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Theorem comet 21606
Description: The composition of an extended metric with a monotonic subadditive function is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
comet.1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
comet.2  |-  ( ph  ->  F : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
comet.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  0 ) )
comet.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) ) )
comet.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  ( F `  ( x +e y ) )  <_  ( ( F `  x ) +e ( F `
 y ) ) )
Assertion
Ref Expression
comet  |-  ( ph  ->  ( F  o.  D
)  e.  ( *Met `  X ) )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, F, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    X( x, y)

Proof of Theorem comet
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 comet.1 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
21elfvexd 5907 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
3 comet.2 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
4 xmetf 21422 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
51, 4syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
6 ffn 5739 . . . . 5  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  D  Fn  ( X  X.  X ) )
75, 6syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  Fn  ( X  X.  X ) )
8 xmetcl 21424 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  ( a D b )  e. 
RR* )
9 xmetge0 21437 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  0  <_  ( a D b ) )
10 elxrge0 11767 . . . . . . . 8  |-  ( ( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( a D b )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( a D b ) ) )
118, 9, 10sylanbrc 677 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  ( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
12113expb 1232 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
131, 12sylan 479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1413ralrimivva 2814 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
15 ffnov 6419 . . . 4  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] +oo )  <->  ( D  Fn  ( X  X.  X
)  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
167, 14, 15sylanbrc 677 . . 3  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] +oo )
)
17 fco 5751 . . 3  |-  ( ( F : ( 0 [,] +oo ) --> RR* 
/\  D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( F  o.  D ) : ( X  X.  X ) --> RR* )
183, 16, 17syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o.  D
) : ( X  X.  X ) --> RR* )
19 opelxpi 4871 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  -> 
<. a ,  b >.  e.  ( X  X.  X
) )
20 fvco3 5957 . . . . . 6  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  <. a ,  b
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. a ,  b >. )  =  ( F `  ( D `  <. a ,  b >. )
) )
215, 19, 20syl2an 485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. a ,  b >. )  =  ( F `  ( D `  <. a ,  b >. )
) )
22 df-ov 6311 . . . . 5  |-  ( a ( F  o.  D
) b )  =  ( ( F  o.  D ) `  <. a ,  b >. )
23 df-ov 6311 . . . . . 6  |-  ( a D b )  =  ( D `  <. a ,  b >. )
2423fveq2i 5882 . . . . 5  |-  ( F `
 ( a D b ) )  =  ( F `  ( D `  <. a ,  b >. ) )
2521, 22, 243eqtr4g 2530 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a ( F  o.  D ) b )  =  ( F `
 ( a D b ) ) )
2625eqeq1d 2473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a ( F  o.  D ) b )  =  0  <-> 
( F `  (
a D b ) )  =  0 ) )
27 comet.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  0 ) )
2827ralrimiva 2809 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 [,] +oo )
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  0 ) )
2928adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  ->  A. x  e.  (
0 [,] +oo )
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  0 ) )
30 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( a D b ) ) )
3130eqeq1d 2473 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  ( F `  ( a D b ) )  =  0 ) )
32 eqeq1 2475 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
x  =  0  <->  (
a D b )  =  0 ) )
3331, 32bibi12d 328 . . . . 5  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  0 )  <-> 
( ( F `  ( a D b ) )  =  0  <-> 
( a D b )  =  0 ) ) )
3433rspcv 3132 . . . 4  |-  ( ( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) ( ( F `  x
)  =  0  <->  x  =  0 )  -> 
( ( F `  ( a D b ) )  =  0  <-> 
( a D b )  =  0 ) ) )
3513, 29, 34sylc 61 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( a D b ) )  =  0  <-> 
( a D b )  =  0 ) )
36 xmeteq0 21431 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  ( (
a D b )  =  0  <->  a  =  b ) )
37363expb 1232 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a D b )  =  0  <-> 
a  =  b ) )
381, 37sylan 479 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a D b )  =  0  <-> 
a  =  b ) )
3926, 35, 383bitrd 287 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a ( F  o.  D ) b )  =  0  <-> 
a  =  b ) )
403adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  F : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
