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Theorem colline 24415
Description: Three points are colinear iff there is a line through all three of them. Theorem 6.23 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
tglineintmo.i  |-  I  =  (Itv `  G )
tglineintmo.l  |-  L  =  (LineG `  G )
tglineintmo.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
colline.1  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
colline.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
colline.3  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
colline.4  |-  ( ph  ->  2  <_  ( # `  P
) )
Assertion
Ref Expression
colline  |-  ( ph  ->  ( ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z )  <->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) ) )
Distinct variable groups:    L, a    X, a    Y, a    Z, a    ph, a
Allowed substitution hints:    P( a)    G( a)    I( a)

Proof of Theorem colline
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineintmo.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 tglineintmo.i . . . . . . . 8  |-  I  =  (Itv `  G )
3 tglineintmo.l . . . . . . . 8  |-  L  =  (LineG `  G )
4 tglineintmo.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
54ad4antr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  G  e. TarskiG )
6 colline.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
76ad4antr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  X  e.  P )
8 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  x  e.  P )
9 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  X  =/=  x )
101, 2, 3, 5, 7, 8, 9tgelrnln 24395 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  ( X L x )  e. 
ran  L )
111, 2, 3, 5, 7, 8, 9tglinerflx1 24398 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  X  e.  ( X L x ) )
12 simp-4r 769 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  Y  =  Z )
13 simpllr 761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  X  =  Z )
1413, 11eqeltrrd 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  Z  e.  ( X L x ) )
1512, 14eqeltrd 2490 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  Y  e.  ( X L x ) )
16 eleq2 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( X L x )  ->  ( X  e.  a  <->  X  e.  ( X L x ) ) )
17 eleq2 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( X L x )  ->  ( Y  e.  a  <->  Y  e.  ( X L x ) ) )
18 eleq2 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( X L x )  ->  ( Z  e.  a  <->  Z  e.  ( X L x ) ) )
1916, 17, 183anbi123d 1301 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( X L x )  ->  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a )  <->  ( X  e.  ( X L x )  /\  Y  e.  ( X L x )  /\  Z  e.  ( X L x ) ) ) )
2019rspcev 3160 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X L x )  e.  ran  L  /\  ( X  e.  ( X L x )  /\  Y  e.  ( X L x )  /\  Z  e.  ( X L x ) ) )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
2110, 11, 15, 14, 20syl13anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  /\  x  e.  P )  /\  X  =/=  x )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
22 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  G )
23 colline.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  <_  ( # `  P
) )
241, 22, 2, 4, 23, 6tglowdim1i 24273 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  P  X  =/=  x )
2524ad2antrr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  ->  E. x  e.  P  X  =/=  x )
2621, 25r19.29a 2949 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =  Z )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
274ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  G  e. TarskiG )
286ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  X  e.  P )
29 colline.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
3029ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  Z  e.  P )
31 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  X  =/=  Z )
321, 2, 3, 27, 28, 30, 31tgelrnln 24395 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  ( X L Z )  e. 
ran  L )
331, 2, 3, 27, 28, 30, 31tglinerflx1 24398 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  X  e.  ( X L Z ) )
34 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  Y  =  Z )
351, 2, 3, 27, 28, 30, 31tglinerflx2 24399 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  Z  e.  ( X L Z ) )
3634, 35eqeltrd 2490 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  Y  e.  ( X L Z ) )
37 eleq2 2475 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( X L Z )  ->  ( X  e.  a  <->  X  e.  ( X L Z ) ) )
38 eleq2 2475 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( X L Z )  ->  ( Y  e.  a  <->  Y  e.  ( X L Z ) ) )
39 eleq2 2475 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( X L Z )  ->  ( Z  e.  a  <->  Z  e.  ( X L Z ) ) )
4037, 38, 393anbi123d 1301 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( X L Z )  ->  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a )  <->  ( X  e.  ( X L Z )  /\  Y  e.  ( X L Z )  /\  Z  e.  ( X L Z ) ) ) )
4140rspcev 3160 . . . . . 6  |-  ( ( ( X L Z )  e.  ran  L  /\  ( X  e.  ( X L Z )  /\  Y  e.  ( X L Z )  /\  Z  e.  ( X L Z ) ) )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
4232, 33, 36, 35, 41syl13anc 1232 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =  Z )  /\  X  =/=  Z )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
4326, 42pm2.61dane 2721 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  =  Z )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
4443adantlr 713 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =  Z )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
45 simpll 752 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  ph )
46 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  =/=  Z )
4746neneqd 2605 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  -.  Y  =  Z
)
48 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  -> 
( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )
49 orel2 381 . . . . . 6  |-  ( -.  Y  =  Z  -> 
( ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z )  ->  X  e.  ( Y L Z ) ) )
5047, 48, 49sylc 59 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  X  e.  ( Y L Z ) )
514ad2antrr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  G  e. TarskiG )
52 colline.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
5352ad2antrr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  e.  P )
5429ad2antrr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Z  e.  P )
55 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  =/=  Z )
561, 2, 3, 51, 53, 54, 55tgelrnln 24395 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  ( Y L Z )  e. 
