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Theorem colline 23052
Description: Three points are colinear iff there is a line through all three of them. Theorem 6.23 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
tglineintmo.i  |-  I  =  (Itv `  G )
tglineintmo.l  |-  L  =  (LineG `  G )
tglineintmo.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
colline.1  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
colline.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
colline.3  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
colline.4  |-  ( ph  ->  2  <_  ( # `  P
) )
Assertion
Ref Expression
colline  |-  ( ph  ->  ( ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z )  <->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) ) )
Distinct variable groups:    L, a    X, a    Y, a    Z, a    ph, a
Allowed substitution hints:    P( a)    G( a)    I( a)

Proof of Theorem colline
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineintmo.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 tglineintmo.i . . . . . . . 8  |-  I  =  (Itv `  G )
3 tglineintmo.l . . . . . . . 8  |-  L  =  (LineG `  G )
4 tglineintmo.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
54ad4antr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  G  e. TarskiG )
6 colline.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
76ad4antr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  X  e.  P )
8 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  x  e.  P )
9 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  X  =/=  x )
101, 2, 3, 5, 7, 8, 9tgelrnln 23036 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  ( X L x )  e. 
ran  L )
111, 2, 3, 5, 7, 8, 9tglinerflx1 23039 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  X  e.  ( X L x ) )
12 simp-4r 766 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  Y  =  Z )
13 simpllr 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  X  =  Z )
1413, 11eqeltrrd 2518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  Z  e.  ( X L x ) )
1512, 14eqeltrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  Y  e.  ( X L x ) )
16 eleq2 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( X L x )  ->  ( X  e.  a  <->  X  e.  ( X L x ) ) )
17 eleq2 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( X L x )  ->  ( Y  e.  a  <->  Y  e.  ( X L x ) ) )
18 eleq2 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( X L x )  ->  ( Z  e.  a  <->  Z  e.  ( X L x ) ) )
1916, 17, 183anbi123d 1289 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( X L x )  ->  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a )  <->  ( X  e.  ( X L x )  /\  Y  e.  ( X L x )  /\  Z  e.  ( X L x ) ) ) )
2019rspcev 3073 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X L x )  e.  ran  L  /\  ( X  e.  ( X L x )  /\  Y  e.  ( X L x )  /\  Z  e.  ( X L x ) ) )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
2110, 11, 15, 14, 20syl13anc 1220 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
22 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  G )
23 colline.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  <_  ( # `  P
) )
241, 22, 2, 4, 23, 6tglowdim1i 22954 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  P  X  =/=  x )
2524ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  ->  E. x  e.  P  X  =/=  x )
2621, 25r19.29a 2862 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
274ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  G  e. TarskiG )
286ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  X  e.  P )
29 colline.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
3029ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  Z  e.  P )
31 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  X  =/=  Z )
321, 2, 3, 27, 28, 30, 31tgelrnln 23036 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  ( X L Z )  e. 
ran  L )
331, 2, 3, 27, 28, 30, 31tglinerflx1 23039 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  X  e.  ( X L Z ) )
34 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  Y  =  Z )
351, 2, 3, 27, 28, 30, 31tglinerflx2 23040 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  Z  e.  ( X L Z ) )
3634, 35eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  Y  e.  ( X L Z ) )
37 eleq2 2504 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( X L Z )  ->  ( X  e.  a  <->  X  e.  ( X L Z ) ) )
38 eleq2 2504 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( X L Z )  ->  ( Y  e.  a  <->  Y  e.  ( X L Z ) ) )
39 eleq2 2504 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( X L Z )  ->  ( Z  e.  a  <->  Z  e.  ( X L Z ) ) )
4037, 38, 393anbi123d 1289 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( X L Z )  ->  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a )  <->  ( X  e.  ( X L Z )  /\  Y  e.  ( X L Z )  /\  Z  e.  ( X L Z ) ) ) )
4140rspcev 3073 . . . . . 6  |-  ( ( ( X L Z )  e.  ran  L  /\  ( X  e.  ( X L Z )  /\  Y  e.  ( X L Z )  /\  Z  e.  ( X L Z ) ) )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
4232, 33, 36, 35, 41syl13anc 1220 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
4326, 42pm2.61dane 2689 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  =  Z )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
4443adantlr 714 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =  Z )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
45 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  ph )
46 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  =/=  Z )
4746neneqd 2624 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  -.  Y  =  Z
)
48 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  -> 
( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )
49 orel2 383 . . . . . . 7  |-  ( -.  Y  =  Z  -> 
( ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z )  ->  X  e.  ( Y L Z ) ) )
5049imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( -.  Y  =  Z  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  ->  X  e.  ( Y L Z ) )
5147, 48, 50syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  X  e.  ( Y L Z ) )
524ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  G  e. TarskiG )
53 colline.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
5453ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  e.  P )
5529ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Z  e.  P )
56 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  =/=  Z )
571, 2, 3, 52, 54, 55, 56tgelrnln 23036 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  ( Y L Z )  e. 
