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Theorem colinearalglem4 25752
Description: Lemma for colinearalg 25753. Prove a disjunction that will be needed in the final proof. (Contributed by Scott Fenton, 27-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
colinearalglem4  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  K  e.  RR )  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  <_  0  \/  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  +  ( A `  i ) ) )  x.  (
( A `  i
)  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )  <_  0  \/  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( C `  i )
)  x.  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )  <_  0 ) )
Distinct variable groups:    A, i    C, i    i, K    i, N

Proof of Theorem colinearalglem4
StepHypRef Expression
1 relin01 25147 . . 3  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  <_  0  \/  (
0  <_  K  /\  K  <_  1 )  \/  1  <_  K )
)
21adantl 453 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  K  e.  RR )  ->  ( K  <_  0  \/  (
0  <_  K  /\  K  <_  1 )  \/  1  <_  K )
)
3 fveere 25744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  i )  e.  RR )
43adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A `  i )  e.  RR )
5 fveere 25744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  i )  e.  RR )
65adantll 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( C `  i )  e.  RR )
74, 6jca 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( A `  i
)  e.  RR  /\  ( C `  i )  e.  RR ) )
8 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  ->  K  e.  RR )
98recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  ->  K  e.  CC )
10 resubcl 9321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C `  i
)  e.  RR  /\  ( A `  i )  e.  RR )  -> 
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  e.  RR )
1110ancoms 440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  RR  /\  ( C `  i )  e.  RR )  -> 
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  e.  RR )
1211adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  e.  RR )
1312recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  e.  CC )
149, 13, 13mulassd 9067 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  =  ( K  x.  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
158, 12remulcld 9072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  e.  RR )
1615recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  e.  CC )
17 recn 9036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A `  i )  e.  RR  ->  ( A `  i )  e.  CC )
1817ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( A `  i
)  e.  CC )
1916, 18pncand 9368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( A `
 i ) )  =  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) )
2019oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  =  ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) )
2113sqvald 11475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) )
2221oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( K  x.  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )  =  ( K  x.  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
2314, 20, 223eqtr4d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  =  ( K  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
24 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  ->  K  <_  0 )
2512sqge0d 11505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
0  <_  ( (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 ) )
2624, 25jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( K  <_  0  /\  0  <_  ( ( ( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 ) ) )
2726orcd 382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( K  <_ 
0  /\  0  <_  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )  \/  ( 0  <_  K  /\  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 )  <_  0 ) ) )
2812resqcld 11504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 )  e.  RR )
29 mulle0b 25145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( ( K  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) )  <_  0  <->  ( ( K  <_  0  /\  0  <_  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) )  \/  ( 0  <_  K  /\  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 )  <_  0 ) ) ) )
308, 28, 29syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( K  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) )  <_  0  <->  ( ( K  <_  0  /\  0  <_  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) )  \/  ( 0  <_  K  /\  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 )  <_  0 ) ) ) )
3127, 30mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( K  x.  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )  <_  0 )
3223, 31eqbrtrd 4192 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  <_  0 )
337, 32sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_  0 ) )  -> 
( ( ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  <_  0 )
3433an32s 780 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_  0 ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  <_  0
)
3534ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_  0 ) )  ->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  <_  0
)
3635expr 599 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  K  e.  RR )  ->  ( K  <_  0  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  <_  0
) )
37 recn 9036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C `  i )  e.  RR  ->  ( C `  i )  e.  CC )
3837ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( C `  i )  e.  CC )
3917ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
40 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  K  e.  RR )
4111adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  e.  RR )
4240, 41remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  e.  RR )
4342recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  e.  CC )
4438, 39, 43sub32d 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  -  ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  -  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  -  ( A `
 i ) ) )
4540recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  K  e.  CC )
4641recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  e.  CC )
47 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
48 subdir 9424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  K )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  -  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
4947, 48mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CC  /\  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  K )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  =  ( ( 1  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  -  ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
5045, 46, 49syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( 1  -  K )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  =  ( ( 1  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  -  ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
5146mulid2d 9062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( 1  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  =  ( ( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )
5251oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( 1  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  -  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i
)  -  ( A `
 i ) )  -  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
5350, 52eqtr2d 2437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  -  ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) )  =  ( ( 1  -  K
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )
5438, 43, 39subsub4d 9398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( C `  i )  -  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) )  -  ( A `  i ) )  =  ( ( C `  i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )
5544, 53, 543eqtr3rd 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( C `
 i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  +  ( A `  i ) ) )  =  ( ( 1  -  K
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )
