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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > comet | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The composition of an extended metric with a monotonic subadditive function is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) |
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comet.1 |
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comet.2 |
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comet.3 |
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comet.4 |
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comet.5 |
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comet |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | comet.1 |
. . 3
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2 | 1 | elfvexd 5907 |
. 2
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3 | comet.2 |
. . 3
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4 | xmetf 21422 |
. . . . . 6
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5 | 1, 4 | syl 17 |
. . . . 5
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6 | ffn 5739 |
. . . . 5
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7 | 5, 6 | syl 17 |
. . . 4
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8 | xmetcl 21424 |
. . . . . . . 8
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9 | xmetge0 21437 |
. . . . . . . 8
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10 | elxrge0 11767 |
. . . . . . . 8
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11 | 8, 9, 10 | sylanbrc 677 |
. . . . . . 7
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12 | 11 | 3expb 1232 |
. . . . . 6
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13 | 1, 12 | sylan 479 |
. . . . 5
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14 | 13 | ralrimivva 2814 |
. . . 4
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15 | ffnov 6419 |
. . . 4
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16 | 7, 14, 15 | sylanbrc 677 |
. . 3
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17 | fco 5751 |
. . 3
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18 | 3, 16, 17 | syl2anc 673 |
. 2
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19 | opelxpi 4871 |
. . . . . 6
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20 | fvco3 5957 |
. . . . . 6
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21 | 5, 19, 20 | syl2an 485 |
. . . . 5
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22 | df-ov 6311 |
. . . . 5
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23 | df-ov 6311 |
. . . . . 6
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24 | 23 | fveq2i 5882 |
. . . . 5
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25 | 21, 22, 24 | 3eqtr4g 2530 |
. . . 4
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26 | 25 | eqeq1d 2473 |
. . 3
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27 | comet.3 |
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28 | 27 | ralrimiva 2809 |
. . . . 5
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29 | 28 | adantr 472 |
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30 | fveq2 5879 |
. . . . . . 7
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31 | 30 | eqeq1d 2473 |
. . . . . 6
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32 | eqeq1 2475 |
. . . . . 6
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33 | 31, 32 | bibi12d 328 |
. . . . 5
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34 | 33 | rspcv 3132 |
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35 | 13, 29, 34 | sylc 61 |
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36 | xmeteq0 21431 |
. . . . 5
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37 | 36 | 3expb 1232 |
. . . 4
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38 | 1, 37 | sylan 479 |
. . 3
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39 | 26, 35, 38 | 3bitrd 287 |
. 2
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40 | 3 | adantr 472 |
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41 | 13 | 3adantr3 1191 |
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42 | 40, 41 | ffvelrnd 6038 |
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43 | 16 | adantr 472 |
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44 | simpr3 1038 |
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45 | simpr1 1036 |
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46 | 43, 44, 45 | fovrnd 6460 |
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47 | simpr2 1037 |
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48 | 43, 44, 47 | fovrnd 6460 |
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49 | ge0xaddcl 11772 |
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50 | 46, 48, 49 | syl2anc 673 |
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51 | 40, 50 | ffvelrnd 6038 |
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52 | 40, 46 | ffvelrnd 6038 |
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53 | 40, 48 | ffvelrnd 6038 |
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54 | 52, 53 | xaddcld 11612 |
. . . 4
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55 | 3anrot 1012 |
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56 | xmettri2 21433 |
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57 | 55, 56 | sylan2br 484 |
. . . . . 6
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58 | 1, 57 | sylan 479 |
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59 | comet.4 |
. . . . . . . 8
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60 | 59 | ralrimivva 2814 |
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70 | 41, 50, 61, 69 | syl21anc 1291 |
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73 | 72 | ralrimivva 2814 |
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85 | 79, 84 | rspc2va 3148 |
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86 | 46, 48, 74, 85 | syl21anc 1291 |
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87 | 42, 51, 54, 71, 86 | xrletrd 11482 |
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88 | 25 | 3adantr3 1191 |
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90 | opelxpi 4871 |
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91 | 44, 45, 90 | syl2anc 673 |
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92 | fvco3 5957 |
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93 | 89, 91, 92 | syl2anc 673 |
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94 | df-ov 6311 |
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97 | 93, 94, 96 | 3eqtr4g 2530 |
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98 | opelxpi 4871 |
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99 | 44, 47, 98 | syl2anc 673 |
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100 | fvco3 5957 |
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101 | 89, 99, 100 | syl2anc 673 |
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102 | df-ov 6311 |
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103 | df-ov 6311 |
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104 | 103 | fveq2i 5882 |
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105 | 101, 102, 104 | 3eqtr4g 2530 |
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106 | 97, 105 | oveq12d 6326 |
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107 | 87, 88, 106 | 3brtr4d 4426 |
. 2
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108 | 2, 18, 39, 107 | isxmetd 21419 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 ax-cnex 9613 ax-resscn 9614 ax-1cn 9615 ax-icn 9616 ax-addcl 9617 ax-addrcl 9618 ax-mulcl 9619 ax-mulrcl 9620 ax-mulcom 9621 ax-addass 9622 ax-mulass 9623 ax-distr 9624 ax-i2m1 9625 ax-1ne0 9626 ax-1rid 9627 ax-rnegex 9628 ax-rrecex 9629 ax-cnre 9630 ax-pre-lttri 9631 ax-pre-lttrn 9632 ax-pre-ltadd 9633 ax-pre-mulgt0 9634 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-nel 2644 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rmo 2764 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-op 3966 df-uni 4191 df-iun 4271 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-riota 6270 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-1st 6812 df-2nd 6813 df-er 7381 df-map 7492 df-en 7588 df-dom 7589 df-sdom 7590 df-pnf 9695 df-mnf 9696 df-xr 9697 df-ltxr 9698 df-le 9699 df-sub 9882 df-neg 9883 df-div 10292 df-2 10690 df-rp 11326 df-xneg 11432 df-xadd 11433 df-xmul 11434 df-icc 11667 df-xmet 19040 |
This theorem is referenced by: stdbdxmet 21608 |
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