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Theorem colline 24008
Description: Three points are colinear iff there is a line through all three of them. Theorem 6.23 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
tglineintmo.i  |-  I  =  (Itv `  G )
tglineintmo.l  |-  L  =  (LineG `  G )
tglineintmo.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
colline.1  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
colline.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
colline.3  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
colline.4  |-  ( ph  ->  2  <_  ( # `  P
) )
Assertion
Ref Expression
colline  |-  ( ph  ->  ( ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z )  <->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) ) )
Distinct variable groups:    L, a    X, a    Y, a    Z, a    ph, a
Allowed substitution hints:    P( a)    G( a)    I( a)

Proof of Theorem colline
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineintmo.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 tglineintmo.i . . . . . . . 8  |-  I  =  (Itv `  G )
3 tglineintmo.l . . . . . . . 8  |-  L  =  (LineG `  G )
4 tglineintmo.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
54ad4antr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  G  e. TarskiG )
6 colline.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
76ad4antr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  X  e.  P )
8 simplr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  x  e.  P )
9 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  X  =/=  x )
101, 2, 3, 5, 7, 8, 9tgelrnln 23988 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  ( X L x )  e. 
ran  L )
111, 2, 3, 5, 7, 8, 9tglinerflx1 23991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  X  e.  ( X L x ) )
12 simp-4r 768 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  Y  =  Z )
13 simpllr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  X  =  Z )
1413, 11eqeltrrd 2532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  Z  e.  ( X L x ) )
1512, 14eqeltrd 2531 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  Y  e.  ( X L x ) )
16 eleq2 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( X L x )  ->  ( X  e.  a  <->  X  e.  ( X L x ) ) )
17 eleq2 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( X L x )  ->  ( Y  e.  a  <->  Y  e.  ( X L x ) ) )
18 eleq2 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( X L x )  ->  ( Z  e.  a  <->  Z  e.  ( X L x ) ) )
1916, 17, 183anbi123d 1300 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( X L x )  ->  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a )  <->  ( X  e.  ( X L x )  /\  Y  e.  ( X L x )  /\  Z  e.  ( X L x ) ) ) )
2019rspcev 3196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X L x )  e.  ran  L  /\  ( X  e.  ( X L x )  /\  Y  e.  ( X L x )  /\  Z  e.  ( X L x ) ) )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
2110, 11, 15, 14, 20syl13anc 1231 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
22 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  G )
23 colline.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  <_  ( # `  P
) )
241, 22, 2, 4, 23, 6tglowdim1i 23870 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  P  X  =/=  x )
2524ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  ->  E. x  e.  P  X  =/=  x )
2621, 25r19.29a 2985 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
274ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  G  e. TarskiG )
286ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  X  e.  P )
29 colline.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
3029ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  Z  e.  P )
31 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  X  =/=  Z )
321, 2, 3, 27, 28, 30, 31tgelrnln 23988 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  ( X L Z )  e. 
ran  L )
331, 2, 3, 27, 28, 30, 31tglinerflx1 23991 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  X  e.  ( X L Z ) )
34 simplr 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  Y  =  Z )
351, 2, 3, 27, 28, 30, 31tglinerflx2 23992 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  Z  e.  ( X L Z ) )
3634, 35eqeltrd 2531 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  Y  e.  ( X L Z ) )
37 eleq2 2516 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( X L Z )  ->  ( X  e.  a  <->  X  e.  ( X L Z ) ) )
38 eleq2 2516 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( X L Z )  ->  ( Y  e.  a  <->  Y  e.  ( X L Z ) ) )
39 eleq2 2516 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( X L Z )  ->  ( Z  e.  a  <->  Z  e.  ( X L Z ) ) )
4037, 38, 393anbi123d 1300 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( X L Z )  ->  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a )  <->  ( X  e.  ( X L Z )  /\  Y  e.  ( X L Z )  /\  Z  e.  ( X L Z ) ) ) )
4140rspcev 3196 . . . . . 6  |-  ( ( ( X L Z )  e.  ran  L  /\  ( X  e.  ( X L Z )  /\  Y  e.  ( X L Z )  /\  Z  e.  ( X L Z ) ) )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
4232, 33, 36, 35, 41syl13anc 1231 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
4326, 42pm2.61dane 2761 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  =  Z )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
4443adantlr 714 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =  Z )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
45 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  ph )
46 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  =/=  Z )
4746neneqd 2645 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  -.  Y  =  Z
)
48 simplr 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  -> 
( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )
49 orel2 383 . . . . . 6  |-  ( -.  Y  =  Z  -> 
( ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z )  ->  X  e.  ( Y L Z ) ) )
5047, 48, 49sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  X  e.  ( Y L Z ) )
514ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  G  e. TarskiG )
52 colline.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
5352ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  e.  P )
5429ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Z  e.  P )
55 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  =/=  Z )
561, 2, 3, 51, 53, 54, 55tgelrnln 23988 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  ( Y L Z )  e. 
