Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colmid Structured version   Unicode version

Theorem colmid 23766
 Description: Colinearity and equidistance implies midpoint. Theorem 7.20 of [Schwabhauser] p. 52. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p
mirval.d
mirval.i Itv
mirval.l LineG
mirval.s pInvG
mirval.g TarskiG
colmid.m
colmid.a
colmid.b
colmid.x
colmid.c
colmid.d
Assertion
Ref Expression
colmid

Proof of Theorem colmid
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . 3
21olcd 393 . 2
3 mirval.p . . . . 5
4 mirval.d . . . . 5
5 mirval.i . . . . 5 Itv
6 mirval.l . . . . 5 LineG
7 mirval.s . . . . 5 pInvG
8 mirval.g . . . . . 6 TarskiG
98ad2antrr 725 . . . . 5 TarskiG
10 colmid.x . . . . . 6
1110ad2antrr 725 . . . . 5
12 colmid.m . . . . 5
13 colmid.a . . . . . 6
1413ad2antrr 725 . . . . 5
15 colmid.b . . . . . 6
1615ad2antrr 725 . . . . 5
17 colmid.d . . . . . . 7
1817ad2antrr 725 . . . . . 6
1918eqcomd 2468 . . . . 5
20 simpr 461 . . . . . 6
213, 4, 5, 9, 14, 11, 16, 20tgbtwncom 23600 . . . . 5
223, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 16, 19, 21ismir 23746 . . . 4
2322orcd 392 . . 3
248adantr 465 . . . . . . 7 TarskiG
2515adantr 465 . . . . . . 7
2613adantr 465 . . . . . . 7
2710adantr 465 . . . . . . . 8
28 simpr 461 . . . . . . . . 9
293, 4, 5, 24, 27, 26, 25, 28tgbtwncom 23600 . . . . . . . 8
303, 4, 5, 24, 26, 27tgbtwntriv1 23603 . . . . . . . 8
313, 4, 5, 8, 10, 13, 10, 15, 17tgcgrcomlr 23592 . . . . . . . . . 10
3231adantr 465 . . . . . . . . 9
3332eqcomd 2468 . . . . . . . 8
34 eqidd 2461 . . . . . . . 8
353, 4, 5, 24, 25, 26, 27, 26, 26, 27, 29, 30, 33, 34tgcgrsub 23622 . . . . . . 7
363, 4, 5, 24, 25, 26, 26, 35axtgcgrid 23581 . . . . . 6
3736eqcomd 2468 . . . . 5
3837adantlr 714 . . . 4
3938olcd 393 . . 3
408adantr 465 . . . . . 6 TarskiG
4113adantr 465 . . . . . 6
4215adantr 465 . . . . . 6
4310adantr 465 . . . . . . 7
44 simpr 461 . . . . . . 7
453, 4, 5, 40, 42, 43tgbtwntriv1 23603 . . . . . . 7
4631adantr 465 . . . . . . 7
47 eqidd 2461 . . . . . . 7
483, 4, 5, 40, 41, 42, 43, 42, 42, 43, 44, 45, 46, 47tgcgrsub 23622 . . . . . 6
493, 4, 5, 40, 41, 42, 42, 48axtgcgrid 23581 . . . . 5
5049adantlr 714 . . . 4
5150olcd 393 . . 3
52 df-ne 2657 . . . . 5
53 colmid.c . . . . . . . 8
5453orcomd 388 . . . . . . 7
5554ord 377 . . . . . 6
5655imp 429 . . . . 5
5752, 56sylan2b 475 . . . 4
588adantr 465 . . . . 5 TarskiG
5913adantr 465 . . . . 5
6015adantr 465 . . . . 5
61 simpr 461 . . . . 5
6210adantr 465 . . . . 5
633, 6, 5, 58, 59, 60, 61, 62tgellng 23661 . . . 4
6457, 63mpbid 210 . . 3
6523, 39, 51, 64mpjao3dan 1290 . 2
662, 65pm2.61dane 2778 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 368   wa 369   w3o 967   wceq 1374   wcel 1762   wne 2655  cfv 5579  (class class class)co 6275  cbs 14479  cds 14553  TarskiGcstrkg 23546  Itvcitv 23553  LineGclng 23554  pInvGcmir 23739 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-hash 12361  df-trkgc 23565  df-trkgb 23566  df-trkgcb 23567  df-trkg 23571  df-mir 23740 This theorem is referenced by:  symquadlem  23767  midexlem  23770
 Copyright terms: Public domain W3C validator