Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colline Structured version   Unicode version

Theorem colline 24415
 Description: Three points are colinear iff there is a line through all three of them. Theorem 6.23 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p
tglineintmo.i Itv
tglineintmo.l LineG
tglineintmo.g TarskiG
colline.1
colline.2
colline.3
colline.4
Assertion
Ref Expression
colline
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem colline
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineintmo.p . . . . . . . 8
2 tglineintmo.i . . . . . . . 8 Itv
3 tglineintmo.l . . . . . . . 8 LineG
4 tglineintmo.g . . . . . . . . 9 TarskiG
54ad4antr 730 . . . . . . . 8 TarskiG
6 colline.1 . . . . . . . . 9
76ad4antr 730 . . . . . . . 8
8 simplr 754 . . . . . . . 8
9 simpr 459 . . . . . . . 8
101, 2, 3, 5, 7, 8, 9tgelrnln 24395 . . . . . . 7
111, 2, 3, 5, 7, 8, 9tglinerflx1 24398 . . . . . . 7
12 simp-4r 769 . . . . . . . 8
13 simpllr 761 . . . . . . . . 9
1413, 11eqeltrrd 2491 . . . . . . . 8
1512, 14eqeltrd 2490 . . . . . . 7
16 eleq2 2475 . . . . . . . . 9
17 eleq2 2475 . . . . . . . . 9
18 eleq2 2475 . . . . . . . . 9
1916, 17, 183anbi123d 1301 . . . . . . . 8
2019rspcev 3160 . . . . . . 7
2110, 11, 15, 14, 20syl13anc 1232 . . . . . 6
22 eqid 2402 . . . . . . . 8
23 colline.4 . . . . . . . 8
241, 22, 2, 4, 23, 6tglowdim1i 24273 . . . . . . 7
2524ad2antrr 724 . . . . . 6
2621, 25r19.29a 2949 . . . . 5
274ad2antrr 724 . . . . . . 7 TarskiG
286ad2antrr 724 . . . . . . 7
29 colline.3 . . . . . . . 8
3029ad2antrr 724 . . . . . . 7
31 simpr 459 . . . . . . 7
321, 2, 3, 27, 28, 30, 31tgelrnln 24395 . . . . . 6
331, 2, 3, 27, 28, 30, 31tglinerflx1 24398 . . . . . 6
34 simplr 754 . . . . . . 7
351, 2, 3, 27, 28, 30, 31tglinerflx2 24399 . . . . . . 7
3634, 35eqeltrd 2490 . . . . . 6
37 eleq2 2475 . . . . . . . 8
38 eleq2 2475 . . . . . . . 8
39 eleq2 2475 . . . . . . . 8
4037, 38, 393anbi123d 1301 . . . . . . 7
4140rspcev 3160 . . . . . 6
4232, 33, 36, 35, 41syl13anc 1232 . . . . 5
4326, 42pm2.61dane 2721 . . . 4
45 simpll 752 . . . . 5
46 simpr 459 . . . . . . 7
4746neneqd 2605 . . . . . 6
48 simplr 754 . . . . . 6
49 orel2 381 . . . . . 6
5047, 48, 49sylc 59 . . . . 5
514ad2antrr 724 . . . . . 6 TarskiG
52 colline.2 . . . . . . 7
5352ad2antrr 724 . . . . . 6
5429ad2antrr 724 . . . . . 6
55 simpr 459 . . . . . 6
561, 2, 3, 51, 53, 54, 55tgelrnln 24395 . . . . 5
5745, 50, 46, 56syl21anc 1229 . . . 4
581, 2, 3, 51, 53, 54, 55tglinerflx1 24398 . . . . 5
5945, 50, 46, 58syl21anc 1229 . . . 4
601, 2, 3, 51, 53, 54, 55tglinerflx2 24399 . . . . 5
6145, 50, 46, 60syl21anc 1229 . . . 4
62 eleq2 2475 . . . . . 6
63 eleq2 2475 . . . . . 6
64 eleq2 2475 . . . . . 6
6562, 63, 643anbi123d 1301 . . . . 5
6665rspcev 3160 . . . 4
6757, 50, 59, 61, 66syl13anc 1232 . . 3
6844, 67pm2.61dane 2721 . 2
69 df-ne 2600 . . . . . 6
70 simplr1 1039 . . . . . . . 8
714ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 TarskiG
7252ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9
7329ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9
74 simpr 459 . . . . . . . . 9
75 simpllr 761 . . . . . . . . 9
76 simplr2 1040 . . . . . . . . 9
77 simplr3 1041 . . . . . . . . 9
781, 2, 3, 71, 72, 73, 74, 74, 75, 76, 77tglinethru 24401 . . . . . . . 8
7970, 78eleqtrd 2492 . . . . . . 7
8079ex 432 . . . . . 6
8169, 80syl5bir 218 . . . . 5
8281orrd 376 . . . 4
8382orcomd 386 . . 3
8483r19.29an 2948 . 2
8568, 84impbida 833 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wo 366   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598  wrex 2755   class class class wbr 4395   crn 4824  cfv 5569  (class class class)co 6278   cle 9659  c2 10626  chash 12452  cbs 14841  cds 14918  TarskiGcstrkg 24206  Itvcitv 24212  LineGclng 24213 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-hash 12453  df-word 12591  df-concat 12593  df-s1 12594  df-s2 12869  df-s3 12870  df-trkgc 24224  df-trkgb 24225  df-trkgcb 24226  df-trkg 24229  df-cgrg 24284 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator