Theorem colperpex 24824

Description: In dimension 2 and above, on a line ( A L B ) there is always a perpendicular P from A on a given plane (here given by C, in case C does not lie on the line). Theorem 8.21 of [Schwabhauser] p. 63. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
colperpex.p	|- P = ( Base ` G )
colperpex.d	|- .- = ( dist ` G )
colperpex.i	|- I = (Itv ` G )
colperpex.l	|- L = (LineG ` G )
colperpex.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
colperpex.1	|- ( ph -> A e. P )
colperpex.2	|- ( ph -> B e. P )
colperpex.3	|- ( ph -> C e. P )
colperpex.4	|- ( ph -> A =/= B )
colperpex.5	|- ( ph -> GDimTarskiG≥ 2 )

Assertion

Ref	Expression
colperpex	|- ( ph -> E. p e. P ( ( A L p ) (⟂G ` G ) ( A L B ) /\ E. t e. P ( ( t e. ( A L B ) \/ A = B ) /\ t e. ( C I p ) ) ) )

Distinct variable groups:   .- , p, t   A, p, t   B, p, t   C, p, t   G, p, t   I, p, t   L, p, t   P, p, t   ph, p, t

Proof of Theorem colperpex

Dummy variables s d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		colperpex.p	. . . . 5 |- P = ( Base ` G )
2		colperpex.d	. . . . 5 |- .- = ( dist ` G )
3		colperpex.i	. . . . 5 |- I = (Itv ` G )
4		colperpex.l	. . . . 5 |- L = (LineG ` G )
5		colperpex.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. TarskiG )
6	5	ad3antrrr 741	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( A L B ) ) /\ d e. P ) /\ -. d e. ( A L B ) ) -> G e. TarskiG )
7		colperpex.1	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. P )
8	7	ad3antrrr 741	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( A L B ) ) /\ d e. P ) /\ -. d e. ( A L B ) ) -> A e. P )
9		colperpex.2	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. P )
10	9	ad3antrrr 741	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( A L B ) ) /\ d e. P ) /\ -. d e. ( A L B ) ) -> B e. P )
11		simplr 767	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( A L B ) ) /\ d e. P ) /\ -. d e. ( A L B ) ) -> d e. P )
12		colperpex.4	. . . . . 6 |- ( ph -> A =/= B )
13	12	ad3antrrr 741	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( A L B ) ) /\ d e. P ) /\ -. d e. ( A L B ) ) -> A =/= B )
14		simpr 467	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( A L B ) ) /\ d e. P ) /\ -. d e. ( A L B ) ) -> -. d e. ( A L B ) )
15	1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 14	colperpexlem3 24823	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( A L B ) ) /\ d e. P ) /\ -. d e. ( A L B ) ) -> E. p e. P ( ( A L p ) (⟂G ` G ) ( A L B ) /\ E. s e. P ( ( s e. ( A L B ) \/ A = B ) /\ s e. ( d I p ) ) ) )
16		simprl 769	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( A L B ) ) /\ d e. P ) /\ -. d e. ( A L B ) ) /\ p e. P ) /\ ( ( A L p ) (⟂G ` G ) ( A L B ) /\ E. s e. P ( ( s e. ( A L B ) \/ A = B ) /\ s e. ( d I p ) ) ) ) -> ( A L p ) (⟂G ` G ) ( A L B ) )
17		colperpex.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. P )
