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Theorem colinearalglem4 23290
Description: Lemma for colinearalg 23291. Prove a disjunction that will be needed in the final proof. (Contributed by Scott Fenton, 27-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
colinearalglem4  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  K  e.  RR )  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  <_  0  \/  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  +  ( A `  i ) ) )  x.  (
( A `  i
)  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )  <_  0  \/  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( C `  i )
)  x.  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )  <_  0 ) )
Distinct variable groups:    A, i    C, i    i, K    i, N

Proof of Theorem colinearalglem4
StepHypRef Expression
1 relin01 9965 . . 3  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  <_  0  \/  (
0  <_  K  /\  K  <_  1 )  \/  1  <_  K )
)
21adantl 466 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  K  e.  RR )  ->  ( K  <_  0  \/  (
0  <_  K  /\  K  <_  1 )  \/  1  <_  K )
)
3 fveere 23282 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  i )  e.  RR )
43adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A `  i )  e.  RR )
5 fveere 23282 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  i )  e.  RR )
65adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( C `  i )  e.  RR )
74, 6jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( A `  i
)  e.  RR  /\  ( C `  i )  e.  RR ) )
8 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  ->  K  e.  RR )
98recnd 9513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  ->  K  e.  CC )
10 resubcl 9774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C `  i
)  e.  RR  /\  ( A `  i )  e.  RR )  -> 
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  e.  RR )
1110ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  RR  /\  ( C `  i )  e.  RR )  -> 
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  e.  RR )
1211adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  e.  RR )
1312recnd 9513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  e.  CC )
149, 13, 13mulassd 9510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  =  ( K  x.  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
158, 12remulcld 9515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  e.  RR )
1615recnd 9513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  e.  CC )
17 recn 9473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A `  i )  e.  RR  ->  ( A `  i )  e.  CC )
1817ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( A `  i
)  e.  CC )
1916, 18pncand 9821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( A `
 i ) )  =  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) )
2019oveq1d 6205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  =  ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) )
2113sqvald 12106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) )
2221oveq2d 6206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( K  x.  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )  =  ( K  x.  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
2314, 20, 223eqtr4d 2502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  =  ( K  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
24 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  ->  K  <_  0 )
2512sqge0d 12136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
0  <_  ( (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 ) )
2624, 25jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( K  <_  0  /\  0  <_  ( ( ( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 ) ) )
2726orcd 392 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( K  <_ 
0  /\  0  <_  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )  \/  ( 0  <_  K  /\  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 )  <_  0 ) ) )
2812resqcld 12135 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 )  e.  RR )
29 mulle0b 10301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( ( K  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) )  <_  0  <->  ( ( K  <_  0  /\  0  <_  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) )  \/  ( 0  <_  K  /\  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 )  <_  0 ) ) ) )
308, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( K  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) )  <_  0  <->  ( ( K  <_  0  /\  0  <_  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) )  \/  ( 0  <_  K  /\  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 )  <_  0 ) ) ) )
3127, 30mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( K  x.  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )  <_  0 )
3223, 31eqbrtrd 4410 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  <_  0 )
337, 32sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_  0 ) )  -> 
( ( ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  <_  0 )
3433an32s 802 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_  0 ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  <_  0
)
3534ralrimiva 2822 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_  0 ) )  ->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  <_  0
)
3635expr 615 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  K  e.  RR )  ->  ( K  <_  0  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  <_  0
) )
37 recn 9473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C `  i )  e.  RR  ->  ( C `  i )  e.  CC )
3837ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( C `  i )  e.  CC )
3917ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
40 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  K  e.  RR )
4111adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  e.  RR )
4240, 41remulcld 9515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  e.  RR )
4342recnd 9513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  e.  CC )
4438, 39, 43sub32d 9852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  -  ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  -  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  -  ( A `
 i ) ) )
4540recnd 9513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  K  e.  CC )
4641recnd 9513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  e.  CC )
47 ax-1cn 9441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
48 subdir 9880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  K )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  -  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
4947, 48mp3an1 1302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CC  /\  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  K )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  =  ( ( 1  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  -  ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
5045, 46, 49syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( 1  -  K )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  =  ( ( 1  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  -  ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
5146mulid2d 9505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( 1  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  =  ( ( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )
5251oveq1d 6205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( 1  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  -  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i
)  -  ( A `
 i ) )  -  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
5350, 52eqtr2d 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  -  ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) )  =  ( ( 1  -  K
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )
5438, 43, 39subsub4d 9851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( C `  i )  -  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) )  -  ( A `  i ) )  =  ( ( C `  i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )
5544, 53, 543eqtr3rd 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( C `
 i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  +  ( A `  i ) ) )  =  ( ( 1  -  K
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )
