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Theorem colperpex 24824
Description: In dimension 2 and above, on a line  ( A L B ) there is always a perpendicular  P from  A on a given plane (here given by  C, in case  C does not lie on the line). Theorem 8.21 of [Schwabhauser] p. 63. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
colperpex.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
colperpex.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
colperpex.i  |-  I  =  (Itv `  G )
colperpex.l  |-  L  =  (LineG `  G )
colperpex.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
colperpex.1  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
colperpex.2  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
colperpex.3  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
colperpex.4  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
colperpex.5  |-  ( ph  ->  GDimTarskiG 2 )
Assertion
Ref Expression
colperpex  |-  ( ph  ->  E. p  e.  P  ( ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. t  e.  P  (
( t  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  t  e.  ( C I p ) ) ) )
Distinct variable groups:    .- , p, t    A, p, t    B, p, t    C, p, t    G, p, t    I, p, t    L, p, t    P, p, t    ph, p, t

Proof of Theorem colperpex
Dummy variables  s 
d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 colperpex.p . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 colperpex.d . . . . 5  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 colperpex.i . . . . 5  |-  I  =  (Itv `  G )
4 colperpex.l . . . . 5  |-  L  =  (LineG `  G )
5 colperpex.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
65ad3antrrr 741 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  ->  G  e. TarskiG )
7 colperpex.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
87ad3antrrr 741 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  ->  A  e.  P )
9 colperpex.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
109ad3antrrr 741 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  ->  B  e.  P )
11 simplr 767 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  ->  d  e.  P )
12 colperpex.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
1312ad3antrrr 741 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  ->  A  =/=  B )
14 simpr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  ->  -.  d  e.  ( A L B ) )
151, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 14colperpexlem3 24823 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  ->  E. p  e.  P  ( ( A L p ) (⟂G `  G ) ( A L B )  /\  E. s  e.  P  ( ( s  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  s  e.  ( d I p ) ) ) )
16 simprl 769 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  /\  p  e.  P )  /\  ( ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. s  e.  P  (
( s  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  s  e.  ( d I p ) ) ) )  ->  ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B ) )
17 colperpex.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
1817ad5antr 745 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  /\  p  e.  P )  /\  ( ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. s  e.  P  (
( s  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  s  e.  ( d I p ) ) ) )  ->  C  e.  P
)
19 simp-5r 784 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  /\  p  e.  P )  /\  ( ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. s  e.  P  (
( s  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  s  e.  ( d I p ) ) ) )  ->  C  e.  ( A L B ) )
2019orcd 398 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  /\  p  e.  P )  /\  ( ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. s  e.  P  (
( s  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  s  e.  ( d I p ) ) ) )  ->  ( C  e.  ( A L B )  \/  A  =  B ) )
215ad5antr 745 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  /\  p  e.  P )  /\  ( ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. s  e.  P  (
( s  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  s  e.  ( d I p ) ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
22 simplr 767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  /\  p  e.  P )  /\  ( ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. s  e.  P  (
( s  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  s  e.  ( d I p ) ) ) )  ->  p  e.  P
)
231, 2, 3, 21, 18, 22tgbtwntriv1 24584 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  /\  p  e.  P )  /\  ( ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. s  e.  P  (
( s  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  s  e.  ( d I p ) ) ) )  ->  C  e.  ( C I p ) )
24 eleq1 2528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  C  ->  (
t  e.  ( A L B )  <->  C  e.  ( A L B ) ) )
2524orbi1d 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  C  ->  (
( t  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  <->  ( C  e.  ( A L B )  \/  A  =  B ) ) )
26 eleq1 2528 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  C  ->  (
