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Theorem colline 23771
Description: Three points are colinear iff there is a line through all three of them. Theorem 6.23 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
tglineintmo.i  |-  I  =  (Itv `  G )
tglineintmo.l  |-  L  =  (LineG `  G )
tglineintmo.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
colline.1  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
colline.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
colline.3  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
colline.4  |-  ( ph  ->  2  <_  ( # `  P
) )
Assertion
Ref Expression
colline  |-  ( ph  ->  ( ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z )  <->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) ) )
Distinct variable groups:    L, a    X, a    Y, a    Z, a    ph, a
Allowed substitution hints:    P( a)    G( a)    I( a)

Proof of Theorem colline
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineintmo.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 tglineintmo.i . . . . . . . 8  |-  I  =  (Itv `  G )
3 tglineintmo.l . . . . . . . 8  |-  L  =  (LineG `  G )
4 tglineintmo.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
54ad4antr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  G  e. TarskiG )
6 colline.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
76ad4antr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  X  e.  P )
8 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  x  e.  P )
9 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  X  =/=  x )
101, 2, 3, 5, 7, 8, 9tgelrnln 23752 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  ( X L x )  e. 
ran  L )
111, 2, 3, 5, 7, 8, 9tglinerflx1 23755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  X  e.  ( X L x ) )
12 simp-4r 766 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  Y  =  Z )
13 simpllr 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  X  =  Z )
1413, 11eqeltrrd 2556 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  Z  e.  ( X L x ) )
1512, 14eqeltrd 2555 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  Y  e.  ( X L x ) )
16 eleq2 2540 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( X L x )  ->  ( X  e.  a  <->  X  e.  ( X L x ) ) )
17 eleq2 2540 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( X L x )  ->  ( Y  e.  a  <->  Y  e.  ( X L x ) ) )
18 eleq2 2540 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( X L x )  ->  ( Z  e.  a  <->  Z  e.  ( X L x ) ) )
1916, 17, 183anbi123d 1299 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( X L x )  ->  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a )  <->  ( X  e.  ( X L x )  /\  Y  e.  ( X L x )  /\  Z  e.  ( X L x ) ) ) )
2019rspcev 3214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X L x )  e.  ran  L  /\  ( X  e.  ( X L x )  /\  Y  e.  ( X L x )  /\  Z  e.  ( X L x ) ) )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
2110, 11, 15, 14, 20syl13anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
22 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  G )
23 colline.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  <_  ( # `  P
) )
241, 22, 2, 4, 23, 6tglowdim1i 23648 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  P  X  =/=  x )
2524ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  ->  E. x  e.  P  X  =/=  x )
2621, 25r19.29a 3003 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
274ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  G  e. TarskiG )
286ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  X  e.  P )
29 colline.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
3029ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  Z  e.  P )
31 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  X  =/=  Z )
321, 2, 3, 27, 28, 30, 31tgelrnln 23752 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  ( X L Z )  e. 
ran  L )
331, 2, 3, 27, 28, 30, 31tglinerflx1 23755 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  X  e.  ( X L Z ) )
34 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  Y  =  Z )
351, 2, 3, 27, 28, 30, 31tglinerflx2 23756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  Z  e.  ( X L Z ) )
3634, 35eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  Y  e.  ( X L Z ) )
37 eleq2 2540 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( X L Z )  ->  ( X  e.  a  <->  X  e.  ( X L Z ) ) )
38 eleq2 2540 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( X L Z )  ->  ( Y  e.  a  <->  Y  e.  ( X L Z ) ) )
39 eleq2 2540 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( X L Z )  ->  ( Z  e.  a  <->  Z  e.  ( X L Z ) ) )
4037, 38, 393anbi123d 1299 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( X L Z )  ->  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a )  <->  ( X  e.  ( X L Z )  /\  Y  e.  ( X L Z )  /\  Z  e.  ( X L Z ) ) ) )
4140rspcev 3214 . . . . . 6  |-  ( ( ( X L Z )  e.  ran  L  /\  ( X  e.  ( X L Z )  /\  Y  e.  ( X L Z )  /\  Z  e.  ( X L Z ) ) )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
4232, 33, 36, 35, 41syl13anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
4326, 42pm2.61dane 2785 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  =  Z )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
4443adantlr 714 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =  Z )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
45 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  ph )
46 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  =/=  Z )
4746neneqd 2669 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  -.  Y  =  Z
)
48 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  -> 
( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )
49 orel2 383 . . . . . . 7  |-  ( -.  Y  =  Z  -> 
( ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z )  ->  X  e.  ( Y L Z ) ) )
5049imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( -.  Y  =  Z  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  ->  X  e.  ( Y L Z ) )
5147, 48, 50syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  X  e.  ( Y L Z ) )
524ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  G  e. TarskiG )
53 colline.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
5453ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  e.  P )
5529ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Z  e.  P )
56 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  =/=  Z )
571, 2, 3, 52, 54, 55, 56tgelrnln 23752 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  ( Y L Z )  e. 