5639, 39, 43sub32d 9852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( A `  i )  -  ( A `  i ) )  -  ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) )  =  ( ( ( A `  i )  -  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  -  ( A `
 i ) ) )
5739subidd 9808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( A `
 i )  -  ( A `  i ) )  =  0 )
5857oveq1d 6205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( A `  i )  -  ( A `  i ) )  -  ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) )  =  ( 0  -  ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
59 df-neg 9699 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  =  ( 0  -  ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) )
6058, 59syl6eqr 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( A `  i )  -  ( A `  i ) )  -  ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) )  =  -u ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) )
6139, 43, 39subsub4d 9851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( A `  i )  -  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) )  -  ( A `  i ) )  =  ( ( A `  i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )
6256, 60, 613eqtr3rd 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( A `
 i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  +  ( A `  i ) ) )  =  -u ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) )
6355, 62oveq12d 6208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( C `  i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) )  x.  (
( A `  i
)  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  K
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  x.  -u ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
64 1re 9486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
65 resubcl 9774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( 1  -  K
)  e.  RR )
6664, 65mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  RR  ->  (
1  -  K )  e.  RR )
6766ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( 1  -  K )  e.  RR )
6867, 41remulcld 9515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( 1  -  K )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  e.  RR )
6968recnd 9513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( 1  -  K )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  e.  CC )
7069, 43mulneg2d 9899 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( 1  -  K )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  x.  -u ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  =  -u (
( ( 1  -  K )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  x.  ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
7167recnd 9513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( 1  -  K )  e.  CC )
7271, 46, 45, 46mul4d 9682 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( 1  -  K )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  x.  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  K
)  x.  K )  x.  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
7372negeqd 9705 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  -u ( ( ( 1  -  K )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  x.  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  =  -u (
( ( 1  -  K )  x.  K
)  x.  ( ( ( C `  i
)  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
7463, 70, 733eqtrd 2496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( C `  i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) )  x.  (
( A `  i
)  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )  =  -u (
( ( 1  -  K )  x.  K
)  x.  ( ( ( C `  i
)  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
7567, 40remulcld 9515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( 1  -  K )  x.  K )  e.  RR )
7641resqcld 12135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 )  e.  RR )
77 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) )  ->  K  e.  RR )
7864, 77, 65sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) )  ->  ( 1  -  K )  e.  RR )
79 subge0 9953 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
1  -  K )  <-> 
K  <_  1 ) )
8064, 79mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  RR  ->  (
0  <_  ( 1  -  K )  <->  K  <_  1 ) )
8180biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  RR  /\  K  <_  1 )  -> 
0  <_  ( 1  -  K ) )
8281adantrl 715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) )  ->  0  <_  ( 1  -  K ) )
83 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) )  ->  0  <_  K )
8478, 77, 82, 83mulge0d 10017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) )  ->  0  <_  ( ( 1  -  K
)  x.  K ) )
8584adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  0  <_  (
( 1  -  K
)  x.  K ) )
8641sqge0d 12136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  0  <_  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )
8775, 76, 85, 86mulge0d 10017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  0  <_  (
( ( 1  -  K )  x.  K
)  x.  ( ( ( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 ) ) )
8846sqvald 12106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 )  =  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )
8988oveq2d 6206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( 1  -  K )  x.  K )  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 1  -  K
)  x.  K )  x.  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
9087, 89breqtrd 4414 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  0  <_  (
( ( 1  -  K )  x.  K
)  x.  ( ( ( C `  i
)  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
9141, 41remulcld 9515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  e.  RR )
9275, 91remulcld 9515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( 1  -  K )  x.  K )  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  e.  RR )
9392le0neg2d 10013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( 0  <_ 
( ( ( 1  -  K )  x.  K )  x.  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  <->  -u ( ( ( 1  -  K )  x.  K )  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  <_  0 ) )
9490, 93mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  -u ( ( ( 1  -  K )  x.  K )  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  <_  0 )
9574, 94eqbrtrd 4410 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( C `  i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) )  x.  (
( A `  i
)  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )  <_  0 )
967, 95sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  /\  ( K  e.  RR  /\  (
0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( (
( C `  i
)  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) )  x.  ( ( A `
 i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  +  ( A `  i ) ) ) )  <_ 
0 )
9796an32s 802 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( K  e.  RR  /\  (
0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( C `  i )  -  (
( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) ) )  x.  ( ( A `  i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )  <_ 
0 )
9897ralrimiva 2822 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( K  e.  RR  /\  (
0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) )  x.  (
( A `  i
)  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )  <_  0 )
9998expr 615 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  K  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  K  /\  K  <_  1 )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  +  ( A `  i ) ) )  x.  (
( A `  i
)  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )  <_  0 ) )
10037ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( C `  i
)  e.  CC )
10117ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( A `  i
)  e.  CC )
102100, 101negsubdi2d 9836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  ->  -u ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  =  ( ( A `  i )  -  ( C `  i ) ) )
103102oveq1d 6205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( -u ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) )  =  ( ( ( A `
 i )  -  ( C `  i ) )  x.  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
104 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( C `  i
)  e.  RR )
105 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( A `  i
)  e.  RR )
106104, 105, 10syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  e.  RR )