41133adantr3 1191 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4240, 41ffvelrnd 6038 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a D b ) )  e.  RR* )
4316adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] +oo ) )
44 simpr3 1038 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
c  e.  X )
45 simpr1 1036 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
a  e.  X )
4643, 44, 45fovrnd 6460 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c D a )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
47 simpr2 1037 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
b  e.  X )
4843, 44, 47fovrnd 6460 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
49 ge0xaddcl 11772 . . . . . 6  |-  ( ( ( c D a )  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( c D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( ( c D a ) +e ( c D b ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5046, 48, 49syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( c D a ) +e
( c D b ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
5140, 50ffvelrnd 6038 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( c D a ) +e ( c D b ) ) )  e.  RR* )
5240, 46ffvelrnd 6038 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
c D a ) )  e.  RR* )
5340, 48ffvelrnd 6038 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
c D b ) )  e.  RR* )
5452, 53xaddcld 11612 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( c D a ) ) +e
( F `  (
c D b ) ) )  e.  RR* )
55 3anrot 1012 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  X  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X )  <->  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X )
)
56 xmettri2 21433 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( c  e.  X  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a D b )  <_  ( (
c D a ) +e ( c D b ) ) )
5755, 56sylan2br 484 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a D b )  <_  ( (
c D a ) +e ( c D b ) ) )
581, 57sylan 479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a D b )  <_  ( (
c D a ) +e ( c D b ) ) )
59 comet.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) ) )
6059ralrimivva 2814 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( x  <_  y  ->  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) ) )
6160adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  A. x  e.  (
0 [,] +oo ) A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( x  <_  y  ->  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) ) )
62 breq1 4398 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
x  <_  y  <->  ( a D b )  <_ 
y ) )
6330breq1d 4405 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  y )  <->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  y )
) )
6462, 63imbi12d 327 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
( x  <_  y  ->  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  <->  ( (
a D b )  <_  y  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  y ) ) ) )
65 breq2 4399 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( c D a ) +e ( c D b ) )  -> 
( ( a D b )  <_  y  <->  ( a D b )  <_  ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
66 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( c D a ) +e ( c D b ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
6766breq2d 4407 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( c D a ) +e ( c D b ) )  -> 
( ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  y )  <->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  ( ( c D a ) +e
( c D b ) ) ) ) )
6865, 67imbi12d 327 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( c D a ) +e ( c D b ) )  -> 
( ( ( a D b )  <_ 
y  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  y )
)  <->  ( ( a D b )  <_ 
( ( c D a ) +e
( c D b ) )  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  ( ( c D a ) +e
( c D b ) ) ) ) ) )
6964, 68rspc2va 3148 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( ( c D a ) +e
( c D b ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  ( 0 [,] +oo )
( x  <_  y  ->  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) ) )  ->  ( ( a D b )  <_ 
( ( c D a ) +e
( c D b ) )  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  ( ( c D a ) +e
( c D b ) ) ) ) )
7041, 50, 61, 69syl21anc 1291 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( a D b )  <_  (
( c D a ) +e ( c D b ) )  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  ( (
c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) )
7158, 70mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a D b ) )  <_  ( F `  ( ( c D a ) +e
( c D b ) ) ) )
72 comet.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  ( F `  ( x +e y ) )  <_  ( ( F `  x ) +e ( F `
 y ) ) )
7372ralrimivva 2814 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( F `  (
x +e y ) )  <_  (
( F `  x
) +e ( F `  y ) ) )
7473adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  A. x  e.  (
0 [,] +oo ) A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( F `  (
x +e y ) )  <_  (
( F `  x
) +e ( F `  y ) ) )
