocpnf 9654   RR*cxr 9656    <_ cle 9658   +ecxad 11368   [,]cicc 11584   *Metcxmt 18721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-2 10634  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-icc 11588  df-xmet 18730
This theorem is referenced by:  stdbdxmet  21308
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