107106recnd 9513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  e.  CC )
108 peano2rem 9776 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  -  1 )  e.  RR )
109108ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( K  -  1 )  e.  RR )
110109, 106remulcld 9515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( K  - 
1 )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  e.  RR )
111110recnd 9513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( K  - 
1 )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  e.  CC )
112107, 111mulneg1d 9898 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( -u ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) )  = 
-u ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( K  - 
1 )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) ) )
113109recnd 9513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( K  -  1 )  e.  CC )
114107, 113, 107mul12d 9679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) )  =  ( ( K  - 
1 )  x.  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
115107sqvald 12106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) )
116115oveq2d 6206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( K  - 
1 )  x.  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )  =  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
117114, 116eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) )  =  ( ( K  - 
1 )  x.  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) ) )
118117negeqd 9705 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  ->  -u ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) )  = 
-u ( ( K  -  1 )  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
119112, 118eqtrd 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( -u ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) )  = 
-u ( ( K  -  1 )  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
120 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  ->  K  e.  RR )
121120recnd 9513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  ->  K  e.  CC )
122 subdir 9880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) )  e.  CC )  -> 
( ( K  - 
1 )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  =  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  -  ( 1  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
12347, 122mp3an2 1303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CC  /\  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  e.  CC )  ->  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  =  ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  -  ( 1  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
124121, 107, 123syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( K  - 
1 )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  =  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  -  ( 1  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
125107mulid2d 9505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( 1  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  =  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )
126125oveq2d 6206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  -  (
1  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  =  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  -  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) )
127120, 106remulcld 9515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  e.  RR )
128127recnd 9513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  e.  CC )
129128, 100, 101subsub3d 9850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  -  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  =  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )
130124, 126, 1293eqtrd 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( K  - 
1 )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  =  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )
131130oveq2d 6206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( ( A `
 i )  -  ( C `  i ) )  x.  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) )  =  ( ( ( A `
 i )  -  ( C `  i ) )  x.  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) ) )
132103, 119, 1313eqtr3rd 2501 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( ( A `
 i )  -  ( C `  i ) )  x.  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )  =  -u ( ( K  -  1 )  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
133106resqcld 12135 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 )  e.  RR )
134 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
1  <_  K )
135 subge0 9953 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( K  -  1 )  <->  1  <_  K )
)
13664, 135mpan2 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  RR  ->  (
0  <_  ( K  -  1 )  <->  1  <_  K ) )
137136ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( 0  <_  ( K  -  1 )  <->  1  <_  K )
)
138134, 137mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
0  <_  ( K  -  1 ) )
139106sqge0d 12136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
0  <_  ( (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 ) )
140109, 133, 138, 139mulge0d 10017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
0  <_  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 ) ) )
141109, 133remulcld 9515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( K  - 
1 )  x.  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )  e.  RR )
142141le0neg2d 10013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( 0  <_  (
( K  -  1 )  x.  ( ( ( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 ) )  <->  -u ( ( K  - 
1 )  x.  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )  <_  0 ) )
143140, 142mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  ->  -u ( ( K  - 
1 )  x.  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )  <_  0 )
144132, 143eqbrtrd 4410 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( ( A `
 i )  -  ( C `  i ) )  x.  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )  <_  0 )
1457, 144sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( ( A `
 i )  -  ( C `  i ) )  x.  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )  <_  0 )
146145an32s 802 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( ( A `  i )  -  ( C `  i ) )  x.  ( ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( C `
 i ) ) )  <_  0 )
147146ralrimiva 2822 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  ->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( C `  i )
)  x.  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )  <_  0 )
148147expr 615 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  K  e.  RR )  ->  (
1  <_  K  ->  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( C `  i )
)  x.  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )  <_  0 ) )
14936, 99, 1483orim123d 1298 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  K  e.  RR )  ->  (
( K  <_  0  \/  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 )  \/  1  <_  K
)  ->  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  <_  0  \/  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  +  ( A `  i ) ) )  x.  (
( A `  i
)  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )  <_  0  \/  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( C `  i )
)  x.  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )  <_  0 ) ) )
1502, 149mpd 15 1  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  K  e.  RR )  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  <_  0  \/  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  +  ( A `  i ) ) )  x.  (
( A `  i
)  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )  <_  0  \/  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( C `  i )
)  x.  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )  <_  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 964    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   class class class wbr 4390   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   CCcc 9381   RRcr 9382   0cc0 9383   1c1 9384    + caddc 9386    x. cmul 9388    <_ cle 9520    - cmin 9696   -ucneg 9697   2c2 10472   ...cfz 11538   ^cexp 11966   EEcee 23269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-seq 11908  df-exp 11967  df-ee 23272
This theorem is referenced by:  colinearalg  23291
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