18	17	ad5antr 745	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( A L B ) ) /\ d e. P ) /\ -. d e. ( A L B ) ) /\ p e. P ) /\ ( ( A L p ) (⟂G ` G ) ( A L B ) /\ E. s e. P ( ( s e. ( A L B ) \/ A = B ) /\ s e. ( d I p ) ) ) ) -> C e. P )
19		simp-5r 784	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( A L B ) ) /\ d e. P ) /\ -. d e. ( A L B ) ) /\ p e. P ) /\ ( ( A L p ) (⟂G ` G ) ( A L B ) /\ E. s e. P ( ( s e. ( A L B ) \/ A = B ) /\ s e. ( d I p ) ) ) ) -> C e. ( A L B ) )
20	19	orcd 398	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( A L B ) ) /\ d e. P ) /\ -. d e. ( A L B ) ) /\ p e. P ) /\ ( ( A L p ) (⟂G ` G ) ( A L B ) /\ E. s e. P ( ( s e. ( A L B ) \/ A = B ) /\ s e. ( d I p ) ) ) ) -> ( C e. ( A L B ) \/ A = B ) )
21	5	ad5antr 745	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( A L B ) ) /\ d e. P ) /\ -. d e. ( A L B ) ) /\ p e. P ) /\ ( ( A L p ) (⟂G ` G ) ( A L B ) /\ E. s e. P ( ( s e. ( A L B ) \/ A = B ) /\ s e. ( d I p ) ) ) ) -> G e. TarskiG )
22		simplr 767	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( A L B ) ) /\ d e. P ) /\ -. d e. ( A L B ) ) /\ p e. P ) /\ ( ( A L p ) (⟂G ` G ) ( A L B ) /\ E. s e. P ( ( s e. ( A L B ) \/ A = B ) /\ s e. ( d I p ) ) ) ) -> p e. P )
23	1, 2, 3, 21, 18, 22	tgbtwntriv1 24584	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( A L B ) ) /\ d e. P ) /\ -. d e. ( A L B ) ) /\ p e. P ) /\ ( ( A L p ) (⟂G ` G ) ( A L B ) /\ E. s e. P ( ( s e. ( A L B ) \/ A = B ) /\ s e. ( d I p ) ) ) ) -> C e. ( C I p ) )
24		eleq1 2528	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = C -> ( t e. ( A L B ) <-> C e. ( A L B ) ) )
25	24	orbi1d 714	. . . . . . . . . 10 |- ( t = C -> ( ( t e. ( A L B ) \/ A = B ) <-> ( C e. ( A L B ) \/ A = B ) ) )
26		eleq1 2528	. . . . . . . . . 10 |- ( t = C -> ( t e. ( C I p ) <-> C e. ( C I p ) ) )
27	25, 26	anbi12d 722	. . . . . . . . 9 |- ( t = C -> ( ( ( t e. ( A L B ) \/ A = B ) /\ t e. ( C I p ) ) <-> ( ( C e. ( A L B ) \/ A = B ) /\ C e. ( C I p ) ) ) )
28	27	rspcev 3162	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. P /\ ( ( C e. ( A L B ) \/ A = B ) /\ C e. ( C I p ) ) ) -> E. t e. P ( ( t e. ( A L B ) \/ A = B ) /\ t e. ( C I p ) ) )
29	18, 20, 23, 28	syl12anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( A L B ) ) /\ d e. P ) /\ -. d e. ( A L B ) ) /\ p e. P ) /\ ( ( A L p ) (⟂G ` G ) ( A L B ) /\ E. s e. P ( ( s e. ( A L B ) \/ A = B ) /\ s e. ( d I p ) ) ) ) -> E. t e. P ( ( t e. ( A L B ) \/ A = B ) /\ t e. ( C I p ) ) )
30	16, 29	jca 539	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( A L B ) ) /\ d e. P ) /\ -. d e. ( A L B ) ) /\ p e. P ) /\ ( ( A L p ) (⟂G ` G ) ( A L B ) /\ E. s e. P ( ( s e. ( A L B ) \/ A = B ) /\ s e. ( d I p ) ) ) ) -> ( ( A L p ) (⟂G ` G ) ( A L B ) /\ E. t e. P ( ( t e. ( A L B ) \/ A = B ) /\ t e. ( C I p ) ) ) )
31	30	ex 440	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( A L B ) ) /\ d e. P ) /\ -. d e. ( A L B ) ) /\ p e. P ) -> ( ( ( A L p ) (⟂G ` G ) ( A L B ) /\ E. s e. P ( ( s e. ( A L B ) \/ A = B ) /\ s e. ( d I p ) ) ) -> ( ( A L p ) (⟂G ` G ) ( A L B ) /\ E. t e. P ( ( t e. ( A L B ) \/ A = B ) /\ t e. ( C I p ) ) ) ) )