ran  L )
5845, 51, 46, 57syl21anc 1227 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  -> 
( Y L Z )  e.  ran  L
)
59 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  X  e.  ( Y L Z ) )
601, 2, 3, 52, 54, 55, 56tglinerflx1 23755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  e.  ( Y L Z ) )
611, 2, 3, 52, 54, 55, 56tglinerflx2 23756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Z  e.  ( Y L Z ) )
6259, 60, 613jca 1176 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  ( X  e.  ( Y L Z )  /\  Y  e.  ( Y L Z )  /\  Z  e.  ( Y L Z ) ) )
6345, 51, 46, 62syl21anc 1227 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  -> 
( X  e.  ( Y L Z )  /\  Y  e.  ( Y L Z )  /\  Z  e.  ( Y L Z ) ) )
6463simp2d 1009 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  e.  ( Y L Z ) )
6563simp3d 1010 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Z  e.  ( Y L Z ) )
66 eleq2 2540 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( Y L Z )  ->  ( X  e.  a  <->  X  e.  ( Y L Z ) ) )
67 eleq2 2540 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( Y L Z )  ->  ( Y  e.  a  <->  Y  e.  ( Y L Z ) ) )
68 eleq2 2540 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( Y L Z )  ->  ( Z  e.  a  <->  Z  e.  ( Y L Z ) ) )
6966, 67, 683anbi123d 1299 . . . . 5  |-  ( a  =  ( Y L Z )  ->  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a )  <->  ( X  e.  ( Y L Z )  /\  Y  e.  ( Y L Z )  /\  Z  e.  ( Y L Z ) ) ) )
7069rspcev 3214 . . . 4  |-  ( ( ( Y L Z )  e.  ran  L  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  /\  Y  e.  ( Y L Z )  /\  Z  e.  ( Y L Z ) ) )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
7158, 51, 64, 65, 70syl13anc 1230 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
7244, 71pm2.61dane 2785 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
73 nfv 1683 . . . 4  |-  F/ a
ph
74 nfre1 2925 . . . 4  |-  F/ a E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a )
7573, 74nfan 1875 . . 3  |-  F/ a ( ph  /\  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a )
)
76 df-ne 2664 . . . . . . 7  |-  ( Y  =/=  Z  <->  -.  Y  =  Z )
77 simplr1 1038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  X  e.  a )
784ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  G  e. TarskiG )
7953ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  e.  P )
8029ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Z  e.  P )
81 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  =/=  Z )
82 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  -> 
a  e.  ran  L
)
83 simplr2 1039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  e.  a )
84 simplr3 1040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Z  e.  a )
851, 2, 3, 78, 79, 80, 81, 81, 82, 83, 84tglinethru 23758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  -> 
a  =  ( Y L Z ) )
8677, 85eleqtrd 2557 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  X  e.  ( Y L Z ) )
8786ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a
) )  ->  ( Y  =/=  Z  ->  X  e.  ( Y L Z ) ) )
8876, 87syl5bir 218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a
) )  ->  ( -.  Y  =  Z  ->  X  e.  ( Y L Z ) ) )
8988orrd 378 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a
) )  ->  ( Y  =  Z  \/  X  e.  ( Y L Z ) ) )
9089orcomd 388 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a
) )  ->  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )
9190adantllr 718 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  E. a  e.  ran  L
( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a
) )  ->  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )
92 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
9375, 91, 92r19.29af 3001 . 2  |-  ( (
ph  /\  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  -> 
( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )
9472, 93impbida 830 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z )  <->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815   class class class wbr 4447   ran crn 5000   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    <_ cle 9629   2c2 10585   #chash 12373   Basecbs 14490   distcds 14564  TarskiGcstrkg 23581  Itvcitv 23588  LineGclng 23589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-hash 12374  df-word 12508  df-concat 12510  df-s1 12511  df-s2 12776  df-s3 12777  df-trkgc 23600  df-trkgb 23601  df-trkgcb 23602  df-trkg 23606  df-cgrg 23659
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