ran  L )
5745, 50, 46, 56syl21anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  -> 
( Y L Z )  e.  ran  L
)
581, 2, 3, 51, 53, 54, 55tglinerflx1 23991 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  e.  ( Y L Z ) )
5945, 50, 46, 58syl21anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  e.  ( Y L Z ) )
601, 2, 3, 51, 53, 54, 55tglinerflx2 23992 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Z  e.  ( Y L Z ) )
6145, 50, 46, 60syl21anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Z  e.  ( Y L Z ) )
62 eleq2 2516 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( Y L Z )  ->  ( X  e.  a  <->  X  e.  ( Y L Z ) ) )
63 eleq2 2516 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( Y L Z )  ->  ( Y  e.  a  <->  Y  e.  ( Y L Z ) ) )
64 eleq2 2516 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( Y L Z )  ->  ( Z  e.  a  <->  Z  e.  ( Y L Z ) ) )
6562, 63, 643anbi123d 1300 . . . . 5  |-  ( a  =  ( Y L Z )  ->  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a )  <->  ( X  e.  ( Y L Z )  /\  Y  e.  ( Y L Z )  /\  Z  e.  ( Y L Z ) ) ) )
6665rspcev 3196 . . . 4  |-  ( ( ( Y L Z )  e.  ran  L  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  /\  Y  e.  ( Y L Z )  /\  Z  e.  ( Y L Z ) ) )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
6757, 50, 59, 61, 66syl13anc 1231 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
6844, 67pm2.61dane 2761 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
69 df-ne 2640 . . . . . 6  |-  ( Y  =/=  Z  <->  -.  Y  =  Z )
70 simplr1 1039 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  X  e.  a )
714ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  G  e. TarskiG )
7252ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  e.  P )
7329ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Z  e.  P )
74 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  =/=  Z )
75 simpllr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  -> 
a  e.  ran  L
)
76 simplr2 1040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  e.  a )
77 simplr3 1041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Z  e.  a )
781, 2, 3, 71, 72, 73, 74, 74, 75, 76, 77tglinethru 23994 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  -> 
a  =  ( Y L Z ) )
7970, 78eleqtrd 2533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  X  e.  ( Y L Z ) )
8079ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a
) )  ->  ( Y  =/=  Z  ->  X  e.  ( Y L Z ) ) )
8169, 80syl5bir 218 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a
) )  ->  ( -.  Y  =  Z  ->  X  e.  ( Y L Z ) ) )
8281orrd 378 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a
) )  ->  ( Y  =  Z  \/  X  e.  ( Y L Z ) ) )
8382orcomd 388 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a
) )  ->  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )
8483r19.29an 2984 . 2  |-  ( (
ph  /\  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  -> 
( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )
8568, 84impbida 832 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z )  <->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   E.wrex 2794   class class class wbr 4437   ran crn 4990   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    <_ cle 9632   2c2 10592   #chash 12387   Basecbs 14614   distcds 14688  TarskiGcstrkg 23803  Itvcitv 23810  LineGclng 23811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-hash 12388  df-word 12524  df-concat 12526  df-s1 12527  df-s2 12795  df-s3 12796  df-trkgc 23822  df-trkgb 23823  df-trkgcb 23824  df-trkg 23828  df-cgrg 23881
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