75 oveq1 6315 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  (
x +e y )  =  ( ( c D a ) +e y ) )
7675fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  ( F `  ( x +e y ) )  =  ( F `
 ( ( c D a ) +e y ) ) )
77 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( c D a ) ) )
7877oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  (
( F `  x
) +e ( F `  y ) )  =  ( ( F `  ( c D a ) ) +e ( F `
 y ) ) )
7976, 78breq12d 4408 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  (
( F `  (
x +e y ) )  <_  (
( F `  x
) +e ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( ( c D a ) +e
y ) )  <_ 
( ( F `  ( c D a ) ) +e
( F `  y
) ) ) )
80 oveq2 6316 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  (
( c D a ) +e y )  =  ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
8180fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  ( F `  ( (
c D a ) +e y ) )  =  ( F `
 ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
82 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( c D b ) ) )
8382oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  (
( F `  (
c D a ) ) +e ( F `  y ) )  =  ( ( F `  ( c D a ) ) +e ( F `
 ( c D b ) ) ) )
8481, 83breq12d 4408 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  (
( F `  (
( c D a ) +e y ) )  <_  (
( F `  (
c D a ) ) +e ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( ( c D a ) +e
( c D b ) ) )  <_ 
( ( F `  ( c D a ) ) +e
( F `  (
c D b ) ) ) ) )
8579, 84rspc2va 3148 . . . . 5  |-  ( ( ( ( c D a )  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( c D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  ( 0 [,] +oo )
( F `  (
x +e y ) )  <_  (
( F `  x
) +e ( F `  y ) ) )  ->  ( F `  ( (
c D a ) +e ( c D b ) ) )  <_  ( ( F `  ( c D a ) ) +e ( F `
 ( c D b ) ) ) )
8646, 48, 74, 85syl21anc 1291 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( c D a ) +e ( c D b ) ) )  <_  (
( F `  (
c D a ) ) +e ( F `  ( c D b ) ) ) )
8742, 51, 54, 71, 86xrletrd 11482 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a D b ) )  <_  ( ( F `  ( c D a ) ) +e ( F `
 ( c D b ) ) ) )
88253adantr3 1191 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a ( F  o.  D ) b )  =  ( F `
 ( a D b ) ) )
895adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
90 opelxpi 4871 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  X  /\  a  e.  X )  -> 
<. c ,  a >.  e.  ( X  X.  X
) )
9144, 45, 90syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  <. c ,  a >.  e.  ( X  X.  X
) )
92 fvco3 5957 . . . . . 6  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  <. c ,  a
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. c ,  a >. )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  a >. )
) )
9389, 91, 92syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. c ,  a >. )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  a >. )
) )
94 df-ov 6311 . . . . 5  |-  ( c ( F  o.  D
) a )  =  ( ( F  o.  D ) `  <. c ,  a >. )
95 df-ov 6311 . . . . . 6  |-  ( c D a )  =  ( D `  <. c ,  a >. )
9695fveq2i 5882 . . . . 5  |-  ( F `
 ( c D a ) )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  a >. ) )
9793, 94, 963eqtr4g 2530 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c ( F  o.  D ) a )  =  ( F `
 ( c D a ) ) )
98 opelxpi 4871 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  X  /\  b  e.  X )  -> 
<. c ,  b >.  e.  ( X  X.  X
) )
9944, 47, 98syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  <. c ,  b >.  e.  ( X  X.  X
) )
100 fvco3 5957 . . . . . 6  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  <. c ,  b
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. c ,  b >. )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  b >. )
) )
10189, 99, 100syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. c ,  b >. )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  b >. )
) )
102 df-ov 6311 . . . . 5  |-  ( c ( F  o.  D
) b )  =  ( ( F  o.  D ) `  <. c ,  b >. )
103 df-ov 6311 . . . . . 6  |-  ( c D b )  =  ( D `  <. c ,  b >. )
104103fveq2i 5882 . . . . 5  |-  ( F `
 ( c D b ) )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  b >. ) )
105101, 102, 1043eqtr4g 2530 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c ( F  o.  D ) b )  =  ( F `
 ( c D b ) ) )
10697, 105oveq12d 6326 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( c ( F  o.  D ) a ) +e
( c ( F  o.  D ) b ) )  =  ( ( F `  (
c D a ) ) +e ( F `  ( c D b ) ) ) )
10787, 88, 1063brtr4d 4426 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a ( F  o.  D ) b )  <_  ( (
c ( F  o.  D ) a ) +e ( c ( F  o.  D
) b ) ) )
1082, 18, 39, 107isxmetd 21419 1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  D
)  e.  ( *Met `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   <.cop 3965   class class class wbr 4395    X. cxp 4837    o. ccom 4843    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    <_ cle 9694   +ecxad 11430   [,]cicc 11663   *Metcxmt 19032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-2 10690  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-xmet 19040
This theorem is referenced by:  stdbdxmet  21608
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