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Theorem colline 23004
Description: Three points are colinear iff there is a line through all three of them. Theorem 6.23 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
tglineintmo.i  |-  I  =  (Itv `  G )
tglineintmo.l  |-  L  =  (LineG `  G )
tglineintmo.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
colline.1  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
colline.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
colline.3  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
colline.4  |-  ( ph  ->  2  <_  ( # `  P
) )
Assertion
Ref Expression
colline  |-  ( ph  ->  ( ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z )  <->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) ) )
Distinct variable groups:    L, a    X, a    Y, a    Z, a    ph, a
Allowed substitution hints:    P( a)    G( a)    I( a)

Proof of Theorem colline
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineintmo.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 tglineintmo.i . . . . . . . 8  |-  I  =  (Itv `  G )
3 tglineintmo.l . . . . . . . 8  |-  L  =  (LineG `  G )
4 tglineintmo.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
54ad4antr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  G  e. TarskiG )
6 colline.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
76ad4antr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  X  e.  P )
8 simplr 749 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  x  e.  P )
9 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  X  =/=  x )
101, 2, 3, 5, 7, 8, 9tgelrnln 22990 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  ( X L x )  e. 
ran  L )
111, 2, 3, 5, 7, 8, 9tglinerflx1 22993 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  X  e.  ( X L x ) )
12 simp-4r 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  Y  =  Z )
13 simpllr 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  X  =  Z )
1413, 11eqeltrrd 2516 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  Z  e.  ( X L x ) )
1512, 14eqeltrd 2515 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  Y  e.  ( X L x ) )
16 eleq2 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( X L x )  ->  ( X  e.  a  <->  X  e.  ( X L x ) ) )
17 eleq2 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( X L x )  ->  ( Y  e.  a  <->  Y  e.  ( X L x ) ) )
18 eleq2 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( X L x )  ->  ( Z  e.  a  <->  Z  e.  ( X L x ) ) )
1916, 17, 183anbi123d 1284 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( X L x )  ->  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a )  <->  ( X  e.  ( X L x )  /\  Y  e.  ( X L x )  /\  Z  e.  ( X L x ) ) ) )
2019rspcev 3070 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X L x )  e.  ran  L  /\  ( X  e.  ( X L x )  /\  Y  e.  ( X L x )  /\  Z  e.  ( X L x ) ) )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
2110, 11, 15, 14, 20syl13anc 1215 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
22 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  G )
23 colline.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  <_  ( # `  P
) )
241, 22, 2, 4, 23, 6tglowdim1i 22913 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  P  X  =/=  x )
2524ad2antrr 720 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  ->  E. x  e.  P  X  =/=  x )
2621, 25r19.29a 2860 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
274ad2antrr 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  G  e. TarskiG )
286ad2antrr 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  X  e.  P )
29 colline.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
3029ad2antrr 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  Z  e.  P )
31 simpr 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  X  =/=  Z )
321, 2, 3, 27, 28, 30, 31tgelrnln 22990 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  ( X L Z )  e. 
ran  L )
331, 2, 3, 27, 28, 30, 31tglinerflx1 22993 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  X  e.  ( X L Z ) )
34 simplr 749 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  Y  =  Z )
351, 2, 3, 27, 28, 30, 31tglinerflx2 22994 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  Z  e.  ( X L Z ) )
3634, 35eqeltrd 2515 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  Y  e.  ( X L Z ) )
37 eleq2 2502 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( X L Z )  ->  ( X  e.  a  <->  X  e.  ( X L Z ) ) )
38 eleq2 2502 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( X L Z )  ->  ( Y  e.  a  <->  Y  e.  ( X L Z ) ) )
39 eleq2 2502 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( X L Z )  ->  ( Z  e.  a  <->  Z  e.  ( X L Z ) ) )
4037, 38, 393anbi123d 1284 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( X L Z )  ->  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a )  <->  ( X  e.  ( X L Z )  /\  Y  e.  ( X L Z )  /\  Z  e.  ( X L Z ) ) ) )
4140rspcev 3070 . . . . . 6  |-  ( ( ( X L Z )  e.  ran  L  /\  ( X  e.  ( X L Z )  /\  Y  e.  ( X L Z )  /\  Z  e.  ( X L Z ) ) )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
4232, 33, 36, 35, 41syl13anc 1215 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
4326, 42pm2.61dane 2687 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  =  Z )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
4443adantlr 709 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =  Z )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
45 simpll 748 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  ph )
46 simpr 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  =/=  Z )
4746neneqd 2622 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  -.  Y  =  Z
)
48 simplr 749 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  -> 
( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )
49 orel2 383 . . . . . . 7  |-  ( -.  Y  =  Z  -> 
( ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z )  ->  X  e.  ( Y L Z ) ) )
5049imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( -.  Y  =  Z  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  ->  X  e.  ( Y L Z ) )
5147, 48, 50syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  X  e.  ( Y L Z ) )
524ad2antrr 720 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  G  e. TarskiG )
53 colline.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
5453ad2antrr 720 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  e.  P )
5529ad2antrr 720 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Z  e.  P )
56 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  =/=  Z )
571, 2, 3, 52, 54, 55, 56tgelrnln 22990 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  ( Y L Z )  e. 
