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Theorem colperp 23245
Description: In dimension 2 and above, on a line  ( A L B ) there is always a perpendicular  P from  A on a given plane (here given by  C, in case  C does not lie on the line). Theorem 8.21 of [Schwabhauser] p. 63. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
colperp.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
colperp.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
colperp.i  |-  I  =  (Itv `  G )
colperp.l  |-  L  =  (LineG `  G )
colperp.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
colperp.1  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
colperp.2  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
colperp.3  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
colperp.4  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
colperp.5  |-  ( ph  ->  GDimTarskiG 2 )
Assertion
Ref Expression
colperp  |-  ( ph  ->  E. p  e.  P  ( ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. t  e.  P  (
( t  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  t  e.  ( C I p ) ) ) )
Distinct variable groups:    .- , p, t    A, p, t    B, p, t    C, p, t    G, p, t    I, p, t    L, p, t    P, p, t    ph, p, t

Proof of Theorem colperp
Dummy variables  s 
d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 colperp.p . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 colperp.d . . . . 5  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 colperp.i . . . . 5  |-  I  =  (Itv `  G )
4 colperp.l . . . . 5  |-  L  =  (LineG `  G )
5 colperp.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
65ad3antrrr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  ->  G  e. TarskiG )
7 colperp.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
87ad3antrrr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  ->  A  e.  P )
9 colperp.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
109ad3antrrr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  ->  B  e.  P )
11 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  ->  d  e.  P )
12 colperp.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
1312ad3antrrr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  ->  A  =/=  B )
14 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  ->  -.  d  e.  ( A L B ) )
151, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 14colperplem3 23244 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  ->  E. p  e.  P  ( ( A L p ) (⟂G `  G ) ( A L B )  /\  E. s  e.  P  ( ( s  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  s  e.  ( d I p ) ) ) )
16 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  /\  p  e.  P )  /\  ( ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. s  e.  P  (
( s  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  s  e.  ( d I p ) ) ) )  ->  ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B ) )
17 colperp.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
1817ad5antr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  /\  p  e.  P )  /\  ( ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. s  e.  P  (
( s  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  s  e.  ( d I p ) ) ) )  ->  C  e.  P
)
19 simp-5r 768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  /\  p  e.  P )  /\  ( ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. s  e.  P  (
( s  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  s  e.  ( d I p ) ) ) )  ->  C  e.  ( A L B ) )
2019orcd 392 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  /\  p  e.  P )  /\  ( ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. s  e.  P  (
( s  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  s  e.  ( d I p ) ) ) )  ->  ( C  e.  ( A L B )  \/  A  =  B ) )
216ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  /\  p  e.  P )  /\  ( ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. s  e.  P  (
( s  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  s  e.  ( d I p ) ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
22 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  /\  p  e.  P )  /\  ( ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. s  e.  P  (
( s  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  s  e.  ( d I p ) ) ) )  ->  p  e.  P
)
231, 2, 3, 21, 18, 22tgbtwntriv1 23064 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  /\  p  e.  P )  /\  ( ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. s  e.  P  (
( s  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  s  e.  ( d I p ) ) ) )  ->  C  e.  ( C I p ) )
24 eleq1 2523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  C  ->  (
t  e.  ( A L B )  <->  C  e.  ( A L B ) ) )
2524orbi1d 702 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  C  ->  (
( t  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  <->  ( C  e.  ( A L B )  \/  A  =  B ) ) )
26 eleq1 2523 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  C  ->  (
t  e.  ( C I p )  <->  C  e.  ( C I p ) ) )
2725, 26anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  C  ->  (
( ( t  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  t  e.  ( C I p ) )  <->  ( ( C  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  C  e.  ( C I p ) ) ) )
2827rspcev 3171 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  P  /\  ( ( C  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  C  e.  ( C I p ) ) )  ->  E. t  e.  P  ( ( t  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  t  e.  ( C I p ) ) )
2918, 20, 23, 28syl12anc 1217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  /\  p  e.  P )  /\  ( ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. s  e.  P  (
( s  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  s  e.  ( d I p ) ) ) )  ->  E. t  e.  P  ( ( t  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  t  e.  ( C I p ) ) )
3016, 29jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  /\  p  e.  P )  /\  ( ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. s  e.  P  (
( s  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  s  e.  ( d I p ) ) ) )  ->  ( ( A L p ) (⟂G `  G ) ( A L B )  /\  E. t  e.  P  ( ( t  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  t  e.  ( C I p ) ) ) )
3130ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P
)  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  /\  p  e.  P )  ->  (
( ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. s  e.  P  (
( s  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  s  e.  ( d I p ) ) )  -> 
( ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. t  e.  P  (
( t  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  t  e.  ( C I p ) ) ) ) )
3231reximdva 2926 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  ->  ( E. p  e.  P  (
( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. s  e.  P  (
( s  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  s  e.  ( d I p ) ) )  ->  E. p  e.  P  ( ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. t  e.  P  (
( t  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  t  e.  ( C I p ) ) ) ) )
3315, 32mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  /\  d  e.  P )  /\  -.  d  e.  ( A L B ) )  ->  E. p  e.  P  ( ( A L p ) (⟂G `  G ) ( A L B )  /\  E. t  e.  P  ( ( t  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  t  e.  ( C I p ) ) ) )
345adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  ->  G  e. TarskiG )
35 colperp.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  GDimTarskiG 2 )
3635adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  ->  GDimTarskiG 2 )
377adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  ->  A  e.  P )
389adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  ->  B  e.  P )
3912adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  ->  A  =/=  B )
401, 3, 4, 34, 36, 37, 38, 39tglowdim2ln 23181 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  ->  E. d  e.  P  -.  d  e.  ( A L B ) )
4133, 40r19.29a 2960 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( A L B ) )  ->  E. p  e.  P  ( ( A L p ) (⟂G `  G ) ( A L B )  /\  E. t  e.  P  ( ( t  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  t  e.  ( C I p ) ) ) )
425adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  ( A L B ) )  ->  G  e. TarskiG )
437adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  ( A L B ) )  ->  A  e.  P )
449adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  ( A L B ) )  ->  B  e.  P )
4517adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  ( A L B ) )  ->  C  e.  P )
4612adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  ( A L B ) )  ->  A  =/=  B )
47 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  ( A L B ) )  ->  -.  C  e.  ( A L B ) )
481, 2, 3, 4, 42, 43, 44, 45, 46, 47colperplem3 23244 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  ( A L B ) )  ->  E. p  e.  P  ( ( A L p ) (⟂G `  G ) ( A L B )  /\  E. t  e.  P  ( ( t  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  t  e.  ( C I p ) ) ) )
4941, 48pm2.61dan 789 1  |-  ( ph  ->  E. p  e.  P  ( ( A L p ) (⟂G `  G
) ( A L B )  /\  E. t  e.  P  (
( t  e.  ( A L B )  \/  A  =  B )  /\  t  e.  ( C I p ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   E.wrex 2796   class class class wbr 4392   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   2c2 10474   Basecbs 14278   distcds 14351  TarskiGcstrkg 23007  DimTarskiGcstrkgld 23011  Itvcitv 23014  LineGclng 23015  ⟂Gcperpg 23217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-card 8212  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-hash 12207  df-word 12333  df-concat 12335  df-s1 12336  df-s2 12579  df-s3 12580  df-trkgc 23026  df-trkgb 23027  df-trkgcb 23028  df-trkgld 23030  df-trkg 23032  df-cgrg 23085  df-leg 23137  df-mir 23184  df-rag 23216  df-perpg 23218
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