5639, 39, 43sub32d 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( A `  i )  -  ( A `  i ) )  -  ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) )  =  ( ( ( A `  i )  -  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  -  ( A `
 i ) ) )
5739subidd 9355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( A `
 i )  -  ( A `  i ) )  =  0 )
5857oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( A `  i )  -  ( A `  i ) )  -  ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) )  =  ( 0  -  ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
59 df-neg 9250 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  =  ( 0  -  ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) )
6058, 59syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( A `  i )  -  ( A `  i ) )  -  ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) )  =  -u ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) )
6139, 43, 39subsub4d 9398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( A `  i )  -  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) )  -  ( A `  i ) )  =  ( ( A `  i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )
6256, 60, 613eqtr3rd 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( A `
 i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  +  ( A `  i ) ) )  =  -u ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) )
6355, 62oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( C `  i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) )  x.  (
( A `  i
)  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  K
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  x.  -u ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
64 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
65 resubcl 9321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( 1  -  K
)  e.  RR )
6664, 65mpan 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  RR  ->  (
1  -  K )  e.  RR )
6766ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( 1  -  K )  e.  RR )
6867, 41remulcld 9072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( 1  -  K )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  e.  RR )
6968recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( 1  -  K )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  e.  CC )
7069, 43mulneg2d 9443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( 1  -  K )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  x.  -u ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  =  -u (
( ( 1  -  K )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  x.  ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
7167recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( 1  -  K )  e.  CC )
7271, 46, 45, 46mul4d 9234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( 1  -  K )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  x.  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  K
)  x.  K )  x.  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
7372negeqd 9256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  -u ( ( ( 1  -  K )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  x.  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  =  -u (
( ( 1  -  K )  x.  K
)  x.  ( ( ( C `  i
)  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
7463, 70, 733eqtrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( C `  i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) )  x.  (
( A `  i
)  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )  =  -u (
( ( 1  -  K )  x.  K
)  x.  ( ( ( C `  i
)  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
7567, 40remulcld 9072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( 1  -  K )  x.  K )  e.  RR )
7641resqcld 11504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 )  e.  RR )
77 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) )  ->  K  e.  RR )
7864, 77, 65sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) )  ->  ( 1  -  K )  e.  RR )
79 subge0 9497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
1  -  K )  <-> 
K  <_  1 ) )
8064, 79mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  RR  ->  (
0  <_  ( 1  -  K )  <->  K  <_  1 ) )
8180biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  RR  /\  K  <_  1 )  -> 
0  <_  ( 1  -  K ) )
8281adantrl 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) )  ->  0  <_  ( 1  -  K ) )
83 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) )  ->  0  <_  K )
8478, 77, 82, 83mulge0d 9559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) )  ->  0  <_  ( ( 1  -  K
)  x.  K ) )
8584adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  0  <_  (
( 1  -  K
)  x.  K ) )
8641sqge0d 11505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  0  <_  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )
8775, 76, 85, 86mulge0d 9559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  0  <_  (
( ( 1  -  K )  x.  K
)  x.  ( ( ( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 ) ) )
8846sqvald 11475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 )  =  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )
8988oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( 1  -  K )  x.  K )  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 1  -  K
)  x.  K )  x.  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
9087, 89breqtrd 4196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  0  <_  (
( ( 1  -  K )  x.  K
)  x.  ( ( ( C `  i
)  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
9141, 41remulcld 9072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  e.  RR )
9275, 91remulcld 9072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( 1  -  K )  x.  K )  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  e.  RR )
9392le0neg2d 9555 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( 0  <_ 
( ( ( 1  -  K )  x.  K )  x.  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  <->  -u ( ( ( 1  -  K )  x.  K )  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  <_  0 ) )
9490, 93mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  -u ( ( ( 1  -  K )  x.  K )  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  <_  0 )
9574, 94eqbrtrd 4192 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( C `  i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) )  x.  (
( A `  i
)  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )  <_  0 )
967, 95sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  /\  ( K  e.  RR  /\  (
0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( (
( C `  i
)  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) )  x.  ( ( A `
 i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  +  ( A `  i ) ) ) )  <_ 
0 )
9796an32s 780 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( K  e.  RR  /\  (
0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( C `  i )  -  (
( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) ) )  x.  ( ( A `  i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )  <_ 
0 )
9897ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( K  e.  RR  /\  (
0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) )  x.  (
( A `  i
)  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )  <_  0 )
9998expr 599 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  K  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  K  /\  K  <_  1 )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  +  ( A `  i ) ) )  x.  (
( A `  i
)  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )  <_  0 ) )
10037ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( C `  i
)  e.  CC )
10117ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( A `  i
)  e.  CC )
102100, 101negsubdi2d 9383 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  ->  -u ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  =  ( ( A `  i )  -  ( C `  i ) ) )
103102oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( -u ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) )  =  ( ( ( A `
 i )  -  ( C `  i ) )  x.  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
104 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( C `  i
)  e.  RR )