ran  L )
5845, 51, 46, 57syl21anc 1212 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  -> 
( Y L Z )  e.  ran  L
)
59 simplr 749 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  X  e.  ( Y L Z ) )
601, 2, 3, 52, 54, 55, 56tglinerflx1 22993 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  e.  ( Y L Z ) )
611, 2, 3, 52, 54, 55, 56tglinerflx2 22994 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Z  e.  ( Y L Z ) )
6259, 60, 613jca 1163 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  ( X  e.  ( Y L Z )  /\  Y  e.  ( Y L Z )  /\  Z  e.  ( Y L Z ) ) )
6345, 51, 46, 62syl21anc 1212 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  -> 
( X  e.  ( Y L Z )  /\  Y  e.  ( Y L Z )  /\  Z  e.  ( Y L Z ) ) )
6463simp2d 996 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  e.  ( Y L Z ) )
6563simp3d 997 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Z  e.  ( Y L Z ) )
66 eleq2 2502 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( Y L Z )  ->  ( X  e.  a  <->  X  e.  ( Y L Z ) ) )
67 eleq2 2502 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( Y L Z )  ->  ( Y  e.  a  <->  Y  e.  ( Y L Z ) ) )
68 eleq2 2502 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( Y L Z )  ->  ( Z  e.  a  <->  Z  e.  ( Y L Z ) ) )
6966, 67, 683anbi123d 1284 . . . . 5  |-  ( a  =  ( Y L Z )  ->  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a )  <->  ( X  e.  ( Y L Z )  /\  Y  e.  ( Y L Z )  /\  Z  e.  ( Y L Z ) ) ) )
7069rspcev 3070 . . . 4  |-  ( ( ( Y L Z )  e.  ran  L  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  /\  Y  e.  ( Y L Z )  /\  Z  e.  ( Y L Z ) ) )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
7158, 51, 64, 65, 70syl13anc 1215 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
7244, 71pm2.61dane 2687 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
73 nfv 1678 . . . 4  |-  F/ a
ph
74 nfre1 2770 . . . 4  |-  F/ a E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a )
7573, 74nfan 1865 . . 3  |-  F/ a ( ph  /\  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a )
)
76 df-ne 2606 . . . . . . 7  |-  ( Y  =/=  Z  <->  -.  Y  =  Z )
77 simplr1 1025 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  X  e.  a )
784ad3antrrr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  G  e. TarskiG )
7953ad3antrrr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  e.  P )
8029ad3antrrr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Z  e.  P )
81 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  =/=  Z )
82 simpllr 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  -> 
a  e.  ran  L
)
83 simplr2 1026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  e.  a )
84 simplr3 1027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Z  e.  a )
851, 2, 3, 78, 79, 80, 81, 81, 82, 83, 84tglinethru 22996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  -> 
a  =  ( Y L Z ) )
8677, 85eleqtrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  X  e.  ( Y L Z ) )
8786ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a
) )  ->  ( Y  =/=  Z  ->  X  e.  ( Y L Z ) ) )
8876, 87syl5bir 218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a
) )  ->  ( -.  Y  =  Z  ->  X  e.  ( Y L Z ) ) )
8988orrd 378 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a
) )  ->  ( Y  =  Z  \/  X  e.  ( Y L Z ) ) )
9089orcomd 388 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a
) )  ->  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )
9190adantllr 713 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  E. a  e.  ran  L
( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a
) )  ->  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )
92 simpr 458 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
9375, 91, 92r19.29af 2859 . 2  |-  ( (
ph  /\  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  -> 
( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )
9472, 93impbida 823 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z )  <->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   E.wrex 2714   class class class wbr 4289   ran crn 4837   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    <_ cle 9415   2c2 10367   #chash 12099   Basecbs 14170   distcds 14243  TarskiGcstrkg 22848  Itvcitv 22856  LineGclng 22857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-hash 12100  df-word 12225  df-concat 12227  df-s1 12228  df-s2 12471  df-s3 12472  df-trkgc 22868  df-trkgb 22869  df-trkgcb 22870  df-trkg 22875  df-cgrg 22923
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