32	31	reximdva 2874	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( A L B ) ) /\ d e. P ) /\ -. d e. ( A L B ) ) -> ( E. p e. P ( ( A L p ) (⟂G ` G ) ( A L B ) /\ E. s e. P ( ( s e. ( A L B ) \/ A = B ) /\ s e. ( d I p ) ) ) -> E. p e. P ( ( A L p ) (⟂G ` G ) ( A L B ) /\ E. t e. P ( ( t e. ( A L B ) \/ A = B ) /\ t e. ( C I p ) ) ) ) )
33	15, 32	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( A L B ) ) /\ d e. P ) /\ -. d e. ( A L B ) ) -> E. p e. P ( ( A L p ) (⟂G ` G ) ( A L B ) /\ E. t e. P ( ( t e. ( A L B ) \/ A = B ) /\ t e. ( C I p ) ) ) )
34	5	adantr 471	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. ( A L B ) ) -> G e. TarskiG )
35		colperpex.5	. . . . 5 |- ( ph -> GDimTarskiG≥ 2 )
36	35	adantr 471	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. ( A L B ) ) -> GDimTarskiG≥ 2 )
37	7	adantr 471	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. ( A L B ) ) -> A e. P )
38	9	adantr 471	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. ( A L B ) ) -> B e. P )
39	12	adantr 471	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. ( A L B ) ) -> A =/= B )
40	1, 3, 4, 34, 36, 37, 38, 39	tglowdim2ln 24745	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. ( A L B ) ) -> E. d e. P -. d e. ( A L B ) )
41	33, 40	r19.29a 2944	. 2 |- ( ( ph /\ C e. ( A L B ) ) -> E. p e. P ( ( A L p ) (⟂G ` G ) ( A L B ) /\ E. t e. P ( ( t e. ( A L B ) \/ A = B ) /\ t e. ( C I p ) ) ) )
42	5	adantr 471	. . 3 |- ( ( ph /\ -. C e. ( A L B ) ) -> G e. TarskiG )
43	7	adantr 471	. . 3 |- ( ( ph /\ -. C e. ( A L B ) ) -> A e. P )
44	9	adantr 471	. . 3 |- ( ( ph /\ -. C e. ( A L B ) ) -> B e. P )
45	17	adantr 471	. . 3 |- ( ( ph /\ -. C e. ( A L B ) ) -> C e. P )
46	12	adantr 471	. . 3 |- ( ( ph /\ -. C e. ( A L B ) ) -> A =/= B )
47		simpr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ -. C e. ( A L B ) ) -> -. C e. ( A L B ) )
48	1, 2, 3, 4, 42, 43, 44, 45, 46, 47	colperpexlem3 24823	. 2 |- ( ( ph /\ -. C e. ( A L B ) ) -> E. p e. P ( ( A L p ) (⟂G ` G ) ( A L B ) /\ E. t e. P ( ( t e. ( A L B ) \/ A = B ) /\ t e. ( C I p ) ) ) )
49	41, 48	pm2.61dan 805	1 |- ( ph -> E. p e. P ( ( A L p ) (⟂G ` G ) ( A L B ) /\ E. t e. P ( ( t e. ( A L B ) \/ A = B ) /\ t e. ( C I p ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 374   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   E.wrex 2750   class class class wbr 4416   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   2c2 10687   Basecbs 15170   distcds 15248  TarskiGcstrkg 24527  Dim_TarskiG≥cstrkgld 24531  Itvcitv 24533  LineGclng 24534  ⟂Gcperpg 24789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-pm 7501  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-hash 12548  df-word 12697  df-concat 12699  df-s1 12700  df-s2 12981  df-s3 12982  df-trkgc 24545  df-trkgb 24546  df-trkgcb 24547  df-trkgld 24549  df-trkg 24550  df-cgrg 24605  df-leg 24677  df-mir 24747  df-rag 24788  df-perpg 24790

This theorem is referenced by:  midex  24828  oppperpex  24844