Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  comet Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem comet 21606
 Description: The composition of an extended metric with a monotonic subadditive function is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
comet.1
comet.2
comet.3
comet.4
comet.5
Assertion
Ref Expression
comet
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem comet
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 comet.1 . . 3
21elfvexd 5907 . 2
3 comet.2 . . 3
4 xmetf 21422 . . . . . 6
51, 4syl 17 . . . . 5
6 ffn 5739 . . . . 5
75, 6syl 17 . . . 4
8 xmetcl 21424 . . . . . . . 8
9 xmetge0 21437 . . . . . . . 8
10 elxrge0 11767 . . . . . . . 8
118, 9, 10sylanbrc 677 . . . . . . 7
12113expb 1232 . . . . . 6
131, 12sylan 479 . . . . 5
1413ralrimivva 2814 . . . 4
15 ffnov 6419 . . . 4
167, 14, 15sylanbrc 677 . . 3
17 fco 5751 . . 3
183, 16, 17syl2anc 673 . 2
19 opelxpi 4871 . . . . . 6
20 fvco3 5957 . . . . . 6
215, 19, 20syl2an 485 . . . . 5
22 df-ov 6311 . . . . 5
23 df-ov 6311 . . . . . 6
2423fveq2i 5882 . . . . 5
2521, 22, 243eqtr4g 2530 . . . 4
2625eqeq1d 2473 . . 3
27 comet.3 . . . . . 6
2827ralrimiva 2809 . . . . 5
2928adantr 472 . . . 4
30 fveq2 5879 . . . . . . 7
3130eqeq1d 2473 . . . . . 6
32 eqeq1 2475 . . . . . 6
3331, 32bibi12d 328 . . . . 5
3433rspcv 3132 . . . 4
3513, 29, 34sylc 61 . . 3
36 xmeteq0 21431 . . . . 5
37363expb 1232 . . . 4
381, 37sylan 479 . . 3
3926, 35, 383bitrd 287 . 2
403adantr 472 . . . . 5
41133adantr3 1191 . . . . 5
4240, 41ffvelrnd 6038 . . . 4
4316adantr 472 . . . . . . 7
44 simpr3 1038 . . . . . . 7
45 simpr1 1036 . . . . . . 7
4643, 44, 45fovrnd 6460 . . . . . 6
47 simpr2 1037 . . . . . . 7
4843, 44, 47fovrnd 6460 . . . . . 6
49 ge0xaddcl 11772 . . . . . 6
5046, 48, 49syl2anc 673 . . . . 5
5140, 50ffvelrnd 6038 . . . 4
5240, 46ffvelrnd 6038 . . . . 5
5340, 48ffvelrnd 6038 . . . . 5
5452, 53xaddcld 11612 . . . 4
55 3anrot 1012 . . . . . . 7
56 xmettri2 21433 . . . . . . 7
5755, 56sylan2br 484 . . . . . 6
581, 57sylan 479 . . . . 5
59 comet.4 . . . . . . . 8
6059ralrimivva 2814 . . . . . . 7
6160adantr 472 . . . . . 6
62 breq1 4398 . . . . . . . 8
6330breq1d 4405 . . . . . . . 8
6462, 63imbi12d 327 . . . . . . 7
65 breq2 4399 . . . . . . . 8
66 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
6766breq2d 4407 . . . . . . . 8
6865, 67imbi12d 327 . . . . . . 7
6964, 68rspc2va 3148 . . . . . 6
7041, 50, 61, 69syl21anc 1291 . . . . 5
7158, 70mpd 15 . . . 4
72 comet.5 . . . . . . 7
7372ralrimivva 2814 . . . . . 6
7473adantr 472 . . . . 5
75 oveq1 6315 . . . . . . . 8
7675fveq2d 5883 . . . . . . 7
77 fveq2 5879 . . . . . . . 8
7877oveq1d 6323 . . . . . . 7
7976, 78breq12d 4408 . . . . . 6
80 oveq2 6316 . . . . . . . 8
8180fveq2d 5883 . . . . . . 7
82 fveq2 5879 . . . . . . . 8
8382oveq2d 6324 . . . . . . 7
8481, 83breq12d 4408 . . . . . 6
8579, 84rspc2va 3148 . . . . 5
8646, 48, 74, 85syl21anc 1291 . . . 4
8742, 51, 54, 71, 86xrletrd 11482 . . 3
895adantr 472 . . . . . 6
90 opelxpi 4871 . . . . . . 7
9144, 45, 90syl2anc 673 . . . . . 6
92 fvco3 5957 . . . . . 6
9389, 91, 92syl2anc 673 . . . . 5
94 df-ov 6311 . . . . 5
95 df-ov 6311 . . . . . 6
9695fveq2i 5882 . . . . 5
9793, 94, 963eqtr4g 2530 . . . 4
98 opelxpi 4871 . . . . . . 7
9944, 47, 98syl2anc 673 . . . . . 6
100 fvco3 5957 . . . . . 6
10189, 99, 100syl2anc 673 . . . . 5
102 df-ov 6311 . . . . 5
103 df-ov 6311 . . . . . 6
104103fveq2i 5882 . . . . 5
105101, 102, 1043eqtr4g 2530 . . . 4
10697, 105oveq12d 6326 . . 3
10787, 88, 1063brtr4d 4426 . 2
1082, 18, 39, 107isxmetd 21419 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cop 3965   class class class wbr 4395   cxp 4837   ccom 4843   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc0 9557   cpnf 9690  cxr 9692   cle 9694  cxad 11430  cicc 11663  cxmt 19032 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-2 10690  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-xmet 19040 This theorem is referenced by:  stdbdxmet  21608
 Copyright terms: Public domain W3C validator