105 simpll 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( A `  i
)  e.  RR )
106104, 105, 10syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  e.  RR )
107106recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  e.  CC )
108 peano2rem 9323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  -  1 )  e.  RR )
109108ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( K  -  1 )  e.  RR )
110109, 106remulcld 9072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( K  - 
1 )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  e.  RR )
111110recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( K  - 
1 )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  e.  CC )
112107, 111mulneg1d 9442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( -u ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) )  = 
-u ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( K  - 
1 )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) ) )
113109recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( K  -  1 )  e.  CC )
114107, 113, 107mul12d 9231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) )  =  ( ( K  - 
1 )  x.  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
115107sqvald 11475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) )
116115oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( K  - 
1 )  x.  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )  =  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
117114, 116eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) )  =  ( ( K  - 
1 )  x.  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) ) )
118117negeqd 9256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  ->  -u ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) )  = 
-u ( ( K  -  1 )  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
119112, 118eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( -u ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) )  = 
-u ( ( K  -  1 )  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
120 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  ->  K  e.  RR )
121120recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  ->  K  e.  CC )
122 subdir 9424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) )  e.  CC )  -> 
( ( K  - 
1 )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  =  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  -  ( 1  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
12347, 122mp3an2 1267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CC  /\  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  e.  CC )  ->  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  =  ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  -  ( 1  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
124121, 107, 123syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( K  - 
1 )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  =  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  -  ( 1  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
125107mulid2d 9062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( 1  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  =  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )
126125oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  -  (
1  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  =  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  -  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) )
127120, 106remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  e.  RR )
128127recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  e.  CC )
129128, 100, 101subsub3d 9397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  -  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  =  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )
130124, 126, 1293eqtrd 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( K  - 
1 )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  =  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )
131130oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( ( A `
 i )  -  ( C `  i ) )  x.  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) )  =  ( ( ( A `
 i )  -  ( C `  i ) )  x.  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) ) )
132103, 119, 1313eqtr3rd 2445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( ( A `
 i )  -  ( C `  i ) )  x.  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )  =  -u ( ( K  -  1 )  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
133106resqcld 11504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 )  e.  RR )
134 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
1  <_  K )
135 subge0 9497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( K  -  1 )  <->  1  <_  K )
)
13664, 135mpan2 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  RR  ->  (
0  <_  ( K  -  1 )  <->  1  <_  K ) )
137136ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( 0  <_  ( K  -  1 )  <->  1  <_  K )
)
138134, 137mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
0  <_  ( K  -  1 ) )
139106sqge0d 11505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
0  <_  ( (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 ) )
140109, 133, 138, 139mulge0d 9559 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
0  <_  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 ) ) )
141109, 133remulcld 9072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( K  - 
1 )  x.  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )  e.  RR )
142141le0neg2d 9555 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( 0  <_  (
( K  -  1 )  x.  ( ( ( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 ) )  <->  -u ( ( K  - 
1 )  x.  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )  <_  0 ) )
143140, 142mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  ->  -u ( ( K  - 
1 )  x.  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )  <_  0 )
144132, 143eqbrtrd 4192 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( ( A `
 i )  -  ( C `  i ) )  x.  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )  <_  0 )
1457, 144sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( ( A `
 i )  -  ( C `  i ) )  x.  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )  <_  0 )
146145an32s 780 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( ( A `  i )  -  ( C `  i ) )  x.  ( ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( C `
 i ) ) )  <_  0 )
147146ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  ->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( C `  i )
)  x.  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )  <_  0 )
148147expr 599 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  K  e.  RR )  ->  (
1  <_  K  ->  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( C `  i )
)  x.  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )  <_  0 ) )
14936, 99, 1483orim123d 1262 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  K  e.  RR )  ->  (
( K  <_  0  \/  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 )  \/  1  <_  K
)  ->  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  <_  0  \/  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  +  ( A `  i ) ) )  x.  (
( A `  i
)  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )  <_  0  \/  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( C `  i )
)  x.  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )  <_  0 ) ) )
1502, 149mpd 15 1  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  K  e.  RR )  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  <_  0  \/  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  +  ( A `  i ) ) )  x.  (
( A `  i
)  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )  <_  0  \/  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( C `  i )
)  x.  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )  <_  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    \/ w3o 935    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248   2c2 10005   ...cfz 10999   ^cexp 11337   EEcee 25731
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-seq 11279  df-exp 11338  df-ee 25734
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