ran  L )
5745, 50, 46, 56syl21anc 1229 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  -> 
( Y L Z )  e.  ran  L
)
581, 2, 3, 51, 53, 54, 55tglinerflx1 24398 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  e.  ( Y L Z ) )
5945, 50, 46, 58syl21anc 1229 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  e.  ( Y L Z ) )
601, 2, 3, 51, 53, 54, 55tglinerflx2 24399 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y L Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Z  e.  ( Y L Z ) )
6145, 50, 46, 60syl21anc 1229 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Z  e.  ( Y L Z ) )
62 eleq2 2475 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( Y L Z )  ->  ( X  e.  a  <->  X  e.  ( Y L Z ) ) )
63 eleq2 2475 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( Y L Z )  ->  ( Y  e.  a  <->  Y  e.  ( Y L Z ) ) )
64 eleq2 2475 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( Y L Z )  ->  ( Z  e.  a  <->  Z  e.  ( Y L Z ) ) )
6562, 63, 643anbi123d 1301 . . . . 5  |-  ( a  =  ( Y L Z )  ->  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a )  <->  ( X  e.  ( Y L Z )  /\  Y  e.  ( Y L Z )  /\  Z  e.  ( Y L Z ) ) ) )
6665rspcev 3160 . . . 4  |-  ( ( ( Y L Z )  e.  ran  L  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  /\  Y  e.  ( Y L Z )  /\  Z  e.  ( Y L Z ) ) )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
6757, 50, 59, 61, 66syl13anc 1232 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
6844, 67pm2.61dane 2721 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )  ->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )
69 df-ne 2600 . . . . . 6  |-  ( Y  =/=  Z  <->  -.  Y  =  Z )
70 simplr1 1039 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  X  e.  a )
714ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  G  e. TarskiG )
7252ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  e.  P )
7329ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Z  e.  P )
74 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  =/=  Z )
75 simpllr 761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  -> 
a  e.  ran  L
)
76 simplr2 1040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Y  e.  a )
77 simplr3 1041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  Z  e.  a )
781, 2, 3, 71, 72, 73, 74, 74, 75, 76, 77tglinethru 24401 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  -> 
a  =  ( Y L Z ) )
7970, 78eleqtrd 2492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  /\  Y  =/=  Z )  ->  X  e.  ( Y L Z ) )
8079ex 432 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a
) )  ->  ( Y  =/=  Z  ->  X  e.  ( Y L Z ) ) )
8169, 80syl5bir 218 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a
) )  ->  ( -.  Y  =  Z  ->  X  e.  ( Y L Z ) ) )
8281orrd 376 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a
) )  ->  ( Y  =  Z  \/  X  e.  ( Y L Z ) ) )
8382orcomd 386 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ran  L )  /\  ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a
) )  ->  ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )
8483r19.29an 2948 . 2  |-  ( (
ph  /\  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) )  -> 
( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z ) )
8568, 84impbida 833 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  e.  ( Y L Z )  \/  Y  =  Z )  <->  E. a  e.  ran  L ( X  e.  a  /\  Y  e.  a  /\  Z  e.  a ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   E.wrex 2755   class class class wbr 4395   ran crn 4824   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    <_ cle 9659   2c2 10626   #chash 12452   Basecbs 14841   distcds 14918  TarskiGcstrkg 24206  Itvcitv 24212  LineGclng 24213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-hash 12453  df-word 12591  df-concat 12593  df-s1 12594  df-s2 12869  df-s3 12870  df-trkgc 24224  df-trkgb 24225  df-trkgcb 24226  df-trkg 24229  df-cgrg 24284
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