t  e.  ( C I p )  <->  C  e.  ( C I p ) ) )
2725, 26anbi12d 722 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  C  ->  (
( ( t  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  t  e.  ( C I p ) )  <->  ( ( C  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  C  e.  ( C I p ) ) ) )
2827rspcev 3162 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  P  /\  ( ( C  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  C  e.  ( C I p ) ) )  ->  E. t  e.  P  ( ( t  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  t  e.  ( C I p ) ) )
2918, 20, 23, 28syl12anc 1274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  /\  p  e.  P )  /\  ( ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. s  e.  P  (
( s  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  s  e.  ( d I p ) ) ) )  ->  E. t  e.  P  ( ( t  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  t  e.  ( C I p ) ) )
3016, 29jca 539 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  /\  p  e.  P )  /\  ( ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. s  e.  P  (
( s  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  s  e.  ( d I p ) ) ) )  ->  ( ( A L p ) (⟂G `  G ) ( A L B )  /\  E. t  e.  P  ( ( t  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  t  e.  ( C I p ) ) ) )
3130ex 440 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P
)  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  /\  p  e.  P )  ->  (
( ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. s  e.  P  (
( s  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  s  e.  ( d I p ) ) )  -> 
( ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. t  e.  P  (
( t  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  t  e.  ( C I p ) ) ) ) )
3231reximdva 2874 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  ->  ( E. p  e.  P  (
( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. s  e.  P  (
( s  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  s  e.  ( d I p ) ) )  ->  E. p  e.  P  ( ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. t  e.  P  (
( t  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  t  e.  ( C I p ) ) ) ) )
3315, 32mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  ->  E. p  e.  P  ( ( A L p ) (⟂G `  G ) ( A L B )  /\  E. t  e.  P  ( ( t  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  t  e.  ( C I p ) ) ) )
345adantr 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  ->  G  e. TarskiG )
35 colperpex.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  GDimTarskiG 2 )
3635adantr 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  ->  GDimTarskiG 2 )
377adantr 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  ->  A  e.  P )
389adantr 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  ->  B  e.  P )
3912adantr 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  ->  A  =/=  B )
401, 3, 4, 34, 36, 37, 38, 39tglowdim2ln 24745 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  ->  E. d  e.  P  -.  d  e.  ( A L B ) )
4133, 40r19.29a 2944 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  ->  E. p  e.  P  ( ( A L p ) (⟂G `  G ) ( A L B )  /\  E. t  e.  P  ( ( t  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  t  e.  ( C I p ) ) ) )
425adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  ( A L B ) )  ->  G  e. TarskiG )
437adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  ( A L B ) )  ->  A  e.  P )
449adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  ( A L B ) )  ->  B  e.  P )
4517adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  ( A L B ) )  ->  C  e.  P )
4612adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  ( A L B ) )  ->  A  =/=  B )
47 simpr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  ( A L B ) )  ->  -.  C  e.  ( A L B ) )
481, 2, 3, 4, 42, 43, 44, 45, 46, 47colperpexlem3 24823 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  ( A L B ) )  ->  E. p  e.  P  ( ( A L p ) (⟂G `  G ) ( A L B )  /\  E. t  e.  P  ( ( t  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  t  e.  ( C I p ) ) ) )
4941, 48pm2.61dan 805 1  |-  ( ph  ->  E. p  e.  P  ( ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. t  e.  P  (
( t  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  t  e.  ( C I p ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 374    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   E.wrex 2750   class class class wbr 4416   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   2c2 10687   Basecbs 15170   distcds 15248  TarskiGcstrkg 24527  DimTarskiGcstrkgld 24531  Itvcitv 24533  LineGclng 24534  ⟂Gcperpg 24789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-pm 7501  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-hash 12548  df-word 12697  df-concat 12699  df-s1 12700  df-s2 12981  df-s3 12982  df-trkgc 24545  df-trkgb 24546  df-trkgcb 24547  df-trkgld 24549  df-trkg 24550  df-cgrg 24605  df-leg 24677  df-mir 24747  df-rag 24788  df-perpg 24790
This theorem is referenced by:  midex  24828  oppperpex  24844
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