ran  L )
5845, 51, 46, 57syl21anc 1217 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  -> 
( Y L Z )  e.  ran  L
)
59 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  X  e.  ( Y L Z ) )
601, 2, 3, 52, 54, 55, 56tglinerflx1 23039 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  e.  ( Y L Z ) )
611, 2, 3, 52, 54, 55, 56tglinerflx2 23040 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Z  e.  ( Y L Z ) )
6259, 60, 613jca 1168 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  ( X  e.  ( Y L Z )  /\  Y  e.  ( Y L Z )  /\  Z  e.  ( Y L Z ) ) )
6345, 51, 46, 62syl21anc 1217 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  -> 
( X  e.  ( Y L Z )  /\  Y  e.  ( Y L Z )  /\  Z  e.  ( Y L Z ) ) )
6463simp2d 1001 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  e.  ( Y L Z ) )
6563simp3d 1002 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Z  e.  ( Y L Z ) )
66 eleq2 2504 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( Y L Z )  ->  ( X  e.  a  <->  X  e.  ( Y L Z ) ) )
67 eleq2 2504 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( Y L Z )  ->  ( Y  e.  a  <->  Y  e.  ( Y L Z ) ) )
68 eleq2 2504 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( Y L Z )  ->  ( Z  e.  a  <->  Z  e.  ( Y L Z ) ) )
6966, 67, 683anbi123d 1289 . . . . 5  |-  ( a  =  ( Y L Z )  ->  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a )  <->  ( X  e.  ( Y L Z )  /\  Y  e.  ( Y L Z )  /\  Z  e.  ( Y L Z ) ) ) )
7069rspcev 3073 . . . 4  |-  ( ( ( Y L Z )  e.  ran  L  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  /\  Y  e.  ( Y L Z )  /\  Z  e.  ( Y L Z ) ) )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
7158, 51, 64, 65, 70syl13anc 1220 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
7244, 71pm2.61dane 2689 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
73 nfv 1673 . . . 4  |-  F/ a
ph
74 nfre1 2772 . . . 4  |-  F/ a E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a )
7573, 74nfan 1861 . . 3  |-  F/ a ( ph  /\  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a )
)
76 df-ne 2608 . . . . . . 7  |-  ( Y  =/=  Z  <->  -.  Y  =  Z )
77 simplr1 1030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  X  e.  a )
784ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  G  e. TarskiG )
7953ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  e.  P )
8029ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Z  e.  P )
81 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  =/=  Z )
82 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  -> 
a  e.  ran  L
)
83 simplr2 1031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  e.  a )
84 simplr3 1032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Z  e.  a )
851, 2, 3, 78, 79, 80, 81, 81, 82, 83, 84tglinethru 23042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  -> 
a  =  ( Y L Z ) )
8677, 85eleqtrd 2519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  X  e.  ( Y L Z ) )
8786ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a
) )  ->  ( Y  =/=  Z  ->  X  e.  ( Y L Z ) ) )
8876, 87syl5bir 218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a
) )  ->  ( -.  Y  =  Z  ->  X  e.  ( Y L Z ) ) )
8988orrd 378 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a
) )  ->  ( Y  =  Z  \/  X  e.  ( Y L Z ) ) )
9089orcomd 388 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a
) )  ->  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )
9190adantllr 718 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  E. a  e.  ran  L
( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a
) )  ->  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )
92 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
9375, 91, 92r19.29af 2861 . 2  |-  ( (
ph  /\  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  -> 
( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )
9472, 93impbida 828 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z )  <->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   E.wrex 2716   class class class wbr 4292   ran crn 4841   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    <_ cle 9419   2c2 10371   #chash 12103   Basecbs 14174   distcds 14247  TarskiGcstrkg 22889  Itvcitv 22897  LineGclng 22898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-hash 12104  df-word 12229  df-concat 12231  df-s1 12232  df-s2 12475  df-s3 12476  df-trkgc 22909  df-trkgb 22910  df-trkgcb 22911  df-trkg 22916  df-cgrg 22964
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